坐标与图形的变化
19.4 坐标与图形的变化
第1课时图形的平移与坐标变化
教学目标
【知识与技能】
1.了解坐标平面内平移点的坐标变化规律，会写出平移变化后点的坐标.
2.掌握图形平移与坐标变化的关系，能利用点的平移规律将平面图形进行平移；会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程.
【过程与方法】
1.通过坐标平面内, 点的坐标平移变化情况, 进一步提高学生抽象概括的能力.
2.通过坐标表示点的平移, 体会数形结合的思想.
【情感态度】
培养学生主动探索，敢于实践的创新精神，让学生学会主动寻求解决问题的途径，从成功中体会研究数学问题的乐趣，从而增强学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.
【教学重点】
掌握图形平移与坐标变化的关系.
【教学难点】
利用图形平移与坐标变化的关系解决实际问题.
教学过程
一、情境导入，初步认识
（课件展示）电脑游戏怪兽吃豆豆：图中怪兽要吃到图中的三个豆豆需做怎样的平移？平移以后的坐标是什么？自己设计几个豆豆的位置试一试？
【教学说明】结合八年级学生的好奇、好学、好动的特点，以电脑游戏为载体，展开所要研究的问题，进一步激发学生的求知欲，课件中的动画过程使数与形的关系可视化，有利于学生对问题的感知.
二、思考探究，获取新知
探究1 点的平移与坐标的变化在坐标平面上，一只蚂蚁从原点出发，爬行的路径如图所示.问题1写出A，B，C，D，E这5个点的坐标.
问题2指出蚂蚁在各条线段上爬行的方向和距离，并填写下表.
问题3在直角坐标系中，将一个图形沿坐标轴的方向平移时，各顶点的坐标是否有相同的变化规律？
【教学说明】在教师的指导下，学生通过画图、操作、思考、交流等过程，引导学生去探索、发现、归纳得出结论.经历从特殊到一般，有具体到抽象的探索过程，最终探索出点左右平移和上下平移的坐标变化规律，这样，学生动手实践，利用多种感官全方位参与探究知识的过程，给学生创设充分表现自己的时空，引导学生去探索、
发现、归纳.
【归纳结论】由此，我们可以推得：在平面直角坐标系中，对于坐标平面上任意一点P（x，y）.将它沿x轴的方向向右（或向左）平移k个单位长度，相当于这个点的横坐标增加（或减少）k，纵坐标不变，即点P（x，y）平移到点P’（x+k，y）（或（x-k，y））；将它沿y轴的方向向上（或向下）平移k个单位长度，相当于这个点的纵坐标增加（或减少）k，横坐标不变，
即点P（x，y）平移到点P’’（x，y+k）（或（x，y-k））.
探究2 图形的平移与坐标的变化如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD 各顶点的坐标分别为A（-2，1），B（2，1），C（2，3），D（-2，3）.
问题1 将长方形ABCD沿x轴的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A1B1C1D1. 请写出长方形A1B1C1 D1各顶点的坐标，并指出对应顶点坐标的变化规律.
问题2 在上图中，将长方形ABCD沿y轴的方向向下平移4个单位长度，画出平移后的长方形，写出其各顶点的坐标，并说出平移前后对应顶点的坐标是如何变化的.
问题3 在上图中，将长方形ABCD先沿x轴的方向向右平移6个单位长度，再沿y轴方向向下平移5个单位长度，画出平移后的长方形，写出其各顶点的坐标，并说出平移前后对应顶点的坐标是如何变化的.
【答案】1.将长方形ABCD沿x轴的方向向右平移5个单位长度，各顶点移动的方向一致，移动的距离都是5个单位长度.因此，平移后的长方形A1B1C1 D1，各顶点的坐标为：A1(3，1)，B1(7，1)，C1(7，3) ，D1，(3，3)，
顶点坐标的变化规律为：长方形A1B1C1 D1各顶点的横坐标是将长方形ABCD各顶点的横坐标都加5，纵坐标不变而得到的.2．A2(-2，-3)，B2(2，-3)，C2(2，-1) ，D2 (-2，-1)顶点坐标的变化规律为：长方形A2B2C2 D2 各顶点的纵坐标是将的纵坐标都减4，横坐标不变而得到的.
3.其顶点坐标依次为：A3（4，-4），B3（8，-4），C3（8，-2），D3（4，-2）.
顶点坐标的变化规律为：长方形A3B3C3D3各顶点的纵坐标是将长方形ABCD各顶点的纵坐标都减5，横坐标加6而得到的.
【教学说明】学生掌握点的平移与其坐标的变化关系后，将知识迁移到几何图形的平移上来，而图形的平移是建立在点平移的基础上的通过学生动手探索，利于学生对知识的理解与内化.用坐标表示图形平移时，往往通过某些特殊点的平移来解决，加强了学生对知识点间相互联系的认识.
【归纳】对一个图形进行平移，就是对这个图形上所有点的平移，因而这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.
三、典例精析，掌握新知
例1 一个正方形在平面直角坐标系内的位置如图所示，已知点A的坐标为（3，0），线段AC与BD的交点是M．
（1）写出点M、B、C、D的坐标；
（2）当正方形中的点M由现在的位置经过平移后，得到点M（-4，6）时，写出点A、B、C、D的对应点A′、B′、C′、D′的坐标．
分析（1）根据正方形的性质，结合直角坐标系，可得出点M、B、C、D 的坐标；（2）根据M、M'的坐标，可得出平移的规律，继而可得出点A、B、C、D的对应点A′、B′、C′、D′的坐标.
解：（1）点M（3，3），点B（6，3），点C（3，6），点D（0，3）．（2）点M（3，3），平移后的坐标为（-4，6），故可得平移是按照：向左平移7个单位，向上平移3个单位进行的，故A′（-4，3）、B′（-1，6）、C′（-4，9）、D′（-7，6）．
例2如图所示的直角坐标系中，已知四边形及点A、B、C、D的坐标分别是A（4，1），B（5，3），C（4，5），D（2，3）．
若将四边形ABCD先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到了四边形A1B1C1D1，请在方格中画出四边形A1B1C1D1，并写出A1 、B1 、C1 、D1的坐标．
分析（1）根据网格结构的特点找出平移后的点A、B、C、D的对应点A1 、B1 、C1 、D1的位置，然后顺次连接即可；（2）把四边形A1B1C1D1分成
两个三角形，然后结合网格结构求出这两个三角形的面积，相加即可．解：（1）如图所示，四边形A1B1C1 D1即为所求作的图形；点A1 、B1 、C1 、D1的坐标分别为：A1（7，3），B1（8，5），C1（7，7），D1（5，5）；
四、运用新知，深化理解
1. （四川绵阳中考）线段EF是由线段PQ平移得到的，点P（-1，4）的对应点为E（4，7），则点Q（-3，1）的对应点F的坐标为（）
A.（-8，-2）
B.（-2，-2）
C.（2，4）
D.（-6，-1）
2.（黑龙江牡丹江中考）如图，把ABC经过一定
的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的
坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的
对应点P′的坐标为（）
A.（-x，y-2）
B.（-x，y+2）
C.（-x+2，-y）
D.（-x+2，y+2）
3. 如图，△A′B′C′是由△ABC平移得到的，
已知△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后的
对应点为点P′（x0+5，y0-2）．
（1）已知点A（-1，2）、B（-4，5）、C（-3，0），请写出点A′、B′、C′的坐标；
（2）试说明△A′B′C′是如何由△ABC平移得到的？
4.如图所示，△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．
（1）将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，依次连接A1、B1、C1各点，所得△A1B1C1与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
（2）将△ABC三个顶点的纵坐标都减去4，横坐标不变，分别得到点A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
（3）将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标都减去4，分别得到点
A3、B3、C3，依次连接A3、B3、C3各点，所得△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
（4）求三角形A3B3C3的面积．
【教学说明】针对本节知识，设计了以上几道题，及时了解学生运用新知来解决问题的能力，查漏补缺.
【答案】1.C 2.B
3.解：（1）根据题意三角形ABC的平移规律为：向右平移5个单位，向下平移2个单位，则点A′的坐标为（-1+5，2-2）即（4，0），点B′的坐标为（-4+5，5-2）即（1，3），点C′的坐标为（-3+5，0-2）即（2，-2），（2）根据对应点的坐标平移规律即可得出：△ABC向右平移5个单位，向下平移2个单位得到△A′B′C′．
4. 解：（1）点A1（-1，3）、B1（-2，1）、C1（-4，2），所得△A1B1C1与△ABC的大小、形状完全一样，只是把△ABC向左平移了5个单位得到；（2）点A2（4，-1）、B2（3，-3）、C2（1，-2），所得△A2B2C2与△ABC 的大小、形状完全一样，只是把△ABC向下平移了4个单位得到；
（3）点A3（-1，1）、B3（-2，-3）、C3（-4，-2），所得△A3B3C3与△ABC 的大小、形状完全一样，只是把△ABC向下平移了4个单位，再向左平移5个单位得到；
（4）三角形A3B3C3的面积= ．
五、师生互动，课堂小结
学完本节课你有什么收获，谈谈自己的体会，最后师生共同总结归纳. 【教学说明】师生进行合作小结，体现了教学的民主性，学生通过自我评价，逐渐形成正确的价值观和科学的学习观，同时养成良好的反思习惯.通过总结，培养学生归纳、概括能力，有助于学生清理知识的脉络，使新旧知识形成体系，教师作为组织者与引导者.
作业
1.布置作业：从教材中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
自评
1.在探索点的坐标变化与平移间的关系时让学生经历一个由特殊到一般的归纳过程，让他们在参与中体验，在活动中发展并总结发现新的规律，给学生以体验成功的空间，激发他们学习的热情和积极性.
2.在探究图形上点的坐标变化与图形平移间的关系时，由于学生已经经历了分析点的坐标变化与平移间的关系，故此环节中安排学生独立进行探究活动,教师不再是讲台上的主角,而是作为知识海洋中的导游,引领学生亲自感受数学世界的神奇魅力.
3.在小结的设计上给学生一个充分从事数学活动的机会，也体现了学生是数学学习的主人的理念.让学生通过反思给自己打分分析自己知识掌握的情况，初步学会自我评价学习效果.
4.这节课难度不大，学生动手机会多，但感觉课堂上学生的热情没有被激发出来，气氛没有预想的热烈。
初一数学：图形平移及点的坐标变化汇总
中国专注k12在线教育的优质内容提供商 https://www.360docs.net/doc/7b19332756.html, 一、点的平移与点的坐标的变化 在平面直角坐标系内，将点()y x ,向右（或向左）平移a 个单位长度，可以得到对应点 ()y a x ,+（或()y a x ,-） ；将点()y x ,向上（或向下）平移a 个单位长度，可以得到对应点()a y x +,（或()a y x -,）。反之，亦成立。 二、图形的平移与点的坐标的变化 在平面直角坐标系内，如果一个图形的各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它的各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度。反之，亦成立。 平移中点的坐标的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减。反之，亦成立。根据此规律，可以求出平移后的点的坐标。 图形的平移只改变图形的位置（图形上所有点的坐标都要发生相应的变化），不改变图形的形状和大小。 例题1 在平面直角坐标系中，将点P （－2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是（ ） A. （2，4） B. （1，5） C. （1，－3） D. （－5，5） 解析：根据向右平移，横坐标加，向上平移，纵坐标加，求出点P′的坐标即可得解。 ∵点P （－2，0）向右平移3个单位长度， ∴点P′的横坐标为－2＋3＝1， ∵向上平移4个单位长度， ∴点P′的纵坐标为1＋4＝5， ∴点P′的坐标为（1，5）。 故选B 。 答案：B 点拨：本题考查了坐标与图形变化－平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键。 例题2 在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是A （－3，－2），B （1，2），将线段AB 平移后得到线段A′B′，若点A′坐标为（－2，2），则点B′的坐标为（ ） A. （2，6） B. （3，5） C. （6，2） D. （5，3）
坐标与图形的变化
19.4 坐标与图形的变化 第1课时图形的平移与坐标变化 教学目标 【知识与技能】 1.了解坐标平面内平移点的坐标变化规律，会写出平移变化后点的坐标. 2.掌握图形平移与坐标变化的关系，能利用点的平移规律将平面图形进行平移；会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程. 【过程与方法】 1.通过坐标平面内, 点的坐标平移变化情况, 进一步提高学生抽象概括的能力. 2.通过坐标表示点的平移, 体会数形结合的思想. 【情感态度】 培养学生主动探索，敢于实践的创新精神，让学生学会主动寻求解决问题的途径，从成功中体会研究数学问题的乐趣，从而增强学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心. 【教学重点】 掌握图形平移与坐标变化的关系. 【教学难点】 利用图形平移与坐标变化的关系解决实际问题. 教学过程 一、情境导入，初步认识 （课件展示）电脑游戏怪兽吃豆豆：图中怪兽要吃到图中的三个豆豆需做怎样的平移？平移以后的坐标是什么？自己设计几个豆豆的位置试一试？ 【教学说明】结合八年级学生的好奇、好学、好动的特点，以电脑游戏为载体，展开所要研究的问题，进一步激发学生的求知欲，课件中的动画过程使数与形的关系可视化，有利于学生对问题的感知. 二、思考探究，获取新知 探究1 点的平移与坐标的变化在坐标平面上，一只蚂蚁从原点出发，爬行的路径如图所示.问题1写出A，B，C，D，E这5个点的坐标.
问题2指出蚂蚁在各条线段上爬行的方向和距离，并填写下表. 问题3在直角坐标系中，将一个图形沿坐标轴的方向平移时，各顶点的坐标是否有相同的变化规律？ 【教学说明】在教师的指导下，学生通过画图、操作、思考、交流等过程，引导学生去探索、发现、归纳得出结论.经历从特殊到一般，有具体到抽象的探索过程，最终探索出点左右平移和上下平移的坐标变化规律，这样，学生动手实践，利用多种感官全方位参与探究知识的过程，给学生创设充分表现自己的时空，引导学生去探索、 发现、归纳. 【归纳结论】由此，我们可以推得：在平面直角坐标系中，对于坐标平面上任意一点P（x，y）.将它沿x轴的方向向右（或向左）平移k个单位长度，相当于这个点的横坐标增加（或减少）k，纵坐标不变，即点P（x，y）平移到点P’（x+k，y）（或（x-k，y））；将它沿y轴的方向向上（或向下）平移k个单位长度，相当于这个点的纵坐标增加（或减少）k，横坐标不变，
冀教版数学八年级下册 坐标与图形的位置与变化
第3讲坐标与图形的位置与变化 一、教学目标 1、能用点的坐标描述图形的形状。 2、理解点的坐标与位置的对应关系。 3．能够利用图形的变化与坐标变化之间的关系解决问题； 4．理解图形平移．轴对称．放大或缩小与坐标之间的关系。 二．知识点梳理 1．建立适当的直角坐标系 （1）根据已知条件建立坐标系的常用方法: ①以某已知点为原点． ②以图形中某线段所在直线为x轴(或y轴)． ③以已知线段中点为原点． ④以两直线交点为原点． ⑤利用图形的轴对称性把对称轴定为y轴等． 总之，原则就是使计算简便． （2）建立不同的直角坐标系，同一图形的顶点坐标也不同，应根据具体情况建立适当的直角坐标系． 注意事项 建立平面直角坐标系没有固定的模式，可根据具体情况灵活选择，但要尽量选择能比较简捷地表示图形上某些特殊点的坐标的方法． 2．用坐标描述图形形状 说明一个简单的平面图形的形状，就是设法说明图形中各个关键点(如顶点．圆心等)的位置，可先建立平面直角坐标系，在所建坐标系中求出关键点的坐标． 注意事项 （1）把图形放在直角坐标系中，图形上的点就有了相应的坐标，利用坐标可以描述图形的形状和大小。 （2）用坐标描述图形形状的依据是：坐标平面上的点与有序实数对是一一对应的，所 以描述的图形是唯一的．
3．图形的平移与图形上点的坐标变化 注意事项 由平移方向和平移距离能确定平移后图形上各点的坐标，由图形平移前后点的坐标能确定图形是如何变化的，图形的平移变化中，点的坐标变化规律是“右加左减，上加下减”。 4．图形的轴对称与图形上点的坐标变化 归纳总结 在平面直角坐标系，设点P 的坐标为()n m ,： （1）如果点P 1的坐标是()n m -,，那么点P 1与点P 关于x 轴对称； （2）如果点P 2的坐标是()n m ,-，那么点P 2与点P 关于y 轴对称。 5．图形的伸缩与坐标变化 将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘?? ? ??1,1＞或k k k ，所得图形的形状不变，各边扩大到原来的k 倍??? ? ?k 1或缩小为原来的，且连接各对应顶点的直线相交于一点。 归纳总结 当图形各顶点的坐标乘()1＞k k 时，图形对应边的长扩大到原来的k 倍，面积扩大为原图形面积
知识点4 坐标与图形的变化(含解析)
知识点4 坐标与图形的变化 知识链接 1、坐标与图形变化－－－对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，－y）． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（－x，y）． （3）关于直线对称 ①关于直线x=m对称，P（a，b）?P（2m－a，b） ②关于直线y=n对称，P（a，b）?P（a，2n－b） 2、坐标与图形变化－－－平移 （1）平移变换与坐标变化 向右平移a个单位，坐标P（x，y）?P（x+a，y） 向左平移a个单位，坐标P（x，y）?P（x－a，y） 向上平移b个单位，坐标P（x，y）?P（x，y+b） 向下平移b个单位，坐标P（x，y）?P（x，y－b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 3 坐标与图形变化－－－旋转 （1）关于原点对称的点的坐标．即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（－x，－y）．（2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 同步练习
1．（2014?大连）在平面直角坐标系中，将点（2，3）向上平移1个单位，所得到的点的坐标是（） A．（1，3）B．（2，2）C．（2，4）D．（3，3） 考点：坐标与图形变化－平移． 分析：根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加解答． 解答：∵点（2，3）向上平移1个单位， ∴所得到的点的坐标是（2，4）． 故选：C． 2．（2014?呼伦贝尔）将点A（－2，－3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 考点：坐标与图形变化－平移． 分析：先利用平移中点的变化规律(横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减) ，,求出点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B所处的象限． 解答：点A（－2，－3）向右平移3个单位长度，得到点B的坐标为为（1，－3），故点在第四象限． 故选D． 3．（2014?牡丹江）如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（） A．（－x，y－2）B．（－x，y+2）C．（－x+2，－y）D．（－x+2，y+2） 考点：坐标与图形变化－平移．
图形变换与坐标规律总结
图形变换与坐标规律总结 一、图形变换与坐标变化 点的坐标的变化与图形的变换的关系，通过点的坐标的变化可得到图形变换的规律．总结如下： 问题：在直角坐标系中描出点（1，2）、（2，6）、（3，2）、（4，6）、（5，2），并将各点用线段依次连接起来，观察所得的图形，你认为它是一个什么图形？ 解析：通过正确的作图可得，按题目的要求连接后，得到一个图形，如图1所示，这是一个“M”型。 图1 图2 变换1：将图1中的点A、B、C、D、E的纵坐标不变，横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点A1、B1、C1、D1、E1按题目中的连接方式连接，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？ 解析：点A1(2，2)，B1(4，6)，C1(6，2)，D1(8，6)，E1(10，2)，按要求连接起来如图2所示．和原图形比较，M字图被横向拉长为原来的2倍． 总结规律:(1)当纵坐标不变，横坐标变为原来的n(n>1)倍时，则图形被横向拉长原来n倍;(2)当横坐标不变，纵坐标变为原来的n(n>1)时，则图形被纵向拉长原来的n倍．（3）当横坐标、纵坐标分别变为原来的n(n>1)倍，则所得图形形状不变，大小变为原来的n2倍． 变换2:将图1中的点A，B，C，D，E的点横坐标不变，纵坐标都加上3，再将所得
A2，B2，C2，D2，E2点按题目的要求连接，所得的图形与原图形比较有什么变化? 解析:点A2(1，5)、B2(2，9）、C2(3，5）、D2(4，9）、E2(5，5）．按要求连接后，所得的图形如图3所示，与原来的图形相比，M字形大小、形状不变，而向上平移了3个单位长度． 图3 总结规律:（1）横坐标不变，纵坐标分别增加(或减少)n个单位长度，则图形向上(或向下)平移了n个单位长度．(n>0);(2)当纵坐标不变，横坐标分别增加(或减少)n个单位长度，则图形向右(或左)平移了n个单位长度．(n>0) 变换3:将图1中的点A，B，C，D，E的横坐标，纵坐标都乘以－1，再将所得A3，B3，C3，D3，E3点按题目的要求连接，所得的图形与原图形比较有什么变化? 图4 解析: A3(－1，－2）、B3(－2，－6）、C3(－3，－2）、D3(－4，－6）、E3(－3，－2）．所得的图形如图4所示，与原图形相比，M字形绕O点旋转了180度，即两个图形关于O
《坐标与图形的变化》习题
《坐标与图形的变化》习题 1.已知平面直角坐标系中有一线段AB,其中A(1 , 3)B(4, 5)，若A、E纵坐标不变，横坐 标扩大为原来的2倍，则线段AB ______ 向拉长为原来的_______ 倍，若点A、B纵坐标不变，横1 坐标变成原来的一，则线段AB _______ 向缩短为原来的________ . 2 2 •将△ ABC绕坐标原点旋转180。后，各顶点坐标的变化特征是_________________________ 3•在直角坐标系内，将坐标为(1, 1) , (2, 1) , (2, 2) , (1 , 2) , (1, 3) , (2, 3)的点依次边结起来，组成一个图形. ⑴每个点的纵坐标不变，横坐标乘以2,再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图 案与原图案相比有什么变化？ ⑵横坐标不变，纵坐标加3呢？ ⑶横坐标，纵坐标均乘以-1呢？ ⑷横坐标不变，纵坐标乘以-1呢？ 4 •请你把图中的三角小旗降到旗杆底部，并写出下降后小旗各顶点的坐标，你发现各点的横纵坐标发生了哪些变化？ 5.如果把电视屏幕看作一个长方形平面，建立一个直角坐标系，若左下方的点的坐标是(0, 0)，右下方的点的坐标是(32, 0)，左上方的点的坐标是(0, 28)，则右上方的点的坐标是_ 6•如图所示，作字母“ M”关于y轴的轴对称图形，并写出所得图形相应各顶点的坐标.
A y 7.如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△ OA i B i,第二次将厶OA I B I变换成△ 0 A2B2，第三次将△ OA2B2 变换成△ OA3B3,已知A(1, 3), A i(2, 3) , A2(4, 3) , A3(8, 3)；B I(4, 0)，B2(8, 0)，取16, 0). ⑴观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按次变化规律再将△OA3B3变换成△ 0 A4B4，则A4的坐标是，B4的坐标是. ⑵若按第⑴题找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△ OA n B n,比较每次变换中三角形 8.如图所示，铅笔图案的五个顶点的坐标分别是(0, 1) , (4, 1) , (5, 1. 5), (4, 2) , (0, 2) •将图案向下平移2个单位长度，画出相应的图案，并写出平移后相应的5个点的坐标. 9•⑴将图中三角形各点的横坐标都乘以-1,纵坐标不变，画出所得到的图形•你所画的图 形与原图形发生了什么变化？ ⑵若把原图中各点横坐标保持不变，纵坐标都乘以-2，画出所得到的图形，并说明该图与原 图相比发生了什么变化？
图形与坐标变换
图形与坐标变换 在数学和计算机图形学中，图形的展示离不开坐标变换。坐标变换 是一种将图形从一个坐标系转换到另一个坐标系的方法，在处理图形 的旋转、平移和缩放等操作时起到了至关重要的作用。本文将介绍常 见的图形坐标变换方法及其应用。 一、平移变换 平移变换是指将图形沿着坐标轴的方向平移一定的距离。平移变换 的数学表示为： ``` (x', y') = (x + dx, y + dy) ``` 其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是平移后的点的坐标，dx和dy分别是平移的水平和垂直距离。 平移变换在图形处理中常用于移动对象、实现图像的滚动以及图形 的布局调整等。通过修改坐标偏移量，可以将图形相对于原始位置进 行任意平移。 二、旋转变换 旋转变换是指将图形绕一个旋转中心点旋转一定的角度。旋转变换 的数学表示为： ```
x' = x * cosθ - y * sinθ y' = x * sinθ + y * cosθ ``` 其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是旋转后的点的坐标，θ是旋转的角度。 旋转变换常用于图像的翻转、旋转效果的实现以及物体在平面内的 旋转变化等。通过调整旋转角度，可以改变图形的朝向和角度。 三、缩放变换 缩放变换是指将图形按照比例因子进行放大或缩小。缩放变换的数 学表示为： ``` x' = x * sx y' = y * sy ``` 其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是缩放后的点的坐标，sx和sy分别是水平和垂直方向的缩放比例因子。 缩放变换常用于图像的放大和缩小、图形的形变效果实现以及物体 的大小调整等。通过调整缩放因子，可以改变图形的大小比例。 四、矩阵变换
坐标与图形的变化-平移
第19.4节“坐标与图形的变化---平移变化”教学设计 教学目标： 1.经历探索点沿坐标轴方向平移时坐标变化的规律的过程，掌握变化规律。 2.经历探究图形平移时各点变化规律的过程，并理解规律。 3.能利用平移规律，求出平移后点的坐标。 4.了解点的平移规律的逆用过程，适当拓展，激发兴趣。 教学重点：掌握点平移时坐标变化规律，能应用规律解决相关问题。 教学难点：点平移时，坐标变化规律的逆用。 教学过程 一、知识链接 在数轴上，点A对应的数为3。一只蚂蚁从点A出发，向右爬行5个单位对应的点B表示的数为。若继续向左爬行12个单位，对应的点C表示的数为（说出你的算式） 二、新知探究 （一、）探究活动一 （备注：）生独立探究。师生共同归纳总结规律。教师出示口诀， 生齐读。之后完成配套练习。 练习一：写出下列各点平移后对应点的坐标 ⑴点A（-2,3）向左平移5个单位得A′ ⑵点B(-1.5,-5)向右平移4个单位得B′ ⑶点C（-2，0）向上平移7个单位得C′ ⑷点D（-1，3）向下平移5个单位得D′ ⑸.将点A（-3，2）向下平移3个单位，再向右平移4个单位得点B， 则B点坐标是. ⑹.将点P（-1，-2）向左平移2个单位，再向上平移5个单位得点Q， 则点Q的坐标是. （二）探究活动二 （备注）1.第一问生口答并画图 2.第二三问生自主探究， 师生共同归纳规律。 3.生完成配套练习二 练习二：请完成课本46页练习2 （三）探究活动三 练习三：根据起点和终点的坐标，写出平移的过程 （1）由P（-2，3）平移到Q（3，-5）平移的过程是 （2）由M（4，-6）平移到N（-3，-1）平移的过程是 三、能力提升 1.已知△ABC，A(−3，4)，B(-6，-1)，C(−1，2),平移△ABC到△A1B1C1的位置，使点A1的坐标为(2，2)，则点B1的坐标为，点C1的坐标为________．若△ABC内一点P平移至△A1B1C1内对应点P1（3，-0.2），则P的坐标为。 2.阅读材料，解答问题 （1）已知两点A（-2，3）和点B（3,-4）,则由 A平移到B的过程是，画出 平移的路线，据此可得A,B两点间的距离为。 (2) 参考第（1）问的解题思路，你能解决下面的问题吗？ 用字母表示坐标平面上两点P(x1,y1)，Q（x2,y2) （备注： 四、课堂小结 1.师生共同小结本节知识点。 2.
19.4坐标与图形的变化
19。4坐标与图形的变化 第课时 理解点或图形的变化引起的坐标的变化规律,以及图形上点的坐标的平移变换的作用. 经历图形上点的坐标变化，培养学生的形象思维能力. 在观察、探究的过程中让学生获得发现的喜悦;体验数学活动中充满着探究和创造；引导学生敢于面对学习和生活中的困难和挫折。 【重点】 图形坐标变化与图形平移变换之间的关系。 【难点】 图形坐标变化与图形平移变换规律的探索. 【教师准备】课件1～6。 【学生准备】复习平移的概念和性质。
导入一： 让学生观察多媒体，一只小蚂蚁刚刚爬出洞口,它向东走了2厘米,你能说出它现在的位置吗?如果它向北走了2厘米，它的位置又在哪里呢?观察它们的变化,你能从中发现什么规律吗？ 学生观察多媒体，描述小蚂蚁的位置。 ［设计意图］通过问题吸引学生,激发学生学习兴趣，在描述小蚂蚁的位置时，学生会发现表达可能比较混乱，相互间的交流不是很方便,从而引出利用坐标的方法,将实际问题转化为数学问题。 探究1点的平移 [过渡语]在平面直角坐标系中，将一个图形进行平移，会使图形的位置发生变化.当一个图形的位置发生变化时,其顶点的坐标也相应地发生变化,它们是如何变化的呢？请看下面的问题。 思路一 【课件2】在坐标平面上，一只蚂蚁从原点出发，爬行的路径如图所示. (1)写出A，B,C,D，E这五个点的坐标. （2）指出蚂蚁在各条线段上爬行的方向和距离,并填写下表。 移动的路 径平移的方 向和距离 坐标的变化 横坐标纵坐标 O（0，0） → A（0,2）向上平移 2个单位 长度 不变加2 A（0,2） → B（) B（)→C（) C（)→D（)
D（）→ E() （3)观察各点的坐标变化，当P(x，y)沿x轴左右平移时坐标有什么变化？当点P（x,y)沿y轴上下平移时坐标有什么变化？ 【教师活动】指导学生讨论交流，让学生根据刚才的表格对探讨过的问题进行总结. 【学生活动】学生先独立思考,然后小组内讨论交换各自的意见和想法,达成共识。 【总结】点沿x轴平移时，纵坐标不变，横坐标左减右加；点沿y轴平移时，横坐标不变,纵坐标上加下减。 探究2图形的平移 [过渡语]在直角坐标系中,将一个图形沿坐标轴平移时，各顶点的坐标是否有相同的变化规律呢? 思路一 【课件4】 如图所示,在平面直角坐标系中，长方形ABCD各顶点的坐标分别为 A(—2,1),B(2，1)，C（2，3），D（-2，3）.将长方形ABCD沿x轴的方向向右平移5个单位长度,得到长方形A1B1C1D1.请写出长方形A1B1C1D1各顶点的坐标，并指出对应顶点坐标的变化规律. 【教师活动】引导学生分析图形的坐标变化是由点的变化得到的。 【学生活动】指出各顶点的坐标,探讨对应顶点坐标的变化规律. 解：将长方形ABCD沿x轴的方向向右平移5个单位长度,各顶点移动的方向一致，移动的距离都是5个单位长度.因此，平移后的长方形A1B1C1D1各顶点的坐标为A1（3,1），B1(7，1)，C1(7,3),D1(3,3)。 顶点坐标的变化规律为：长方形A1B1C1D1各顶点的横坐标是将长方形ABCD各顶点的横坐标都增加5，纵坐标不变而得到的。 ［设计意图］明确点的平移变化引起图形的位置发生变化,由点到图形上的点的变化,体现知识的迁移过程。 探究3深化理解，总结规律 ［过渡语］经过初步的探究,同学们理解了点和图形的平移特征,下面请同学们共同完成“做一做". 【课件6】
§24.6.2 图形的变换与坐标
§24.6.2 图形的变换与坐标 使用人： 一、学习目标 能根据图形的变换得到坐标的变换。 二、学习重难点 能根据图形的变换得到坐标的变换。 三、复习导学 1．△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，AC ＝5，建立直角坐标系，写出各顶点的坐标。 四、探索新知 2．你能画与△ABC 成轴对称的三角形吗?请画一个以直线BG 为对称轴的三角形。 如果以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，上述(1)的各顶点坐标为多少? 1．把三角形向右边移动3个单位，问： (1)这时三角形的位置发生了什么变化? (2)这时三角形的三个顶点的坐标有什么变化，写出它们这个位置时的三个顶点坐标。 (3)比较相应顶点的坐标，它们之间存在什么相同之处? 相应顶点的横坐标都增加了____个单位，而纵坐标都________。 2．把三角形向左平移4个单位后，以同样的问题回答。 发现相应顶点横坐标________________，纵坐标___________。 3．把三角形再变换一个位置后，向左、右两边平移，观察各对应顶点的坐标的变化。 问：由上述的几个变换过程，可以得到一个图形沿x 轴左、右平移，它们的纵坐标，横坐标各有什么变化? 它们的纵坐标都_________，横坐标_______。向右平移几个单位，横坐标就_______几个单位；向左平移几个单位，横坐标就_______几个单位。 4．若把这个三角形沿y 轴上、下平移呢? 它们的纵坐标都_________，横坐标_______。向上平移几个单位，纵坐标就_______几个单位；向下平移几个单位，纵坐标就_______几个单位。 思考：△AOB 关于x 轴的轴对称图形△OA ′B ，对应顶点的坐标有什么变化呢? 关于x 轴对称，由于O 、B 在对称轴上，其坐标不变，那么点 A 与对称点A ′关于x 轴对称，它们的横坐标______，纵坐标___________，这就得出关于x 轴对称的对称点的坐标的特点是：横坐标______，纵坐标__________。 △AOB 关于y 轴的轴对称图形△A l OB l ，对应顶点的坐标有什么变化? 得出关于x 轴或y 轴成对称的对应点的坐标的关系： 关于x 轴对称的对称点的横坐标_______，纵坐标_____________。 关于y 轴对称的对称点的纵坐标_______，横坐标_____________。 课本91面图18．5.7，△AOB 的各顶点坐标是什么?0(0，0)，A(2，4)，B(4，0)，缩小后得到的△COD ，各顶点的坐标是什么呢?O(0，0)，C(1，2)，D(2，0)，比较各对应顶点的坐标有什么呢?它们的横纵坐标都按比例缩小，这种变化与它们的相似比有什么关系呢? 线段AB 的两端点A(1，3)，B(2，－5)。 (1)把线段AB 向左平移2个单位，则点A 、B 的坐标为：A ＿＿B ＿＿。 (2)线段AB 关于x 轴对称的线段A ′B ′,则其坐标为：A ′＿，B ′＿。 (3)把线段AB 向上平移2个单位得线段A 1B l ，A l B l 关于y 轴对称的线段A 2B 2，那么点A 2的坐标为＿＿＿，点B 2的坐标为＿＿＿。 型：新授课 编号： 编写人：王为 审核组：数学组 审核人：谢 晴 姓名 班级 编写日期：2013.10.6 编号： 师生札记
图形的运动与坐标
例2．如图：△ABC的顶点坐标如图所示，A(2,3)，B(0,0)，C(4,0)，若A点经过平移到达点D(8,8)，问：△ABC经过怎样平移得到△DEF，并求其它两点的坐标？ 解：由题意得：△ABC经过向上平 移6个单位，向右平移5个单位得 到△DEF。平移后点E,点F的坐标 分别为E（6,5），F(10,5)。 二．旋转变换 1．定义：把平面图形F1绕一定点 旋转一个角度得到图形F2，则由 F1到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角。 旋转是由旋转中心，旋转方向和旋转角度决定的。 2．性质：旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等。对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 3．坐标的变换： 因旋转是由旋转中心，旋转方向和旋转角度决定的，这三个要素都具有随意性，所以旋转变换中，点的坐标变化情况要具体问题具体分析。 对图形的旋转中心在坐标原点，旋转角度是900，1800，2700，也是有一定规律可循的。 若将点A绕坐标原点逆时针旋转900到点B， 若将点A绕坐标原点顺时针或逆时针旋转1800到点B，即中心对称： 若将点A绕坐标原点逆时针旋转2700到点B， 例3．如图：△OAB的三个顶点的坐标为，A(0,4), B(-3,0), O(0,0)。 （1）求将它绕点O逆时针方向旋转90°后各顶点的坐标。 （2）求将它绕点O逆时针方向旋转180°后各顶点的坐标。 （3）求将它绕点O逆时针方向旋转270°后各顶点的坐标。 解:如图(1)A1(-4,0),B1(0,-3) (2)A2(0,-4),B2(3,0); (3)A3(4,0),B3(0,3);
九年级数学图形与坐标知识点分析
图形与坐标 情境切入 学海导航 完全解读知能点1、用坐标确定位置
知能点2、图形的变换与坐标 （一）平移变换与坐标变化 （1）点的平移 在平面直角坐标系中，将点(),x y 向右或向左平移()0a a >个单位长度，可以得到对应点(),x a y +或(),x a y -；向上或向下平移()0b b >个单位长度，可以得到对应点(),x y b +或(),.x y b - （2）图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数k ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移k 个单位长度；如果把它各点的纵坐标都加上（或减去）一个正数k ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移k 个单位长度. 反之，也成立，即 将一个图形向上（或向下）平移k 个单位后，其图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）k 个单位； 将一个图形向右（或向左）平移k 个单位后，其图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）k 个单位. （二）对称变换与坐标变化 （1）一个图形沿x 轴对折，则翻折前后两个图形的对应顶点坐标之间的关系是：横标相等,纵坐标互为相反数． （2）一个图形沿y 轴对折，则翻折前后两个图形的对应顶点坐标之间的关系是：横标互为相反数，横坐标相等．
（3）在同一直角坐标系中，一个图形绕原点旋转180°，旋转前后两个图形对应顶点之间的关系是：横坐标和纵坐标都互为相反数. （三）图形放大或缩小与坐标变化 在同一象限内，把一个图形放大或缩小，变换前后两个图形对应顶点之间的关系是：对应顶点的同名坐标的比等于相似比； 不在同一象限内，把一个图形放大或缩小，变换后的图形的顶点坐标可比照上述方法并结合图形求解. 友情提醒：（1）在直角坐标系中，求图形运动(就换)后的点的坐标．应先根据题意画出图形,利用图形的直观性求解; （2）求点的坐标应注意各象限内点的坐标的符号特征．特别是在坐标平面内放大(或缩小)的图形的点的坐标． 例3、如图，四边形ABCD 的坐标分别为()()()()6,6,8,2,4,0,2,4A B C D ----，画出它的一个以原点O 为位似中心，相似比为12 的位似图形. 思维点击：问题的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，根据前面的规律，点A 的对应点A’的坐标为116,622⎛ ⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭ ，即()3,3-，类似的，可以确定其他顶点的坐标.
24.坐标系中的图形变化
24 坐标系中的图形变换（课题探究） 阅读思考 图形变换是新增空间与图形中一个重要内容，在这一改革背景下，坐标系中的图形变换成为一类新型压轴题．这类问题把几何图形的变换性质与方程、函数的相关知识有机结合，把计算与证明恰当融合． 问题解决 例1 如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA =10，OC =6． （1）在AB 上取一点M ，使得△CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，并记作B ′，求B ′的坐标； （2）求折痕CM 所在直线的解析式； （3）作B ′G ∥AB 交CM 于G ，若抛物线216 y x m =+过点G ，求抛物线的解析式，并判断以原点O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点G 外是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标． 例2 在Rt △ABO 中，∠AOB =90°，∠ABO =30°，BO =4，分别以OA 、OB 边所在的直线建立平面直角坐标系，D 为x 轴正半轴上一点，以OD 为一边在第一象限内作等边△ODE ． （1）如图1，当E 点恰好落在线段AB 上，求E 点坐标； （2）在（1）问的条件下，将△ODE 在线段OB 上向右平移（如图2），图中是否存在一条与线段OO ′始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由． （3）若点O 从原点出发沿x 轴的正方向移动，设点D 到原点的距离为x ，△ODE 与△AOB 重叠部分面积为y ，请直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 例3如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心的⊙O 1，直线l ： y x =-A ，C 两点，点B 的坐标为（4，1） ，⊙B 与x 轴相切于点M ． （1）求点A 的坐标及∠CAO 的度数； （2）⊙B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负方向平移，同时，直线l 绕点A 顺时针匀速
中考数学热身练习《坐标与图形的变换》(含答案解析)
坐标与图形的变换 一、选择题 1．下列说法中正确的是（） A．是一个无理数 B．函数的自变量x的取值范围是x＞1 C．8的立方根是±2 D．若点P（﹣2，a）和点Q（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5 2．如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（） A．（1，7），（﹣2，2），（3，4）B．（1，7），（﹣2，2），（4，3）C．（1，7），（2，2），（3，4）D．（1，7），（2，﹣2），（3，3） 3．如图，已知△ABC的顶点B的坐标是（2，1），将△ABC向左平移两个单位后，点B 平移到B1，则B1的坐标是（） A．（4，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（1，0） 4．如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（）
A．（2，3）B．（﹣2，4）C．（4，2）D．（2，﹣4） 5．在平面直角坐标系中，将点A（1，2）的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，得到点A′，则点A和点A′的关系是 （） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．将点A向x轴负方向平移一个单位得点A′ 6．已知△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A点的坐标是（） A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1） 7．如图，把图1中的△ABC经过一定的变换得到图2中的△A′B′C′，如果图1中△ABC 上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图2中的对应点P′的坐标为（） A．（a﹣2，b﹣3） B．（a﹣3，b﹣2） C．（a+3，b+2）D．（a+2，b+3） 8．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为（）
坐标与图形变化之平移(解析版)
专题27 坐标与图形变化之平移 1．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 顶点坐标分别是()3,5，()0,3B ，()2,0C ． (1)把ABC 平移，使得点A 平移到点O ，在所给的平面直角坐标系中作出OB C ''△． (2)求出点B ′的坐标和平移的距离． 【答案】(1)见解析 (2)()3,2B '--，34 【分析】（1）根据题意由()A 3,5平移到()0,0O 得知△ABC 向左平移3个单位，再向下平移5个单位，将,B C 按照此平移方式进行平移即可求解． （2）根据平移方式或坐标系写出点的坐标，根据勾股定理求得平移距离． （1） 解：如图为所作的OB C ''△；
（2） 由()A 3,5平移到()0,0O 得知△ABC 向左平移3个单位，再向下平移5个单位， 所以()3,2B '--； 平移距离为223534+=． 【点睛】本题考查了平移作图，勾股定理求两点距离，掌握平移的性质以及勾股定理是解题的关键． 2．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC 的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)画出△ABC 关于x 轴的对称图形111A B C ∆； (2)将111A B C ∆向右平移4个单位长度得到222A B C ∆，请直接写出222A B C ∆各点坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)()21,4A -，()21,1B --，()23,2C - 【分析】（1）利用关于x 轴对称点的性质得出对应点。在顺次连接起来即可； （2）利用平移的性质得到对应点位置，从而可以写出相应点的坐标．
（1） 解：如图所示： ∴111A B C ∆即为所求； （2） 解：如图所示： ∴222A B C ∆即为平移后三角形，对应顶点坐标为()21,4A -，()21,1B --，()23,2C -． 【点睛】本题考查利用轴对称及平移的性质作图，根据轴对称与平移性质，准确找到对应点位置是解决问题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别为()4,3A ，()2,1B ，()3,0C ．将ABC 向左平移3个单位长度得到A B C '''． (1)作出A B C '''． (2)写出点A '，B '，C '的坐标．