基于建模案例的极大线性无关组微课教学设计
高等数学线性代数极大线性无关组的性质于应用教学ppt(3)
向量组 B :1, ,m ,m1 也线性相关.反言之,
若向量组B 线性无关,则向量组A也线性无关 .
证
1,2 ,
,
线性相关,
m
存在不全为0的数x1, x2 , , xm,使
x11 x22 xmm =0,
从而存在不全为0的数x1, x2, , xm,0,使
x11 x22 xmm +0m+1=0.
ann xn 0,
a11 a12
a1n
当 a21 a22
a2n 0, 方程组(1)只有零解.
an1 an2
ann
定理2
向量组 1, 2, , m (m 2)线性相关
1, 2,
,
中至少有一个向量可
m
由其余向量线性表示.
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
向量组线性表示.
例4 将向量 (1, 0, 4)T 用向量组1 (0,1,1)T ,
2 (1, 0,1)T ,3 (1,1, 0)T 线性表出.
解 设x11 x22 x33 , 即
0x1 1x2 1x1 0x2
1x3 1x3
1, 0,
1x1 1x2 0x3 4,
解得x1
l11 l22 lmm ,
(k1 l1)1 (k2 l2 )2 (km lm )m 0,
1,2 ,
,
线性无关,
m
表示式唯一. Page56 例6； Page57. 例8； Page59. 例9
四、小结
１. 线性组合与线性表示的概念；
２. 线性相关与线性无关的概念；（重点）
３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
基于问题导向的极大线性无关组教学设计研究
㊀㊀㊀㊀㊀㊀基于问题导向的极大线性无关组教学设计研究基于问题导向的极大线性无关组教学设计研究Һ马㊀荣㊀（南京大学金陵学院基础教学部，江苏㊀南京㊀２１００４４）㊀㊀ʌ摘要ɔ以线性代数中的极大线性无关组教学为例，通过实际生活中的例子引入，从提出问题㊁分析问题到解决问题的全过程，展示了对极大线性无关组的概念㊁性质和求法的问题导向型教学设计案例，让学生充分体会到线性代数在实际生活中的应用．ʌ关键词ɔ线性代数；极大线性无关组；教学设计；问题导向ʌ基金项目ɔ江苏省高校哲学社会科学研究项目（编号：２０１９ＳＪＡ２０３２）；南京大学金陵学院教学改革与研究课题（编号：００１０５２２０２７）１㊀引㊀言问题导向型教学设计是最直接有效的一种教学设计模型，在现实的教学操作中也广为教学设计者们喜爱，它清楚明白地展示了如何运用知识解决实际问题，对于像线性代数这种抽象的理论十分适用且效果显著．本节教学设计以培养学生的核心素养为总目标和指导思想，激发和培养学生的数学素养，以情境式教学和探究式教学为主要形式，注重与学生的生活实际相结合．以当下热门的社会现象为课前引入，激发学生的兴趣，使他们积极探讨问题背后的数学知识，最终解决实际问题．从生活中来作开头，到生活中去作结尾，让学生充分体会线性代数在实际生活中的应用．２㊀极大线性无关组的教学背景２．１㊀教材分析教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会颁布的‘大学数学课程教学基本要求“对本节内容的要求为：了解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组．本节内容位于线性方程组这一章中，向量组的秩这一小节．向量是线性代数的重要内容，对研究线性代数的中心内容 线性方程组起到了至关重要的作用，而充分理解向量组的极大线性无关组这一概念，才能理解向量组的本质和内部关系，同时为后面理解线性方程组解的结构和掌握线性方程组的求解方法打下基础．另外，极大线性无关组的常用求法是利用第二章矩阵的初等变换，因此，本节内容对于线性代数前后知识的关联㊁融合十分重要，学好本节知识有利于学生将全部线性代数内容形成一个体系．２．２㊀学情分析学生在学习本节知识之前，已经学习了向量组的线性相关性和矩阵的初等变换，在线性无关的基础上，本节内容的关键就是理解 极大 这两个字的含义，另外，极大线性无关组的不唯一性是一个难点，这对理解极大线性无关组的本质和作用将是一个障碍．这一障碍是通过引入具体的向量组例子和导入环节中导入现实生活中实际的例子来解决的，从而帮助学生理解不唯一性这一难点．２．３㊀教学目标１．知识与技能：理解极大线性无关组的概念，了解极大线性无关组的性质和作用；掌握利用矩阵的初等变换求向量组极大线性无关组的方法．２．过程与方法：通过观看图片和视频，让学生增强从生活中发现问题㊁提出问题的意识；通过现实生活中的例子和极大线性无关组的数学概念，使学生学会理论联系实际的方法；通过抛弃 多余 向量，让学生体验数学中化繁为简的思想方法；通过问题从引入到分析再到解决的全过程，教会学生从实际问题中建立数学模型，并应用数学理论知识解决问题的本领．３．情感㊁态度与价值观：通过参与发现问题到最终解决问题的全过程，让学生充分领略数学的魅力和价值；通过引导学生对极大线性无关组概念的理解和性质的推导，培养学生主动思考㊁积极探究㊁不怕困难的精神和态度；通过对热门的社会现象的思考，培养学生的创新意识和综合素养．以上三种目标不是独立存在的，是在教学过程的每一步中有机地统一在一起，相辅相成的．２．４㊀教学重、难点教学重点：用初等变换求极大线性无关组．教学难点：对极大线性无关组不唯一性的理解，对极大线性无关组的性质和作用的理解．２．５㊀教学策略本课程通过对社会现象的讨论引入实际案例，为解决问题而开启数学理论知识的学习．课程在设计中注重：１．从学生的生活体验出发．学生是体验的主体，生活是体验的情境．２．以问题为中心，带着问题走进教材，靠着解决问题走进生活．以情境式和探究式为主要的学习方式贯串始终．２．６㊀教学手段在引入问题环节，教师通过展示图片和视频增加直观性和趣味性；再通过提问引发学生思考；通过ＰＰＴ来展示定义和例题；通过板书的形式来展示性质的推导和具体计算，这样一步步的推导体现了数学的严谨性．３㊀极大线性无关组的具体教学过程完整的教学过程可简单地用流程图表示如下：㊀㊀㊀㊀㊀教学过程具体可分为如下的步骤：１．导入环节描述现象 首先观看一段网络热门搞笑视频：生活中，商家的促销手段可谓五花八门，令人眼花缭乱，尤其是近些年来电商的蓬勃发展，你一定也经历过各种购物狂欢节中烦冗复杂的规则和套路，有网友吐槽 领到了购物津贴你就领到了数学试卷 ．提出问题 面对 精明 的商家，我们怎样才能不被套进去，做一个 精明 的消费者？建立模型 某商家打算用５种成分来制造多种谷物营养餐，下表列出了６种营养餐Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ每份所需各成分的量（以每１０克为单位）．㊀㊀㊀㊀营养餐谷物㊀㊀㊀㊀㊀ＡＢＣＤＥＦ黑芝麻３１．５７．５４．５９４．５红豆２４８０１６黑米１２４０２３核桃１２４０１３枸杞０．５１２０２１．５顾客要想得到全部的营养，当然购买全部的６种营养餐即可，然而是否可以少花些钱，只买其中的一部分，就能搭配出全部的营养餐呢？为了获得全部的营养，需要购买最少的营养餐种类是哪几个？引出主题 向量组的极大线性无关组．２．讲授环节（１）为解决问题，给出线性代数中极大线性无关组的定义，并对定义进行分析．（２）对于极大线性无关组，我们要研究的问题分为四部分：存在性㊁唯一性㊁性质和作用，如何求？对这四部分一一展开讨论．具体来说，按照定义通过对向量组α１＝１００æèççççöø÷÷÷÷，α２＝０１０æèççççöø÷÷÷÷，α３＝００１æèççççöø÷÷÷÷，α４＝１１０æèççççöø÷÷÷÷线性相关性的探讨，得出结论 非零向量组的极大线性无关组一定存在，若整个向量组线性相关，则极大线性无关组不唯一，这同时解决了存在性和唯一性两个问题．通过对定义的分析，可以推导出极大线性无关组的性质和作用 与原向量组等价，因而在讨论时可以代替原向量组，不必考虑多余的向量，使问题简化．通过向量与矩阵的联系，启发和引导学生发现极大线性无关组的常用求法 转化为矩阵问题，利用矩阵的初等变换解决问题．３．巩固环节利用刚得到的极大线性无关组的求法，对导入环节中的案例进行推导计算，６种营养餐可看作６个向量，求出这６个向量组成的向量组的极大线性无关组，它可以表示所有的向量，因而可以配出全部的营养餐，满足全部的营养成分，问题得到解决．４．小结环节在社会现象中思考，经历发现问题㊁提出问题㊁分析问题的过程，最终利用数学知识解决问题．相关的知识点有：极大线性无关组的定义㊁存在性㊁唯一性㊁性质㊁作用㊁求法．其中的重点是极大线性无关组的求法．难点是对极大线性无关组不唯一的理解及对性质和作用的理解．４㊀教学反思线性代数中高维的向量是纯理论的概念，没有几何表示，因而极具抽象性．本节教学设计通过实际生活中大家都会遇到的典型例子，让学生对线性代数这一抽象的概念有一个具体的认识．网络上热门的搞笑视频在课程一开始就抓住了学生的眼球，增强了课堂的趣味性，也容易让学生产生共鸣，从而使学生自然而然地提出问题，引发思考．极大线性无关组是向量的重要概念，相关的计算也是关于向量的重要运算．矩阵的初等变换贯串整个线性代数的始终，更是极其重要的，也是学生必须要熟练掌握的一种计算方法，在教学中要通过实例重点讲解和练习它．对于极大线性无关组的不唯一性这一难点，通过三维向量的简单实例予以解释说明．从生活中来到生活中去的完整过程，展现了数学建模的思想和发现问题㊁分析问题到解决问题的全过程，有助于培养学生的自主思考意识，提高学生的核心素养．ʌ参考文献ɔ［１］马荣．线性代数［Ｍ］．南京：南京大学出版社，２０１８．［２］赵树嫄．线性代数：第４版［Ｍ］．北京：中国人民大学出版社，２０１３．［３］付苗苗．基于案例的线性代数课堂教学研究［Ｊ］．科技经济导刊，２０１９（２１）：１４７．。
《极大线性无关组》课件
线性无关与线性相关的性质
线性无关的性质
如果向量组$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$是线性无关的，那么这组 向量中的任何一个向量都不能由其余向量线性表示。
线性相关的性质
如果向量组$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$是线性相关的，那么至少 存在一个向量可以由其余向量线性表示。
秩的性质法
总结词
利用秩的性质，通过计算矩阵的秩和子矩阵 的秩，确定极大线性无关组。
详细描述
秩的性质法也是一种有效的求极大线性无关 组的方法。首先，计算矩阵的秩。然后，通 过去掉矩阵中的某些行和列，得到子矩阵， 并计算子矩阵的秩。如果子矩阵的秩等于其 行数或列数，则对应的行或列向量是极大线 性无关组的一个元素。重复此过程，直到找 到所有极大线性无关组的元素。
向量组与极大线性无关组的关系
向量组的秩与极大线性无关组
一个向量组的秩等于其极大线性无关组的秩，即向量组的秩等于其最大线性无关向量的个数。
向量组的线性相关性与极大线性无关组
如果一个向量组中的向量可以由其他向量线性表示，则该向量组是线性相关的，否则是线性无关的。极大线性无 关组是线性无关的，且不能被其他向量线性表示。
THANKS
感谢观看
01
定义与性质
极大线性无关组是在向量空间中选取的一组线性无关的向量，其数量最
多，且无法再添加其他线性无关的向量。它具有一些重要的性质，如唯
一性、基底性质等。
02
计算方法
极大线性无关组的计算方法有多种，如高斯消元法、施密特正交化方法
等。这些方法可以有效地求解极大线性无关组，为向量空间的分解和矩
数学实验在线性代数教学中的应用——以极大线性无关组为例
数学实验在线性代数教学中的应用——以极大线性无关组为例摘要：线性代数内容的高度抽象性以及计算过程繁复性，是学生学习过程中的一大难点。
本文基于案例教学法，以极大线性无关组为例，将数学实验应用于实际问题的求解中。
加深学生对知识点的理解，提高学生动手能力和解决问题的能力。
关键词：线性代数；数学实验；案例教学法一、数学实验数学实验是借助与MATLAB编程语言，快速实现自高等数学、线性代数和概率统计课程中数学方法与数学模型的应用实践探索。
随着计算机技术的飞速发展，数学的应用日益广泛，利用 MATLAB软件为实验平台，借助其强大的直观呈现功能，实现传统的数学理论内容与程序实验内容交错进行。
MATLAB软件包含大量计算算法。
其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。
通过程序计算，一方面能够加深学生对线性方程组的求解、向量空间以及矩阵相关概念、性质的理解；另一方面在摆脱耗时枯燥的计算的同时也保证了计算结果的正确性和可靠性，提升学生的学习效率和学习兴趣。
二、线性代数课程概述及现状随着科技的迅猛发展，社会对于高校毕业生的综合要求也越来越高，要具备更高的专业素养、综合能力以及创新能力，达到复合型、应用型人才的要求。
线性代数课程是线性代数是高等学校理、工、经管类等多个专业的公共基础课，为现代社会诸多领域提供必备的数学分析工具，是本科阶段教学的重要必修课之一。
线性代数的研究对象多为离散量，如向量、向量空间、线性方程组、矩阵等，具有高度的抽象性、计算的复杂性以及广泛的应用性。
在线性代数的教材中，定义定理较多，涉及到计算的方面，方法虽易掌握，但计算量大、容易出错，定理证明较为抽象，学生理解起来难度比较大。
[2]这就要求教师在实际的线性代数授课过程中，要改进教学理念及教学方式，借助有实际背景的案例，在提高学生理解的基础上，结合计算机程序，使用MATLAB等数学软件求解线性代数问题，提高学生的分析问题、科学计算能力及理论与实践相结合的能力。
第三、四节 n维向量组的极大线性无关组
由矩阵的秩和它的向量组的秩的关系，我们 立刻会发现一个有趣的现象： 推论：设A 为 m n矩阵，秩 r ( A) r ，则有:
(1)当r=m 时，A 的行向量组线性无关;当r<m时， A的行向量组线性相关 (2)当r=n 时，A 的列向量组线性无关;当r<n时， A的列向量组线性相关。
当A为n阶方阵时，即当m=n时，A的列(行)向量 组线性无关的充要条件是
sr的
1 ,2 ,,r 1 , 2 ,, s K sr
若向量组 T1 和
T2
等价
1 ,2 ,,r 1 , 2 ,, s K sr
1 , 2 ,, s 1 ,2 ,,r Mrs
等价向量组的性质：
1. 自反性：一个向量组与其自身等价 2. 对称性：若向量组 T1和 T2等价，则向量组 T2 和 T1等价。 3. 传递性：若向量组 T1和 T2 等价，向量组 T2 和 T3 等价，则向量组 T1 和 T3 等价。
R n 中的两个向量组T1 和 T2 定理1 设
T1 1 , 2 ,, r
T
例2
判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 , , xn x2 , , xn R
T
解
V2不是向量空间.
T
因为若 1, a2 ,, an V2 ,
则2 2,2a2 ,,2an V2 .
T
一般地，L = { x = a + b | , R } 是一个向量空间. 因为若
r B 3, B的列向量组线性相关 , 1 1 1 , 2 , 3为其极大无关组， 4 1 2 0 3 2 2 A的列向量组线性相关 , 1 1 1 , 2 , 3为其极大无关组， 4 1 2 0 3 2 2
极大无关组的教学设计
极大无关组的教学设计引言：在教学过程中，教师的角色非常重要。
为了提供有效的学习体验，教师需要制定合适的教学设计，以满足学生的需求和促进他们的学习成果。
本文将探讨极大无关组的教学设计，探讨该设计如何有效地帮助学生实现学习目标。
一. 教学目标教学设计的第一步是确定教学目标。
在极大无关组的教学设计中，主要目标是帮助学生开发创造性思维，提高解决问题的能力，培养团队合作和沟通技巧。
此外，还需要通过课程培养学生的批判性思维和分析能力。
二. 教学内容极大无关组的教学设计包含多个主题，如以下几个例子：1. 初级数学和逻辑推理2. 创意思维和创造性问题解决3. 团队合作与沟通技巧4. 批判性思维和分析能力发展这些主题将通过有趣和引人入胜的活动来传授给学生。
例如，在初级数学和逻辑推理课程中，教师可以使用游戏和谜题等工具来帮助学生提高数学和逻辑推理能力。
在创意思维和创造性问题解决课程中，学生将参与各种创意活动，包括头脑风暴和设计挑战，以培养他们的创造力和解决问题的能力。
团队合作与沟通技巧将通过小组项目和角色扮演游戏等活动来培养。
最后，在批判性思维和分析能力发展课程中，学生将学习如何评估信息的可靠性和逻辑性，并提出合理的观点和论证。
三. 教学方法与策略为了实现教学目标，教师需要采用适当的教学方法和策略。
下面列举几个常用的方法和策略：1. 问题导向的学习：教师将问题引入课程，并引导学生思考和解决问题。
这种方法可以促进学生的批判性思维和分析能力。
2. 小组讨论和合作学习：在合适的时候，教师可以组织学生进行小组讨论和合作学习，以加强团队合作和沟通技巧。
3. 多媒体技术的应用：教师可以利用多媒体技术，如幻灯片演示和视频，来引入新的概念和知识，并吸引学生的注意力。
4. 实际应用活动：教师可以设计实际应用的活动，如实地考察和模拟情景，以帮助学生将所学知识和技能应用到实际问题中。
四. 评估与反馈教学设计的最后一步是评估和反馈。
教师可以使用多种评估方法，如考试、作业、小组项目和口头报告等，来评估学生的学习成果。
浅谈线性代数微课设计——以向量组的最大无关组与秩为例
线性无关;(
i
i)A０ 中添加一个(若存在)都线性相关,则称 A０ 为 A 的一个最大线性无关组,简称最大无关
组．
éê１ùú
例 １ 求向量组 A:α１ ＝ ê０ú ,
α２ ＝
êë úû
０
éê０ùú
α３ ＝
ê１ú ,
êë úû
０
éê０ùú
α４ ＝
ê０ú ,
êë úû
１
éê１ùú
α５ ＝
ê１ú ,
由“整体无关,部分无关”的结论知,剩余的向量中再去掉依然线性无关,即 当 前 剩 余 的 是 原 向 量 组 保 留
的一个“最大”的线性无关组,由此即可顺理给出定义:
定义 １[１] 设有向量组 A:α１ ,
α２ ,,
αm ,若能从中选出一个部分组 A０ :αi１ ,
αi２ ,,
αir ,满足:(
Ｇ
０５
Ｇ
２８; [修改日期]２０１９
Ｇ
０７
Ｇ
２４
[基金项目] 江苏省 ２０１７ 年高等教育教改研究立项课题(
２０１７JSJG５５８);南京 邮 电 大 学 通 达 学 院 ２０１７ 年 教 学 改 革 课
题(
JG２０６１７００８)
[作者简介] 王发兴(
１９８１－ ),男,硕士,副教授,从事泛函分析、偏微分方程、数学教学方法等研究 ．
为何要选取最大无关组? 最大无关组可能不唯一,有何内在联系? 为此介绍最大无关组的性质 ．
性质 １ 向量组的最大线性无关组与向量组本身等价 ．
性质 ２ 向量组的任意两个最大无关组等价 ．
性质 ３ 向量组的任意两个最大无关组所含向量个数相等 ．
说明 (
34向量组的极大线性无关组
1
则有
2
s
q11 q21
qs1
q12 q22
qs1
q1s q2s
qss
P1It 0
0 0
0
空
q1s 1 q2s 2 qss s 0 ,
间
由 Q 可逆，有 q1s , q2s ,, qss 不全为零，
第 二、向量组的秩 三 1. 向量组之间的线性表示 章 例如 设向量组 1, 2 , 3 , 4 能由 1, 2 , 3 , 4 线性表示：
n
1 1 2, 2 2 3,
维
3 3 4 , 4 1 4 ,
向
则有
量 空 间
1 0 0 1
向 量 空
(2) 当 r = n 时，A 的列向量线性无关， 当 r < n 时，A 的列向量线性相关；
间
特别地，方阵 A 的行(列)向量线性无关的充要条件
是 | A| 0.
21
§3.4 向量组的极大线性无关组
第 三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系
三
首先介绍几个引例，用来掌握在什么情况下，可以非常
3. 向量组的秩
n 维
4. 向量组的秩与矩阵秩的关系
向
量
空
间
16
§3.4 向量组的极大线性无关组
第 二、向量组的秩 三 4. 向量组的秩与矩阵秩的关系 章
n 定理 维 向 量 空 间
设
通常说，矩阵的秩
等于行秩等于列秩
则 r( A) 1,2 ,,m 的秩 1, 2 ,, n 的秩。
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基 于建模 案例 的极 大 缌 陛无 关组微 课 教 学设 计
黄静静
（ 北京信 息科技 大学理学院 北京 １ ｏ ｏ １ ９ ２ ）
１ ９ ８ ８
４ ６ ６ ． ５ ２ ５ ８ ． ６
４ ５ ３ ４
１ ５ ８ ． ９ ３ ２ ７ ． ４
３ ６５ ． １
３ ５７ ． ６
４ ２ ５ ． １ ４ Ｏ ３ ． ９
２ ５８ ． １
２ ５ １ ． ４ ２ ５ ６ ． ６
教 学・ 信息
课程教育研究
２ ０ １ ５ 年５ 月 上旬 刊
的促 动 下会 想到 ： 把５ ０ ０ 千 米这 个 条件 抛 开 ． ６ ÷ 一 ６ ． 这 时
４ ８ ４
化、 条理化。 建构 了知识体 系． 又能培养学生的创新精神。 四、 应 用拓展 。 算 法 多样 ， 培 养创 新 能力 拓展是培养学生创新能力的重要环 节和方法 ．而 “ 算法多 样” 是创新的再一次飞跃 。 就是学生面对某个问题 时， 能从不同的 途径 多方位 的 思考 问题 。使 解 决 问题 的思路 由一条 到 多条 ． 由一 个 角度 转 移到 另一 个 角度 ． 在 多种 思 维方 法 中选择 最佳 的 、 科 学 的思维方法。“ 算法多样” 能促进创新 能力的培养． 使 学生凭 自己 的聪 明智 慧和 实 际能 力去 解 决 问题 。 如． 教 学“ 一客 车从 雅 安 开往
４ 一
） 一 １ １ ， 通 过 这样 的优 化 思维 ， 促 进 学 生探 索 新知 识
一
的积 极性 ． 以此培 养 创新 能力
总之 ． 培养学生创新精神和 实践能力的主 阵地是课 堂教学 教 师 在数 学课 堂教 学 中 。要 坚持 以提 高 学生素 质 为根 本 宗 旨． 以 行 多少小时到达重庆？” 促进 学生去思考 ． 能用不 同的方法解答 新课程标准为依据 。以培养 学生创新精神和实践能力为重点 ． 让 吗 ？一般 学生 都能 找 出两 种解 法 ： 课 堂教 学充满激情与活力，真正让学生成为学习与创新的主体 ． 而不 是 书本 和考 试 的奴 隶 ， 转 变教 学模 式 ， 将 单 一 的传 承 式 、 维持 式、 守旧式的教 学模式转 变为开拓 式、 发展 式、 创造式的 多种教 学 方式 。切 实转 变教 育观 念 ． 积 极 实施 启发 式 、 探 究式 和 沟 通式 教 学， 让 学 生的 创新 能 力和 实践能 力得 到 最 大的 发 展 ． 尽 力 达到 新 教 师提 出还有别的解法吗？思维能力比较好 的学生在 老师 课 程 标 准的要 求 ， 实现新 课程 标 准 的 总 目的
２７ ８． ８
３ ２ １ ２ ８ ２ ． ９
４６ ７． ２
【 摘要】 针对《 线性代数》 课程中“ 向量组的极大线性无关组” 这一重要概念， 进行案例一 概念一 案例的教学， 可激发学生学习知识点
的兴趣 ， 深化学生对概念的理解， 增强学生应用所 学知识解决实际问题的能力 【 关键词】 建模案例 向量组 极大线性无 关组 教学
【 基金项 目】 本文由 ２ ０ １ ５ 北京信息科技大学校级教改项 目２ ０ １ ５ Ｔ Ｇ Ｙ Ｂ ４ ０ 资助。 【 中图分类号】 Ｇ ６ ４ 【 文献标识码】 Ａ 【 文章编号】 ２ ０ ９ ５ — ３ Ｏ ８ ９ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ５ — ０ １ ２ ０ — ０ １
一
１ ９８ ４ １ ９ ８ ５
２４ ６｜ ２ ２ ９１ ． ７
２３ ２． ４ ３ １１
２ ３ ４． ７ ５ ０２ ． ４
３ ７２ ． ５ ２ ５ ４
４ ６０ ４ ２４ ５． ６
１５ ８ ． ９ ３２ ４． ８
１ ９ ８ ６ １ ９ ８ ７
重庆， ６ 小 时行 驶 ５ ０ ０千米 ， 行 了全 程 的 。 照这 样 的速 度 。 再
斗
趁 学 生的 思维 进 入 活 跃状 态 ， 进行下一步， 还 可 以和 其 它 类型 的
题联 系起来解答吗？学生会想到与倍数有关系： ６ × （ １ ÷ 卜６
４
４
和６ × 『 （ １