高中数学暑期培优讲义数列部分答案
人教版高中数学高一培优讲义第7讲函数与方程
第7讲函数与方程 理清双基 1．函数的零点（非点） （1）函数零点的定义；对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数 ))((D x x f y ∈=的零点． （2）几个等价关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数 )(x f y =有零点。 （3）函数零点的判定（零点存在性定理）：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(++=a c bx ax y 的图象与零点的关系 >?0=?0 ++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点) 0,)(0,(21x x ) 0,(1x 无交点零点个数 2 1 无 3.二分法 定义：对于在区间],[b a 上连续不断，且满足0)()(高中数学数列专题大题训练
高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
高中数学数列综合专项练习讲义
高中数学数列综合专项 练习讲义 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
专题数 列综合 考点精要 会求简单数列的通项公式和前n 项和． 热点分析 数列的通项和求和，历来是高考命题的常见考查内容．要重点掌握错位相减法，灵活运用裂项相消法，熟练使用等差和等比求和公式，掌握分组求和法． 知识梳理 1.数列的通项求数列通项公式的常用方法： （1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、 数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。 （2）公式法：等差数列与等比数列。 （3）利用n S 与n a 的关系求n a ：则???≥-==-2111 n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ） （4）逐项作差求和法（累加法）；已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，则求n a 可用累加法 （5）逐项作商求积法（累积法）;已知 )2)((1 ≥=-n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，求n a 用累乘法. （6）转化法 2几种特殊的求通项的方法 （一）1n n a ka b +=+型。 （1）当1k =时，{}1n n n a a b a +-=?是等差数列，1()n a bn a b =++ （2）当1k ≠时，设1()n n a m k a m ++=+，则{}n a m +构成等比数列，求出{}n a m +的通项，进一步求出{}n a 的通项。 例：已知{}n a 满足111,23n n a a a +==-，求{}n a 的通项公式。
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高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n；
1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式
高中数学培优练习
数学培优练习 一．填空 1.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x y 1 =在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721= +y y ，3 5 12=-x x . 则=?AOB S （ ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14 132 2.使得381n +是完全平方数的正整数n 有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3.已知实系数一元二次方程x 2 +(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x 1,x 2,且0 ＜x 1＜1，x 2＞1， 则 a b 的取值范围 （ ） A -1＜a b 21-≤ B -1＜a b ＜21- C -2＜a b 21-≤ D -2＜a b ＜2 1 - 4. 图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( ) A.4+26+22 B. 2+26+22 C. 4+23 +42 D ．4+23+42 5. 点M （，），N （，）是所给函数图像上的点，则能使成立的函是 （ ） A ． B ． C ． 6.正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，则△DEK 的面积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ． 7.在抛物线2 x y =上任取一点A （非坐标原点O ），连结OA ，在OA 上取点B ，使OB= 3 1 OA ， 则顶点在原点且过点B 的抛物线的解析式为 （ ） 2-a 4-b b a >32+-=x y 4)3(22 ++-=x y x y 2 - =1)2(32--=x y 2
高中数学数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界 项， 即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶 奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有
高一数学讲义完整版
高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4.
启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 专题18 等比数列 一、单选题 1．（2020·陕西省高三三模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，342a a =，11a =，则4S =（ ） A ．31 B ．15 C ．8 D ．7 2.（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =（ ） A ．4 B ．6 C ．12 D ．16 3．（2020·江西省高三三模（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3240a S +=，则10a =（ ） A ．512- B ．512 C ．1024 D ．1024- 4．（2020·河南省高三月考（文））在等比数列{}n a 中，已知134a a =，9256a =，则8a =（ ） A ．128 B ．64 C ．64或64- D ．128或128- 5．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知等差数列{}n a 的公差为3,若134,,a a a 成等比数列,则2a 等于() A ．9 B ．3 C ．-3 D ．-9 6．（2020·湖北省高三三模（理））设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12342,20a a a a =++=，则5S =（ ） A ．2 B ．0 C ．2- D ．4- 7．（2020·福建省高二期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的4 5 .若这堆货物总价是425655n ?? - ??? 万元，则n 的值为（ ） 09级高三数学总复习讲义——数列概念 知识清单 1．数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示， 那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从 函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替 ()f n ，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列 项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 （5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递 推公式。 （6） 数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 课前预习 1．根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……； （2）2212-，2313-，2414 -，2515-； （3）11*2-，12*3，13*4-，1 4*5 。 2．数列{}n a 中，已知21 ()3n n n a n N ++-= ∈， （1）写出10a ，1n a +，2n a ； 考点1 复数 [玩前必备] 1．复数的有关概念 (1)定义： 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位) (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝?a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． 2．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R 3．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． (2)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． [玩转典例] 题型一 复数的概念 例1（2018?福建）若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1- 例2（2019江苏2）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是 . 例3（2015?湖北）i 为虚数单位，607i 的共轭复数为( ) A ．i B ．i - C ．1 D ．1- (2i)(1i)a ++i 例4【2016高考新课标理数1】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +( ) （A ）1 （B （C （D ）2 [玩转跟踪] 1.（2020届山东省烟台市高三模拟）设i 是虚数单位，若复数5i 2i ()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．1 D ．1- 2.已知复数 z = (m 2 - m - 2) + (m 2 - 3m + 2)i 是实数，则实数 m =_________ 3.（2020届山东省淄博市高三二模）已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i + D ．12i - 题型二 复数的代数运算 例5（2016?全国）复数2 2 (12)(2)i i -+的模为( ) A ．1 B ．2 C D ．5 例6（2020?梅河口市校级模拟）设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2i C ．1i -+ D ．0 例7【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足 11z z +-=i ，则|z|=( ) （A ）1 （B （C （D ）2 [玩转跟踪] 1.（2020届山东省潍坊市高三模拟一）如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ， 若12z zz =，则z 的共复数z =（ ） A ． 1322i + B ． 1322i - C ．1322 i - + D ．13 22i - - 2.（2020届山东省潍坊市高三模拟二）设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ），若12z i i i =+-，则z ＝（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155 i -- 题型三 复数的几何意义 ——教学资料参考参考范本——人教版最新高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)Word 版 ______年______月______日 ____________________部门 ———综合训练篇 一、选择题： 1． 在等差数列中，，则的值为 （ D ）{}n a 120 31581=++a a a 1092a a - A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 2．等差数列满足：，若等比数列满足则为（ B ） A ．16 B ．32 C ．64 D ．27{}n a 30,8531==+S a a {} n b ,,4311a b a b ==5b 3．等差数列中,则数列的前9项之和S9等于{} n a 1 a {a （ C ）A ．66 B ．144 C ．99 D ．297 4．各项都是正数的等比数列的公比q ≠1，且，，成等差数列，则为（A ） A ． B ． C ． D ．或{} n a 2a 321a 1 a 5 443a a a a ++2 15-215+2 51-2 1 5+215- 5.设等比数列的前项和为，若则（ B ）{}n a n n S ,33 6=S S = 69S S A. 2 B. C. D.3738 3 6．已知等差数列的前项的和为，且，，则过点和的直线的一个方向向 量的坐标是 ( B ){}n a n n S 210S =555S =(,) n P n a 2(2,)()n Q n a n N *++∈ A. B. C. D.1(2,)2 1(,2)2--1(,1) 2--(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且、、成等差数列，则 的值为（ C ） A ． B ． C ． D ．a 1b 1c 1a c c a +15941594±15341534 ± 8． 已知数列的通项则下列表述正确的是 ( A ){} n a ,1323211 ????????-??? ??? ? ? ??=--n n n a A ．最大项为最小项为 B ．最大项为最小项不存在,1a 3 a ,1a C ．最大项不存在，最小项为 D ．最大项为最小项为3 a ,1a 4a 9.已知为等差数列，++=105，=99.以表示的前项和，则使得达到最大 值的是（B ）{}n a 1a 3a 5a 246a a a ++n S {}n a n n S n A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 9．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ， 且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以为首项，为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为ai=(i=1，2，…，n)，设bn=2（2n+1）·3n －2·an ，且Cn=，Tn=C1+C2+…+Cn ，若 培优辅差计划 一.指导思想 为顺利完成本学年的教学任务，提高本学期的教育教学质量，根据我班学生的实际情况，围绕教学目标，除了认真备课、上课、批改作业、定期评定学生成绩、优质完成每一节课的教学外，应采取课内外培优辅差措施，争取让“好的吃的饱，让差的吃的着”。 二.差原因分析 1、不良的学习习惯。 学习困难学生通常没有良好的学习习惯，对学习缺乏兴趣，把学习当作完成父母教师交给的差事。他们一般贪玩，上课注意力不集中，自控能力差，较随便，上课不听讲，练习不完成，课前不预习，课后不复习，作业不能独立完成，甚至抄袭作业，拖拉作业常有发生，即使有不懂的问题也很少请教他人，不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习，他们对自己要求不高，甚至单纯为应付老师家长，学习并没有变成他们内在的需要。 2、环境因素。 家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素。父母的文化程度较低，期望水平低，他们大多缺乏辅导能力。有的家长对子女的教育方式简单粗暴，缺乏耐心；有的缺乏教育，缺少关心，放纵孩子，甚至认为读书无所谓，有的说：“我不识字不也过得很好。”这大大挫伤了孩子的上进心。有的家长长年在外打工，孩子在家无人管束……总之，家庭的文化氛围差，使学生的学习受到了干扰，造成了学习上的困难。 三.采取措施 1、培养良好的学习态度。 正确的学习态度是提高学习成绩的重要因素。学习态度端正的学生一般学习较为持久、认真，即使是自己不感兴趣的科目和内容，他也可以对它持比较积极的态度，克服困难，坚持学习。所以在激发学生兴趣的同时，要注重学生学习态度的培养。 2、优化课堂教学的手段。 学习困难学生的形成有一个过程。因此他们的转变也只能是逐步进行的，这是一个渐变的过程。教学由易到难，使学生层层有进展，处于积极学习状态。师生活动交替进行，多为学生提供自我表现的机会，对学生进步及时鼓励，发现问题即刻纠正。对待不同的学生采用不同的教学方法。 3、教育他们学会如何学习。 从某种意义上说，学习困难学生的最大困难是不知道如何学习，帮助他们学会如何学习的关键应该是掌握学习策略。应结合语文学科的知识特点，帮助他们掌握控制自己知觉、注意、记忆和思维活动的普通认知策略、解决本学科问题的特殊策略、反省认知策略和学习努力程度调控策略等，对学习困难学生改进学习肯定是有益的。 4、激发好奇心，引发求知欲。 在讲授教学内容之前，先提出一些与教学内容相关的实际生活问题，引起他们的好奇心。为学习困难学生创设问题情境，问题要小而具体，新颖有趣，有启发性，并有适当的难度，使他们“跳一跳摘到桃子”。引发学习困难学生的求知欲，也要注意知识的积累。他们的基础知识较差，只有当某一知识领域内的知识累 第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2, 高三数列专题训练二 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n n c a b =?，若对任意*n N ∈，求λ的取值范围． 4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =， 24b a =，313b a =． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 高中数学必修一函数培优题 集合与映射部分 1．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?，且1k A +?，那么称k 是A 的一个“孤立元”． 给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 6 2．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ???（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称 “p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”． 例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2, 4”，“2, 3”，其“顺序数”等于2． 若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是 ．6 3．对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）： 当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+，例如464610⊕=+=,373710⊕=+=； 当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=?，例如343412⊕=?=． 在上述定义中，集合(){} *|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有 个．15 4．设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数有 个．3 5．实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ① 对任意,,**a b R a b b a ∈=； ② 对任意,*0a R a a ∈=； ③ 对任意,,,(*)**()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-； 则0*2= ．2 6．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，*n ∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足： ⑴ 任取,,n i j A ∈若i j ≠，则()()f i f j ≠； ⑵ 任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈． 则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”． 例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”． ⑴ 已知f ：44A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）． 或 7．定义映射f A B →∶，其中(){}|A m n m n =∈R ，，，B =R ． 已知对所有的有序正整数对 ()m n ，满足下述条件： ① ()11f m =， ； ② 若m n <，()0f m n =，； ③ ()()()1,,,1f m n n f m n f m n +=+-???? 第55炼 数列中的不等关系 一、基础知识： 1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点 2、如何判断数列的单调性： （1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于n N * ∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N * ∈得到数列的单调性 （2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列） 3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的 {}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识 来进行处理。比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S L 等等。 4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S L ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。进而把问题转化成为判断n a 的符号问题 二、典型例题 例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设2n n n n c a λ?? =- ??? ，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围 解：（1）()113 30n n n n S n nS n S S n +++-+=? = 厦大附中高一数学培优专题（一） （2010-3-6/13） 知识要点梳理 本节公式中，,2a b c s ++=,r 为切圆半径，R 为外接圆 半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系 设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角A 、B 、C ． 1．角与角关系：A +B +C = π， 2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ， a － b < c ，b －c < a ，c －a < b ． 3．边与角关系： 正弦定理； R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理； c 2 = a 2+b 2－2ba cos C ， b 2 = a 2+ c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ． 它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b a B A =sin sin ， bc a c b A 2cos 2 22-+=． 3）射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ， b ＝a ·cos C ＋ c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋b ·cos A ． 4 ）面积公式：11sin 224a abc S ah ab C rs R ?===== （二）、关于三角形角的常用三角恒等式： 1.三角形角定理的变形 由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）． 而 2 22C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2 sin 2cos C B A +=． 2.常用的恒等式： （1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2 A cos 2 B cos 2 C ； （2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2 A sin 2 B sin 2 C ； （3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin 2 A sin 2 B cos 2 C ； （4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos 2 A cos 2 B sin 2 C ． 3．余弦定理判定法：如果c 是三角形的最大边，则有： a 2＋ b 2＞ c 2 ? 三角形ABC 是锐角三角形 a 2＋b 2＜c 2 ? 三角形ABC 是钝角三角形 a 2＋b 2=c 2 ? 三角形ABC 是直角三角形 (三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题
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