数学建模大作业

兰州交通大学

数学建模大作业

学院：机电工程学院

班级：车辆093

学号：200903812 姓名：刘键学号：200903813 姓名：杨海斌学号：200903814 姓名：彭福泰学号：200903815 姓名：程二永学号：200903816 姓名：屈辉

高速公路问题

1 实验案例 (2)

1.1 高速公路问题(简化) (2)

1.1.1 问题分析 (3)

1.1.2 变量说明 (3)

1.1.3 模型假设 (3)

1.1.4 模型建立 (3)

1.1.5 模型求解 (4)

1.1.6 求解模型的程序 (4)

1实验案例

1.1 高速公路问题(简化)

A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，图4.2.4给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。

你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？

A

B

图8.2 高速公路修建地段

1.1.1 问题分析

在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。如果要建造的起点、终点在同一地貌

中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。

1.1.2 变量说明

i x ：在第i 个汇合点上的横坐标（以左下角为直角坐标原点），i ＝1，2，…，4；x 5＝30（指目的地B 点的横坐标）

x=[x 1，x 2，x 3，x 4]T

l i ：第i 段南北方向的长度（i ＝1，2， (5)

S i ：在第i 段上地所建公路的长度（i ＝1，2， (5)

由问题分析可知，

()

()()

()

2

542552

432442

322332212

222

1211x x l S x x l S x x l S x x l S x l S -+=-+=-+=-+=+=

C 1：平原每公里的造价（单位：万元/公里）

C 2：高地每公里的造价（单位：万元/公里） C 3：高山每公里的造价（单位：万元/公里）

1.1.3 模型假设

1、 假设在相同地貌中修建高速公路，建造费用与公路长度成正比；

2、 假设在相同地貌中修建高速公路在一条直线上。在理论上，可以使得建造费用最少，

当然实际中一般达不到。

1.1.4 模型建立

在A 城与B 城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。优化目标是在A 城与B 城之间建造高速公路的费用。

()

4,3,2,1300.

.)(min 5142332211=≤≤++++=i x t s S C S C S C S C S C x f i

1.1.5模型求解

这里采用Matlab编程求解。

模型求解时，分别取C i(i=1,2,3)如下。

平原每公里的造价C1＝400万元/公里；

高地每公里的造价C2＝800万元/公里；

高山每公里的造价C3＝1200万元/公里。

输入主程序model_p97.m，运行结果如下：

model_p97

optans =

2.2584e+004

len =

38.9350

ans =

12.1731 14.3323 15.6677 17.8269

求解程序见附录。

注：实际建模时必须查找资料来确定参数或者题目给定有数据）

6.模型结果及分析

通过求解可知，为了使得建造费用最小。建造地点的选择宜采取下列结果。

x1=12.1731，x2=14.3233，x3=15.6677，x4=17.8269

建造总费用为2.2584亿元。

总长度为38.9350公里

1.1.6求解模型的程序

（1）求解主程序

model_p97

function x=model_p97 %数学建模教材 P97 高速公路

clear all

global C L

C=[400 800 1200];

L=[4 4 4 4 4];

x=fmincon('objfun_97',[1,1,1,1],[],[],[],[],zeros(1,4),ones(1,4)* 30,'mycon_p97');

optans=objfun_97(x)

C=ones(3,1);

len = objfun_97(x)

（2）模型中描述目标函数的Matlab程序objfun_97.m

function obj=objfun_97(x)

global C L

obj=C(1)*sqrt(L(1)^2+x(1)^2) + C(2)*sqrt(L(2)^2+(x(2)-x(1))^2) + ... C(3)*sqrt(L(3)^2+(x(3)-x(2))^2)

C(2)*sqrt(L(4)^2+(x(4)-x(3))^2)+C(1)*sqrt(L(5)^2+(...30-x(4))^2); （3）模型中描述约束条件的Matlab函数mycon_p97.m

function [c,ceq]=mycon_p97(x)

c(1)=x(1)-x(2);

c(2)=x(2)-x(3);

c(3)=x(3)-x(4);

c(4)=x(4)-30;

ceq=[];

综合实验：施肥效果分析

【问题提出】

施肥效果分析（1992年全国大学生数学模型联赛题A）

某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做实验时，P与K的施肥量分别取为196kg／ha与372kg／ha。

试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估计。

土豆：N P K

生菜：N P K

数据拟合方法[1]在数学建模问题中常常有着重要的应用。根据实验数据来求出实际问题中变量之间的经验公式[1～2],然后再根据经验公式来讨论模型的最优解,是许多数学建模问题中的一种重要方法。下面就利用这种方法来讨论一个数学建模问题[3～4]。某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N)、磷(P)、钾(K)。某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验,实验数据可参见文献[3],其中ha表示公顷,t表示吨,kg表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时,总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上,如对土豆产量关于N的施肥量做实验时,P与K的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha。我们来分析施肥量与产量之间的关系,并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价。

首先,将题中的数据用MA TLAB软件[5]作出图形:

从图上可看出,N、P、K的取值范围不一样,可以将它们的取值范围转化成区间[0,1],这样它们的变化范围就都一样了。转化后的数据图形如下:

1模型的建立及求解

要分析施肥量与产量之间的关系,首先要建立施肥量与产量之间的函数关系。可以用数据拟合的方法来建立这种函数关系。这又需要确定拟合的函数的形式,即所谓经验公式。

施肥量与产量之间的函数可以是每一种肥料的施用量与产量的关系,也可以是三种肥料共同的施用量与产量的关系。按一般常识,N、P、K是作物生长的三种基本肥料要素,它们用量的多少将直接影响农作物的产量。这种对作物产量的“影响”通常是这三种肥料的共同影响,而不应是单一某一种肥料对作物产量的“影响”。但每一种肥料的用量对于不同的作物产量的影响效果又有不同。例如,N肥的施用量对有些农作物产量的影响是:当N肥施用量较少时,随着N肥用量的增加,农作物的产量会增加,到一定用量后产量达到最大,然后,当N肥用量继续增加时,农作物的产量反而会降低。这从上面的土豆和生菜产量与N肥用量的数据图上也可以看到这样的规律。而在一定的范围内,P肥和K肥的用量对农作物产量的影响将随着其用量的增加而一直增加,只是当P肥和K肥的用量较少时,随着其用量的增加,农作物产量增加较快,而当P肥和K肥的用量较多时,随着其用量的增加,农作物产量增加不大。从上面的土豆和生菜产量与P肥或K肥用量的数据图上可以看到这样的规律。具有这种特点的函数关系在数学上用二次多项式就能较好地反映出来。当然也可以考虑用分段函数来描述。为简单起见,下面在拟合这些函数时都用二次多项式。在实验数据中,K肥料施用量与生菜产量的实验数据波动性较大,这种产量与肥料的施用量的关系在农作物中是很少出现的现象。如果从数据图形的整体来看,其实K肥料施用量与生菜产量的实验数据的特点还是与上面所说的情况相似的,其波动性可看作是实验误差。要利用实验数据来拟合出这些函数关系,显然,如果实验数据越多、数据分布越合理,则拟合的效果就越好。这样拟合出来的函数,其所反映出来的规律就越符合实际情况。例如,应当给出充分多的数据,且这些数据应当是在N、P、K三种肥料的不同用量下的产量数据。又比如,应该有这样的数据:当N、P、K三种肥料中某两种肥料限制在不同的固定值时,相应地,第三种肥料取不同值时的产量数据,这样才有可能反映出N、P、K 三种肥料在对农作物产量的共同影响时的相互影响的规律。但事实上,这里所给出的实验数据非常有限,而且很不均匀,所以用现有的数据来拟合N、P、K的施用量与产量之间的函数关系,并根据这些函数的性质所推断出的施肥量与产量之间的关系,其可信性是有限的。

另外,拟合每一种肥料的施用量与产量的函数时,其余两种肥料的用量都是限制在一个数值上的,其结果通常也只能得到,当相应的另两肥料的用量在所限制的数值下的情况。虽然我们得到的结果可能有一定的局限性,但这里所用到的方法却是处理这类问题的常用方法,从建立模型的角度来说,还是值得讨论的。如果要想得到更精确的结果,只需要有更多的产量施肥量实验数据,再用本文中给出的模型讨论即可。

用这些函数来讨论施肥效果产量与施肥量的函数关系,有两种方式,一种是对三种肥料施用量与产量分别来拟合相应的函数,这需要拟合三个函数,每个函数都是一元函数,这种做法可以使拟合的效果较好。另一种是考虑三种肥料共同对产量的影响,这只需要拟合出一个函数,这是一个三元函数,且由于数据量偏少且不均匀等的原因,拟合效果要差一些,但这是讨论肥料施用量与产量的全局最优解所必须的。下面分别来讨论。

1.1模型1对三种肥料的用量与土豆和生菜产量分别拟合相应的函数讨论一种肥料的用量与产量的关系时,其它两种肥料的用量都固定在第7种水平,三种肥料的用量分

别是:

土豆n07=0.5499,p07=k07=0.5714;

生菜n17=0.57149,p17=0.5708,k17=0.5714。

先考虑土豆与每一种肥料用量的函数关系,我们利用所给数据来拟合这些函数关系。如果假设土豆产量与三种肥料:N、P、K的用量之间的函数关系分别是

w11=f1(n),w12=f2(p),w13=f3(k)

这些函数的形式,按照上面的讨论,都用二次多项式。下面是利用实验数据拟合的结果。

当P、K固定在第7种水平,即p07=k07=0.5714时,函数w11=f1(n)拟合的结果是:

w11=f1(n)=-75.3222n2+92.8574n+14.7416, n∈[0,1]

当N、K固定在第7种水平,即n07=0.5499,k07=0.5714时,函数w12=f2(p)拟合的结果是:

w12=f2(p)=-16.1179p2+24.5678p+32.9241,p∈[0,1]

当N、P固定在第7种水平,即n07=0.5499,p07=0.5714时,函数w13=f3(k)拟合的结果是:

w13=f3(k)=-29.6463k2+48.8088k+24.4144,k∈[0,1]

类似地,如果假设生菜与三种肥料N、P、K之间的函数关系分别是

w21=g1(n),w22=g2(p),w23=g3(k)

这些函数利用原始数据拟合的结果如下。

当P、K固定在第7种水平,即p17=0.5708,k17=0.5714时,函数w21=g1(n)拟合的结果是: w21=g1(n)=-36.5944n2+39.7175n+10.294,n∈[0,1]

当N、K固定在第7种水平,即n17=0.57149,k17=0.5714时,函数w22=g2(p)拟合的结果是:

w22=g2(p)=-25.6089p2+41.5218p+6.88196,p∈[0,1]

当N、P固定在第7种水平,即n17=0.57149,p17=0.5708时,函数w23=g3(k)拟合的结果是:

w23=g3(k)=-0.304688k2+3.33018k+16.2329,k∈[0,1]

如果用上面求出的拟合函数来表示相应的产量与施肥量的函数关系,从拟合曲线的图形来看,只有产量与N肥的用量函数有唯一极大值点。其它函数都不具有这一性质,其规律是:P、N的施用量越多,产量都会增加。如果只从增加产量的角度,就应尽量多施这两种肥料但多施肥的同时也会增加购买肥料的费用,从经济的角度来看,并不一定合算。应综合考虑产量和施肥的成本因素,以单位面积上的收益(即农作物的销售收入与施肥的费用之差)为目函数,以单位面积的收益最大为最优准则,来确定最优解。

1.1.1产量模型

考虑当0≤n,p,k≤1时的产量模型。如果只是追求高产,则只要求出上面拟合出来的函数w1i= fi(・)和w2i=g(・)(i=1,2,3)

的最大值即可。产量模型的求解可以用微分法求解,也以用MA TLAB软件很容易求出,

且只要求N对产量的最大值,因为P和K的用量取最大值时,相应地土豆和生菜的产量最大。

利用MATLAB软件求解的结果是:当P、K固定在第7种水平,即p=k=p07=k07

=0.5714,而N的用量为n1=0.6164,即N的施用量是290.3244(kg/ha)时,土豆的产量最大,最大值是43.3603(t/ha);

当P、K固定在第7种水平,即p=p17=0.5708,k=k17=0.5714,而N的用量为n2=0.5427,即N的施用量是212.7384(kg/ha)时,生菜的产量最大,最大值是21.0062(t/ha)。

1.1.2效益模型

当施用肥料所带来的收入比用于购买肥料的费用多时,就应该施肥,否则就不应该多施肥。设土豆和生菜的售价分别是a1和a2(元/t),N、P和K的售价分别为b1,b2,b3(元/kg)。

首先讨论N肥施用量的效益模型。当N肥的用量是n(kg/ha)时,土豆和生菜的产量分别是w1=f1(n)和w2=g1(n),土豆施用肥料的费用是h1=b1n+p07b2+k07b3(元/ha),生菜施用肥料的费用是h2=b1n+p17b2+k17b3(元/ha)。

单位面积上的土豆和生菜因施N肥所增加的收益分别是:

m1=a1[f1(n)-f1(0)]-h1

=a1(-75.3222n2+92.8574n)-(b1n+p07b2+k07b3)

m2=a2[g1(n)-g1(0)]-h2

=a2(-36.5944n2+39.7175n)-(b1n+p17b2+k17b3)

于是效益模型就归结为要确定N肥的施用量n使得收益m1,m2达到最大。利用微分法不难求得最优解是:

当n=n1=92.8574a1-b1150.6444a1时,土豆的最大收益是:

m31=a1(-75.3222n21+92.8574n1)-(b1n1+p07b2+k07b3)(元/ha)。

当n=n2=39.7475a2-b73.1888a2时,生菜的最大收益是:

m32=a2(-36.5944n22+39.7175n2)-(b1n2+p17b2+k17b3)(元/ha)。

同样,对于单位面积上的土豆和生菜因施P肥或K肥所增加的收益也可以类似地讨论,此处就只对于单位面积上的土豆和生菜因施P肥所增加的收益进行讨论。收益函数分别是:

m′1=a1[f2(p)-f2(0)]-h′1=a1(-16.1179p2+24.5678p)-(n07b1+pb2+k07b3)

m′2=a2[g2(p)-g2(0)]-h′2=a2(-25.6089p2+41.5218p)-(n17b1+pb2+k17b3)

利用微分法不难求得最优解是:

当p=p1=24.5678a1-b232.2358a1时,土豆的最大收益是

m′31=a1[f2(p1)-f2(0)]-h′1

=a1(-16.1179p21+24.5678p1)-(n07b1+p1b2+k07b3)(元/ha)。

当p=p2=39.7175a2-b273.1888a2时,生菜的最大收益是

m′32=a2[g2(p2)-g2(0)]-h′2

=a2(-25.6089p22+41.5218p2)-(n17b1+p2b2+k17b3)(元/ha)。

1.2模型2

将土豆和生菜的产量都看成是N、P和K的三元函数设w1=f(n,p,k)和w2=g(n,p,k)分别是土豆和生菜的产量与三种肥料的施肥量之间的函数,这里用2次多项式来拟合这两个函数下面是用MATLAB软件求得的结果,利用实验数据在求拟合函数w1=f(n,p,k)和w2=g(n,p,k)时,发现只出现n,p,k及其乘幂项,而没有n,p,k交叉相乘的项。

w1=f(n,p,k)=-12.82+89.60n+28.79p+47.82k-72.26n2-20.04p2-28.73k2

w2=g(n,p,k)=-7.496+36.57n+31.24p+16.78k-33.67n2-16.06p2-12.79k2

其中0≤n,p,k≤1。拟合效果如下图所示。

1.2.1产量模型

易知,产量模型可归结为求函数w1=f(n,p,k)和w2=g(n,p,k)的最大值。用微分法或用MATLAB软件可以求出结果是:

当N、P和K的取值分别是n=0.62,p=0.72,k=0.83时,土豆的产量最大,最大值是45.1938(t/ha);

当N、P和K的取值分别是n=0.54,p=0.97,k=0.66时,生菜的产量最大,最大值是23.1291(t/ha)。

1.2.2效益模型

同模型1,当施用肥料所带来的收入比用于购买肥料的费用多时,就应该施肥。否则就不应该多施肥。设土豆和生菜的售价分别是a1和a2(元/t),N、P和K的售价分别中b1,b2,b3(元/kg)。当N、P和K的用量分别是n,p,k(kg/ha)时,土豆和生菜的产量分别是w1=f(n,p,k)和w2=g(n,p,k),而购买肥料的费用是h=b1n+b2p+b3k(元/ha),于是单位面积上的土豆和生菜因施肥所增加的收益分别是:

m1=[f(n,p,k)-f(0,0,0)]×a1-h

=[f(n,p,k)-f(0,0,0)]×a1-(b1n+b2p+b3k)

m2=[g(n,p,k)-g(0,0,0)]×a2-h

=[g(n,p,k)-g(0,0,0)]×a2-(b1n+b2p+b3k)

模型归结为:确定n,p,k的值,使上面两个函数分别达到最大值。用微分法可求得最优解分别是:

当N、P和K的取值分别是

n1=89.60a1-b1144.52a1,

p1=28.79a1-b240.08a1,

k1=47.82a-b357.46a1

时,土豆的产量最大,最大值是

m31=[f(n1,p1,k1)-f(0,0,0)]×a1-(b1n1+b2p1+b3k1)(t/ha);

当N、P和K的取值分别是

n2=36.57a2-b167.34a2,p2

=31.24a2-b232.12a2,

k2=16.78a2-b325.58a2

时,生菜的产量最大,最大值是

m32=[g(n2,p2,k2)-g(0,0,0)]×a2-(b1n2+b2p2+b3k2)(t/ha)。

2模型的检验与改进

为了检验效益模型的求解结果,需要知道土豆和生菜的销售价,还要知道肥料N、P、K 的销售价。不同的N肥价格相差较大,例如,按照当前的市场价格,碳酸氢铵平均价格为540(元/吨),尿素价格为1760(元/吨),钾肥的价格也有1700(元/吨)至2420(元/吨)不等的情况,而P肥的价格大致为400(元/吨)。在以下讨论中,我们假设N肥价格为b1=1.76(元/kg);P肥的价格为b2=0.4(元/kg);K肥的价格为b3=2.42(元/kg)。又设土豆和生菜的批发价分别为800(元/吨)和400(元/吨)。对于模型1的效益模型,利用上面的数据,可求得单位面积上的土豆和生菜施N 肥的最优解结果分别是:

n1=0.6164,m31=2.2892×104(元)和n2=0.5426,m32=4.3081×103(元)。

同样,可求得单位面积上的土豆和生菜施P肥的最优解结果分别是:

p1=0.7621,m31=7.4869×103(元)和p2=0.8107,m32=6.7296×103(元)。

从求解的结果上可以看到,对于施N肥的效益模型求解的结果与产量模型的求解结果差别不大,这是因为,在现有的实验数据范围内,肥料的成本相对于总收益来说很小。例如每公顷面积施用N肥的成本最多为471×1.76<1000元,相对于总收益来说可忽略不计。因此,可以认为效益模型的结果与产量模型的结果相同。

这个求解的结果与农民对农作物施肥时的作法是相符合的。事实上,农民在对农作物施肥时,都是从考虑如何使农作物的产量达到最大来确定施肥量的。

在模型1中,讨论一种肥料的用量与产量的关系时,其它两种肥料的用量都固定在第7种水平,模型求解的结果较合理,但这只是当固定其中某两种肥料的用量时,考虑施用第三种肥料的施用量的最优解。而产量与肥料的施用量的全局最优解应当是模型2的解。

通常,对于用拟合方法得到的函数,只有当自变量在包含实验数据点(这里指自变量部分)的某个范围(例如,以实验数据点为顶点的所有多面体的并集)内变化时,拟合函数才可能是较合理的,而对于自变量在这个实验数据点的范围外变化时的函数值则不一定合理。例如,模型2在拟合所得到的函数

w1=f(n,p,k)=-12.82+89.60n+28.79p+47.82k-72.26n2-20.04p2-28.73k2

w2=g(n,p,k)=-7.496+36.57n+31.24p+16.78k-33.67n2-16.06p2-12.79k2

中,常数项的值为负,这是不合理的,因为f(0,0,0)和g(0,0,0)表示不施肥时的产量,这些值都应当是非负才合理。但因为原点(0,0,0)并不在实验数据的范围内,因此拟合函数的这种情况是可以出现的。这时模型2中的效益模型就需要改进一下。这可以用两种方法来处理。第一种方法,就是直接将函数f(n,p,k)和g(n,p,k)在原点(0,0,0)的某个小的邻域内的值改为0即可。也就是分别用

f1(n,p,k)=max{f(n,p,k),0}

g1(n,p,k)=max{g(n,p,k),0}

代替原来的函数f(n,p,k)和g(n,p,k)。这样处理之后,模型2的最优解和最大收益的值不变。

第二种方法,因为N、P、K三种肥料是农作物生长的基本肥料要素,如果这三种肥料都不

施用,农作物的产量通常会很低,可近似地认为产量为0。因此,在拟合函数f(n,p,k)和g(n,p,k)时,我们在实验数据中增加一个点(0,0,0,0)(即表示当N、P、K三种肥料的施用量均为0时,土豆和生菜的产量也为0),这样拟合函数f(n,p,k)和g(n,p,k)时的结果是

f(n,p,k)=89.6n+6.352p+25.38k-72.26n2-20.04p2+39.27pk-28.73k2

g(n,p,k)=23.45n+31.24p+3.659k-33.67n2-16.06p2+22.96nk-12.79k2

可以看到,这样拟合出来的函数f(n,p,k)和g(n,p,k)在原点处的值都不会出现负数。另外,在这样拟合得到的函数f(n,p,k)和g(n,p,k)的表达式中,还出现了n,p,k交叉相乘的项。用这两个函数代替模型2中的f(n,p,k)和g(n,p,k)时一样可以进行讨论。此时,用MATLAB软件可求得最优解分别是:

当N、P和K的取值分别是:

n1=0.62-0.0069b1a1

,p1=1.789-0.0755b2a1-0.0516b3a1

,k1=1.6647-0.0516b2a1-0.0527b3a1

时,土豆的产量最大,最大值是

m31=f(n1,p1,k1)×a1-(b1n1+b2p1+b3k1)(t/ha);

当N、P和K的取值分别是

n2=0.572-0.0214b1a2-0.0192b3a2

,p2=0.9723-0.0311b2a2

,k2=0.6565-0.0192b1a2-0.0563b3a2

时,生菜的产量最大,最大值是

m32=g(n2,p2,k2)×a2-(b1n2+b2p2+b3k2)(t/ha)。

[参考文献]

[1]李庆扬,王能超,易大义.数值分析(第四版)[M].北京:清华大学出版社,施普林格出版社,2003:90-98.

[2]姜启源.数学模型(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1993:101-106.

[3]叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材(二)[M].湖南:湖南教育出版社,1997:82-86.

[4]萧树铁,姜启源.大学数学—数学实验[M].北京:高等教育出版社,2003:51-74.

[5]张志涌,杨祖樱等.MATLAB教程(R2006a—R2007a)[M].北京:北京航空航天大学出版社,2007:165-168&177-192.