Leslie种群年龄结构的差分方程模型
Leslie人口模型
Leslie人口模型模型三、Leslie人口模型在短时期内男女性别比通常是不会发生变化的，因此讨论总人口的发展变化趋势与只讨论女性人口数量的变化情况意义是相同的。
在该模型中，我们将人口年龄离散化，大小等间隔地分成h个年龄组，相应地，将时间离散化为时段，每十年为一个时段。
k,0,1,2xk()记时段k第i个年龄组的女性人口总数为， ih，且该年龄组的女性生育率(该年龄组的女性在1个时段内xkbxk(1)()，,,ii1i,1bsd,,1的平均生育数量)为，该年龄组的死亡率为d，则相应的存活率为，iiiisd,,1在稳定的环境下存活率与生育率基本上是不随时间的变化而改变biii sd,,1b的，，因此我们将存活率与生育率看作是常数。
则人口的变化情况满iii足以下条件:第k+1时段，第一个年龄组的女性人口数量是时段k各个年龄段生育的人口数之和，即h (6) xkbxk(1)()，,,ii1i,1时段k+1第i+1个年龄段的女性人口数量是k时段第i个年龄组存活下来的女性人口数量，即xksxkih(1)(),1,2,，,, (7) iii，1记时段k女性人口数量按年龄组的分布向量为T (8) Xkxkxkxk()((),(),,()),129XkLXk(1)()，, 综合上述(6)(7)(8)得:其中由出生率和存活率构成的Leslie矩阵为bbbb,,1289,,s000,,1,, L,000s,,2,,0,,,,000s8,,X(0)当矩阵L和按照年龄组的初始分布向量已知时，可以预测任意时段k的女性人口按年龄组的分布情况:kXkLXk()(0),0,1,2,,, (9) 稳定状况分析:01,1,2,9,,,si根据和的定义，矩阵L中的元素满足: sbiiib,0，且至少有一个 xksxkih(1)(),1,2,，,,iiii，1定理1:L矩阵有唯一的正特根值，且它是单根，对应的特征向量为 ,,11ssssssn*T11212 ,X(1,,,,)n2,,,111k,2,3,,9且L矩阵的其他n-1个特征值满足， ,,,,1kk定理2:若L矩阵第一行有两项顺次的元素都大于0，则，bb,,,,ii，11kXk()且由(8)式确定的满足xk()*bs ，其中c是由，及X(0)决定的常数。
考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）.doc
考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）考虑年龄结构的人口模型(Leslie模型)对Logistic模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。
不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic模型中反映出来。
基于这一事实，Leslie在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。
由于男、女性人口(或雌、雄性个体)通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。
将女性按年龄划分成m+1个组，即0,1,…,m组，例如，可5岁(或10岁)一组划分。
将时间也离散成间隔相同的一个个时段，即5年(或10年)为一个时段。
记j时段年龄在i组中的女性人数为N(i,j)，b为i组每一i妇女在一个时段中生育女孩的平均数，为i组女性存活一时段到下一时段升入i+1组的人pi数所占的比例(即死亡率d=1-)同时假设没有人能活到超过m组的年龄。
实际上可以这pii样来理解这一假设，少量活到超过m组的妇女(老寿星)人数可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄结构不产生任何影响，假设b不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。
、ipi如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没有过于巨大的变化，b、事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。
pii根据以上假设可以得出以下j+1时段各组人数与j时段各组人数之间的转换关系:N(0,j，1),bN(0,j)，bN(0,j)，？，bN(m,j),01m,N(1,j，1),pN(0,j),0 ,？？,,N(m,j，1),pN(m,1,j)m,1,b,p,0显然，。
jiN(0,j)N(0,j，1)，，，，,,,,？？N,N,简记， jj，1,,,,,,,,N(m,j)N(m,j，1)，，，，并引入矩阵bb？bb，，01m,1m,,p0？000,,,,A,0p？00 1,,,,,,00？p0m,1，，则方程组(4.28)可简写成N,ANj，1j矩阵A被称为Leslie矩阵(或射影矩阵)，当矩阵A与按年龄组分布的初始种群向量TN=(N(0,0)， N( 1,0)，… ，N(m,0))一经给定时，其后任一时段种群按年龄分布的向量即0可用(4.29)式迭代求得1j， N,AN,？,AN10j，j人口(或种群)的增长是否合理不仅仅取决于人口的总量是否过多或过少，还取决于整个的年龄结构是否合理即各年龄段人口数的比例是否恰当。
莱斯利Leslie种群模型
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§4.5 应 用（一） ———————————————————— 4.5.2莱斯利（— Leslie）种群模型
莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分 布与数量增长之间的关系.
设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为L(单位： 年），将区间[0,L]作n等分得n个年龄组
i 1 i [ L, L], i 1,2,, n, n n
t y 3 4 4 xt 3 4 2, t
t
由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展 水平.
9
§4.5 应 用（一） ———————————————————— —
2 因无实际意义而在Case 2中未作讨论，但在Case
3的讨论中仍起到了重要作用. 由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值 和特征向量理论在模型的分析和研究中获得了成功的 应用.
1
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 设x0 , y0分别为改地区目前的环 水 — 境污染水平与经济发展
平, x1 , y1分别为改地区若干年后 的环境污染水平与经济 发展水平, 且有如下关系： x1 3 x0 y 0 y1 2 x0 2 y 0
16
（2.5）
§4.5 应 用（一） ———————————————————— X (1) LX ( 0) , — X ( 2) LX (1) L2 X ( 0) ,
X (3) LX ( 2 ) L3 X ( 0) , , X ( k ) LX ( k 1) Lk X ( 0) .
0 31 22
由（*）及特征值与特征向量的性质
8
§4.5 应 用（一） ———————————————————— t t t At 0 At (31 2— ) 3 A 2 A 2 2 1
leslie模型matlab程序
leslie模型matlab程序Leslie 模型是一种用于描述种群动态变化的数学模型，特别被广泛应用于生态学和人口学领域。
本文将介绍如何使用 MATLAB 编程实现 Leslie 模型，并提供一个完整的 MATLAB 程序。
Leslie 模型是由生物学家 Patrick Leslie 在 1945 年提出的，它利用年龄结构矩阵来描述一个种群中不同年龄段的个体数量。
该模型假设种群的年龄结构在各个时间段内保持不变，并且个体之间的交互仅通过生育和死亡来实现。
在 Leslie 模型中，种群的每个年龄段都有一个特定的存活率和生育率。
假设一个种群的年龄段从 0 到 k，种群的存活率可以用一个长度为 k+1 的向量 s 表示，其中 s(i) 表示年龄段 i 的存活率。
种群的生育率可以用一个长度为 k 的向量 b 表示，其中 b(i) 表示年龄段 i 的生育率。
为了计算种群在下一个时间段的年龄结构，我们需要将当前时间段的年龄结构向量乘以一个称为 Leslie 矩阵的矩阵 A。
Leslie 矩阵的第一行是生育率向量 b，其余行是存活率向量 s，只是向上移动了一格。
因此，Leslie 矩阵的维度为(k+1)×k。
现在我们将以 MATLAB 编程实现 Leslie 模型。
首先，我们需要确定种群的年龄段数目和初始年龄结构向量。
这里假设种群的年龄段从 0 到 9，初始年龄结构向量为一个10×1 的列向量，每个元素都为 100。
```matlabk = 9; % 年龄段数目x0 = zeros(k+1, 1); % 初始年龄结构向量x0(1) = 100; % 年龄 0 的个体数量为 100```接下来，我们需要定义存活率向量和生育率向量。
对于这里的示例，我们假设存活率向量是一个长度为 10 的向量，并且每个年龄段的存活率都为 0.8。
生育率向量是一个长度为 9 的向量，并且每个年龄段的生育率都为 2。
按年龄分组的种群增长模型【精选】
按年龄分组的种群增长模型
前面我们多次介绍到种群增长的阻滞型增长模型, 微分方程模型为
dx rx(1 x )
dt
N
差分方程模型为
yk1
yk
ryk (1
yk ),k N
0,1,2,
这里我们对于种群中的个体之间的差异没有考虑,特 别是没有考虑不同的年龄组的种群对该种群数量的 增长的影响有很大的不同这一特点.
s1s2
12
,,
s1s2 sn1
1n1
]T
L矩阵的其他n-1个特征根满足
| k | 1, k 2,3,, n
验 证
(5)
注:若某个si=0,则第i+1组应该取消.
定理2 若L矩阵的第一行有两项顺次的元素bi, bi+1都 大于零,则
| k | 1, k 2,3,, n
i1
n
x1(k 1) bi xi (k), xi1(k 1) si xi , i 1,2,, n 1. i1
将第k时段的各年龄组的人数写成向量:
x1(k)
x(k)
x
2
(k
)
xn
(k
)
b1 b2 bn1 bn
s1
(6)
且差分方程组(1)的解(3)满足
x(k)
lim
k
1k
cx *
(7)
其中常数c由bi,si和x(0)确定.
定理1,2的条件对于种群增长来说通常满足.
x(k) Lk x(0), k 1,2, (3)
x(k)
lim
cx *
Leslie种群年龄结构的差分方程模型
Leslie种群年龄结构的差分方程模型已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给出了变化过程的基本规律）。
孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。
假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。
假设开始时，0~2，2~4，4~6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？解：将两周分成一个时段，设k时段2周后幼虫数量为：x1(k), 2到4周虫的数量为：x2(K), 4到6周虫数量为：x3(K)。
据题意可列出下列差分方程：x1(k+1)=x2(k)*100+x3(k)*150x2(k+1)=x1(k)*0.09x3(k+1)=x2(k)*0.2运用matlab编写的程序如下：function z=diliuti(a,r1,r2,n)x(1) =a;y(1)=a;w(1)=a;for k=1:nx(k+1)=y(k)*100+w(k)*150;y(k+1)=x(k)*r1;w(k+1)=y(k)*r2;endz=[x',y',w'];for k=1:n+1m=x(k)+y(k)+w(k)endplot(1:n+1,x);hold onplot(1:n+1,y,'r');hold onplot(1:n+1,w,'k'),grid计算前三年的结果为：z=diliuti(100,0.009,0.2,2)m =300m =2.5021e+004m =3.3152e+003z =1.0e+004 *0.0100 0.0100 0.01002.5000 0.0001 0.00200.3090 0.0225 0.0000（蓝线为0~2周的虫，红线为2~4周的虫，黑线为4~6周的虫）其中，m 表示三个不同生长周期的虫的总数，可见虫并未灭绝。
Leslie模型(数学建模)
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定理：若Leslie矩阵A的第一行中至少有两个相
邻的bi>0则
|i|< |1|且N j/ 1j CN其中C为某一常数，由值bi， Pi及N0决定
N(0,j+1)=bi(j)K i(j)N(i,j)
N(i,j+1)=Pi-1N(i-1,j) i=1,…,m
目前我国人口中中年青人的比例很大，加上计
划生育降低出生率，必然造成若干年后社会人
口的严重老龄化，待这一代人越出m组后，又
会使人口迅速青年化而走向另一个极端。
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为减少这种年龄结构上的振荡，人们又引入了一 个控制变量h(i,j),使bi(j)=h(i,j)
设µ(r,t)为t时刻年龄为r的人的死亡率，t时刻年龄在[r,r+dr) 单位时间死亡的人数为µ(r,t)p(r,t)dr
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分析：
下面考虑从t到t+dt这一过程的人口变化： 年龄处在[r,r+dr)到t+dt时刻活着的人的年龄变为 [r+dt,r+dr+dt)而这一时刻死亡的人数为µ(r,t)p(r,t)drdt 则p(r,t)dr-p(r+dt,t+dt)dr= µ(r,t)p(r,t)drdt
•••
那么I (1)=MK
S(n-1)
I (t)=MtK
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考虑到在一段稳定的时间段内:总的女性人口数比上总 的男性人口数为一个近似为1的定值.为了更为确切地分 析女性个体数量的分布对总人口数的影响,我们单独把 女性人口数作为研究对象.
莱斯利矩阵科学家LesliePH于1945年引进一种数学方法利用某一
莱斯利矩阵科学家Leslie PH.于1945年引进一种数学方法,利用某一初始时刻种群的年龄结构现状,动态地预测种群年龄结构及数量随时间的演变过程,目录1 莱斯利(Leslie)矩阵模型2 佛坪大熊猫种群动态发展趋势3 计算结果与分析1 莱斯利(Leslie)矩阵模型简介如下:依种群个体的生理特征,将其最大寿命年龄等距分成m个年龄组,然后讨论不同时间种群按年龄的分布,故时间也离散化为t=0,1,2,…其间隔与年龄组的间隔时间相同.t=0对应于初始时刻.设开始时(t=0)第i个年龄组内的个体数为ni(0),i=1,2,…,m.则向量N∼(0)=[n1(0),n2(0),…,nm(0)]T称为初始年龄结构向量.第i年龄组的生殖率为fi(≥0)i=1,2,…,m;生存率为Si(>0),i=1,2,…,m-1.则相临两个时段间,各年龄组个体数ni有如下的迭代关系:注1 fi中已扣除了在时段t内出生,但活不到t+1时段的新生个体.注2 通常在两性生殖的种群中,只计雌体数.作矩阵2 佛坪大熊猫种群动态发展趋势利用莱斯利模型,对佛坪自然保护区内大熊猫种群的发展变化作出预测分析.2.1 佛坪大熊猫种群现状佛坪自然保护区位于秦岭中段南坡,北纬32°32′～33°43′,东经107°40′～107°55′,最高海拔2904m,最低海拔1100m,总面积293km2.1974年以来,科学工作者多次对该区域内大熊猫的种群数量、年龄结构、分布等进行了大量观察研究,提供了如下数据[3].1990年该区域内观察到64只大熊猫,分布面积237/km2,密度为0.27/km2,年龄结构为未成年组 6岁以下 24只 37.5%成年组 6～15岁 31只 48.2%老年组 15岁以上 9只 14.3%2.2 等距年龄结构分析处理由于模型分析中要求等距年龄结构,现有的数据是不等距的,故需进行等距年龄结构分析处理.根据大熊猫的生长发育规律,其野外最大寿命年龄为26岁[2],按每3岁一个年龄段分成9个年龄组:0岁～2岁,3岁～5岁,…,24岁～26岁,分别记为第1,2,…,9年龄组.文[4]已据文[2]提供的大熊猫的有关生命数据,换算出大熊猫按三年段的等距年龄组的生殖率fi和生存率Si为表1.由于野外大熊猫的性别不易识别,调查数据往往无性别之分,大熊猫的雌雄比为1∶1[2],故上表为雌、雄合计的,而非一般的只考虑雌体.文[5]计算了大熊猫种群的稳定年龄结构向量为N∼(∞)=[101,41,37,33,27,15,8,4,1]t据此,可按比例将现有非等距年龄结构调整为等距年龄结构.0～5岁共24只属于第1、2年龄组.因0～2岁幼仔死亡率极高,加之9月以前的幼仔不能离窝,不可能见到它们的活动痕迹,故第一年龄组的个体数应增加,能被观察到的个体数量以三分之一计算[3].于是n13+n2=24;n1n2=10141,解得n1=33(只),n2=13(只).6岁至15岁31只,但分龄到14岁,尚多出1岁,故调出1只到下一组内,余下的30只仍按比例分配调整为n3=12只,n4=11只,n5=7只.16岁以上9只,调入一只后共10只,按比例分配调整为n6=4只,n7=3只,n8=2只,n9=1只.最后得到1990年(t=0)的初始年龄结构向量为N∼(0)=[33,13,12,11,7,4,3,2,1]’.莱斯利矩阵为3 计算结果与分析对t=1,2,…,10,11,按公式N∼(t)=MtN∼(0)的计算结果见表2.其中N∼(0)=[33,13,12,11,7,4,3,2,1]T表2 佛坪大熊猫种群发展趋势从计算结果可以看到,自1990年起的33年间,该种群数量共增加30.39只,为原来的1.353倍,增长率为35.3%.可见大熊猫的发展十分缓慢.不过,这一濒危动物尚能缓慢增长也算幸事了.为分析环境对大熊猫的影响,即因环境造成大熊猫个体的非正常的突发性死亡(如捕猎等).假设1990年内,第二、三、四、五年龄组分别有1只大熊猫非正常死亡,即按N∼(0)=[33,12,11,10,6,4,3,2,1]’计算,以后33年间该大熊猫种群按年龄结构的发展见表3由表2与表3对照表明,虽少量个体受损对种群的影响也是显著的,需经过近十年时间种群才能恢复到原有水平,而且对种群总量的影响还将长期持续下去,可见保护好大熊猫的生存环境,尽量杜绝和减少非正常死亡是十分重要的。
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L e s l i e种群年龄结构
的差分方程模型
Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
Leslie种群年龄结构的差分方程模型
已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给出了变化过程的基本规律）。
孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。
假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为。
假设开始时，0~2，2~4，4~6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值昆虫是无限地增长还是趋于灭亡假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效
解：将两周分成一个时段，设k时段2周后幼虫数量为：x1(k), 2到4周虫的数量为：x2(K), 4到6周虫数量为：x3(K)。
据题意可列出下列差分方程：
x1(k+1)=x2(k)*100+x3(k)*150
x2(k+1)=x1(k)*
x3(k+1)=x2(k)*
运用matlab编写的程序如下：
function z=diliuti(a,r1,r2,n)
x(1) =a;y(1)=a;w(1)=a;
for k=1:n
x(k+1)=y(k)*100+w(k)*150;
y(k+1)=x(k)*r1;
w(k+1)=y(k)*r2;
end
z=[x',y',w'];
for k=1:n+1
m=x(k)+y(k)+w(k)
end
plot(1:n+1,x);hold on
plot(1:n+1,y,'r');hold on
plot(1:n+1,w,'k'),grid
计算前三年的结果为：
z=diliuti(100,,,2)
m =
300
m =
+004
m =
+003
z =
+004 *
1 1.
2 1.4 1.6 1.82 2.2 2.4 2.6 2.83
00.5
1
1.5
2
2.5
4
（蓝线为0~2周的虫，红线为2~4周的虫，黑线为4~6周的虫）
其中，m 表示三个不同生长周期的虫的总数，可见虫并未灭绝。
当年份足够长时，可观察到各年龄段虫的数量变化：
>> z=diliuti(100,,,20)
m =
300
m =
+004
m =
+003
m =
+004
m =
+003
m =
+004
m =
+004
m =
+004
m =
+004
m =
+004
m =
+004
m =
+004
m =
+004
m =
+004
m =
+004
m =
+004
m =
+004
m =
+004
m =
+004
m =
+004
m =
+004
z =
+004 *
由此可见，0~2周的虫的数量急剧增多，2~4周的虫的数量也增多，而4~6周的虫的数量相对很少。
三者并无太多比例关系。
最终整个种群数量增多。
当使用杀虫剂时：
z=diliuti(100,,,20)
m =
300
m =
+004
m =
+003
m =
+004
m =
+003
m =
+003
m =
+003
m =
+003
m =
+003
m =
+003
m =
m =
m =
m =
m =
m =
m =
m =
m =
m =
m =
z =
+004 *
可见虫的数量受到控制，杀虫剂效果很好。