初中数学竞赛分式
初中数学竞赛分式
初中数学竞赛分式
一、引言
在数学竞赛中,分式是一个非常重要的知识点。分式是数学中一类重要的代数式,它的主要作用是用来表示两个数或两个式之间的关系。在解决数学竞赛中的问题时,理解和运用分式可以帮助学生找到解决问题的关键。本文将通过一些具体的例子,阐述如何利用分式来解决数学竞赛中的问题。
二、分式的概念和性质
首先,我们需要了解什么是分式。分式是一种代数式,由分子和分母组成,分子和分母都是整式。在分式中,分母相当于一个除数,因此分母不能为零,否则分式没有意义。此外,分式的值可以是一个具体的数,也可以是一个式子。
分式具有一些重要的性质,这些性质在解决数学竞赛问题时非常重要。首先,我们可以对分式进行约分,使得它的分子和分母没有公共因数。其次,分式在一定条件下可以化简,这可以帮助我们找到解决问题的关键。
三、利用分式解决数学竞赛问题
在数学竞赛中,许多问题都需要用到分式的概念和性质。下面我们通过几个具体的例子来说明如何利用分式来解决数学竞赛问题。
例1:已知两个正数的和为10,求这两个数的倒数之和的最小值。分析:这个问题需要用到分式的概念和性质。我们可以设这两个正数为a和b,它们的倒数之和为x,然后列出分式并化简。
解:设这两个正数为a和b,则它们的倒数之和为:
x = 1/a + 1/b
根据题意,可列出方程:
a +
b = 10
将方程两边同时乘ab,得到:
a^2 + b^2 = 10ab
将上式两边同时除以ab,得到:
(1/a)^2 + (1/b)^2 = 10
将上式两边同时加2,得到:
(1/a + 1/b)^2 = 12
开方后得到:
1/a + 1/b >= 2√(1/ab) = 2/√ab >= 2/√(10/2) = √5
所以,这两个数的倒数之和的最小值为√5。
例2:已知x、y、z为三个不等的正数,且满足xy=z,求(x^2+y^2)/(xy-z)的最小值。
分析:这个问题同样需要用到分式的概念和性质。我们可以将分式化简为(x^2+y^2)/xy - z/(xy)。然后根据已知条件xy=z进行代换,得到(x^2+y^2)/z - 1/(xy)。最后利用基本不等式求解。
解:根据题意,可列出xy=z的等式。将所求的分式化简为:
(x^2+y^2)/(xy-z) = (x^2+y^2)/xy - z/(xy) = (x^2+y^2)/z - 1/(xy) 根据基本不等式,可得:
(x^2+y^2)/z >= 2xy/z = 2z/z = 2 (当且仅当x=y时等号成立)
同理可得:1/(xy) >= 2/(xy) >= 2z/(xy) (当且仅当x=y时等号成立)
将上述两个不等式相加,得到:
(x^2+y^2)/z - 1/(xy) >= 2z/(xy) - 2z/(xy) = 0 (当且仅当x=y 时等号成立)
因此,(x^2+y^2)/(xy-z)的最小值为0。
第初中数学竞赛五讲有条件的分式的化简与求值(含答案)
第五讲 有条件的分式的化简与求值 给出一定的条件,在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值.而分式的化简与求值是紧密相连的,求值之前必须先化简,化简的目的是为了求值,先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略. 解有条件的分式化简与求值问题时,既要瞄准目标.又要抓住条件,既要根据目标变换条件.又要依据条件来调整目标,除了要用到整式化简求值的知识方法外,还常常用到如下技巧: 1.恰当引入参数; 2.取倒数或利用倒数关系; 3.拆项变形或拆分变形; 4.整体代入; 5.利用比例性质等. 例题求解 【例1】若 a d d c c b b a ===,则 d c b a d c b a +-+-+-的值是 . (第12届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 引入参数,利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系. 注:解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程.如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提,对巳知条件的运用有下列途径: (1)直接运用条件; (2) 变形运用条件; (3) 综合运用条件; (4)挖掘隐含条件. 在解某些含多个字母的代数式问题时,如果已知与未知之间的联系不明显,为了沟通已知与未知之间的联系,则可考虑引入一个参数,参数的引入,可起到沟通变元、消元的功能. 【例2】如果11=+ b a ,12=+ c b ,那么a c 2 +等于( ) A .1 B .2 C .3 D .4 (2002年全国初中数学联赛武汉选拔赛) 思路点拨 把c 、a 用b 的代效式表示. 【例3】已知1=xyz ,2=++z y x ,16222=++z y x ,求代数式 y zx x yz z xy 21 2121++ +++的值. (2003年北京市竞赛题) 思路点拨 直接通分,显然较繁,由x+y+z=2,得z=2-x -y ,x=2-y -z ,z =2-x -y ,从变形分母入手. 【例4】不等于0的三个数a 、b 、c 满足 c b a c b a ++= ++1 111,求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数.(天津市竞赛题) 思路点拨 要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数,即要证明(a+b)(b+c)(c+a)=0,使证明的目标更加明确. 【例5】 (1)已知实数a 满足a 2-a -1=0,求487-+a a 的值.
初中奥数讲义_分式方程(组)附答案
分式方程(组) 本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用. 【知识拓展】 分母里含有未知数的方程叫做分式方程.解分式方程组的基本思想是:化为整式方程.通常有两种做法:一是去分母;二是换元. 解分式方程一定要验根. 解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分.常见的思路有:取倒数法方程迭加法,换元法等. 列分式方程解应用题,关键是找到相等关系列出方程.如果方程中含有字母表示的已知数,需根据题竞变换条件,实现转化.设未知数而不求解是常见的技巧之一. 例题求解 一、分式方程(组)的解法举例 1.拆项重组解分式方程 【例1】解方程 6 4 534275--+ --=--+--x x x x x x x x . 解析 直接去分母太繁琐,左右两边分别通分仍有很复杂的分子.考虑将每一项分拆:如7 2 175-+ =--x x x ,这样可降低计算难度.经检验211=x 为原方程的解. 注 本题中用到两个技巧:一是将分式拆成整式加另一个分式;二是交换了项,避免通分后分子出现x .这样大大降低了运算量.本讲趣题引路中的问题也属于这种思路. 2.用换元法解分式方程 【例2】解方程 08 1318 218 1112 2 2 =--+ -++ -+x x x x x x . 解析 若考虑去分母,运算量过大;分拆也不行,但各分母都是二次三项式,试一试换元法. 解 令x 2 +2x —8=y ,原方程可化为 0151191=-+++x y y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=-5x . 故当y=9x 时,x 2 +2x —8=9x ,解得x 1=8,x 2=—1. 当y=-5x 时,x 2+2x —8=-5x ,解得x 3=—8,x 4=1. 经检验,上述四解均为原方程的解. 注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时,可通过换元将之简化. 3.形如a a x x 1 1+=+结构的分式方程的解法 形如a a x x 11+=+ 的分式方程的解是:a x =1,a x 12=.
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第四讲 分式运算的方法和技巧(含答案)
第四讲 分式运算的方法和技巧 趣题引路】 如何计算 1111223(1)n n ++⋅⋅⋅+⨯⨯+?通分?行不通!注意1111111,,,12122323(1)n n =-=-⋅⋅⋅⨯⨯+ 11.1n n = -+这叫做裂项,因此原式111111(1)()()1223111 n n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-= +++.从这里可以看出,分式的运算还有很多学问呢.本讲我们专门研究这一问题. 知识拓展】 分式的运算以分式的概念、分式的基本性质、运算法则为基础,其中分式的加减运算是难点,解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分,并以整式变形、因式分解为工具进行运算,通分一般有以下技巧: (1)等式中含有整式,其分母可看作1. (2)当分子的次数高于或等于分母次数时,可将其分离为整式与真分式之和. (3)先约分,后通分,可简化计算. (4)合理搭配,分组通分,化整为零 (5)拆项相消后通分. (6)分步通分,逐步计算 (7)换元通分法. 一、分步通分法 例1 计算424211 1111x x x x +++ +++- 解析 如一次性通分,最简公分母为1-x 8,可以预见计算量将非常大,注意到后两个分母:(1+x )(1-x )=1-x 2,因此采取各个“击破”法,后两个先通分. 解 原式=422422 111x x x ++ ++- =444411x x + +- = 881x - 点评:解题中既要看到局部特征,又要有全局考虑 二、裂项通分法
例2 (“五羊杯”竞赛题)计算: 222222()()()x yz y zx z xy x y z x yz x z x y zx x x y z xy +-++++--+++--- 解析 各分母相距甚远,似乎无从下手.考虑将每一分式拆成几个分式之和,化繁为简. 解 原式= ()()()()()() ()()()()()()x x z z x y y y x x y z z z y y z x x y x z y z y x z x z y -+++-++--++ +-++-+ =( )()()0x z y x z y x y x z y z y x z x z y ++-+-=+-++-+ 点评: 裂项需要很强的变形技巧:因式分解的熟练,添项减项的意识.数学技巧需要积累! 三、先约分再通分 例3 (江西竞赛题)计算: 3323232 2112(1) .2212211x x x x x x x x x x -+++-+++-+-- 解析 注意到第一个分母可以分解成(x 3+x 2)+(x 2+2x +1)=(x +1)(x 2+x +1),与分子有公因式,可以约分,这样就轻松了. 原式= 222222(1)(1)(1)(1)2(1)112(1) 0.(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)(1) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++-++-+++-=+-=+++--++-+-+- 四、换元通分法 例4 化简 222 ()()().()()()()()() y z z x x y x y x z y x y z z x z y ---++------ 解析 三个分母有关联,均与x 、y 、z 的差有关,若设法将分母换成单项式,计算量就小多了,换元试一试. 解设x -y =a ,y -z =b ,z -x =c ,则a +b +c =0. 所以 222 ()()().()()()()()() y z z x x y x y x z y x y z z x z y ---++------ = 2223333333 [()3()]33b c a a b c a b ab a b c c abc c ac ab bc abc abc abc +++-++-++++====------- 点评: 根据分式的特点选取道当的方法,往往事半功倍. 五、部分分式法
初中数学竞赛分式
初中数学竞赛分式 初中数学竞赛分式 一、引言 在数学竞赛中,分式是一个非常重要的知识点。分式是数学中一类重要的代数式,它的主要作用是用来表示两个数或两个式之间的关系。在解决数学竞赛中的问题时,理解和运用分式可以帮助学生找到解决问题的关键。本文将通过一些具体的例子,阐述如何利用分式来解决数学竞赛中的问题。 二、分式的概念和性质 首先,我们需要了解什么是分式。分式是一种代数式,由分子和分母组成,分子和分母都是整式。在分式中,分母相当于一个除数,因此分母不能为零,否则分式没有意义。此外,分式的值可以是一个具体的数,也可以是一个式子。 分式具有一些重要的性质,这些性质在解决数学竞赛问题时非常重要。首先,我们可以对分式进行约分,使得它的分子和分母没有公共因数。其次,分式在一定条件下可以化简,这可以帮助我们找到解决问题的关键。 三、利用分式解决数学竞赛问题
在数学竞赛中,许多问题都需要用到分式的概念和性质。下面我们通过几个具体的例子来说明如何利用分式来解决数学竞赛问题。 例1:已知两个正数的和为10,求这两个数的倒数之和的最小值。分析:这个问题需要用到分式的概念和性质。我们可以设这两个正数为a和b,它们的倒数之和为x,然后列出分式并化简。 解:设这两个正数为a和b,则它们的倒数之和为: x = 1/a + 1/b 根据题意,可列出方程: a + b = 10 将方程两边同时乘ab,得到: a^2 + b^2 = 10ab 将上式两边同时除以ab,得到: (1/a)^2 + (1/b)^2 = 10 将上式两边同时加2,得到: (1/a + 1/b)^2 = 12 开方后得到:
初中数学竞赛:分式方程及其应用
初中数学竞赛:分式方程及其应用 【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤: (1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程; (2)解这个整式方程; (3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否等于零,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去,但对于含有字母系数的分式方程,一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得的解是否为原方程的根,以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 解方程:x x x --+=121 1 分析:首先要确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根 解:方程两边都乘以()()x x +-11,得 x x x x x x x x x 222211121232 32 --=+---=--∴==()()(), 即, 经检验:是原方程的根。 例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 分析:直接去分母,可能出现高次方程,给求解造成困难,观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1,而分子也有这个特点,因此,可将分母的值相差1的两个分式结合,然后再通分,把原方程两边化为分子相等的两个分式,利用分式的等值性质求值。 解:原方程变形为: x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分,得
1671236723836 92 ()()()()()()()() x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验:原方程的根是x =- 92。 例3. 解方程:121043323489242387161945 x x x x x x x x --+--=--+-- 分析:方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数式之和。 解:由原方程得:3143428932874145 - -++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=--- 于是,所以解得:经检验:是原方程的根。 189861810878986810871 1()()()() ()()()() x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程:612444444 0222 2y y y y y y y y +++---++-=2 分析:此题若用一般解法,则计算量较大。当把分子、分母分解因式后,会发现分子与分母有相同的因式,于是可先约分。 解:原方程变形为:62222222022 2 ()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分,得62222202 y y y y y y +-+-++-=()() 方程两边都乘以()()y y +-22,得 622022 ()()y y y --++= 整理,得经检验:是原方程的根。216 8 8y y y =∴==
八年级数学竞赛例题分式的化简与求值专题讲解
八年级数学竞赛例题分式的化简与求值专题讲解 专题07分式的化简与求值 阅读与思考 给出一定的条件,在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值.而分式的化简与求值是紧密相连的,求值之前必须先化简,化简的目的是为了求值,先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略. 解有条件的分式化简与求值问题时,既要瞄准目标.又要抓住条件,既要根据目标变换条件.又要依据条件来调整目标,除了要用到整式化简求值的知识方法外,还常常用到如下技巧: 1.恰当引入参数; 2.取倒数或利用倒数关系; 3.拆项变形或拆分变形; 4.整体代入; 5.利用比例性质等. 例题与求解 【例l】已知,则代数式的值为. (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路:目前不能求出的值,但可以求出,需要对所求代数式变形含“”. 【例2】已知一列数且,,
,则为() A.648B.832C.1168D.1944 (五城市联赛试题) 解题思路:引入参数,把用的代数式表示,这是解决等比问题的基本思路. 【例3】. 求. (宣州竞赛试题) 解题思路:观察发现,所求代数式是关于的代数式,而条件可以拆成的等式,因此很自然的想到用换元法来简化解题过程. 【例4】已知求的值. (上海市竞赛试题) 解题思路:注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组,考虑取倒数,将方程组化为简单的形式. 【例5】不等于0的三个正整数满足,求证:中至少有两个互为相反数.解题思路:中至少有两个互为相反数,即要证明. (北京市竞赛试题) 【例6】已知为正整数,满足如下两个条件:① ②.求证:以为三边长可以构成一个直角三角形. 解题思路:本题熟记勾股定理的公式即可解答. (全国初中数学联赛试题)
初中数学竞赛中的分式问题
初中数学竞赛中的分式问题 分式是竞赛的热点之一,本文就近年来各地数学竞赛中与分式有关的问题作一简单的归纳。 一、有无意义及值为0等问题 例1 已知()()1 |x |1x 8x -+-的值为0,则x 的值为 A. 1± B. –1 C. 8 D. –1或8 解析:由分子为0,得8x =或1x -=;由分母不为0,得1x ±≠,故8x =。选C 。 例2 如果对于任何实数x ,分式 c x 2x 12++-总有意义,则c 的取值范围是_________。 解析:要使分式总有意义,必须分母总不为0,由()c 11x c x 2x 22++--=++-,可知当0c 1<+时,总有()0c 11x 2 <++--,故1c -<。 二、化简问题 例3 化简:222222n m n m n m mn 21n m n m n m mn 211⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=( ) A. ()2n m mn 4+ B. ()2n m mn 2+ C. 2 D. 0 解析:原式=1()()()()()22222222 222n m mn 4n m n m 1n m n m n m n m n m n m n m n m +=+--=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+⋅+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅++-,选A 。 评注:本题为选择题,利用特殊值法较为简便,例如可取2m =,1n =,代入原式和选择支进行检验,易知应选A 。 三、分式性质问题 例4 已知a 、b 、c 、d 都是正数,且d c b a >,则d c d b a b A +-+=与0的大小关系是 A. 0A > B. 0A ≥ C. 0A < D. 0A ≤ 解析:()() d c b a ad bc A ++-=。 再考虑已知条件的利用,由>b a d c 及a 、b 、c 、 d 均为正数,得bc ad >,因()()0d c b a >++,故0A <,选C 。 四、拆分问题 例5 已知()()()2 22x C 2x B 1x A 2x 1x 3x ++++-=+-+,其中A 、B 、C 为常数,则A=_____,B=______,C=______。 解析:把一个分式拆分为若干个分式的和,是分式常用的恒等变形。可以通过对x 取特
2020年初中数学竞赛讲义:分式恒等变形
2020年初中数学竞赛讲义:分式恒 等变形 一、分式恒等变形 (1) 第1 页共6 页
第 1 页 共 6 页 一、 分式恒等变形 1. (1993年全国初中数学联赛1试)当x 变化时,分式22365 112 x x x x ++++的最小值是____________. 【难度】 ★★ 【解析】 4 22222236561210226612422(1)112 x x x x x x x x x x x ++++==-=-++++++++ ∴当1x =-时,公式取最小值4. 2. (1994年全国初中数学联赛1试)若在关于x 的恒等式 222Mx N c x x x a x b +=-+-++中, 22 Mx N x x ++-为最简分式,且有a b >,a b c +=,则N =_________. 【难度】 ★★ 【解析】 4- ∵()()2212x x x x +-=-+,且a b >, 所以,取2a =,1b =-,从而1c a b =+=. 因此, 221121 Mx N x x x x +==+-+-. 在上式中,令0x =,得4N =-. 3. (1996年全国初中数学联赛1试)实数a ,b 满足1ab =,记1111M a b =+++,11a b N a b = +++,则M ,N 的关系为() A .M N > B .M N = C .M N < D .不确定 【难度】 ★★ 【解析】 B 1111b a M a b b ab a ab =+=+++++, 又由1ab =,得到11 b a M N b a =+=++. 选B . 4. (2000年全国初中数学联赛1试)设a ,b 是不相等的任意正数,又21b x a +=,21a y b +=,则x ,y 这两个数一定() A .都不大于2 B .都不小于2