探究图形位置关系

探究图形位置关系

例题1.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线；

（2）若DE =2，tan C =12

，求⊙O 的直径．

【思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放

进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD ，在△ABC 中OD 就是中位线，平行于BC 。所以利用垂直传递关系可证OD ⊥DE 。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC 是等腰三角形，从而将求AB 转化为求BD ，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】

（1）证明：联结OD ．

∵ D 为AC 中点， O 为AB 中点， ∴ OD 为△AB C 的中位线． ∴OD∥BC．

∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE 于点D. ∴ DE 为⊙O 的切线． （2）解：联结DB ． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°． ∴DB⊥AC． ∴∠CDB=90°. ∵ D 为AC 中点， ∴AB=AC．

在Rt△DEC 中，∵DE=2 ，tanC=12

， ∴EC=

4tan DE

C

=. （三角函数的意义要记牢） 由勾股定理得：

DC=在Rt△DCB 中，

BD=tan DC C ?= BC=5.

∴AB=BC=5. ∴⊙O 的直径为5.

例题2.已知：如图，圆O 为ABC ?的外接圆，BC 为圆O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作

AD BF ⊥于点D .

（1）求证：DA 为圆O 的切线；

（2）若1BD =，1

tan 2

BAD ∠=，求圆O 的半径.

【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。

题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA 平分∠CBF 。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA 之后发现∠ABD=∠ABC ，而OAB 构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO ，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD 通过等量关系放在△ABC 中，从而达到计算直径或半径的目的。

A A

F

C

【解析】证明：连接AO .

∵ AO BO =，

∴ 23∠=∠. ∵ BA CBF ∠平分，

∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ .

∴ DB ∥AO . （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行）

∵ AD DB ⊥,

∴ 90BDA ∠=?.∴ 90DAO ∠=?. ∵ AO 是⊙O 半径， ∴ DA 为⊙O 的切线.

（2）∵ AD DB ⊥,1BD =，1tan 2

BAD ∠=， ∴ 2AD =.

由勾股定理，得AB .

∴ sin 4∠=

.（通过三角函数的转换来扩大已知条件） ∵ BC 是⊙O 直径，

∴ 90BAC ∠=?.∴ 290C ∠+∠=?. 又∵ 4190∠+∠=?, 21∠=∠,

∴ 4C ∠=∠. （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin ∠BAD ） 在Rt△ABC 中，sin AB BC C ==sin 4

AB

∠=5. ∴ O 的半径为52

.

例题3.已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；

（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交

于点F ，且8BE =

，tan BFA ∠=，

求⊙O 的半径长.

【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD ，聪明的同学瞬间就能看出来BA 其实就是三角形OBD 中斜边OD 上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可

以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB 以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。

【解析】

（1）证明：连接OB . ∵,OA AB OA OB ==，

C

F

C

∴OA AB OB ==. ∴ABO ?是等边三角形.

∴160BAO ∠=∠=?.

∵AB AD =， ∴230D ∠=∠=?. ∴1290∠+∠=?.

∴DB BO ⊥ . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已） 又∵点B 在⊙O 上， ∴DB 是⊙O 的切线 . （2）解：

∵CA 是⊙O 的直径， ∴90ABC ∠=?. 在Rt ABF △中，5

tan AB BFA BF ∠==

, ∴设5,AB x =则2BF x =，

∴223AF AB BF x =+= .

∴

2

3

BF AF = . （设元的思想很重要） ∵,34C E ∠=∠∠=∠,

∴BFE ? ∽ AFC ?.

∴

2

3BE BF AC AF == . ∵8BE =, ∴12AC =. ∴6AO =.

总结: 经过以上例题解析，我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。近年来中考中这一种证明切线的思路是重点形式，但是事实上证明切线有三种方式。为以防遇到，还是希望学生能有所了解。

第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。例如圆外切三角形，或者圆与线段交点这样的。把握好各种圆的性质关系就可以了。

第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。

例如大家看这样一道题， 如图△ABC 中，AB=AC ，点O 是BC 的中点，⊙O 与AB 切于点D ，求证：⊙O 与AC 也相切。

该题中圆0与AC 是否有公共点是未知的，所以只能通过O 做AC 的

垂线，然后证明这个距离刚好就是圆半径。如果考生想当然认为有一个交点，然后直接连AC 与圆交点这样证明，就误入歧途了。

第三种是比较棘手的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。

例如看下面一道题：如图，中，AB=AC ，=，O 、D 将BC 三等分，以OB 为圆心画⊙O ，求证：⊙O 与AC 相切。

23

1F

E D

C

B

A 4O

本题中并未说明⊙O一定过A点，所以需要证明A是切点，同

时还要证明O到AC垂线的垂足和A是重合的，这样一来就非常麻

烦。但是换个角度想，如果连接AO之后再证明AO=OB，AO⊥AC，

那么就非常严密了。

（提示：做垂线，那么垂足同时也是中点，通过数量关系将AO，

BO都用AB表示出来即可证明相等，而△AOC中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角。）

总之，此类题目难度不会太大，所以需要大家做题性质定理熟悉，反应速度快，准确率高，为后面的代几综合体留出空间。