数学补充知识2-矢量-统一

力学-绪论 主讲教师：邱晓燕
ˆ ˆ A = Ax ˆ + Ay ˆ + Az k B = B x ˆ + B y ˆj + B z k i j i
C = A + B = ( Ax + Bx )i + ( Ay + By ) j + ( Az + Bz )k
D = A − B = ( Ax − Bx )i + ( Ay − By ) j + ( Az − Bz )k
e.g.: 速度v、力F、电场强度E etc.
矢量函数：若对于标量变量t的每一个值都 相应地存在变矢量A的一个确定的矢量， 则称矢量A是标量变量t的矢量函数. e.g.:速度v(t)、位移s(t) etc.
ˆ A = A( t ) = A x ( t )ˆ + A y ( t ) ˆj + A z ( t )k i
ˆ ˆ ˆ ˆ = Ay Bz i + Ax B y k + Az Bx ˆ − Ay Bx k − Az B y i − Ax Bz ˆ j j
e.g.力矩： × F 角动量：r × P 洛伦兹力：qv × B r
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变矢量:大小或方向可以发生变化的矢量。
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矢量的表示： A, A ,有方向的线段。 矢量的模：矢量的大小。 A , A, 单位矢量：模等于1的矢量。 零矢量： 0， 模等于0的矢量。 0 方向可认为是任意的。
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B
C
A+B=C
C = A + B + 2 AB cos α
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ˆ A = Ax ˆ + Ay ˆ + Az k i j
ˆ B = Bxˆ + B y ˆ + Bz k i j
ˆ ˆ A× B = ( Axˆ + Ay ˆ + Az k )×( Bxˆ + By ˆ + Bz k ) i j i j ˆ = ( Ax By k − Ax Bz ˆ ) + ( −Ay Bx k + Ay Bzˆ ) + ( Az Bx ˆ − Az Byˆ ) j i j i ˆ = ( Ay Bz − Az By )ˆ + ( Az Bx − Ax Bz )ˆ + ( Ax By − Ay Bx )k i j
φ = B ⋅ dS
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C
Def.: C = A × B ( 矢量 )
ˆ j
ˆ k
A
A
C = A B sin ϕ
B
ˆ i
的方向满足右手螺旋 C 定则（由 A 转向 B 的角度 应小于 π )
ˆ ˆ i ˆ ˆ × ˆj = k ; k × ˆ = ˆj ; ˆj × k = ˆ i i ˆ i ˆ ˆ × ˆ = − k ; ˆ × k = − ˆ ; k × ˆ = −ˆ j i j ˆ j i
方向：沿t时刻矢端曲线的切线且指 向与时间增加相对应的方向。
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2、矢量的模不改变而仅仅方向改变，矢量的
增量也不为零，则导数也不为零，且恰好 与矢量垂直。
dA A⋅ = 0或A ⋅ dA = 0 dt
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1、 A × A = 0 2、两非零矢量A和B平行的充要条件是 3、 A× B = −B × A 4、
A× B = 0
( λA ) × B = λ( A × B ) = A × ( λB ),λ为实数。
5、C × ( A + B ) = C × A + C × B( 分配律）
A = Ax + Ay + Az ˆ = Ax ˆ + Ay ˆ + Az k i j
A =
2 Ax2 + AY + Az2
ˆ 沿x. y.z轴的e A ˆ j ˆ 分别为 i ，ˆ，k
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Ay Ax cos α = ; cos β = ; A A Az cos γ = ; A cos α 2 + cos β 2 + cos γ 2 = 1
ˆ ˆ A(t ) = Ax (t )i + Ay (t ) ˆ + Az (t )k j dA(t ) dAx (t ) ˆ dAy (t ) ˆ dAz (t ) ˆ k = i+ j+ dt dt dt dt
dAx (t ) 2 dAy (t ) 2 dAz (t ) 2 dA(t ) = [ ] +[ ] +[ ] dt dt dt dt
2 2
(T) (F) (F) (F) (T) (F)
( 6 )若 A ⋅ B = 0 ,则 A＝0或 B＝0
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P474: 5, 10, 16
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数学补充知识（二）
矢量 (Vector Calculation)
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矢量计算(Vector Calculation)
矢量的定义（The definition of vector) 矢量的加法与减法 (Vector addition and vector subtraction) 矢量的数乘 (Number multiplication) 矢量的标积与矢积 ( Scalar product and vector product) 矢量导数（Vector derivative)
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（1） A A = A ⋅ A (2) A− B = A − B ( 3 )（ A ⋅ B （ A ⋅ B ) = ( A ⋅ A )( B ⋅ B ) ) ( 4 )( A ⋅ B )C = A( B ⋅ C ) ( 5 )( A + B ) ⋅ ( A − B ) = A − B
2 2
β
A
α
B sin α tg β = A + B cos α
B＝C-A＝C＋(-A)
A + B = B + A(交换律） ; (A + B) + C = A + (B + C) （结合律）
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Def.:矢量 A 与实数m的乘积仍为一矢量， 记做 mA 模为 m ⋅ A
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Def.: A ⋅ B = A ⋅ B cos( A, B（标量） )
A⋅ A = A ;
2
A=
A⋅ A
Ax = Ax ⋅ˆ; i
Ay = Ay ⋅ ˆ; j
ˆ Az = Az ⋅ k
ˆ ˆ ⋅ ˆ = ˆ ⋅ ˆ = k ⋅ k = 1 ˆ ⋅ ˆj = ˆ ⋅ k = ˆj ⋅ k = 0 i i j j ˆ ˆ i i ˆ ˆ ˆ A ⋅ B = ( Ax ˆ + Ay ˆ + Az k ) ⋅ ( B x ˆ + B y ˆ + B z k ) i j i j
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ˆ A = Ax ˆ + Ay ˆ + Az k i j
ˆ i A × B = Ax Bx
ˆ B = Bxˆ + B y ˆ + Bz k i j
ˆ j Ay By ˆ k Az Bz
ˆ = ( Ay Bz − Az By )ˆ + ( Az Bx − Ax Bz )ˆ + ( Ax By − Ay Bx )k i j
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dA(t ) dt
ΔA(t ) = A(t + Δt ) − A(t )
ΔA(t )
ΔA(t )
A(t )
A(t + Δt )
ΔA(t ) A(t + Δt ) − A(t ) = Δt Δt dA(t ) ΔA(t ) = lim Δt → 0 Δt dt
dAx (t ) dAy (t ) dAz (t ) , , 可按标量函数的求导运算求得 dt dt dt
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d dA dB + ( A + B) = ； dt dt dt d dA df A( f为标量函数）； + ( fA) = f dt dt dt d dA dB ⋅ B + A⋅ ( A ⋅ B) = ； dt dt dt d dA dB × B + A× ( A × B) = ； dt dt dt d （C ) = （C是常矢） 0 dt
m > 0,与A同向；m < 0, 与A反向； m = 0,则mA为零矢量.
ˆ ˆ 引入单位矢量e A，A = A e A
( λ + μ )A = λA + μA; λ(A + B) = λA + λB;(分配律） λ( μA) = μ(λA) = (λμ)A（交换律）