材料力学课件 第三章 扭转
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材料力学课件第3章 扭转
i 1
n
6366 N· m
即：任一截面上的扭矩等于截面 一侧所有外力偶矩的代数和。
M ei
+ _
指向所求截面时代负 背离所求截面时代正
4774.5 N· m 9549 N· m
例2 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D 轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作
M e 2 M e 3 4774.5 N m
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩.假设 T 2为正值.
由平衡方程
Me2 B Me2
Me3 2 C 2 Me3 T 2 C
Me1
Me4 D
Mx 0
M e 2 M e 3 T2 0
A x
T2 M e 2 M e 3 9549N m
第三章
扭
转
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 扭转内力的计算 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件 §3-5 圆轴在扭转时的变形 ·刚度条件 §3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3-7 非圆截面杆的扭转 §3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转
二、受力特点
杆件的两端作用两个大小相等、方向相
P—轴传递的功率(kW)
二、内力的计算
1.求内力 截面法 在n-n 截面处假想将轴截开， 取左侧为研究对象 Me Me
Mx 0
T Me
Me T
2.扭矩符号的规定 采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负. 3.扭矩图 用平行于杆轴线的坐标 x 表示
Me
n
Me • x
应力的分布规律
n
6366 N· m
即：任一截面上的扭矩等于截面 一侧所有外力偶矩的代数和。
M ei
+ _
指向所求截面时代负 背离所求截面时代正
4774.5 N· m 9549 N· m
例2 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D 轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作
M e 2 M e 3 4774.5 N m
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩.假设 T 2为正值.
由平衡方程
Me2 B Me2
Me3 2 C 2 Me3 T 2 C
Me1
Me4 D
Mx 0
M e 2 M e 3 T2 0
A x
T2 M e 2 M e 3 9549N m
第三章
扭
转
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 扭转内力的计算 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件 §3-5 圆轴在扭转时的变形 ·刚度条件 §3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3-7 非圆截面杆的扭转 §3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转
二、受力特点
杆件的两端作用两个大小相等、方向相
P—轴传递的功率(kW)
二、内力的计算
1.求内力 截面法 在n-n 截面处假想将轴截开， 取左侧为研究对象 Me Me
Mx 0
T Me
Me T
2.扭矩符号的规定 采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负. 3.扭矩图 用平行于杆轴线的坐标 x 表示
Me
n
Me • x
应力的分布规律
材料力学第四版课件 第三章 扭转
2
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
材料力学课件扭转
用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。
但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，
还要注意加上成本和构造上的要求等因素。
§3-5 扭转变形 扭转刚度计算
Ⅰ. 扭转时的变形
等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭
转角(相对角位移) 来度量。
Me
AD BC
Me
由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单 位长度扭转角)为 d T 可知，杆的相距 l
Wp1
πd13 16
,
Wp2
πD23 16
14
1,max
T1 Wp1
Me Wp1
16Me πd13
2,max
T2 Wp2
Me Wp2
16Me
πD23 1 4
2. 求D2/d1和二轴重量之比。
由1,max=2,max，并将 ＝0.8代入得
D2 d1
3
1 1 0.84
1.194
因为两轴的长度l 和材料密度 分别相同，所
斜截面 ef (如图)上的应力。
分离体上作用力的平衡方程为
F 0,
d A d Acos sin d Asin cos 0
F 0,
d A d Acos cos d Asin sin 0
利用 = '，经整理得
sin 2 , cos 2
sin 2 , cos 2
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得
r0 即
材料力学 第三章 扭转PPT课件
8
(Torsion)
9
(Torsion)
10
(Torsion) 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
11
(Torsion)
二、受力特点(Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方
向相反、且作用平面垂直于杆件轴
线的力偶.
me
三、变形特点(Character of deformation)
4
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
1、螺丝刀杆工作时受扭。
5
(Torsion)
6
(Torsion)
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
7
(Torsion)
MA ml
2、截面法求扭矩 TMAmx
Tm (lx)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
21
(Torsion)
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Tors
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
12
(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
1秒钟输入（出）的功：P×1000N•m
(Torsion)
9
(Torsion)
10
(Torsion) 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
11
(Torsion)
二、受力特点(Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方
向相反、且作用平面垂直于杆件轴
线的力偶.
me
三、变形特点(Character of deformation)
4
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
1、螺丝刀杆工作时受扭。
5
(Torsion)
6
(Torsion)
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
7
(Torsion)
MA ml
2、截面法求扭矩 TMAmx
Tm (lx)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
21
(Torsion)
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Tors
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
12
(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
1秒钟输入（出）的功：P×1000N•m
材料力学第三章ppt课件
R
该定理表明：在单元体相互垂直的 两个平面上，切应力必然成对存在，
y t
´
a
b
且数值相等，两者都垂直于两平面 的交线，其方向则共同指向或共同
dy
c
´
d
x
背离该交线。
z dx
三、切应变、剪切胡克定律
T=M
= T
2A 0t
=R L
剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ
用截面法研究横截面上的内力
T = Me
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
扭矩图
扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律；
的 ②|T |max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
T
x
例题1已知：一传动轴，n =300r/min，主动轮输入
M 4 9 .5 5P n 4 9 .5 5 3 2 0 0 0 06 .3(k N m )
解：（2）求扭矩（扭矩按正方向设）
M1 15.9
1-1 截面
M2M34.8
M4 6.3
M 0 x
T1 M2 0
M2 1
T 1M 24.8kN m
M3 2
M1 3 M4
≤τp )，切应力与切应变成正比关系。
三、切应变、剪切胡克定律
G
拉压胡克定律： E
式中：G 是材料的一个弹性常数，称为切变模量
切变模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常 数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：
材料力学(扭转) PPT课件
y
3、斜截面上的 应力分析
x
n
x
z
t
Fn 0 dA zdAcos sin dAsin cos 0
Ft 0 dA dAcos cos dAsin sin 0
sin 2
讨论：
外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
功率、转速和外力偶矩之间的关系
ω = 2π n /60 ，1 kW = 1000 N•m/s
功率：P 角速度： 转速：n 外力偶矩：T 功率、转速和外力偶矩之间的关系：
T P P 2n
若功率P的单位为千瓦，转速n的单位为转/分：
T 9549 P ( N m) n
T
第三章 扭转
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
例4-1 NA=19kW,NB=44kW,
TA
NC=25kW, n=150rpm
求：作图示传动轴的扭矩图
解：1. 求外力偶
TA
TA= 9549 19 =1210Nm
150
同样 TB=2800Nm, TC=1590Nm
TA
Mn
2.截面法求内力( 设正法)
Mn IPFra bibliotek变形
Mnl GI p
强度条件 max
Mn Wp
刚度条件 d Mn 180
dx G I p
第三章的基本要求
1．掌握根据轴的传递功率和转速计算外力偶矩；
2．掌握扭转时内力（即扭矩）的计算以及扭矩图的画 法；
3．掌握扭转切应力的计算方法；
45
第三章 扭转
《材料力学》课件——第三章 扭转
F
Me
F
M'e
汽车的转向操纵杆
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
A
B
B'
Me
扭转：在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于 直杆轴线的外力偶Me作用下，直杆的相邻横截面将 绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将成斜线， 而轴线仍维持直线。
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
g
A
B
j
B'
Me
外力偶作用平面和杆件横截面平行
M2
M3
M1
M4
解：①计算外力偶矩
M1
9.55
P1 n
9.55 500 300
A
15.9(kN m)
B
C
M2
M3
9.55
P2 n
9.55 150 300
4.78
(kN m)
M4
9.55
P4 n
9.55 200 300
6.37
(kN m)
n D
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 , C
T1 M 2 0
T1 M 2 4.78kN m
M2 1 M2
A1 M2
M3
M1
2
3M4
n B 2 C 3D
T2 M 2 M 3 0 ,
T2 M 2 M 3
A
(4.78 4.78)
9.56kN m
T3-M4=0
T3=M4=6.37KN·m
T1
T2
T3
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
代入上式得：
G g
材料力学课件第三章_扭转
x
mC
C
mD n
D
T (kN m)
A
mA
3.82
7.64
11.46
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
圆杆扭转时横截面上的应力
（一）试验观察
（1）纵线：倾斜同一角度并保持直线。 （2）圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。
（3）正方形网格，加外力偶后变成平行四边形。
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
C
n
A
mD
D
M 0 T1 mB 0
T1 mB 3.82(kN m)
同理可得：
mB
T1 mB
B
mA
T2 m B mC 7.64(kN m)
mC T2
C
mD
D
T3 mD 5.10(kN m)
T3
3. 画扭矩图
mB
B
mC
C
n
A
mD
D
mA
T1 3.82(kN m)
沿45°斜截面
沿纤维、木纹方向
一点的应力分析
单元体分析
§6-5 圆轴扭转的破坏分析
二、单元体分析——切应力互等
y x z z y
Mn
x
单元体
(dzdy)dx (dxdy)dz
'
'
在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向 则均指向或离开该交线－切应力互等定理
试画轴的扭矩图。
解： 1. 计算外力偶矩
mB
B
mC
C
n
A
mD
D
mA
PA 400 mA 9549 9549 1.27 10 4 ( N m) n 300
mC
C
mD n
D
T (kN m)
A
mA
3.82
7.64
11.46
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
圆杆扭转时横截面上的应力
（一）试验观察
（1）纵线：倾斜同一角度并保持直线。 （2）圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。
（3）正方形网格，加外力偶后变成平行四边形。
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
C
n
A
mD
D
M 0 T1 mB 0
T1 mB 3.82(kN m)
同理可得：
mB
T1 mB
B
mA
T2 m B mC 7.64(kN m)
mC T2
C
mD
D
T3 mD 5.10(kN m)
T3
3. 画扭矩图
mB
B
mC
C
n
A
mD
D
mA
T1 3.82(kN m)
沿45°斜截面
沿纤维、木纹方向
一点的应力分析
单元体分析
§6-5 圆轴扭转的破坏分析
二、单元体分析——切应力互等
y x z z y
Mn
x
单元体
(dzdy)dx (dxdy)dz
'
'
在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向 则均指向或离开该交线－切应力互等定理
试画轴的扭矩图。
解： 1. 计算外力偶矩
mB
B
mC
C
n
A
mD
D
mA
PA 400 mA 9549 9549 1.27 10 4 ( N m) n 300
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§3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形(不讲) (Calculation of the stress and deformation in close-coiled helical springs)
§3-7 非圆截面杆的扭转 (介绍Torsion of noncircular prismatic bars)
§3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转(不讲) (Free torsion of open and closed thin-walled members)
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
在n-n 截面处假想将轴截开取
左侧为研究对象
Me
Me
Mx 0
T Me
Me
T
(Torsion)
2.扭矩符号的规定 (Sign convention for torque)
Me
采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负.
3.扭矩图(Torque diagram)
Me
用平行于杆轴线的坐标 x 表示
Me4 D
(Torsion)
同理,在 BC 段内
Me2 1 Me3
T1 Me2
在 AD 段内
4774.5
Nm
B Me2
T3 Me4 6366 N m
1C T1
注意：若假设扭矩为正值,
则扭矩的实际符号与计算符号相同.
Me1 3 Me4 A 3D
Me4 T3
6366 N·m
作出扭矩图
+
从图可见,最大扭矩在 CA段内.
关
geometric
系
物 理 关
变形的分布规律
relation physical
Distribution regularity of deformation
系
relation
静
应力的分布规律
力 关
static
系
relation
Distribution regularity of stress
建立公式
单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.
(Torsion)
三、剪切胡克定律
(Hooke’s law for shear)
Me
由图所示的几何关系得到
r
l
Me
l
式中, r 为薄壁圆筒的外半经.
薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时,与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
1.实验前 （1）画纵向线,圆周线;
（2）施加一对外力偶.
2.实验后 （1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 Me 间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；
x
dx
Me
（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；
（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
(Torsion)
3.推论(Inference)
3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算 (calculating the polar moment of inertia §ion modulus under torsion)
（1）实心圆截面
dA 2π(d )
d
Ip
2dA
A
d
2 2π 3d
0
πd 4 32
Wt
Ip
max
πd 4 / 32 d/2
— 求应力的点到圆心的距离
Ip —横截面对圆心的 极惯性矩
(Torsion)
2. max的计算(Calculation of max)
max
Tmax
Ip
T Ip
T Wt
max
Wt
Ip
max
dA T
max
ρ ρ O
rρ dA
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.
(Torsion)
截面上的扭矩.假设 T 2为正值. 由平衡方程
Me2
Me3 2
Me1
Mx 0
B C2 A
Me2 Me3 T2 0
Me2
T2 Me2 Me3 9549N m
Me3 T2 x
结果为负号,说明T 2 应是负值扭矩 同理,在 BC 段内
BC
T1 Me2 4774.5 N m
Me2 T1 x
πd 3 16
（2）空心圆截面
Dd
Ip
πD4(1 4 )
32
其中
Wt
πD3 16
(1
4)
d D
dρ ρ O
dρ ρ O
(Torsion)
例题2 图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变模量 G=80GPa.
（1） 画轴的扭矩图；
dy dz
由平衡方程
Fy 0
两侧面的内力元素 dy dz
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶. z
其矩为( dy dz) dx
τ
τx
dx
(Torsion)
2. 要满足平衡方程
y
Mz 0 Fx 0
在单元体的上、下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对内力元素
它们组成力偶，其矩为 ( dxdy)dz
（2） 求轴的最大切应力,并指出其位置.
M1
M2
A
B
C
l
l
(Torsion)
解:（1）画轴的扭矩图
BC段 T1+Me2=0
T1 = -4kN·m （-）
AB段 T2+Me2-Me1=0
T2 =2kN·m （+）
最大扭矩发生在BC段
Tmax=4kN·m
2kN·m
+
2
1
Me1
Me2
A
B
C
l
l
T1 Me2
(Torsion)
(Torsion) 二、受力特点(Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直 于杆件轴线的力偶.
三、变形特点(Character of deformation)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
1. 数学表达式 (Mathematical formula)
max
Tmax Wt
[
]
2.强度条件的应用 (Application of strength condition)
此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx
dy dz
τ
τx
数量相等而转向相反，从而可得 z
dx
3.切应力互等定理 (Shearing stress theorem)
单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等, 都指相（或背离）该两平面的交线. 4.纯剪切单元体 (Element in pure shear)
(Torsion)
§3-4 圆杆扭转的应力分析 · 强度条件
(Analyzing stress of circular bars &
strength condition)
变
形
观察变形
Examine the deformation
几 何
提出假设
deformation
then propose the hypothesis
Chapter 3 Torsion
(Torsion)
第三章 扭 转 (Torsion)
§3-1 扭转的概念和实例 (Concepts and example problem of torsion)
§3-2 扭转内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
T 2πr 2
此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式.
薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,
指向与扭矩的转向一致.
τ T
τ
(Torsion)
二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem)
1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力, y
其方向于 y 轴平行.
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
D
(Torsion)
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
D
解: 计算外力偶矩
M
e
9
549
p kw n
r / min
Me1 15915 N m
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
(Torsion)
计算 CA 段内任横一截面 2-2
Me
（1）横截面上无正应力，只
有切应力；
（2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切.
圆周各点处切应力的方向于圆周相切, A
且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处
切应力的数值无变化.
B
Me
D
C
dx δ
(Torsion)
4.推导公式 (Derivation of formula)
A dA r r A dA r(2π r ) T
_
4kN·m
C
T2 Me1
Me2
B
C
(Torsion)
（2）求轴的最大切应力,
并指出其位置
max
Tmax Wt
§3-7 非圆截面杆的扭转 (介绍Torsion of noncircular prismatic bars)
§3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转(不讲) (Free torsion of open and closed thin-walled members)
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
在n-n 截面处假想将轴截开取
左侧为研究对象
Me
Me
Mx 0
T Me
Me
T
(Torsion)
2.扭矩符号的规定 (Sign convention for torque)
Me
采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负.
3.扭矩图(Torque diagram)
Me
用平行于杆轴线的坐标 x 表示
Me4 D
(Torsion)
同理,在 BC 段内
Me2 1 Me3
T1 Me2
在 AD 段内
4774.5
Nm
B Me2
T3 Me4 6366 N m
1C T1
注意：若假设扭矩为正值,
则扭矩的实际符号与计算符号相同.
Me1 3 Me4 A 3D
Me4 T3
6366 N·m
作出扭矩图
+
从图可见,最大扭矩在 CA段内.
关
geometric
系
物 理 关
变形的分布规律
relation physical
Distribution regularity of deformation
系
relation
静
应力的分布规律
力 关
static
系
relation
Distribution regularity of stress
建立公式
单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.
(Torsion)
三、剪切胡克定律
(Hooke’s law for shear)
Me
由图所示的几何关系得到
r
l
Me
l
式中, r 为薄壁圆筒的外半经.
薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时,与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
1.实验前 （1）画纵向线,圆周线;
（2）施加一对外力偶.
2.实验后 （1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 Me 间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；
x
dx
Me
（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；
（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
(Torsion)
3.推论(Inference)
3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算 (calculating the polar moment of inertia §ion modulus under torsion)
（1）实心圆截面
dA 2π(d )
d
Ip
2dA
A
d
2 2π 3d
0
πd 4 32
Wt
Ip
max
πd 4 / 32 d/2
— 求应力的点到圆心的距离
Ip —横截面对圆心的 极惯性矩
(Torsion)
2. max的计算(Calculation of max)
max
Tmax
Ip
T Ip
T Wt
max
Wt
Ip
max
dA T
max
ρ ρ O
rρ dA
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.
(Torsion)
截面上的扭矩.假设 T 2为正值. 由平衡方程
Me2
Me3 2
Me1
Mx 0
B C2 A
Me2 Me3 T2 0
Me2
T2 Me2 Me3 9549N m
Me3 T2 x
结果为负号,说明T 2 应是负值扭矩 同理,在 BC 段内
BC
T1 Me2 4774.5 N m
Me2 T1 x
πd 3 16
（2）空心圆截面
Dd
Ip
πD4(1 4 )
32
其中
Wt
πD3 16
(1
4)
d D
dρ ρ O
dρ ρ O
(Torsion)
例题2 图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变模量 G=80GPa.
（1） 画轴的扭矩图；
dy dz
由平衡方程
Fy 0
两侧面的内力元素 dy dz
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶. z
其矩为( dy dz) dx
τ
τx
dx
(Torsion)
2. 要满足平衡方程
y
Mz 0 Fx 0
在单元体的上、下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对内力元素
它们组成力偶，其矩为 ( dxdy)dz
（2） 求轴的最大切应力,并指出其位置.
M1
M2
A
B
C
l
l
(Torsion)
解:（1）画轴的扭矩图
BC段 T1+Me2=0
T1 = -4kN·m （-）
AB段 T2+Me2-Me1=0
T2 =2kN·m （+）
最大扭矩发生在BC段
Tmax=4kN·m
2kN·m
+
2
1
Me1
Me2
A
B
C
l
l
T1 Me2
(Torsion)
(Torsion) 二、受力特点(Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直 于杆件轴线的力偶.
三、变形特点(Character of deformation)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
1. 数学表达式 (Mathematical formula)
max
Tmax Wt
[
]
2.强度条件的应用 (Application of strength condition)
此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx
dy dz
τ
τx
数量相等而转向相反，从而可得 z
dx
3.切应力互等定理 (Shearing stress theorem)
单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等, 都指相（或背离）该两平面的交线. 4.纯剪切单元体 (Element in pure shear)
(Torsion)
§3-4 圆杆扭转的应力分析 · 强度条件
(Analyzing stress of circular bars &
strength condition)
变
形
观察变形
Examine the deformation
几 何
提出假设
deformation
then propose the hypothesis
Chapter 3 Torsion
(Torsion)
第三章 扭 转 (Torsion)
§3-1 扭转的概念和实例 (Concepts and example problem of torsion)
§3-2 扭转内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
T 2πr 2
此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式.
薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,
指向与扭矩的转向一致.
τ T
τ
(Torsion)
二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem)
1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力, y
其方向于 y 轴平行.
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
D
(Torsion)
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
D
解: 计算外力偶矩
M
e
9
549
p kw n
r / min
Me1 15915 N m
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
(Torsion)
计算 CA 段内任横一截面 2-2
Me
（1）横截面上无正应力，只
有切应力；
（2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切.
圆周各点处切应力的方向于圆周相切, A
且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处
切应力的数值无变化.
B
Me
D
C
dx δ
(Torsion)
4.推导公式 (Derivation of formula)
A dA r r A dA r(2π r ) T
_
4kN·m
C
T2 Me1
Me2
B
C
(Torsion)
（2）求轴的最大切应力,
并指出其位置
max
Tmax Wt