第二章电路的暂态分析2

RiC + uC = U s
而:
du C iC = C dt
R + Us S iC C + uC
从而得微分方程： 从而得微分方程： du C RC + uC = U s dt
－
－
解微分方程， 解微分方程，得：
u C = uC (∞) + [u C (0 + ) − uC (∞)]e
−
t
τ
式中u 式中 C(0+)、uC(∞)和τ分别为换路后电容 、 和 分别为换路后电容 电压u 初始值、稳态值和电路的时间常数。 和电路的时间常数 电压 C的初始值、稳态值和电路的时间常数。 时间常数τ=RC决定充电过程的快慢。 决定充电过程的快慢。 时间常数 决定充电过程的快慢 可见只要知道u 三个要素， 可见只要知道 C(0+)、uC(∞)和τ三个要素， 、 和 三个要素 即可求出u 即可求出 C。这种利用三要素来求解一阶线性 三要素法。 微分方程解的方法称为三要素法 微分方程解的方法称为三要素法。
对于图示电路， 对于图示电路， 由于u 由于 C(0+)=0， ， + uC(∞)=US，τ=RC， Us ， － 所以： 所以：
R S iC C + uC
－
uC，iC Us
Us R
uC = U s (1 − e
充电电流为： 充电电流为：
−
t RC
)
t
uC iC
duC U s − RC iC = C = e dt R
必须注意：只有 必须注意：只有uC 、 iL受换路定则的约束而保持 不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。 不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
由换路定则确定了电容电压u （ ） 由换路定则确定了电容电压 C（0+）或 电感电流i （ ）的初始值后， 电感电流 L（0+）的初始值后，电路中其他 电压电流的初始值可按如下原则确定： 电压电流的初始值可按如下原则确定：
O
t
uC及iC的波形如右图所示。 的波形如右图所示。
2．电容放电过程分析
图示电路，开关 原来在位置 原来在位置1， 图示电路，开关S原来在位置 ，电容已充 有电压U 开关S从位置 迅速拨到位置2， 有电压 o。t=0开关 从位置 迅速拨到位置 ， 开关 从位置1迅速拨到位置 使电容C在初始储能的作用下通过电阻 放电， 在初始储能的作用下通过电阻R放电 使电容 在初始储能的作用下通过电阻 放电， 产生电压、电流的过渡过程， 产生电压、电流的过渡过程，直到全部能量被 消耗完为止。由于u 消耗完为止。由于 C(0+)= Uo ， uC(∞)=0， ， τ=RC，根据三要素法，得换路后电容电压为： ，根据三要素法，得换路后电容电压为：
uC = U o e
−
t RC
+ Us
1 2
S
R iC C + uC
－
－
放电电流为： 放电电流为：
duC U o − RC iC = C =− e dt R
t
uC及iC的波形如下图所示。 的波形如下图所示。
uC，iC Uo uC O t iC
Uo − R
2-4 微分电路和积分电路 1 微分电路
2 积分电路
1、0+电路中，电容元件作为理想电压源, 电压为Uc(0+)；电感元件视为理想电流 源。 2、计算电路中其他电压电流的初始值。
时开关S闭合 例：图示电路原处于稳态，t=0时开关 闭合， 图示电路原处于稳态， 时开关 闭合， 求初始值u 求初始值 C(0+)、iC(0+)和u(0+)。 、 和 。 由于在直流稳态电路中，电感L相当于 解：由于在直流稳态电路中，电感 相当于 短路、电容C相当于开路 因此t=0-时电感支 相当于开路， 短路、电容 相当于开路，因此 时电感支 路电流和电容两端电压分别为： 路电流和电容两端电压分别为：
uC (0+ ) = uC (0− ) = 7.2V
7.2 = = 1.2A Us 6 iC (0 + ) = iL (0 + ) − i1 (0 + ) = 1.2 − 1.2 = 0A
+ R3 R2 + 12V u(0+) 6 Ω 2Ω －
1
+
+ uC(0+)
C
(0+)
－
态分析 2-1 概述
1、过渡过程的概念 过渡过程： 过渡过程：电路从一个稳定状态过渡到另 一个稳定状态，电压、 一个稳定状态，电压、电流等物理量经历 一个随时间变化的过程。 一个随时间变化的过程。
2、过渡过程的产生 、 换路：电路工作条件发生变化， 换路：电路工作条件发生变化，如电源的 接通或切断， 接通或切断，电路连接方法或参数值的 突然变化等称为换路。 突然变化等称为换路。 过渡过程的产生： 过渡过程的产生： 条件：电路结构或参数的突然改变。 条件：电路结构或参数的突然改变。 产生过渡过程的原因：能量不能跃变。 产生过渡过程的原因：能量不能跃变。 3、暂态分析的意义 、
2、电路稳态值的确定 、 在直流电源的作用下，当过渡过程 结束后，电容电流和电感电压的稳态值 为零，则电容元件开路，电感元件短路， 于是可得各个稳态值。
2-3 RC电路的暂态分析 RC电路的暂态分析
1．一阶电路的三要素公式
图示电路，电容 无初始储能 无初始储能， 图示电路，电容C无初始储能，uC(0+)=0V， ， t=0时开关 闭合，电源对电容充电，从而产生 时开关S闭合 时开关 闭合，电源对电容充电， 过渡过程。根据KVL，得回路电压方程为： 过渡过程。根据 ，得回路电压方程为：
2-2电路初始值和稳态值的确定
1、换路定则及电路初始值的确定 、 换路定则：电容上的电压 及电感中的电流i 换路定则：电容上的电压uC及电感中的电流 L 在换路前后瞬间的值是相等的， 在换路前后瞬间的值是相等的，即：
u C (0 + ) = u C ( 0 − ) iL ( 0 + ) = iL ( 0 − )
2-5 RL电路的暂态分析 RL电路的暂态分析
RL电路的过渡过程分析方法与 电路的过渡过程分析方法与RC电路 电路的过渡过程分析方法与 电路 相同， 即根据换路后的电路列出微分方程， 相同 ， 即根据换路后的电路列出微分方程 ， 然后求解该微分方程即可。由于RL电路的微 然后求解该微分方程即可。由于 电路的微 分方程也是一阶常系数线性微分方程， 所以 分方程也是一阶常系数线性微分方程 ， 三要素法对RL电路过渡过程的分析同样适用 三要素法对 电路过渡过程的分析同样适用 但需注意RL电路的时间常数为 电路的时间常数为： ， 但需注意 电路的时间常数为 ： τ=L/R。 。 例如，电感L中的电流 中的电流i 例如，电感 中的电流 L为：
Us
+ uL (0+)－ i (0 ) i (0 ) 1 + C + + + R3 R2 + 12V uC(0+) u(0+) 6 Ω 2 － Ω
－
－
u(0+)可用节点电压法由 可用节点电压法由t=0+时的电路求出， 时的电路求出， 可用节点电压法由 时的电路求出 为：
Us − iL (0 + ) 12 − 1.2 R1 = 4 = 2.4V u (0 + ) = 1 1 1 1 + + 4 2 R1 R2
iL = iL (∞) + [iL (0 + ) − iL (∞)]e
−
t
τ
Us iL ( 0 − ) = R1 + R3 12 = = 1 .2 A 4+6 uC (0 − ) = i1 (0 − ) R3 = iL (0 − ) R3 = 1.2 × 6 = 7.2V
Us 4Ω R1 + 12V R
2
L iL + uL － i1 + u R3 6Ω C
iC + uC
－
2Ω
－
－
在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有： 在开关 闭合后瞬间，根据换路定理有： 闭合后瞬间
iL (0+ ) = iL (0− ) = 1.2A
由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等 由此可画出开关 闭合后瞬间即时的等 效电路，如图所示。由图得： 效电路，如图所示。由图得： u C (0 + ) iL (0+) 4Ω i1 (0 + ) = R3 R1 + uL (0+)－ i (0 ) i