9.大学物理电子教案真空中的磁场

第九章 真空中的磁场
（magnetic field in vacuum ）
§9—1磁感应强度 （magnetic induction ）
一、 磁场（magnetic field ） 1、概念（concept ）
一种特殊物质，有力，能的作用 2、产生（produce ） 电流(运动电荷)产生
二、磁感应强度B
（magnetic induction ） 1、概念（concept ） （1）实验发现
①场中有特殊方向，正电荷沿此方向运动F=0（定义B
向）
②场中有特殊方向，正电荷沿此方向运动V F F F
⨯=max max ,方向
③比值qv
F max 仅由场性质决定
（2）定义
V
F qv
F B ⨯=
max max :方向大小 qv
V F B ⨯=max
2、特性（specific property ） 可加
§9—2毕奥一萨伐尔定律 （Biot-Savart’s law ）
一、内容（content ）
电流元Id
在P 点产生的磁感应强度大小
B
2
0sin 4r Id dB θπμ =
方向 r Id
⨯
3
04r r Id B d ⨯=πμ
二、应用（application ） 计算电流的磁场
1、方法（way ）
（1） 用定律写出场点的B d
表达式
（2） 将之化成坐标式（标量化） （3） 统一变量术积分
（4） 多段电流，用叠加原理来合成
2、随堂练习（practice on the class ）
I
长直载流导线特例πθθ==∞→21,0:
a
I
B πμ20=
半长直载流导线),2
(21πθπθ==
a
I B πμ40=
02 载流（I ）圆线圈（R ）轴线上的场
1 求载流直导线的磁场B
电流工I 、a ,2,1θθ已知，求p B
解（1） 用定律 2
0sin 4r
Id dB θ
πμ = 方向⊗ （2） 标量化
由
)cos (cos 4sin 4sin sin ,.tan 21002,,21
θθπμθθπμθ
θ
θθθ
θθ-===
==-=→⎰a
I
d a I B a r ad d d ac y r y
R
Id B
d r
（2） 标量化
2
02
04cos cos 4r Id dB dB r Sin Id dBSin dB y X πϕ
μϕπϕ
μϕ =
==
=
（因对称⎰=,0Y dB x B B =）
（3） 统一变量求积分（仅一个变量, d r
R Sin =
ϑ） ⎰⎰⎰+====R X X R IR r IRd r Id aB B πμπμπϕμ202
3222030
20)(244sin 讨论 ∙ 0=x 圆心处
R
I
B 200μ=
〔半圆电流)2(2102
1,0R
I
B μ=
〕 ∙若是N 匝线圈，据叠加原理
2
32
2
2
01)
(2X R NIR NB B N +=
=μ
03
一电流如图，求O 点处的场
故 542B B B B -+=
由图知此为二维场 解 （1） 用定律写
2
02
4r Sin Id dB ππμ =
解O 处的场 为1、2、3、4、5 段电流场之和，据公式
Θ
=⊗=
⊗===)2(21),2(21),2(210
2
052
041
0231R I B R I
B R I B B B πμμμ
2
02
01
0444R I
R I
R I
πμμμ-
+
=
§9-3 磁场高斯定理与安培环路定理
(Gauss theorem and Ampere circuital theorem in magnetic field) 一、磁通量(magnetic flux)
1、 概念(concept )
通过某一面积的磁感应线数目φφ→m 2、计算(compute)
（1） 公式
⎰⎰⋅==s d B d
φφ
（2） 方法
利用对称选面元、先求d φs d B ⋅= 后积分,φ⎰⋅=s d B
关键是选好面元（其内各处B 相等） （3） 例题 9-2
电流为I 的长直截流导线，附近有一与导线共面的单匝矩形线圈，其一边与导线平行，求通过此平面的磁通量
解 选面元adx ds =如图
I
二、
高斯定理(Gauss theorem) 由于B
线的闭合性，因此
0=⋅⎰⎰s d B
说明B
为有旋场，无势的概念 三、
安培环路定理(Ampere circuital theorem)
1、内容(content)
∑
⎰=⋅0μL
d B
d
b a n Ia adx x
adx
x I s d B d I
d
b
d +==Φ=⋅=Φ⎰+ πμπμπμ222000
(Ii —穿过回路L 所围平面的任一电流)
磁感应强度沿任一闭合回路的积分值（称环流） 穿过该回路所围平面电流代数和的0μ倍。

2、证明(proved)
略
3、应用(application) （1）注意
①场或电流分布是否有对称性 ②选好回路
01使回路上各点B 相等—圆周
选）
02使回路上部分段B 相等，部分段B
与 d 垂直
—矩形回路（长直截流螺线管如此选） （2）算例 01求电流均匀分布的长直截流（I ）
)(2
R r R
I
<πμ )(0R r I >μ
)(22
0R r r R I
<πμ
)(20R r r
I
<πμ
02 求截流长直螺线管内的磁场（Ｉ，线圈密度n ）
（前已求[见式（9.9）]，长直螺线管轴线上的场nI B 0μ=）
=
B=
圆柱导体（半径为R ）的磁场 解 （1） 场（电流）呈轴对称分布
（2） 选圆周回路，半径r ]
（3） 用定理 00μμ==⋅∑⎰Ii d B
解 (1)电流量轴对称分布
(2)管内选矩形回路,一边(ab)过轴线,一边过场点P
b
d
(3)用定理
⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅+⋅=⋅a a
c d
c b
b a
d B d B d B d B d B
⎰⎰=⋅+⋅=d c
b
a
d B d B 0
cd B ab B P x -=
nI x B B p 0μ==
§9-4 运动电荷磁场
(magnetic field of moving charge)
一、磁场公式(formula of magnetic field)
1、推导(deduce)
注意到电流元dq v dq dt
d d dt dq Id
=== 代入毕萨定律得)(B d
2、 形式(form)
3
04r
r
x v q B πμ= 大小：2
04r qvSin B θ
πμ=
方向：r V
⨯
一、应用(application)
求运动电荷的场
方法： （1）找电荷dq q →
（2）求速度 v
（3）代公式3
04)(r v
x v q B d B πμ=
例9—3 求均匀带电圆盘（半径R ，面电荷密度σ）以ω绕中心轴旋转产生的场（运动电流的场）
R
dr
2
0sin 4r dqv dB ϑ
πμ=
),2
(2
r v dr ωπ
ϑωσμ==
=
（3）积分
R m dr dB B R
O
ωσωσμ00
2
1
2
⎰⎰
===
随堂小议(discuss on the class)
对于恒定磁场，下列说法中正确的是：
（1） 安培环路定理具有普适性，它对具有对称性的磁场求解B
值较方便； （2） 安培环路定理可以用来确定圆电流的磁场；
（3） 安培环路定理∑⎰=⋅Ii d B 0μ
说明，B 仅与回路所围电流有关 （4） 以上说法都不对 [])1(
作业 (home word)
9—8，9—14，9—18，9—20
解 （1）取圆环r π2
rar ds π2=，荷电
σπσrdr ds dq 2==
（2）代公式。