2022届新高考版数学小题狂练01(含解析)

小题专练01

函数、导数与不等式(A)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求

的.

1.(考点:函数的定义域,★)函数f (x )=√3-x

+lg (2x +3)的定义域是( ).

A .(-3

2,3)

B .(-∞,3)

C .(-3

2,+∞)

D .(-3,-3

2)

2.(考点:导数的几何意义,★)若曲线y=f (x )=1

2x 2+ax+b 在点(4,f (4))处的切线方程是2x-y+1=0,则( ). A . a=10,b=1

B . a=-2,b=-9

C . a=-2,b=9

D . a=2,b=-9

3.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,★★)已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递减,则满

足f (3x-1)

3

)

B .(-∞,-7

3

)∪(3,+∞)

C .(-7

3

,3)

D .(-∞,-3)∪(7

3

,+∞)

4.(考点:函数的图象,★★)函数f (x )=x 3

2x -4的图象大致为( ).

5.(考点:函数的零点,★★)已知函数f (x )={2x +6,x ≤0,

x 2-2x +4,x >0.

若函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点,则实数m 的

取值范围为( ). A .(3,4)

B .(-4,-3)

C .[3,4]

D .(3,6)

6.(考点:均值不等式,★★)设a>0,b>0,若9是3a 与3b 的等比中项,则4a +1b

的最小值为( ). A .4

B .2

C .3

4

D .9

4

7.(考点:利用导数研究函数的单调性,★★★)若函数f (x )=kx-sin x 在区间(-π6,π

3)上单调递增,则实数k 的取值

范围是( ). A .[1,+∞)

B .[-1

2,+∞)

C .(1,+∞)

D .(1

2,+∞)

8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知奇函数f (x )的导函数为f'(x ),当x>0时,f'(x )+2f (x )x

>0.若

a=1

e2f(-1

e

),b=1

4

f(-1

2

),c=f(-1),则a,b,c的大小关系为().

A. a

B. c

C. c

D. a

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对

的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:不等式的综合应用,★)已知p:1

x-1

>1,则p成立的一个必要不充分条件可以是().

A.1

B.-2

C.-2

D.-3

10.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是().

A.f(x)=ln(√1+4x2-2x)

B.f(x)=e x+e-x

C.f(x)=x2+5

D.f(x)=cos x

11.(考点:均值不等式,★★)已知正实数x,y满足x+2y=1,则1

x +1

y

可能的值为().

A.3

B.6

C.7

D.9

12.(考点:导数的应用,★★★)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f'(x),g'(x)分别为其导函数,当

x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0且g(-5)=0,则使得不等式f(x)·g(x)<0成立的x的值可以是().

A.-6

B.-4

C.4

D.6

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:函数的基本性质,★★)函数f(x)=lo g1

2

(-x2-2x+3)的单调递增区间是,值域是. 14.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=x2+4(a+2)x+3在(-∞,4]上不是单调函数,则实数a的取值范围

是.

15.(考点:均值不等式,★★)函数y=log a(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,

其中m, n均大于0,则1

m +1

n

的最小值为.

16.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)已知函数f(x)=1

3

x3+2x2-5x+2的极大值为a,极小值为b,则a+b= .

答案解析：

函数、导数与不等式(A)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求

的.

1.(考点:函数的定义域,★)函数f (x )=√3-x

+lg (2x +3)的定义域是( ).

A .(-3

2,3)

B .(-∞,3)

C .(-3

2,+∞)

D .(-3,-3

2)

【解析】要使函数有意义,则{3-x >0,2x +3>0,即{

x <3,x >-32,即-3

2

2,3).

故选A . 【答案】A

2.(考点:导数的几何意义,★)若曲线y=f (x )=1

2x 2+ax+b 在点(4,f (4))处的切线方程是2x-y+1=0,则( ). A . a=10,b=1

B . a=-2,b=-9

C . a=-2,b=9

D . a=2,b=-9

【解析】因为f (x )=1

2x 2+ax+b ,所以f'(x )=x+a ,由题可知f'(4)=2,所以a=-2. 又切点坐标(4,f (4))满足切线方程2x-y+1=0,f (4)=b ,所以8-b+1=0,解得b=9. 故选C . 【答案】C

3.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,★★)已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递减,则满

足f (3x-1)

3

)

B .(-∞,-7

3

)∪(3,+∞)

C .(-7

3

,3)

D .(-∞,-3)∪(7

3

,+∞)

【解析】因为f (x )是定义在R 上的偶函数, 所以f (3x-1)8, 所以3x-1<-8或3x-1>8, 解得x<-7

3或x>3,

故x 的取值范围为(-∞,-7

3)∪(3,+∞).故选B . 【答案】B

4.(考点:函数的图象,★★)函数f (x )=x 3

2x -4的图象大致为( ).

【解析】由题意,函数f (x )=x 32x -4

的定义域为{x|x ∈R,x ≠2},排除A;又f (1)<0,排除C;f (-1)>0,排除D.故选B .

【答案】B

5.(考点:函数的零点,★★)已知函数f (x )={2x +6,x ≤0,

x 2-2x +4,x >0.

若函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点,则实数m 的

取值范围为( ). A .(3,4)

B .(-4,-3)

C .[3,4]

D .(3,6)

【解析】函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点等价于函数y=f (x )与y=m 的图象有三个不同的交点,

作出函数f (x )的图象如图所示.

函数y=m 的图象为水平的直线,由图象可知,当m ∈(3,4)时,两函数的图象有三个不同的交点,即函数g (x )有三

个不同的零点.故选A . 【答案】

A

6.(考点:均值不等式,★★)设a>0,b>0,若9是3a 与3b 的等比中项,则4a +1

b 的最小值为( ). A .4

B .2

C .3

4

D .9

4

【解析】因为9是3a 与3b 的等比中项, 所以3a ·3b =3a+b =92,即a+b=4, 所以4a +1b =1

4(a+b )(4

a +1

b )=54+1

4

4b a +a

b

≥54+14×4=9

4, 当且仅当4b a =a

b ,即a=8

3,b=4

3时,等号成立,

所以4a +1b

的最小值为9

4

.

故选D . 【答案】D

7.(考点:利用导数研究函数的单调性,★★★)若函数f (x )=kx-sin x 在区间(-π6,π

3

)上单调递增,则实数k 的取值

范围是( ). A .[1,+∞)

B .[-1

2,+∞)

C .(1,+∞)

D .(1

2

,+∞)

【解析】由题意可得f'(x )=k-cos x ,因为f (x )在(-π6,π

3)上单调递增,所以f'(x )≥0在(-π6,π

3)上恒成立,即f'(x )min =k-1

≥0,所以k ≥1.故选A . 【答案】A

8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知奇函数f (x )的导函数为f'(x ),当x>0时,f'(x )+

2f (x )x

>0.若

a=1

e 2

f (-1

e ),b=1

4f (-1

2),c=f (-1),则a ,b ,c 的大小关系为( ). A . a

B . c

C . c

D . a

【解析】令g (x )=x 2f (x ),则g'(x )=2xf (x )+x 2f'(x ).

由题意可知当x>0时,2xf (x )+x 2f'(x )>0,即当x>0时,g'(x )>0,所以函数g (x )在(0,+∞)上单调递增.

又函数f (x )为奇函数,所以g (-x )=(-x )2·f (-x )=-x 2·f (x )=-g (x ),所以函数g (x )为奇函数,所以当x<0时,函数g (x )单调

递增.

因为-1

e >-1

2>-1,所以g (-1

e )>g -1

2>g (-1),所以a>b>c. 【答案】B

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对

的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:不等式的综合应用,★)已知p :1x -1

>1,则p 成立的一个必要不充分条件可以是( ). A .1

D .-3

【解析】由

1x -1

>1⇔

x -2x -1

<0⇔(x-1)(x-2)<0⇔1

要不充分条件. 【答案】BCD

10.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是( ). A .f (x )=ln(√1+4x 2-2x )

B .f (x )=e x +e -x

C .f (x )=x 2+5

D .f (x )=cos x

【解析】由题意,易知A,B,C,D 四个选项中的函数的定义域均为R,

对于选项A,f(-x)+f(x)=ln(√1+4x2+2x)+ln(√1+4x2-2x)=0,则f(x)=ln(√1+4x2-2x)为奇函数,故选项A不符合题意;

对于选项B,f(-x)=e-x+e x=f(x),即f(x)=e x+e-x为偶函数,当x∈(0,+∞)时,设t=e x(t>1),则y=t+1

t

,由对勾函数的性质可

得,y=t+1

t

在t∈(1,+∞)时是增函数,又t=e x单调递增,所以f(x)=e x+e-x在(0,+∞)上单调递增,故选项B符合题意;

对于选项C,f(-x)=(-x)2+5=x2+5=f(x),即f(x)=x2+5为偶函数,由二次函数的性质可知f(x)=x2+5在(0,+∞)上单调递增,故选项C符合题意;

对于选项D,由余弦函数的性质可知y=cos x是偶函数,但不在(0,+∞)上单调递增,故选项D不符合题意.

综上,BC正确.

【答案】BC

11.(考点:均值不等式,★★)已知正实数x,y满足x+2y=1,则1

x +1

y

可能的值为().

A.3

B.6

C.7

D.9

【解析】因为x,y都为正实数,所以1

x +1

y

=x+2y

x

+x+2y

y

=3+2y

x

+x

y

≥3+2√2y

x

·x

y

=3+2√2(当且仅当2y

x

=x

y

,即x=

√2y时取等号),显然6>3+2√2,7>3+2√2,9>3+2√2,故选项B,C,D符合题意.

【答案】BCD

12.(考点:导数的应用,★★★)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f'(x),g'(x)分别为其导函数,当

x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0且g(-5)=0,则使得不等式f(x)·g(x)<0成立的x的值可以是().

A.-6

B.-4

C.4

D.6

【解析】∵f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),

令h(x)=f(x)·g(x),则h(-x)=-h(x),

故h(x)=f(x)·g(x)为定义在R上的奇函数.

∵当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0,

即当x<0时,h'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0,

∴h(x)=f(x)·g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,

∴奇函数h(x)在区间(0,+∞)上也单调递减,

如图,∵g(-5)=0,

∴g(5)=0,

∴h(-5)=h(5)=0,

∴当x∈(-5,0)∪(5,+∞)时,h(x)=f(x)·g(x)<0.

故选BD.

【答案】BD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:函数的基本性质,★★)函数f(x)=lo g1

2

(-x2-2x+3)的单调递增区间是,值域是. 【解析】令t=-x2-2x+3,则由-x2-2x+3>0,可得-3

又因为y=lo g1

2t为减函数,而函数t=-x2-2x+3在区间(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.故f(x)=lo g1

2

(-x2-2x+3)

在区间(-3,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增.

易知t=-x2-2x+3在区间(-3,1)上的值域为(0,4],故f(x)=lo g1

2

t的值域为[-2,+∞).

【答案】(-1,1)[-2,+∞)

14.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=x2+4(a+2)x+3在(-∞,4]上不是单调函数,则实数a的取值范围

是.

【解析】由题意可得,f(x)图象的对称轴为直线x=-2(a+2),且满足-2(a+2)<4,解得a>-4.

故实数a的取值范围为(-4,+∞).

【答案】(-4,+∞)

15.(考点:均值不等式,★★)函数y=log a(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,

其中m, n均大于0,则1

m +1

n

的最小值为.

【解析】由题意可得点A(4,2),代入mx+ny-2=0得4m+2n-2=0,即2m+n=1.

所以1

m +1

n

=(1

m

+1

n

)(2m+n)=3+n

m

+2m

n

≥3+2√n

m

·2m

n

=3+2√2,当且仅当n

m

=2m

n

,即m=1-√2

2

,n=√2-1时等号成立.

【答案】3+2√2

16.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)已知函数f(x)=1

3

x3+2x2-5x+2的极大值为a,极小值为b,则a+b= .

【解析】∵f(x)=1

3

x3+2x2-5x+2,∴f'(x)=x2+4x-5.令f'(x)=0,解得x=-5或x=1.

列表如下:

∴a=f (-5)=

1063

,b=f (1)=-2

3,

∴a+b=

1063-23

=1043

.

【答案】1043