2012年高考一轮复习方案圆锥曲线方程第五节__曲线与方程_课件

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高考数学圆锥曲线复习策略.docx

高考数学圆锥曲线复习策略一.圆锥曲线高考大纲文科（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）（2）了解双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）（3）了解抛物线的的定义、儿何图形、标准方程，知道其简单的儿何性质（范围、对称性、顶点、离心率）（4）理解数形结合的思想。

（5）了解圆锥曲线的简单应用。

理科.（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆、抛物线的定义、儿何图形、标准方程及简单儿何性质.（范围、对称性、顶点、离心率）（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.（4）了解圆锥曲线的简单应用.（5）理解数形结合的思想.锥曲线知识网络'对称轴兀轴住占八、、八、、标准方程y 2=2P x\顶点离心率准线（卩>0）二.试题趋势近年來圆锥1111线在高考中比较稳定，解答题往往以屮档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。

但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2011年高考对本讲的考察，主要考察热点有:（1）圆锥Illi 线的定义及标准方程；（2）与圆锥曲线有关的轨迹问题；（3）与圆锥曲线有关的最值、定值问题；（4）与平面向量、导数等知识相结合的交汇试题（1）圆锥曲线的定义及标准方程;1. （2010北京文理）（13）已知双曲线二—1的离心率为2,焦点与椭圆—= 1的a 2b 225 9焦点相同，那么双Illi 线的焦点坐标为 _______ ；渐近线方程为 ________ o定义：:椭圆l + IF2PI=2a(2a >1 F.F 2 I)标准方程召+令(a > b > 0)2 f 2a =b +对称轴兀轴，长轴长为2d y 轴，短轴长为2b隹占八、、八、、定义：:< 双曲线{lIFfl —IF2PII=2a(2a<F }F 2 I)2 2 标准方程才*卄严轴卜轴，实轴长为2d 对称轴彳I 》轴，虚轴长为"隹占八、、JW\（Q 〉O,b 〉O ）彳顶点21 2 a +b =c离心率渐近线定义• 抛物线 <・\MF\=d答案：（±4,0）= 02 ,22.（2010天津文数）（13）已知双Illi线罕―仝=1«〉0上〉0）的一条渐近线方程是a b厶y = ^x ,它的一个焦点与抛物线r =16x的焦点相同。

高三数学一轮复习必备：圆锥曲线方程及性质

~高三数学（人教版A 版）第一轮复习资料第33讲圆锥曲线方程及性质一．【课标要求】1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质二．【命题走向】本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。

圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法对于本讲内容来讲，预测：（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三．【要点精讲】1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。

注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。

例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。

高中数学课件-圆锥曲线与方程2

数学选修1-1
第二章圆锥曲线与方程
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
方法二：设所求双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)．将点 M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
程．题．
1．理解双曲线的定义、几何图形和原则方程的推导过
2．掌握双曲线的原则方程． 3．会运用双曲线的定义和原则方程解决简朴的应用问
数学选修1-1
第二章圆锥曲线与方程
自主学习新知突破
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高效测评知能提升
我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰构成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
数学选修1-1
第二章圆锥曲线与方程
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(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与数Ⅱ 异号，因此双曲线的方程又可写为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)，这种形式是焦点所在的坐标轴不易判断时的统一写法．
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第二章圆锥曲线与方程
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(2)由已知得 c＝6，且焦点在 y 轴上，因为点 A(－5,6)在双曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数 2a，即 2a＝| －5－02＋6＋62－－5－02＋6－62|

圆锥曲线课件

标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)
1. 范围：双曲线在x轴上的范围是[±a, ±∞]，在y轴上的范围是[0, b]。
3. 渐近线：双曲线有两条渐近线，斜率分别为y=±b/a 。
抛物线
定义：抛物线是指由平面内与一个固定点F和一条直线l
的距离相等的点的轨迹。
极坐标系的基本概念
01
极坐标系是平面坐标系的一种形式，由极点、极轴和极径等构
成。
圆锥曲线在极坐标系中的表示
02
将圆锥曲线置于极坐标系中，探究其在极坐标系中的形式及其
性质。
极坐标与直角坐标的转换
03
掌握极坐标与直角坐标的转换公式，能够将极坐标方程转化为
直角坐标方程。
圆锥曲线在实际问题中的优化方案
实际问题的数学建模
折射定律
折射定律也是光学原理中的重要内容之一，它描述了光线在不同介质之间传播时的偏转规律。在一些复杂的光学系统中，如望远镜、显微镜等，需要对多个曲面进行精确的设计和加工，而这些曲面常常是按照圆锥曲线的形状进行设计和加工的。通过对这些曲面的精确设计和加工，我们可以更好地控制光线的折射方向和强度，从而制造出更好的光学器材和设备。
计算坐标
根据圆锥曲线的方程，计算出各个点的坐标。
确定圆锥曲线的形状和大小
根据圆锥曲线的性质和特点，确定形状和大小，选择合适的参数。
绘制图形
使用绘图软件或手绘，根据计算出的坐标绘制圆锥曲线。
焦点半径法
01
02
03
确定焦点
根据圆锥曲线的类型和方程，确定焦点位置。
计算半径
根据圆锥曲线的方程和焦点的位置，计算出曲线的半径。

“圆锥曲线与方程”复习(理科)

一、椭圆（一）基础知识填空：
1．椭圆的定义：平面内与两定点 F1 ，F2 的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________. 2.椭圆的标准方程：
数学定义式焦点位置
y
|MF1|+|MF2|=2a x轴
6．椭圆
四、巩固练习：
x2 y 2 1 的两个焦点为 F1、F2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交 4 点为 P，则 | PF2 | =（）
1．椭圆
A．
3 2
B． 3
C．
7 2
D．4
2．已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点．满足 MF1 · MF2 ＝0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（） 1 2 2 A．(0，1) B．(0， ] C．(0， ) D．[ ，1) 2 2 2
)
x2 y2 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在椭圆上，若 P、 F1 、 F2 是 3．已知椭圆 16 9 一个直角三角形的三个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为（） 9 9 9 7 A. B.3 C. D. 5 4 7
x2 y2 1 的焦点,在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数为_______. 4. F1,F2 是椭圆 C： 8 4
7
)
2．抛物线 y ax 2 的准线方程是 y 2, 则a 的值为（ 1 1 A. B. C. 8 D. 8 8 8
）
3．已知抛物线 y ax 2 1 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．
4．已知直线 x y 1 0 与抛物线 y ax 2 相切，则 a ______ .

[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：直线与圆锥曲线的位置关系

【复习目标】
1.在计算直线与圆锥曲线相交弦长或弦中点等相关问题时,能够运用一元二次方程根与系数的关系简化运算,如在计算相交弦长可运用弦长公式
AB
AB
1 k x1 x2 4 x1 x2
2 2
或
(其中k为直线的斜率)
1 2 y y 4 y y 2 1 2 1 2 1 k
解方程
计算判别式
交点个数
位置关系
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）
得到一元二次方程计算判别式 >0 相交 =0 相切 <0 相离
直线与抛物线把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
y 4 x 是________或________ y 12 x
2
2
3.设双曲线 2 x 3 y 6 的一条弦AB(A,B两点在双曲线的同一支上)被直线y=kx平分,则AB所在 2 直线的斜率为_________
2 2
3k
4.设椭圆的中心在原点,一个焦点是F 0, 5 2 ,椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为0.5,则椭圆
(2)若l与双曲线C的左，右两支分别交于D,E, 求双曲线C的离心率e的取值范围.
e 2
1.若抛物线y ax
2. 已知椭圆C:
l1 : x a y b 1
【巩固练习】
2
1 上总存在关于直线x+y=0
y 1(a b 0) , 直线
2
3 , 对称的两点,则实数a的取值范围是__________. 4 2 2

2012年高考“圆锥曲线方程”专题分析

可得＝
Ｉ＝ｙＪＹ『ｍｌ，ｏ
，，
所以。，ｌｌｌ１① ＝＝ｙ．
因为４点在单位圆上运动， Байду номын сангаас
１．注重基础，突出主干知识的考查对圆锥曲线的考查，各份试卷基本上是一大一小配置，一
道解答题与一道填空题或选择题．小题与解答题的第一小题难度
何结论代数化，然后，从方程角度进行处理．三点共线的代数化
途径可选用向量或斜率．如何将几何结论代数化，是解决几何论
证问题的一个关锋．
故存在ｔ１＝－，使 △
－￣ＡＰＥ的面积之比是常数２Ｄ
７９
三、复习建议
定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，
解：（）１如图ｌ设Ｍ（，ｙ，Ａｙ，，ｘ）（ｏ）
～
则由ＩＭｆｍｌＩ（０Ｄ＝ｍ＞，且ｍ≠１，）
般较难，对学生的运算能力及综合运用学科的核心思想方法分
析问题与解决问题的能力有较高的要求．二、亮点扫描
例３（西卷 ‘ ２）已知三点ｏｏ】Ａ一，１，（，１，江理０（，０，（２）Ｂ２）
【评析】此题实际上是要考查ＡＱＢ与ＡＰＥ的面积之比是ＡＤ
否是与点Ｑ的坐标无关，在认识到这一点后，则应考虑用参数ｔ和变量 ‰ 来表示两个面积，再由两个面积比（目标函数）研究可否与粕无关．定点与定值问题实际上是运动过程中的一种不

高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程；（3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程；（2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ，所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈．综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=，则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++，所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++，即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==，椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线，设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==，即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++．因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==，化简得4259m=，所以m =，所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=．（3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上，所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =．代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =，联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ．所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =，由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==；（2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件；设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+，即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-，当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==，所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=，由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭，即()200022110kx x x m-++-=，可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点，所以()0,4F ，则42p=，解得8p =，故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ，所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =，设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =，故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-，而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-，且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。

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另外，特别注意的是只有同时具备了上述两条性质①、②，才能称为“曲线的方程”和“方程的曲线”，比如到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程 y＝x 之间的关系，只具备性质②，而不具备性质①，这是因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线 l1 和 l2(如图 2 所示)，直线 l1 上的点与方程 y＝x 可建立一一对应关系，而直线 l2 上的点(除原点外)的坐标都不是方程 x－y＝0 的解，因此 x －y＝0 不是我们所说的点的轨迹的方程．
2．对于曲线的方程和方程的曲线概念的理解 (1)概念的第一条表示曲线具有纯粹性，．．．或者说方程具有完备性，．．．即曲线上所有点都适合这一条件，无一例外；第二条说明曲线具有完备性，也可以说方程具有纯粹性，这表明适合条件的所有点都在．．．．．．曲线上，没有遗漏． (2)一旦曲线与方程建立了上述满足①②的一一对应关系后，两者就可理解为同一运动规律在“形”和“数”这两个不同方面的反映，因此我们可以通过方程来研究曲线，也可以利用曲线来研究方程，也就是“数”与“形”互化．
考点串串讲 1．曲线的方程、方程的曲线的概念坐标系建立后，平面上的点 P 与实数对(x，y)建立了一一对应关系，点的运动形成了曲线 C，与之相应的 x、y 之间的约束关系，就形成了方程 f(x，y)＝0，即：曲线 C 点坐标解方程．曲线和方程的概念是建立数与形的关系形成解析几何的基本方法和观点，其主要内容就是两者的关系．一般地，在直角坐标系中，如果曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下关系：
(3)当直线与二次曲线相交有两个交点时，直线被两个交点所截得的线段称为二次曲线的弦，弦长公式： y1－y2 2 k2 x1－x2 |x1－x2|， 1 类似有：弦长＝ 1＋ 2|y1－y2|(但须注意特殊情形斜率为 0 或 k 不存在情形的讨论)．
依题意得抛物线 y2＝8x 的焦点坐标是(2,0)，则椭圆的右 2 1 2 2 2 焦点坐标是(2,0)，由题意得 m －n ＝2 且 e＝＝，m＝4，n2＝12， m 2 x 2 y2 故椭圆的方程是＋＝1，选 B. 16 12 答案 B 解析
变式迁移 3 已知椭圆的长轴和短轴都在坐标轴上，且经过定点 M(3,0)，长轴长是短轴长的 3 倍，则椭圆的方程为( ) x2 A. ＋y2＝1 9 x 2 y2 B. ＋＝1 9 81 x 2 y2 x2 C. ＋＝1 或＋y2＝1 9 81 9 x 2 y2 D. ＋＝1 81 9
6．求曲线轨迹方程常用的方法 (1)直接法求轨迹方程：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译成”动点的坐标 x、y 的方程，经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹的方程，其一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验． (2)定义法求轨迹方程：若动点的轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程． (3)待定系数法求轨迹方程：当已知动点的轨迹是某种圆锥曲线，则可设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程． (4)代入法求轨迹方程：如果轨迹点 P(x， y)依赖于另一动点 Q(a， b)，而 Q(a，b)又在某已知曲线上，则可先列出关于 x、y、a、b 的方程组，利用 x、y 表示出 a、b，把 a、b 代入已知曲线方程便得动点 P 的轨迹方程．此法称为代入法，也称相关点法．
3．坐标法、解析几何的概念建立了曲线的方程、方程的曲线的概念，利用这两个主要概念，再借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程 f(x，y)＝0 表示曲线，通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质．把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法．在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成一门叫解析几何的学科．也可说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科．平面解析几何主要研究两个主要问题： (1)求曲线方程； (2)利用方程研究曲线的性质．
4．求曲线方程的几个步骤求曲线的方程，一般有下面几个步骤： (1)建立适当坐标系，用有序数对(x，y)表示曲线上任意一点 P 的坐标； (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 M＝{M|P(M)}； (3)用坐标表示条件 P(M)，列出方程 f(x，y)＝0； (4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点，都是曲线上的点．一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤⑤可以省略，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可省略步骤 ②，直接列出方程，这种求轨迹方程的方法又称为“直译法”也称 “五步法”．
2 2
r2－d2＝26， 1
r2－d2＝169， 1 即 2 2 r －d2＝144，
变式迁移 2 长为 2a 的线段 AB 的两个端点分别在 x 轴，y 轴上滑动，求 AB 中点 P 的轨迹方程．
解析设点 P 的坐标为(x，y)．则 A(2x,0)，B(0,2y)．由|AB|＝2a，得 2x－0 2＋0－2y2＝2a. 化简得 x2＋y2＝a2 即为所求轨迹方程.
题型三待定系数法求轨迹方程 x 2 y2 例 3 设椭圆 2＋ 2＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线 y2＝8x m n 1 的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( ) 2 x 2 y2 x 2 y2 A. ＋＝1 B. ＋＝1 12 16 16 12 x 2 y2 x 2 y2 C. ＋＝1 D. ＋＝1 48 64 64 48
解析如图，以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系．
由|O1O2|＝4，有 O1(－2,0)，O2(2,0)．设动圆的半径为 r. 由动圆 M 与圆 O1 内切，有|MO1|＝|r－1|. 由动圆 M 与圆 O2 外切，有|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|＋|MO1|＝3，或|MO2|－|MO1|＝3. ∵|O1O2|＝4，∴|MO2|＋|MO1|＞4， ∴|MO2|－|MO1|＝3. ∴M 的轨迹是以 O1、O2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支． 3 7 2 2 2 ∴a＝，c＝2，∴b ＝c －a ＝ . 2 4 4x2 4y2 ∴M 点的轨迹方程为－＝1(x＜0)． 9 7 点评动点 M 的轨迹符合双曲线的定义，直接利用双曲线的标准方程，确定待定系数的值，从而进一步简化了计算.
解析设动圆的圆心为 M(x，y)，半径为 r，点 M 到直线 l1，l2 的距离分别为 d1 和 d2. 由弦心距、半径、弦长间的关系得， r2－d2＝24， 2 消去 r 得动点 M 满足的几何关系为 d2－d2＝25， 2 1 3x－2y＋3 2 2x－3y＋2 2 即－＝25. 13 13 化简得(x＋1)2－y2＝65. 此即所求的动点 M 的轨迹方程．点评本例中动点 M 的几何特征并不是直接给定的，而是通过条件的运用从隐蔽的状态中被挖掘出来.
变式迁移 4 动圆经过点 A(3,0)且与直线 l：x＝－3 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
解析
如图，设动圆和直线 l 相切于点 N.
∵|MA|＝|MN|， ∴圆心 M 到定点 A(3,0)和定直线 l：x＝－3 的距离相等．根据抛物线的定义，M 在以 A 为焦点，l 为准线的抛物线上． p ∵ ＝3，∴2p＝12. 2 故圆心 M 的轨迹方程是 y2＝12x.
答案解析
C ①当焦点在 x 轴上时，由上述解答可知，椭圆的方程为
x2 ＋y2＝1； 9 y2 x 2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的方程为 2＋ 2＝1， a b 其中 a＞b＞0.因为椭圆过点 M(3,0)． 9 所以 2＝1⇒b2＝9⇒b＝3，从而 2a＝3· 2b，所以 a＝9. b x 2 y2 椭圆方程为＋＝1. 9 81 x2 x 2 y2 2 综合①②得，符合条件的椭圆方程为＋y ＝1 或＋＝1.因 9 9 81 此，应选 C.
(5)参数法求轨迹方程：如果轨迹动点 P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关的点可用时，可先考虑将 x、y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．用参数法求轨迹方程需注意参数的范围对方程的影响.
典例对对碰题型一曲线的方程和方程的曲线例 1 过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线 l 的方程是 |x|＝2 吗？如果是请说明理由；如果不是，应怎样改？分析此题从两方面判断，一要判断过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线 l 上任一点都是方程|x|＝2 的解，二要判断以方程|x|＝2 的解为坐标的点都在直线 l 上，以上两方面若一个不成立，则所讨论的不成立．
解析根据“曲线的方程”的概念，过点(2,0)平行于 y 轴的直线 l 上任一点的坐标是方程|x|＝2 的解，即满足条件①(纯粹性)，但以方程|x|＝2 的解为坐标的点如(－2,0)就不在直线 l 上即不满足条件②(完备性)，故|x|＝2 不是直线 l 的方程，因此，直线 l 的方程是 x＝2. 点评判断方程 F(x，y)＝0 是不是曲线 C 的方程，理论依据为曲线的方程、方程的曲线的定义即满足上述两个条件.
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．例如坐标系中，一、三象限的角平分线的方程是 x－y＝0，这是因为，点 P(x0，y0)是这条直线上任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即 x0＝y0，那么它的坐标(x0，y0)是方程 x－y＝0 的解；反过来，如果(x0，y0)是方程 x－y＝0 的解，即 x0＝y0，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条角平分线上(如图 1 所示)．
题型四定义法求轨迹方程例 4 已知两个圆 O1 和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2| ＝4，动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．分析根据对称性建立坐标系，由动圆 M 与圆 O1 内切与 O2 外切的条件建立等式．