塑性力学课件 第三章
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岩土弹塑性力学教学课件(共13章)第3章_应变状态
§3.1 应变状态11
• 三个刚性转动分量及6个应变分量合在一起，才全 面反映了物体变形
xyz x y z xy yz zx
B
B’’ 刚性转动
B’’’
B’
变形
A 刚性平动 A`
§3.1 应变状态12
• 工程应变： ln l0
l0
变形后长度 原始长度
不适用于大变形
• 自然应变/对数应变：
在塑性变形较大时，用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。
x y z
• ——弹性体一点的体积改变量
• 引入体积应变有助于简化公式。
• 大于零表示体积膨胀，小于零体积压缩。
• 注意：土力学中塑性体应变符号约定相反。
§3.2 主应变与应变主方向8
应变Lode参数: 为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：
22 3 1 3
1
(1.66)
如果两种应变状态με 相等，表明它们所对应的应变莫尔圆 相似，也即偏应变张量的形式相同。
Vz y
;
zx
Vz x
Vx z
;
§3.3 应变率张量 2
小变形情况下，应变速率分量与应变分量间存在如下关系:
x
Vx x
du x dt
d dt
u x
x
u x
y
Vy y
dv y dt
d v
dt
y
y
v y
z
Vz z
z
dw dt
d w dt z
z
w z
线应变速率
j
Vj,i )
(1.56)
§3.3 主应变与应变主方向 4
由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因
塑性力学03-塑性本构关系
3-2 广义Hooke定律 • 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 S ij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 S 3 S ij m ij ij m ij m ij E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 我们来证明一下:
因为应力强度和应变强度的公式为:
3 i Sij Sij 2 2 i eij eij 3
把 eij Sij 代入上面右式并考虑上面左式得到
(3)应力强度是应变强度的强度函数 i i 线假定的硬化条件.
3 i 2 i , 即按单一曲
综上所述, 全量型塑性本构方程为 3 i 1 2 eij Sij i i ii ii 2 i E 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加 载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过 程, 它时服从增量Hooke定律.
1. Levy-Mises流动法则 这个理论认为应变增量主轴和应力 主轴重合, 应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例, 即
d ij d Sij
d 0
式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平. 这一理论是 Levy和Mises分别在1871年和1931年独立提出的, 所以被称为 Levy-Mises流动法则. 这个关系式不包括弹性变形部分, 所以 只适用刚塑性体. 2. Prandtl-Reuss流动法则 这个理论考虑了塑性状态变形中 的弹性变形部分, 并认为弹性变形服从广义Hooke定律; 而对 于塑性变形部分, 被认为塑性应变增量的主轴和应力偏量的主 轴重合. 即 1 e e deij deij deij dSij d Sij 这就是 2G Prandtl1 2 又由塑性不可压缩性, Reuss流 d ii d ii 体积变化式弹性的,有 E 动法则
《弹塑性力学》第三章 应变分析.ppt
第三章 应变分析
§3-1 位移和（工程）应变 §3-2 应变张量和转动张量 §3-3 应变张量和转动张量的坐标变换式 §3-4 主应变、主应变方向、应变张量
的三个不变量
§3-5 变形协调条件（相容条件）
2021/3/11
1
§3-1 位移和（工程）应变
在第二章我们研究了应力张量本身和 体力、面力之间的关系式，即平衡规律。 本章将讨论变形体研究的另一个基本关系： 变形与位移之间的关系。当然要以小变形 假设为基础，位移和形变相对于变形体几 何尺寸是微小的。
1
1
Uij ui, j 2 (ui, j u j,i ) 2 (ui, j u j,i )
或 Uij ui, j ij ij
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§3-2 应变张量和转动张量
其中
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
ij
1 2
(ui, j
u j,i )
ij = ji（对称张量）， ij = -ji （反对称张量）
x2 R
dx2=1
x2 u2 ,1 u2 ,2 R’’ R’
u1,1 u1,2 u2,1 u2,2
dx2=1
相对位移
Q’
P’
Q’’
u1 ,2 x1
dx1=1 u1 ,1
Q P dx1=1
x1
u1、u2
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§3-2 应变张量和转动张量
x2
22=u2 ,2 21= (u2 ,1 +u1 ,2 )/ 2
Q''Q'
du
dr
'
dr
——相对位移矢量
§3-1 位移和（工程）应变 §3-2 应变张量和转动张量 §3-3 应变张量和转动张量的坐标变换式 §3-4 主应变、主应变方向、应变张量
的三个不变量
§3-5 变形协调条件（相容条件）
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§3-1 位移和（工程）应变
在第二章我们研究了应力张量本身和 体力、面力之间的关系式，即平衡规律。 本章将讨论变形体研究的另一个基本关系： 变形与位移之间的关系。当然要以小变形 假设为基础，位移和形变相对于变形体几 何尺寸是微小的。
1
1
Uij ui, j 2 (ui, j u j,i ) 2 (ui, j u j,i )
或 Uij ui, j ij ij
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§3-2 应变张量和转动张量
其中
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
ij
1 2
(ui, j
u j,i )
ij = ji（对称张量）， ij = -ji （反对称张量）
x2 R
dx2=1
x2 u2 ,1 u2 ,2 R’’ R’
u1,1 u1,2 u2,1 u2,2
dx2=1
相对位移
Q’
P’
Q’’
u1 ,2 x1
dx1=1 u1 ,1
Q P dx1=1
x1
u1、u2
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§3-2 应变张量和转动张量
x2
22=u2 ,2 21= (u2 ,1 +u1 ,2 )/ 2
Q''Q'
du
dr
'
dr
——相对位移矢量
弹塑性力学课件第三章
zx C61x C62 y C63z C64 xy C65 yz C66 zx
C ij
ijkl kl
Cijkl Cijlk
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第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——具有一个弹性对称面的线
性弹性体
x
y
C11
C12 C22
C13 C23
C14 C24
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第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
x
1 E
x
( y
z ) ,
xy
1 G
xy
y
1 E
y
( x
z ) ,
yz
1 G
yz
z
1 E
z
( x
y ) ,
zx
1 G
zx
ij 1Eij Ekkij
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第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
0 x
0
y
z xy
C33 0 0
对
C44 0
0 z
0
xy
yz
zx
称
C55
0 C66
yz zx
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第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——正交各向异性弹性体
x y z xy
1 Ex
xy
1 Ey
对
xz
yz
弹塑性力学课件第三章
第三章 本构关系
本章学习要点：
掌握各项同性材料的广义Hooke定律 掌握弹性应变能密度函数的概念及计算 理解初始屈服、后继屈服以及加卸载的概 念 掌握几个常用的屈服条件 理解弹塑性材料的增量和全量本构关系的 基本概念
塑性力学-第三章
（12）
称为 ij 的第一、第二和第三不变量。因为它们与坐标系
的选择无关。
可以证明 有三个实根（可参考弹塑性力学的习题与例题， 清华徐秉业编），这里不证。将 ij 的主值记为 1、 2 和 3 ， 且规定 1 2 3。 （12）式也可用主值来表示：
I 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) I 3 1 2 3 I1 1 2 3
1 1 3 2 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2
1 1 3 2 J 2 1 1 3 2 4 3
得证
J 2 是很重要的参数，用它可定义一些重要的参量。
如定义等效应变
z
T ν
用张量方式来描述，Cauchy公式可以写作
Ti ij j
(i, j 1,2,3)
（6）
（6）式可以用来描述应力边界条件
在连续介质中应用Newton第二定律（或动量守恒定 律），可以得到应力张量满足的运动方程 ij, j Fi i (i, j 1,2,3) （7）
1 1 2 2 2 2 2 2 ij ij 11 22 33 12 23 31 2 2
（17）
证明
J2
2 2 2 11 22 33 2 11 22 33 211 22 22 33 3311 0
j ij i ij ij j 0
于是，可以写出统一的公式
ij
ij j 0
（10）
式中 是 ij 的主值。若 ij代表应力张量， 是主应力。 若 ij 代表应变张量， 是主应变。
3-弹塑性力学-应变分析
第三章 应变分析 (strain analysis)
讨论：
1. 物理意义：表示各应变分量之间的相互关系；“连续 协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；
2. 应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中 有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内 三个切应变分量如果确 定，则正应变分量也就可 以确定；
z 2
2 xz
zx
2 2 x ( yz xz xy )
yz x x y z
2 2 y
(
yz
xz
xy )
zx y x y z
2 2 z ( yz xz xy )
xy z x y z
第三章 应变分析 (strain analysis)
3.1 几何方程（geometry equation）
xx
x
u x x
, yy
y
u y y
, zz
z
u z z
xy
yx
1 2
xy
1 ( ux 2 y
u y x
)
yz
zy
1 2
yz
1 ( uz 2 y
u y ) z
zx
xz
1 2
xz
1 ( uz 2 x
ux ) z
第三章 应变分析 (strain analysis)
讨论：
1. 物理意义：表示位移 (displacement)与
应变(strain) 之间的关系； 2. 位移包含变形体内质点的相对位移
塑性力学_第三章应变状态
第三章 应变状态理论在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。
如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。
如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。
应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。
即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。
这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。
本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。
3.1 位移与线元长度、方向的变化1.1坐标与位移设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴(X 、、Y、Z )上的投影为(z y x ,,)，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(u 、v 、w )，这些位移分量可看作是坐标(z y x ,,)的函数。
于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。
即⎪⎭⎪⎬⎫+=+=+=),,(),,(),,(z y x w z z y x v y z y x u x ζηξ (3.1-1)上式中函数u 、v 、w 以及它们对坐标(z y x ,,)的偏导数假设是连续的，则式(3.1-1)确定了变量(z y x ,,)与),,(ζηξ之间的关系。
因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式(3.1-1)是单值的，所以式(3.1-1)可看成是坐标的一个变换。
如果在(3.1-1)中，假设00,y y x x ==，则由(3.1-1)式可得如下三个方程⎪⎭⎪⎬⎫+=+=+=),,(),,(),,((00000000z y x w z z y x v y z y x u x ςηξ (3.1-2)式(3.1-2)决定了一条曲线，曲线上各点 ,,21**M M ，在物体变形前为平行于z 轴的直线(00,y y x x ==)上(图3.1)。
塑性力学-塑性本构关系
第三章塑性本构关系全量和增量理论•全量理论（形变理论）：在塑性状态下仍有应力和应变之间的关系。
Il’yushin(伊柳辛)理论。
•增量理论（流动理论）：在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的关系。
Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。
3-5 全量理论的适用范围简单加载定律变形：小变形加载：简单加载适用范围：物体内每一点应力的各个应力分量，在加载过程中成比例增长简单加载：()0ij ijt σασ=0ijσ非零的参考应力状态()t α随着加载单调增长加载时物体内应力和应变特点：应力和应变的主方向都保持不变应力和应变的主分量成比例增长应力Lode参数和应力Lode角保持常数应力点的轨迹在应力空间是直线小变形前提下，判断简单加载的条件：荷载按比例增长（包括体力）；零位移边界材料不可压缩应力强度和应变强度幂函数关系m i iA σε=实际应用：满足荷载比例增长和零位移边界条件3-6 卸载定律卸载：按照单一曲线假设，应力强度减小•外载荷减小，应力水平降低•塑性变形发展，应力重分布，局部应力强度降低简单卸载定律：•各点的应力分量按比例减少•不发生新的塑性变形¾以卸载时的荷载改变量为假想荷载，按弹性计算得到应力和应变的改变量¾卸载前的应力和应变减去卸载过程中的改变量塑性本构关系的基本要素•初始屈服条件–判断弹性或者塑性区•后继屈服条件–描述材料硬化特性，内变量演化•流动法则–应变增量和应力以及应力增量之间的关系，包括方向和分配关系Saint-Venant(1870):应变增量和应力张量主轴重合•继承这个方向关系•提出分配关系()0ij ij d d S d ελλ=≥应变增量分量和应力偏量分量成比例Levy-Mises 流动法则(M. Levy,1871 & Von Mises,1913)适用范围：刚塑性材料3-7 流动法则－－Levy-Mises & Prandtl-Reuss。
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2 1 OA′ = OA sin α = 1 − σ1 = 3 3
2
（a）
' Oσ 2 其长度 同理， 同理 AB 在π平面上的方向平行于 平面上的方向平行于 ，
为：
2 A′B′ = σ 2 （b） 3 ' BP 在π平面上的方向平行于 Oσ 3，其长度为 其长度为：
ห้องสมุดไป่ตู้
§3.3 应力空间与屈服曲面
一、应力空间的概念
把六个应力分量看成六维空间的坐标， 把六个应力分量看成六维空间的坐标，则 每一应力状态就相当于六维空间中的一个点。 每一应力状态就相当于六维空间中的一个点 。 称这个六维空间为六维应力空间。 称这个六维空间为六维应力空间 。 屈服条件 （ 3—1）式就是六维应力空间中的一个超曲面 ） 为了区别于普通三维空间中的曲面， （ 为了区别于普通三维空间中的曲面 ， 称为超 曲面） 曲面）。
假定材料各向同性，则屈服条件为： 假定材料各向同性，则屈服条件为： f（ σ 1 , σ 2 , σ 3）= C （3—2） （ ） f是σ 1 , σ 2 , σ 3 的对称函数（即三个主应力 的对称函数（ 是 可以互换位置而函数值不变） 可以互换位置而函数值不变）。 的对称函数，所以， 而 I1 , I 2 , I 都是 σ 1 , σ 2 , σ 3 的对称函数，所以， 3 I 1 , I的对称形式的函 可以把屈服条件写成 2 , I3 屈服条件又可表示为： 数，即屈服条件又可表示为： ） f2（ I1 , I 2 , I 3 ）= C （3—3）
1 (σx+σy+σz)= 3
1 (σ1+σ2+σ3)=0 3
即 π平面上的任意点所代表的应力状 平面上的任意点所代表的应力状 其球张量为零， 态 其球张量为零 ， 这个应力状态本身就是 一个偏张量。 一个偏张量。
在应力空间中任一点P对应的矢量 在应力空间中任一点 对应的矢量 OP 在 三个轴上的投影分别等于σ 三个轴上的投影分别等于 1， σ2和 σ3 。可以 可以 OP 分解成沿等倾线和在π平面上的两个 把矢量 分解成沿等倾线和在 平面上的两个 OQ OS OQ OS 分量 和 ，则 和 分别表示这一应力 状态的球张量和偏张量。 状态的球张量和偏张量
应力空间中一点P（ 应力空间中一点 （或矢量 OP ）表示一个应力 状态（ 状态（σ1、σ2、σ3），将 分解为与三个坐标轴平行 OP 且首尾相接的三个矢量 OA OA、，即 ∥σ1轴，长 AB、 BP 为σ1， ∥σ2轴，长为σ2， ∥σ3轴，长为σ3。 长为 AB 长为 BP
（a） 图3.4
（b）
将 该 应 力 空 间 投 影 在 π 平 面 上 （ 见 图 3.4 . ））。 分别为A、 、 各点在 各点在π平面上 （b））。A′、B ′ 、S分别为 、B、P各点在 平面上 ）） 分别为 A′ 的投影。 方向，它在π平面上的投影 的投影。 沿σ1方向，它在 平面上的投影 O也必 OA 1 ' arccos ，所 方向。 与等倾线的夹角 与等倾线的夹角α= 然沿 Oσ 方向。 OA 1 3 平面上投影的长度为： 以， OA π平面上投影的长度为： 在 平面上投影的长度为
而应力球张量不影响屈服，因而上式中I 而应力球张量不影响屈服，因而上式中 1， I2 ， I3 可以用 1 ， J2 ， J3 代替 。 又 ∵ J1=0， 故 可以用J 代替。 ， 屈服条件为： 屈服条件为： f3（J2，J3）= C （3—4） ） 因为J 是应力偏量各分量的三次函数， 因为 3 是应力偏量各分量的三次函数 ， 当所有应力分量均改变符号（ 即由拉变压） 当所有应力分量均改变符号 （ 即由拉变压 ） 也变号。 但由实验结果知， 时 ， J3 也变号 。 但由实验结果知 ， 一般韧性 金属材料抗拉和抗压是具有对称性质的， 金属材料抗拉和抗压是具有对称性质的 ， 即 所有应力分量均改变符号时， 所有应力分量均改变符号时 ， （ 3—4） 式左 ） 方的屈服函数值应当不变。故可断定： 方的屈服函数值应当不变。故可断定： 屈服函数应是J 的函数， 屈服函数应是 2和J3的函数，同时又必须 的偶函数。 是J3的偶函数。
二、塑性本构关系的主要内容
（1）屈服条件（屈服准则） ）屈服条件（屈服准则） 研究塑性本构关系， 研究塑性本构关系，必须首先判断材料是在弹 性阶段还是在塑性阶段。如为前者， 性阶段还是在塑性阶段。如为前者，直接应用虎克 定律即可，如为后者， 定律即可，如为后者，则需根据材料的塑性性质作 进一步的考虑。 进一步的考虑。 判断材料是否进入塑性阶段的条件称为屈服条 件或屈服准则 。 （2）加载准则 ） 如判断出材料已进入塑性阶段， 如判断出材料已进入塑性阶段，则还应进一步 判断是处于加载状态还是处于卸载状态。如是前者， 判断是处于加载状态还是处于卸载状态。如是前者， 则必须应用塑性应力应变关系，如是后者， 则必须应用塑性应力应变关系，如是后者，则其应 力减少量与应变减少量之间服从弹性关系（虎克定 力减少量与应变减少量之间服从弹性关系（ 律）。 判断是加载还是卸载的条件称为加载准则。 判断是加载还是卸载的条件称为加载准则。
(
1 1 1 σ 1i + σ 2 j + σ 3 k · i + j+ k=0 3 3 3 1 1 1 σ1 + σ 2 + σ 3 = 0 ⇒ σ1 + σ 2 + σ 3 = 0 3 3 3
)
因而可知π平面上的任意点所代表的 因而可知 平面上的任意点所代表的 应力状态的平均应力为 应力状态的平均应力为 σm=
三、屈服曲面和屈服轨迹
当各应力分量的绝对值都很小时， 当各应力分量的绝对值都很小时，材料处于弹 性阶段， 性阶段，应力空间中表示这个应力状态的点在坐标 原点附近。当各应力分量的绝对值（ 原点附近。当各应力分量的绝对值（或某些分量的 绝对值）足够大时，材料进入塑性阶段， 绝对值）足够大时，材料进入塑性阶段，应力空间 中表示这个应力状态的点就会离开原点相当的距离。 中表示这个应力状态的点就会离开原点相当的距离。 因此，可以设想在应力空间中 在应力空间中， 因此，可以设想在应力空间中，靠近坐标原点 且包括原点在内，有一个弹性区 弹性区（ 且包括原点在内，有一个弹性区（在这个区内的点 表示的应力状态处于弹性阶段） 而在其外则为塑 表示的应力状态处于弹性阶段），而在其外则为塑 性区（其中各点表示的应力状态已进入塑性阶段） 性区（其中各点表示的应力状态已进入塑性阶段）。
应力空间： 应力空间：以σ1，σ2，σ3为坐标的三维空 称为应力空间。 间，称为应力空间。 应力空间中的一点 P ， 就代表一个应力状 态，它的三个主应力是σ1，σ2，σ3。 屈服曲面：屈服条件式（3.2） 屈服曲面：屈服条件式（3.2）表示应力 空间中的一个曲面，称为屈服曲面。 空间中的一个曲面，称为屈服曲面。
二、等倾线与π平面 等倾线与 平面
1.等倾线 应力空间中通过原点与 1， 等倾线：应力空间中通过原点与 等倾线 应力空间中通过原点与σ σ2，σ3轴正方向成相同夹角的直线 称为等倾 轴正方向成相同夹角的直线，称为等倾 如图中的OL线 线（如图中的 线）。
图3.3
（3—5） ） 等倾线方程式： 等倾线方程式： σ1=σ2=σ3 （3—6） ） 于是可知， 于是可知，等倾线上任意点所代表的应力状 态都是球张量（ ），其偏张量为零 其偏张量为零。 态都是球张量（σ1=σ2=σ3 =σm），其偏张量为零
（3）建立相应的塑性应力应变关系 建立相应的塑性应力应变关系 如材料是处于塑性阶段的加载状态； 如材料是处于塑性阶段的加载状态 ； 则 应根据材料是理想塑性材料还是强化材料建立 相应的塑性应力应变关系。 相应的塑性应力应变关系。 （4）强化条件 强化条件 如材料是强化材料， 如材料是强化材料，还要弄清σh与σs以 及其他因素的关系，即强化条件。 及其他因素的关系，即强化条件。
弹性区和塑性区的分界面就是屈服 曲面， 也就是屈服条件方程（ 曲面 ， 也就是屈服条件方程 （ 3—2 ） 式 在应力空间中所代表的曲面。 在应力空间中所代表的曲面 屈服曲面与π平面的交线叫做屈服轨 屈服曲面与 平面的交线叫做屈服轨 迹。
四、π平面上的点所代表的应力状态 平面上的点所代表的应力状态
对于单向拉伸而言，通过实验应力—应变曲线 应变曲线， 对于单向拉伸而言，通过实验应力 应变曲线， 就可以解决上述问题： 就可以解决上述问题： 为屈服应力， （1）屈服条件就是 ）屈服条件就是σ=σs，σs为屈服应力，可以通 过拉伸实验定出。 过拉伸实验定出。 时为加载， 时为卸载。 （2）dσ>0时为加载，dσ<0时为卸载。 ） 时为加载 时为卸载 （ 3） 塑性阶段加载时的塑性应力应变关系 ， 也 ） 塑性阶段加载时的塑性应力应变关系， 可由单向拉伸实验定出（即图中的曲线ABF）。 可由单向拉伸实验定出（即图中的曲线 ） （4）如果是强化材料，σh与σs的关系也可由拉伸 ）如果是强化材料， 试验的应力—应变曲线得出。 试验的应力 应变曲线得出。 应变曲线得出 但是在塑性力学问题中但更多的问题则属于复杂 应力状态。 应力状态。
1 1 1 等倾线方向余弦： 等倾线方向余弦： 3 ， 3 ， 3
2.π平面：经过原点 以等倾线为法线的平 平面：经过原点O以等倾线为法线的平 平面 平面。 面称为π平面。 π平面方程式： σ1+σ2+σ3=0 （3—7） 平面方程式： 平面方程式 ） π平面方程式推导如下： 平面方程式推导如下： 平面方程式推导如下
第三章 塑性本构关系
§3.1 概述
一、单向拉伸条件下的塑性本构关系
从韧性金属材料的单向拉伸试验曲线可 发现如下现象： 发现如下现象： 弹性阶段， （ 1）σ＜σs， 弹性阶段 ， 加 、 卸载都服从 ） ＜ 虎克定律 σ = E。 ε 进入塑性阶段。 （ 2）σ＞σs， 进入塑性阶段 。 加载与卸载 ） ＞ 服从不同的规律： 服从不同的规律： 继续加载： 继续加载 ： 产生新的不可恢复的塑性变 服从塑性变形规律（曲线SABF）， 形，服从塑性变形规律（曲线 ） 卸载： 卸载 ： 应力的减少量与应变的减少量之 间服从弹性变形规律（虎克定律） 间服从弹性变形规律（虎克定律）。
2
（a）
' Oσ 2 其长度 同理， 同理 AB 在π平面上的方向平行于 平面上的方向平行于 ，
为：
2 A′B′ = σ 2 （b） 3 ' BP 在π平面上的方向平行于 Oσ 3，其长度为 其长度为：
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§3.3 应力空间与屈服曲面
一、应力空间的概念
把六个应力分量看成六维空间的坐标， 把六个应力分量看成六维空间的坐标，则 每一应力状态就相当于六维空间中的一个点。 每一应力状态就相当于六维空间中的一个点 。 称这个六维空间为六维应力空间。 称这个六维空间为六维应力空间 。 屈服条件 （ 3—1）式就是六维应力空间中的一个超曲面 ） 为了区别于普通三维空间中的曲面， （ 为了区别于普通三维空间中的曲面 ， 称为超 曲面） 曲面）。
假定材料各向同性，则屈服条件为： 假定材料各向同性，则屈服条件为： f（ σ 1 , σ 2 , σ 3）= C （3—2） （ ） f是σ 1 , σ 2 , σ 3 的对称函数（即三个主应力 的对称函数（ 是 可以互换位置而函数值不变） 可以互换位置而函数值不变）。 的对称函数，所以， 而 I1 , I 2 , I 都是 σ 1 , σ 2 , σ 3 的对称函数，所以， 3 I 1 , I的对称形式的函 可以把屈服条件写成 2 , I3 屈服条件又可表示为： 数，即屈服条件又可表示为： ） f2（ I1 , I 2 , I 3 ）= C （3—3）
1 (σx+σy+σz)= 3
1 (σ1+σ2+σ3)=0 3
即 π平面上的任意点所代表的应力状 平面上的任意点所代表的应力状 其球张量为零， 态 其球张量为零 ， 这个应力状态本身就是 一个偏张量。 一个偏张量。
在应力空间中任一点P对应的矢量 在应力空间中任一点 对应的矢量 OP 在 三个轴上的投影分别等于σ 三个轴上的投影分别等于 1， σ2和 σ3 。可以 可以 OP 分解成沿等倾线和在π平面上的两个 把矢量 分解成沿等倾线和在 平面上的两个 OQ OS OQ OS 分量 和 ，则 和 分别表示这一应力 状态的球张量和偏张量。 状态的球张量和偏张量
应力空间中一点P（ 应力空间中一点 （或矢量 OP ）表示一个应力 状态（ 状态（σ1、σ2、σ3），将 分解为与三个坐标轴平行 OP 且首尾相接的三个矢量 OA OA、，即 ∥σ1轴，长 AB、 BP 为σ1， ∥σ2轴，长为σ2， ∥σ3轴，长为σ3。 长为 AB 长为 BP
（a） 图3.4
（b）
将 该 应 力 空 间 投 影 在 π 平 面 上 （ 见 图 3.4 . ））。 分别为A、 、 各点在 各点在π平面上 （b））。A′、B ′ 、S分别为 、B、P各点在 平面上 ）） 分别为 A′ 的投影。 方向，它在π平面上的投影 的投影。 沿σ1方向，它在 平面上的投影 O也必 OA 1 ' arccos ，所 方向。 与等倾线的夹角 与等倾线的夹角α= 然沿 Oσ 方向。 OA 1 3 平面上投影的长度为： 以， OA π平面上投影的长度为： 在 平面上投影的长度为
而应力球张量不影响屈服，因而上式中I 而应力球张量不影响屈服，因而上式中 1， I2 ， I3 可以用 1 ， J2 ， J3 代替 。 又 ∵ J1=0， 故 可以用J 代替。 ， 屈服条件为： 屈服条件为： f3（J2，J3）= C （3—4） ） 因为J 是应力偏量各分量的三次函数， 因为 3 是应力偏量各分量的三次函数 ， 当所有应力分量均改变符号（ 即由拉变压） 当所有应力分量均改变符号 （ 即由拉变压 ） 也变号。 但由实验结果知， 时 ， J3 也变号 。 但由实验结果知 ， 一般韧性 金属材料抗拉和抗压是具有对称性质的， 金属材料抗拉和抗压是具有对称性质的 ， 即 所有应力分量均改变符号时， 所有应力分量均改变符号时 ， （ 3—4） 式左 ） 方的屈服函数值应当不变。故可断定： 方的屈服函数值应当不变。故可断定： 屈服函数应是J 的函数， 屈服函数应是 2和J3的函数，同时又必须 的偶函数。 是J3的偶函数。
二、塑性本构关系的主要内容
（1）屈服条件（屈服准则） ）屈服条件（屈服准则） 研究塑性本构关系， 研究塑性本构关系，必须首先判断材料是在弹 性阶段还是在塑性阶段。如为前者， 性阶段还是在塑性阶段。如为前者，直接应用虎克 定律即可，如为后者， 定律即可，如为后者，则需根据材料的塑性性质作 进一步的考虑。 进一步的考虑。 判断材料是否进入塑性阶段的条件称为屈服条 件或屈服准则 。 （2）加载准则 ） 如判断出材料已进入塑性阶段， 如判断出材料已进入塑性阶段，则还应进一步 判断是处于加载状态还是处于卸载状态。如是前者， 判断是处于加载状态还是处于卸载状态。如是前者， 则必须应用塑性应力应变关系，如是后者， 则必须应用塑性应力应变关系，如是后者，则其应 力减少量与应变减少量之间服从弹性关系（虎克定 力减少量与应变减少量之间服从弹性关系（ 律）。 判断是加载还是卸载的条件称为加载准则。 判断是加载还是卸载的条件称为加载准则。
(
1 1 1 σ 1i + σ 2 j + σ 3 k · i + j+ k=0 3 3 3 1 1 1 σ1 + σ 2 + σ 3 = 0 ⇒ σ1 + σ 2 + σ 3 = 0 3 3 3
)
因而可知π平面上的任意点所代表的 因而可知 平面上的任意点所代表的 应力状态的平均应力为 应力状态的平均应力为 σm=
三、屈服曲面和屈服轨迹
当各应力分量的绝对值都很小时， 当各应力分量的绝对值都很小时，材料处于弹 性阶段， 性阶段，应力空间中表示这个应力状态的点在坐标 原点附近。当各应力分量的绝对值（ 原点附近。当各应力分量的绝对值（或某些分量的 绝对值）足够大时，材料进入塑性阶段， 绝对值）足够大时，材料进入塑性阶段，应力空间 中表示这个应力状态的点就会离开原点相当的距离。 中表示这个应力状态的点就会离开原点相当的距离。 因此，可以设想在应力空间中 在应力空间中， 因此，可以设想在应力空间中，靠近坐标原点 且包括原点在内，有一个弹性区 弹性区（ 且包括原点在内，有一个弹性区（在这个区内的点 表示的应力状态处于弹性阶段） 而在其外则为塑 表示的应力状态处于弹性阶段），而在其外则为塑 性区（其中各点表示的应力状态已进入塑性阶段） 性区（其中各点表示的应力状态已进入塑性阶段）。
应力空间： 应力空间：以σ1，σ2，σ3为坐标的三维空 称为应力空间。 间，称为应力空间。 应力空间中的一点 P ， 就代表一个应力状 态，它的三个主应力是σ1，σ2，σ3。 屈服曲面：屈服条件式（3.2） 屈服曲面：屈服条件式（3.2）表示应力 空间中的一个曲面，称为屈服曲面。 空间中的一个曲面，称为屈服曲面。
二、等倾线与π平面 等倾线与 平面
1.等倾线 应力空间中通过原点与 1， 等倾线：应力空间中通过原点与 等倾线 应力空间中通过原点与σ σ2，σ3轴正方向成相同夹角的直线 称为等倾 轴正方向成相同夹角的直线，称为等倾 如图中的OL线 线（如图中的 线）。
图3.3
（3—5） ） 等倾线方程式： 等倾线方程式： σ1=σ2=σ3 （3—6） ） 于是可知， 于是可知，等倾线上任意点所代表的应力状 态都是球张量（ ），其偏张量为零 其偏张量为零。 态都是球张量（σ1=σ2=σ3 =σm），其偏张量为零
（3）建立相应的塑性应力应变关系 建立相应的塑性应力应变关系 如材料是处于塑性阶段的加载状态； 如材料是处于塑性阶段的加载状态 ； 则 应根据材料是理想塑性材料还是强化材料建立 相应的塑性应力应变关系。 相应的塑性应力应变关系。 （4）强化条件 强化条件 如材料是强化材料， 如材料是强化材料，还要弄清σh与σs以 及其他因素的关系，即强化条件。 及其他因素的关系，即强化条件。
弹性区和塑性区的分界面就是屈服 曲面， 也就是屈服条件方程（ 曲面 ， 也就是屈服条件方程 （ 3—2 ） 式 在应力空间中所代表的曲面。 在应力空间中所代表的曲面 屈服曲面与π平面的交线叫做屈服轨 屈服曲面与 平面的交线叫做屈服轨 迹。
四、π平面上的点所代表的应力状态 平面上的点所代表的应力状态
对于单向拉伸而言，通过实验应力—应变曲线 应变曲线， 对于单向拉伸而言，通过实验应力 应变曲线， 就可以解决上述问题： 就可以解决上述问题： 为屈服应力， （1）屈服条件就是 ）屈服条件就是σ=σs，σs为屈服应力，可以通 过拉伸实验定出。 过拉伸实验定出。 时为加载， 时为卸载。 （2）dσ>0时为加载，dσ<0时为卸载。 ） 时为加载 时为卸载 （ 3） 塑性阶段加载时的塑性应力应变关系 ， 也 ） 塑性阶段加载时的塑性应力应变关系， 可由单向拉伸实验定出（即图中的曲线ABF）。 可由单向拉伸实验定出（即图中的曲线 ） （4）如果是强化材料，σh与σs的关系也可由拉伸 ）如果是强化材料， 试验的应力—应变曲线得出。 试验的应力 应变曲线得出。 应变曲线得出 但是在塑性力学问题中但更多的问题则属于复杂 应力状态。 应力状态。
1 1 1 等倾线方向余弦： 等倾线方向余弦： 3 ， 3 ， 3
2.π平面：经过原点 以等倾线为法线的平 平面：经过原点O以等倾线为法线的平 平面 平面。 面称为π平面。 π平面方程式： σ1+σ2+σ3=0 （3—7） 平面方程式： 平面方程式 ） π平面方程式推导如下： 平面方程式推导如下： 平面方程式推导如下
第三章 塑性本构关系
§3.1 概述
一、单向拉伸条件下的塑性本构关系
从韧性金属材料的单向拉伸试验曲线可 发现如下现象： 发现如下现象： 弹性阶段， （ 1）σ＜σs， 弹性阶段 ， 加 、 卸载都服从 ） ＜ 虎克定律 σ = E。 ε 进入塑性阶段。 （ 2）σ＞σs， 进入塑性阶段 。 加载与卸载 ） ＞ 服从不同的规律： 服从不同的规律： 继续加载： 继续加载 ： 产生新的不可恢复的塑性变 服从塑性变形规律（曲线SABF）， 形，服从塑性变形规律（曲线 ） 卸载： 卸载 ： 应力的减少量与应变的减少量之 间服从弹性变形规律（虎克定律） 间服从弹性变形规律（虎克定律）。