双语-第三章-Solution of Plane Problems in Cartesian Coordinates

适用性： 由一些直线边界构成的弹性体。
目的： 考察一些简单多项式函数作为应力函数Φ(x,y) 能解决什么样的力 学问题。 —— 逆解法
1. 一 次多项式 a polynomial in linear form
（ 1）
( x, y) ax by c
其中：
a、b、c 为待定系数。
4 4 4 2 0 x 4 x 2y 2 y 4
y
fx f
y
( xy ) ( y )
y
h 2 h 2
0 0
准确满足
y
y
2）检查左、右边界（次边界）
x L, l 1, m 0
满足
( xy ) x L f
y
0
关于 x的边界条件利用圣维南原理 要求当
h 2 h 2 h 2 h 2
2M My M y 1 3 y , 3 h h I 12
(3-1) 与材料力学计算结果 完全相同
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关于 M 的符号规定： 组成 M 的应力分量随坐标的增大而增 加时， M 为“ +”，反之为“-”
x
分布规律
x
M
注：

随坐标 y 的增 大而增加
y
1）组成梁端力偶的面力必须按线性分布，解答（3-1）才是 完全精确的。若按其它形式分布（3-1）有误差。（即解答 为圣维南原理意义下的精确解）。 2 ）由圣维南原理，不同的面力分布形式，解答只在两端有 误差。（对于 L>>h的梁）离两端较远处，解答是有实用价 值的。对于L 与h尺寸差不多的梁，则（ 3-1）无实用价值 （用简单多项式不能获得有用解答）。
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§ 3.2 矩形截面梁的纯弯曲 Pure Bending of a Rectangular Beam
一 . 计算模型 矩形截面梁，体力不计
M M
h 2
h 2
考察两种情形：
h
0
x
z
1) 宽度远小于深度和长度 （平面应力） 2) 宽度远大于深度和长度 （平面应变）
L
L
1
y
y
取单位宽度梁研究：令单位宽度上力偶的矩为M
x
M M y, y y, xy 0 EI EI
u
1 (x y ) E 1 y (y x) E 2(1 ) xy xy E
x
u M v M y, y, x EI y EI v u 0. x y
结论 3：三次多项式对应于线性应力分布。
取 Ay 3 , ( f x f y 0) 可算得： 讨论：
x 6 Ay y 0 xy 0
图示梁对应的边界条件：
l
l
M min 3 Ah
h 2
h y : 2
y 0, xy 0
1
M x
x l : x 6 Ay, xy 0
（ 2 ） Φ(x,y)显然满足双调和方程， 4 因而可作为应力函数。
（ 3 ） 对应的应力分量：
x
2 xy 0 xy
2 2 0 f x f x f x y 2 f y y 0 f y y f y y x x x y 2 x
注： M 的量纲为[力][长度]/[长度 ]=[力]
二 . 求应力
1 ）假设应力函数Φ: ay 3
2 ）检查Φ是否满足（2-25）
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
显然满足
3 ）根据（2 —24）求出应力分量{}；
2 f x x 6ay x y 2 2 fy y 0 y x 2 2 0 xy xy
ax3 bx2 y cxy 2 dy3
a、b、c 、d 为待定系数。
4 4 4 0, 0, 0 x 4 y 4 x 2y 2
（ 3 ） 计算应力分量： (假定： f x = fy =0)
4 0
(可作为应力函数 )
x
2 2 2 2 cx 6 dy 2bx 2cy 2 by 6 ax y xy x 2 y 2 xy
f x (s) 0 f y ( s) 0
linear stress function corresponds to the case of no surface forces and no stress, for any shape of the body and coordinate axes superposition of a linear function to the stress function for any problem does not affect the stresses.
2. 二次多项式 a polynomial of the second degree
（ 1）
ax 2 bxy cy 2
其中：
a、b、c 为待定系数。
（ 2 ） 检验 Φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有
4 4 4 0, 0, 0 x 4 y 4 x 2y 2
ax 4 ey 4
x 12ey 2
y 12ax 2 xy 0
（须满足： a + e =0）
总结： （多项式应力函数 的性质）
（ 1 ） 多项式次数
多项式次数
n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 4 0 。
n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
6 Ay dy 0
6 Ay 2 dy M
x
M y (h / 12)
3
A 3 2M h M (或A 3 ) 2 h
x
M y I
可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。
3
说明：
(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性 分布，且中心处为零，结果才 是精确的。
xy b
2
例： 试求图示板的应力函数。
0
0
x
x
y
( x, y )
0
2
y2
y
0
( x, y) 0 xy
3. 三次多项式 a polynomial of the third degree
（ 1） 其中 : （ 2 ） 检验 Φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有
x L
时,有
h 2 h 2
0
x
x x L dy
L
6aydy 0
h
y
L
2 3 x x L ydy 2h 6ay dy 2 ah M 2
1
由第二式解出： a
2M h3
故 , 所求应力分量为：
x 6ay 6
y 0 , xy 0
6
三 . 边界条件
检查所求应力分量{} 是否满足应力边界条件（2-15） （并求待定常数） 1）检查上、下边界（主边界）:
l ( x ) s m( yx ) s f x m( y ) s l ( xy ) s f
( xy ) ( y )
y h 2 h 2
h y , l 0, m 1 2
§3-3 位移分量的求出 Determination of Displacements §3-4 简支梁受均布载荷 A Simple Beam under Uniform Load §3-5 楔形体受重力和液体压力 Triangular Gravity Wall
§3-1 多项式解答 Solution by Polynomials
M xy y u 0 EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
l
l
M min 3 Ah
h 2
M
x
1
(2) 若按其它形式分布，如： 则此结果不精确，有误差； 但按圣维南原理，仅在两端误差较 大，离端部较远处误差较小。
(3) 当
max 3 Ah
y
h 2
x 6 Ay y 0
Hale Waihona Puke x xy 0M y I
l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。
Corresponding to the problems of pure bending of a rectangular beam.
The bending moment is applied in other manners, Saint-Venant’s principle should be used to obtain the solution.
4 0
xy
(可作为应力函数 )
（ 3 ） 计算应力分量： (假定： fx =fy = 0 ; a >0 , b >0, c >0)
x
2a
2c
2 2c y 2
y
2 2a x 2
2 b xy
2c
结论 2：
x
y 2a
二次多项式对应于均匀应力分布。
可见： 常数 A 与弯矩
max 3 Ah
y
Ay3—— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。
M 的关系：
h 2
由梁端部的边界条件： (1)
(2)


h 2 h 2
x y dy M

x
12 M y h3
h 2 h 2
h 2 h 2