重庆中山外国语学校2014届高一上数学周考(1)
2024-2025学年重庆市高一上册开学摸底测试数学模拟试题(附解析)
2024-2025学年重庆市高一上学期开学摸底测试数学模拟试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 一个四边形的四边长依次为，，，，且，则这个四边形一定a b c d ()2a cb d -+-=为（ ）A. 平行四边形 B. 矩形C. 菱形 D. 正方形2. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ）()2419x k x -++k A. B. C. 或 D. 或6±12±13-111311-3. 把分解因式的结果是（ ）2212x xy y -++A. B. ()()()112x x y x y +-++()()11x y x y ++--C.D.()()11x y x y -+--()()11x y x y +++-）A. 7与8B. 8与9C. 9与10D. 10与115. 将抛物线通过某种方式平移后得到抛物线，则下列平移223y x x =-+()244y x =-+方式正确的是（ ）A. 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度B. 向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度C. 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度D. 向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度6. 若实数，且a ，b 满足，，则代数式a b ≠2850a a -+=2850b b -+=的值为（ ）1111b a a b --+--A. 2B. －20C. 2或－20D. 2或207. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）23208kx kx +-<x kA .B. C. D. 或30k -<<30k -≤≤30k -<≤3k <-0k ≥8. 若关于x 的不等式组无解，且一次函数的图象不经1024223x aa x -⎧->⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩()()52y a x a =-+-过第一象限，则符合条件的所有整数a 的和是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.我们定义一种新函数，形如的函数叫做“鹊桥”函22(0,40)y ax bx c a b ac =++≠->数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列四个结论，223y x x =--其中正确的结论是（）A. 图象与y 轴的交点为()0,3B. 图象具有对称性，对称轴是直线1x =C. 当或时，函数值y 随x 值的增大而增大11x -≤≤3x ≥D. 当时，函数的最大值是41x =10. 已知不等式，则下列说法正确的是（）23210ax ax ++>A. 若，则不等式的解集为1a =-11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 若不等式的解集为，则42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭18a =-C. 若不等式的解集为，则()12,x x 120x x >D. 若不等式的解集为，()12,x x 1223x x x x ++-≥11. 已知抛物线，当时，；当时，．下列说法正确212y x bx c =-+1x =0y <2x =0y <的是（）A. 22b c<B. 若，则1c >32b >C. 已知点在抛物线上，当时，()()1122,,,A m n B m n 212y x bx c =++12m m b <<12n n >D. 若方程的两实数根为，则2102x bx c -+=12,x x 123x x +>三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分．12. 多项式的最小值为_______．22244625x xy y x -+++13. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，1sin cos sin 2b A C a B =，则△ABC 的面积为______．6ab =14. 对于每个x ，函数y 是，这两个函数的较小值，则函数y 16y x =-+22246y x x =-++的最大值是________.四、解答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知关于x 的一元二次方程有两个实数根．()222221x kx k x -++=-12,x x （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两个实数根，满足，求k 的值．12,x x x x x x +=-1212616. 已知函数．21x ay x +=+（1）当时，函数值随的增大而增大．求的取值范围；1x >-y x a （2）若，求时，函数值的取值范围．1a =[]0,2x ∈y 17. 已知二次函数的图象经过点，2y ax bx c =++(2,)A c（1）求该抛物线的对称轴；（2）若点和点均在该抛物线上，当时．请你比较的大小；1(,)n y 2()2,n y -2n <12,y y （3）若，且当时，y 有最小值，求a 的值．1c =12x -≤≤1318. 已知的值，小明是这样分析与解答的：a =2281a a -+∵，2a===∴，2a -=∴，即，()223a -=2443a a -+=∴，241a a -=-∴．()()222812412111a a a a -+=-+=⨯-+=-请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）若的值；a =23121aa --（2的值；+（3的大小，并说明理由．-19. 已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点．()3,4-()0,5（1）求该二次函数的解析式，（2）若当时，该二次函数的最大值与最小值的差是9，求的值；2x t ≤≤t （3）已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，求的取值()()2,,5,4M m N -MN m 范围．2024-2025学年重庆市高一上学期开学摸底测试数学模拟试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 一个四边形的四边长依次为，，，，且，则这个四边形一定a b c d ()2a cb d -+-=为（ ）A. 平行四边形 B. 矩形C. 菱形 D. 正方形【正确答案】A【分析】由非负数和为零的意义得，，由平行四边形的判定方法即可求0a c -=0b d -=解．【详解】，()2a cb d -+-=，，0a c ∴-=0b d -=，，a c ∴=b d =四边形一定是平行四边形．∴故选：A ．2. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ）()2419x k x -++k A. B. C. 或 D. 或6±12±13-111311-【正确答案】C【分析】由题意可知，关于的方程有两个相等的实根，可得出x ()24190x k x -++=，即可求得实数的值.0∆=k【详解】由题意可知，关于的方程有两个相等的实根，x ()24190x k x -++=则，解得或.()()22214491120k k ∆=+-⨯⨯=+-=11k =13-故选：C.3. 把分解因式的结果是（ ）2212x xy y -++A. B. ()()()112x x y x y +-++()()11x y x y ++--C.D.()()11x y x y -+--()()11x y x y +++-【正确答案】D【分析】观察发现：一、三、四项一组，符合完全平方公式，然后运用平方差公式继续分解．【详解】．2212x xy y -++()2221x xy y =++-2()1x y =+-()()11x y x y =+++-故选：D ．）A. 7与8B. 8与9C. 9与10D. 10与11【正确答案】C【分析】根据二次根式的乘法和二次根式的性质化简 的大小，进一步求解.【详解】，5+=+=+，1.414≈，45∴<<.9510∴<+<故选：C.5. 将抛物线通过某种方式平移后得到抛物线，则下列平移223y x x =-+()244y x =-+方式正确的是（）A. 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度B. 向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度C. 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度D. 向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度【正确答案】A【分析】将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据二次函数的平移法则即可判断.【详解】函数，对称轴轴为，顶点为，()222312y x x x =-+=-+1x =()1,2函数，对称轴为，顶点为，()244y x =-+=4x ()4,4故将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，223y x x =-+得到的图象.()244y x =-+故选：A6. 若实数，且a ，b 满足，，则代数式的a b ≠2850a a -+=2850b b -+=1111b a a b --+--值为（ ）A. 2B. －20C. 2或－20D. 2或20【正确答案】B【分析】利用韦达定理可求的值.1111b a a b --+--【详解】因为，，故为方程的两个根，2850a a -+=2850b b -+=,a b 2850x x -+=故.8,5a b ab +==又()()()()()()22211222111111b a a b a b ab b a a b ab a b ab a b -+-+-+-+--+==---++-++，641610220581--+==--+故选：B.本题考查一元二次方程的解、韦达定理，注意利用同构的思想来构建方程，另外注意将代数式整合成与两根和、两根积有关的代数式，本题属于基础题.7. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）23208kx kx +-<x k A. B. C. D. 或30k -<<30k -≤≤30k -<≤3k <-0k ≥【正确答案】C【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分类讨论进行求解.23208kx kx +-<x 【详解】解：对一切实数都成立，23208kx kx +-<x ①时，恒成立，0k =38-<②时，，解得，0k ≠20Δ30k k k <⎧⎨=+<⎩30k -<<综上可得，，30k -<≤故选：C.8. 若关于x 的不等式组无解，且一次函数的图象不经过1024223x aa x -⎧->⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩()()52y a x a =-+-第一象限，则符合条件的所有整数a 的和是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【正确答案】C【分析】先解不等式组求出a 的取值范围,再根据一次函数的图象不经过第一象限求出a 的取值范围，从而可得符合条件的所有整数a ,然后求和即可得到答案.【详解】因为，{x−a2−1>0①4a +2x3≤2②解不等式①得： ，2x a >+解不等式②得： ，32x a ≤-此不等式组无解,，解得，232a a ∴+≥-13a ≥一次函数的图象不经过第一象限，()()52y a x a =-+-，解得，5020a a -<⎧∴⎨-≤⎩25a ≤<综上所述：25,a ≤<所以符合条件的所有整数的和是a 2349++=故选: C二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.我们定义一种新函数，形如的函数叫做“鹊桥”函22(0,40)y ax bx c a b ac =++≠->数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列四个结论，223y x x =--其中正确的结论是（）A. 图象与y 轴的交点为()0,3B. 图象具有对称性，对称轴是直线1x =C. 当或时，函数值y 随x 值的增大而增大11x -≤≤3x ≥D. 当时，函数的最大值是41x =【正确答案】ABC【分析】代入检验函数图象上的点判断选项A ；观察图象结合二次函数对称轴公式求解选项B ；观察图象变化情况判断选项C ；由函数图象得最值情况判断选项D.【详解】对于A ，点的坐标满足函数，所以函数图象与y 轴的交点为(0,3)223y x x =--，A 选项正确；(0,3)对于B ，观察图象可知，图象具有对称性，对称轴用二次函数对称轴公式求得是直线，1x =故B 选项正确；对于C ，根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y 随x 值的增大而增11x -≤≤3x ≥大，故C 选项正确；对于D ，由图象可知，当时，函数值y 随x 值的减小而增大，当时，函数值y 1x <-3x >随x 值的增大而增大，均存在大于顶点纵坐标的函数值，故当时，函数值4并非最大值，D 选项不正确.1x =故选：ABC.10. 已知不等式，则下列说法正确的是（）23210ax ax ++>A. 若，则不等式的解集为1a =-11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 若不等式的解集为，则42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭18a =-C. 若不等式的解集为，则()12,x x 120x x >D. 若不等式的解集为，()12,x x 1223x x x x ++-≥【正确答案】ABD【分析】对于A 解一元二次不等式即可判断，对于BC 根据不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数的关系求解即可判断，对于D ，根据根与系数的关系及绝对值不等式即可判断.【详解】对于A ，时，不等式，即，即1a =-23210x x --+>23210x x +-<，解得，所以不等式的解集为，A 正确；()()3110x x -+<113x -<<11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭对于B ，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭2321y ax ax =++，0a <且方程的两根为，故，所以，B 正确；23210ax ax ++=42,3-14233a =-⨯18a =-对于C ，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即()12,x x 2321y ax ax =++，0a <且方程的两根为，故，C 错误；23210ax ax ++=12,x x 12103x x a =<对于D ，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即()12,x x 2321y ax ax =++，0a <且方程的两根为，故，23210ax ax ++=12,x x 1223x x +=-所以，()()12121223x x x x x x x x x x ++-≥+--=+=当且仅当时，等号成立，D 正确.()()120x x x x +-≤故选：ABD.11. 已知抛物线，当时，；当时，．下列说法正确212y x bx c =-+1x =0y <2x =0y <的是（ ）A. 22b c<B. 若，则1c >32b >C. 已知点在抛物线上，当时，()()1122,,,A m n B m n 212y x bx c =++12m m b <<12n n >D. 若方程的两实数根为，则2102x bx c -+=12,x x 123x x +>【正确答案】BC【分析】对于A,利用根的判别式可判断; 对于B,把 , 代入, 得到不等式, 即可判断; 对x =1于C,求得抛物线的对称轴为直线, 利用二次函数的性质即可判断;对于D,利用根与系数x b =的关系即可判断.【详解】对于A,, 开口向上, 且当 时, ；当 时， ，102a => x =10y <x =20y < 抛物线与 轴有两个不同的交点,∴212y x bx c =-+x 22Δ420,b ac b c ∴=-=->,故A 不正确;22b c ∴>对于B, 当 时, ,x =10y <, 即 ,102b c ∴-+<12b c >+, 故B 正确;312c b >∴>对于C,抛物线的对称轴为直线,且开口向上,212y x bx c =-+x b =当时， 的值随的增加反而减少，x b <y x 当时，,故C 正确；∴12m m b <<12n n >对于D,方程 的两实数根为,2102x bx c -+=12,x x,122x x b ∴+=当时,, ,1c >32b >∴123x x +>但当时, 则未必大于 ,则的结论不成立,故D 不正确;1c <b 32123x x +>故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分．12. 多项式的最小值为_______．22244625x xy y x -+++【正确答案】16【分析】将多项式分别按照的二次项与的二次项进行配方，分析即可求得.,x y x 【详解】()()22222244625446916x xy y x x xy y x x -+++=-+++++，()()222316x y x =-+++因对任意实数，都有成立，,x y ()()2220,30x y x -≥+≥故当且仅当，即时，多项式取得最小值16.2030x y x -=⎧⎨+=⎩323y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩故1613. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，1sin cos sin 2b A C a B =，则△ABC 的面积为______．6ab =【分析】根据正弦定理化简可得.1sin cos sin 2b A C a B =【详解】由正弦定理，，1sin sin cos sin sin 2B A C A B=因为，故.sin 0,sin 0A B >>1cos 2C =又，故，()0,πC ∈π3C =故1sin 2ABC S ab C ==V14. 对于每个x ，函数y 是，这两个函数的较小值，则函数y 16y x =-+22246y x x =-++的最大值是________.【正确答案】6【分析】根据函数解析式，在同一平面直角坐标系内作出大致图象，然后根据图象即可解答.【详解】函数，的图像如图，函数y 取两个函数的较小值，16y x =-+22246y x x =-++图像是如图的实线部分，两个函数图像都过点.()0,6当时，，函数y 的最大值是6，0x ≤12y y ≤当时，函数y 无论在上取得，还是上取得，总有，0x >16y x =-+22246y x x =-++6y <即时，函数y 的图像是下降的.0x >所以函数y 的最大值是6.故6.四、解答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知关于x 的一元二次方程有两个实数根．()222221x kx k x -++=-12,x x （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两个实数根，满足，求k 的值．12,x x x x x x +=-12126【正确答案】（1）；12k ≤（2）.4-【分析】（1）利用一元二次方程有实根的等价条件，列出不等式求解即得.（2）利用韦达定理，结合已知列出方程并求解即得.【小问1详解】方程，整理得，22222(1)x kx k x -++=-222(1)0x k x k --+=由该方程有两个实数根，得，解得，12,x x 224(1)40k k ∆=--≥12k ≤所以实数k 的取值范围是.12k ≤【小问2详解】由是方程的两个实数根，得，12,x x 222(1)0x k x k --+=2121221(),x x k x x k -+==而，则，由（1）知，，x x x x +=-121262|2(1)|6k k -=-2()10k -<于是，又，解得，2280k k +-=12k ≤4k =-所以k 的值为.4-16. 已知函数．21x a y x +=+（1）当时，函数值随的增大而增大．求的取值范围；1x >-y x a （2）若，求时，函数值的取值范围．1a =[]0,2x ∈y 【正确答案】（1）2a <（2）51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)将变形为，根据反比例函数的性质可求出的取值范围；21x a y x +=+221a y x -=++a (2)将代入到函数，根据函数单调性即可求出函数的值域.1a =【小问1详解】，()212222111x a x a a y x x x ++-+-===++++因为当时，函数值随的增大而增大，1x >-y x 根据反比例函数性质可知，即，20a -<2a <所以的取值范围是.a 2a <【小问2详解】因为，所以，1a =211211x y x x +==-++因为当时，函数值y 随x 的增大而增大，[]0,2x ∈所以当时，y 有最小值；当时，有最大值，0x =12101-=+2x =y 152213-=+所以当，时，函数值的取值范围是．1a =[]0,2x ∈y 51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦17. 已知二次函数的图象经过点，2y ax bx c =++(2,)A c （1）求该抛物线的对称轴；（2）若点和点均在该抛物线上，当时．请你比较的大小；1(,)n y 2()2,n y -2n <12,y y （3）若，且当时，y 有最小值，求a 的值．1c =12x -≤≤13【正确答案】（1）；1x =（2）答案见解析； （3）或.2329-【分析】（1）把代入二次函数解析式，求出的关系，再求出对称轴.(2,)c ,a b （2）把和分别代入二次函数解析式，作差分类即可判断.1(,)n y 2()2,n y -（3）按二次项系数的正负分类求出最小值即可得解.【小问1详解】由二次函数的图象过点，得，解得，2y ax bx c =++(2,)A c 42a b c c ++=2b a =-所以该抛物线的对称轴为直线，即.2bx a =-1x =【小问2详解】由（1）得抛物线的解析式为，22y ax ax c =-+依题意，，，212y an an c =+-222(()22)y a n a n c --=-+则，而，2212)2[2()()2]4(22y y an an c a n a n c a n +---=-=+---2n <当时，有，因此；0a >420()a n -<12y y <当时，有，因此，0a <420()a n ->12y y >所以当时，；当时，.0a >12y y <0a <12y y >【小问3详解】由，得抛物线的解析式为，1c =221y ax ax =-+当时，则当时，y 有最小值，即，解得；0a >1x =1213a a -+=23a =当时，即当时，y 有最小值，即，解得，0a <1x =-1213a a ++=29a =-所以a 的值为或.2329-18. 已知的值，小明是这样分析与解答的：a =2281a a -+∵，2a ===∴，2a -=∴，即，()223a -=2443a a -+=∴，241a a -=-∴．()()222812412111a a a a -+=-+=⨯-+=-请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）若的值；a =23121a a --（2的值；+（3的大小，并说明理由．-【正确答案】（1）2（2）9（3<【分析】(1)根据小明的分析过程，，则，两边平a =2a =+2a -=方得，由即可求解；241a a -=()223121341a a a a --=--(2)的每一项分++母有理化，即可求得结果；(3)，，由>>0>0>，可得结论.=+=+【小问1详解】∵，2a ===+∴，2a -=∴，即，∴，()225a -=2445a a -+=241a a -=∴.()2231213413112a a a a --=--=⨯-=【小问2详解】++=+++.119=++=-=【小问3详解】<-∵，202520242023>>>>，，>0>，==，==+，+>+，>∴<-19. 已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点．()3,4-()0,5（1）求该二次函数的解析式，（2）若当时，该二次函数的最大值与最小值的差是9，求的值；2x t ≤≤t （3）已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，求的取值()()2,,5,4M m N -MN m 范围．【正确答案】（1）. 265y x x =-+（2）6（3）或4m =-3m >-【分析】（1）利用顶点设出抛物线标准方程，代入点，计算即得函数解析式；()0,5（2）根据抛物线的对称轴与给定的的范围分类讨论，列方程计算即得t 的值；x （3）作出二次函数图象，就直线上的动点的两个特殊位置和2x =()2,M m 1(2,3)M -,分别结合图象即可判断得到m 的取值范围.2()2,4-M 【小问1详解】由二次函数图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，(3,−4)2(3)4y a x =--∵图象经过点，∴，解得.()0,5945a -=1a =∴该二次函数的解析式为.22(3)465y x x x =--=-+【小问2详解】①当时，最小值为，最大值为，23t ≤<265y t t =-+226253y =-´+=-由可得，此时方程无实数解；23(65)9t t ---+=26170t t -+=②当时，的最小值为－4，3t ≥2(3)4y x =--若，则的最大值为，此时，不34t ≤<2(3)4y x =--2(23)43--=-3(4)19---=≠合题意；若，则的最大值为，此时，，解4t ≥2(3)4y x =--265y t t =-+265(4)9t t -+--=得或，因，故.0t =6t =4t ≥6t =综上，当时，二次函数的最大值与最小值的差是9.6t =【小问3详解】如图，函数的图象大致如下，265y x x =-+由题意，知点是直线上的动点，()2,M m 2x =在抛物线上，由可得，此时点的坐标为，265y x x =-+2x ==3y -1M (2,3)-因，由图可知：()5,4N -①当时，点在点上方，此时函数的图象与线段只有一个3m >-M 1M 265y x x =-+MN 公共点，符合题意；②又当时，图中点,也满足函数的图象与线段只有一4m =-2()2,4-M 265y x x =-+MN 个公共点．综上所述，的取值范围为或.m 4m =-3m >-。
重庆市第一中学2024-2025学年高三上学期适应性月考(一)数学试题
重庆市第一中学2024-2025学年高三上学期适应性月考（一）数学试题一、单选题1．已知集合(){}22log 13A x x =<−≤，{}5,6,7,8B =，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．16B ．8C ．4D ．22．已知m ∈R ，n ∈R ，则“228m n +>”是“4mn >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()()22,2,1,2,x x x f x f x x −⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩则()2log 3f =（ ）A ．83B ．103C ．356D ．3764．已知角α，β都是锐角，且tan α，tan β是方程2430x x −+=的两个不等实根则()cos αβ+=（ ）A ．5−B ．5−C D ．55．我校田径队有十名队员，分别记为,,,,,,,,,A B C D E F G H J K ，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将,,,,A B C D E 五人排成一行形成甲队，要求A 与B 相邻，C 在D 的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求F 与G 不相邻，则不同的排列方法种数为（ ） A ．432B ．864C ．1728D ．25926．在ABC V 中，若sin :sin :sin 2:5:6A B C =，且AC =ABC V 的外接圆的面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．16πD ．64π7．若()*n n ∈N 次多项式()()1212100n n n n n n P t a t a t a t a t a a −−=++⋅⋅⋅+++≠满足()cos cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式．如，由2cos 22cos 1θθ=−可得切比雪夫多项式()2221P x x =−，同理可得()3343P x x x =−．利用上述信息计算sin 54︒=（ ）A B C D ．488．若eln1.5a =，0.15e 4b −=，98c =（其中e 为自然对数的底数），则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>二、多选题9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ） A ．数据1−，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1 B ．已知随机变量(),XB n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C ．若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立D ．若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =−+上，则这组样本数据的相关系数为12−10．若0x >，0y >，且22x y +=，则下列结论正确的是（ ）A ．224x y +的最小值为2B ．24x y +的最小值为C ．()sin 123x y ++>D ．若实数1z >，则2232121x x y z xy z ⎛⎫++−⋅+ ⎪−⎝⎭的最小值为811．已知函数()2cos sin sin 21f x x x x =−++，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的一个周期为πB ．函数()f x 的一个对称中心为π,4⎛− ⎝C ．函数()f x 在区间π,04⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．方程()f x =3π11π,44⎛⎤⎥⎝⎦上共有6个不同实根三、填空题12．已知函数()()3f x x ax a =+∈R 在1x =处取得极值，则函数()f x 的极大值为 ．13．已知函数()()ππcos 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>−<< ⎪⎝⎭，直线π9x =和点5π,018⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一组相邻的称轴和对称中心，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ϕ= ．14．函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，()()2f x f x x −=+，且()()1T x f x ='+为奇函数，()2512n f n ='=∑ ．四、解答题15．锐角ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos 2b a B c +=，且a =3b =. (1)求边c 的值；(2)求内角A 的角平分线AD 的长．16．已知函数()2ππsin sin 12cos 442x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)若123x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求πsin 26x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值；(2)若先将()f x 的图象上每个点的横坐标变为原来12倍，再将函数图象向右平移π4个单位，将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的2数()g x 图象，求()g x 在ππ,86x ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭上的值域和单调递减区间．17．某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的22⨯列联表：(1)根据表中数据，依据0.01α=的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y ，求使事件“Y k =”的概率最大时k 的取值.参考公式及数据：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++.18．在平面直角坐标系中，若点(),T x y 绕着原点O 逆时针旋转θ角后得到点(),T x y '''，则cos sin x x y θθ=−'，sin cos y x y θθ=+'．已知曲线1C 绕原点顺时针旋转π4后得到曲线2C ：2xy =．(1)求曲线1C 的方程；(2)已知1F ，2F 分别是曲线1C 的上、下焦点，M ，N 是曲线1C 上两动点且它们分布在y 轴同侧、x 轴异侧，12MF NF ∥，若1212MF NF MF NF λ+=⋅，求实数λ的值；(3)在（2）问中，若2MF 与1NF 的交点为P ，则是否存在两个定点1T ，2T ，使得12PT PT +为定值？若存在，求1T ，2T 的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知曲线()2e cos mxf x x mx =⋅+（m ∈R ，e 为自然对数的底数）在0x =处的切线的倾斜角为π4，函数()2sin 1g x x x =++．(1)若函数()()2x f x x ϕ=−在区间[],t t −上单调递增，求实数t 的最大值；(2)证明：函数()f x 的图象与函数()g x 的图象在[]0,5πx ∈内有5个不同的交点； (3)记（2）中的5个交点分别为A ，B ，C ，D ，E ，横坐标依次为0x ，1x ，2x ，3x ，4x （01234x x x x x <<<<），求证：01324x x x x x +−>−．。
重庆市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
重庆2023—2024年度（上）期中考试高一年级数学试题（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若()(){}1,2,1,3P =，则集合P 中元素的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．命题“2,2120x R x x ∀∈-+≤”的否定为（）A ．2,2120x R x x ∀∉-+≤B ．2,2120x R x x ∀∈-+>C ．2000,2120x R x x ∃∈-+>D ．2000,2120x R x x ∃∉-+>3．已知集合3A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，，2,33k B k Z ππββ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，下列描述正确的是（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件4．若3x >，则26113x x x -+-的最小值为（）A ．2B ．2C ．42D ．225．已知2:80p m m -<，q ：关于x 的不等式()2+490x m x -+>的解集为R ，则p 是q 的（）A ．AB A=I B ．A B B=I C ．A B =∅I D ．以上选项都不对6．数学里有一种证明方法叫做proofswithoutwords ，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比按个的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC △中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．()0,02a b ab a b +≥>>B ．()220,022a b a b a b ++≤>>C ．()20,0abab a b a b≤>>+D ．()2220,0a b ab a b +≥>>7．已知0,0a b >>且1ab =，不等式11422m a b a b++≥+恒成立，则正实数m 的取值范围是（）A ．2m ≥B ．4m ≥C ．6m ≥D ．8m ≥8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()0xf x <的解集为（）A ．()(),44,-∞-+∞U B ．()()4,04,-+∞U C ．()()4,00,4-U D ．()4,4-二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A ．2,10x R x x ∀∈-+≥B ．,,243x Z y Z x y ∃∈∈+=C ．菱形的对角线互相垂直D ．任意四边形均有外接圆10．下列函数中，满足条件()()()121212+022f x f x x x f x x +⎛⎫<<< ⎪⎝⎭的函数是（）A ．()f x x=B ．()2f x x =C ．()f x =D ．()1f x x=11．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x >，且满足()21f =，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()21f -=-C ．不等式()()232f x f x -->-的解集为()5,-+∞D ．()()()()()202320220202220232023f f f f f -+-++++=L L 12．已知0b >，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式32330ax x abx b +--≤恒成立．则（）A ．0a <B ．23a b =C ．24a b +的最小值为12D ．23a ab a b +++的最小值为6-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．）13．已知12102α-=，131032β=，则314210βα+=______（填数值）14．若函数()()224,134,1x ax a x f x a x a x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是______．15．若幂函数()f x 过点()4,2-，则满足不等式()()221f a f a ->-的实数a 的取值范围是______．16．设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+，若()()036f f +=，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程．）17．已知集合{}34A x x =-<<，集合{}133B x m x m =-<<+．（1）当2m =时，求()R ,A B A B U I ð；（2）当A B =∅I ，求m 的取值范围．18．已知关于x 的二次函数()235y mx m x n =+--的图象经过点()0,15-．（1）若关于x 的不等式()2350mx m x n +--<的解集为33m n x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求m ，n 的值；（2）若0m <，求关于x 的不等式()2350mx m x n +-->的解集．19．已知ABC △的三边长为,,a b c ，其中2a =．求证ABC △为等边三角形的充要条件是()2224b c b c bc +-+=-．20．如图，现将正方形区域ABCD 规划为居民休闲广场，八边形HGTQPMKL 位于正方形ABCD 的正中心，计划将正方形WUZV 设计为湖景，造价为每平方米20百元；在四个相同的矩形EFUW ，IJVW ，VZON ，UZRS 上修鹅卵石小道，造价为每平方米2百元；在四个相同的五边形AEHLI ，DFGTS ，PQRCO ，BNMKJ 上种植草坪，造价为每平方米2百元；在四个相同的三角形HLW ，GTU ，PQZ ，KMV 上种植花卉，造价为每平方米5百元．已知阴影部分面积之和为8000平方米，其中GH TQ MP KL ====，LH GT PQ KM ===，//GH PM ，//TQ KL ，EF 的长度最多能达到40米．（1）设总造价为S （单位：百元），HG 长为2x （单位：米），试用x 表示S ；（2 6.6=，结果保留整数）21．已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2af x x x=-+-．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在[)2,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围．22．若在函数()f x 的定义域内存在区间[],a b ，使得()f x 在[],a b 上单调，且函数值的取值范围是[],ma mb （m 是常数），则称函数()f x 具有性质M ．（1）当12m =时，函数()f x =M ？若具有，求出,a b ；若不具有，说明理由；（2）若定义在()0,2上的函数()45f x x x=+-具有性质M ，求m 的取值范围．重庆2023—2024年度（上）期中考试高一年级数学参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号12345678答案BCADABDC1．【答案】B【解析】集合P 中元素为()1,2，()1,3，共2个．故选：B 2．【答案】C【解析】因为命题“2,2120x R x x ∀∈-+≤”是全称量词命题，所以其否定为20,2120x R x x ∃∈-+>，故选：C3．【答案】A【解析】()13,33k A k k Z k Z ππααπαα⎧⎫+⎧⎫⎪⎪==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，分子取到3的整数倍加1，()22,333k k B k Z k Z πππββββ⎧⎫+⎧⎫⎪⎪==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，分子取全体整数，所以A B ，所以A B A =I ．故选：A ．4．【答案】D【解析】由3x >得30x ->，()()223261123333x x x x x x x -+-+==-+≥=---233x x -=-即3x =D 5．【答案】A【解析】由关于x 的不等式()2+490x m x -+>的解集为R ，可得()24490m --⨯<，解之得210m -<<，由280m m -<，可得08m <<，则由{}08m m <<{}210m m -<<，可得p 是q 的充分不必要条件．故选：A6．【答案】A【解析】∵ABC △等腰直角三角形，O 为斜边AB 的中点，AD a =，BD b =，∴2a b OC +=，2a bOD -=，∵OC AB ⊥，∴2222222222a b a b a bCD OC OD +-+⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴CD CD OC ≥，所以()0,02a ba b +≥>>，故选项B 正确．故选B 7．【答案】D【解析】由题意，原恒成立等价于min11422m a b a b ⎛⎫++≥ ⎪+⎝⎭又∵0,0,0a b m >>>，且1ab =，∴112222m a b m a b m a b a b ab a b a b ++++=+=+≥=+++2a b ma b+=+时取等），4≥，所以8m ≥（当且仅当22a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩或2a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时等号成立）所以m 的取值范围是[)8,+∞，故选D 8．【答案】C【解析】当0x >时，令()()2=44f x x x x x -=-，可知：当04x <<时，()0f x <；当4x >时，()0f x >；又因为()f x 是奇函数，可知：当40x -<<时，()0f x >；当4x <-时，()0f x <；对于不等式()0xf x <，则()00x f x >⎧⎪⎨<⎪⎩或()0x f x <⎧⎪⎨>⎪⎩，可得40x -<<或04x <<，所以不等式()0xf x <的解集为()()4,00,4-U ．故选：C二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）题号9101112答案ACBDABACD9．【答案】AC【解析】对于A ，“∀”是全程量词，且由于140∆=-<，故对2,10x R x x ∀∈-+≥，为真命题，A 正确，对于B ，“∃”是存在量词，故B 错误，对于C ，所有的菱形的对角线都互相垂直，故C 正确，对于D ，任意四边形不一定有外接圆，对角和为180o的四边形，有外接圆；对角和不是180o的四边形，没有外接圆，故D 错误，故选：AC 10．【答案】BD【解析】由题意可知，当0x >时，满足条件()()()121212022f x f x x x f x x ++⎛⎫<<< ⎪⎝⎭的函数()f x 的图象是凹形曲线．对于A ，函数()f x x =的图象是一条直线，故当210x x >>时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭；对于B ，函数()2=f x x 的图象是凹形曲线，故当210x x >>时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭；对于C ，函数()f x =210x x >>时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭；对于D ，在第一象限，函数()1f x x=的图象是一条凹形曲线，故当210x x >>时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故选：BD 11．【答案】AB【解析】对于A 中，令0x y ==，可得()()()()00020f f f f =+=，所以()00f =，令y x =-，得到()()()00f x f x f -+==，即()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，故A 正确；对于B 中，因为()f x 为奇函数，所以()()2=21f f --=-，故B 正确；对于C 中，设1212,,x x x x y x >==，可得()()()1212f x x f x f x -=+-，所以()()()()()121212f x f x f x f x f x x -=+-=-，又因为12x x >，所以120x x ->，所以()120f x x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上单调递增，因为()21f -=-，所以()()()422222f f f -=--=-=-，由()()232f x f x -->-，可得()()()234f x f x f >-+-，所以()()()2347f x f x f x >--=-，所以27x x >-，得到7x >-，所以()()232f x f x -->-的解集为()7,-+∞，所以C 错误；对于D 中，因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以()()()()()()2023202320222022110f f f f f f -+=-+==-+=L ，又()00f =，故()()()()()202320220202220230f f f f f -+-++++=L L ，所以D 错误#故选：AB 12．【答案】ACD【解析】因为()()()()322233333ax x abx b x ax b ax x bax +--=+-+=-+，32330ax x abx b +--≤恒成立，即()()230x b ax -+≤恒成立，因为0b >，所以当(x ∈时，20x b -<，则需30ax +≥，当)x ∈+∞时，20x b ->，则需30ax +≤，故当x =30ax +=，即30+=，所以0a <且239a b =-⇒=，故选项A 正确，选项B 错误；所以294412a b b b +=+≥=，当且仅当94b b =时，即32b =时取等，故选项C 正确；因为222229993+333a ab a b a a a a a a a a ⎛⎫++=+++=+++ ⎪⎝⎭，令33t a a a a ⎛⎫=+=---≤-- ⎪⎝⎭，当且仅当3a a-=-，即a =t ≤-所以22296t a a =++，故222293333++33624a a t t t a a ⎛⎫⎛⎫+=+-=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以在(,t ∈-∞-上，233324y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭单调递减，即min 1266y =-=-2+36a ab a b ++≥-，故选项D 正确．故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分#题号13141516答案241,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1,1-72-13．【答案】2【解析】()()31131113113142513422342242101010=322222βαβα⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14．【答案】41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上是减函数，当1x <时，()224f x x ax a =-+，对称轴为x a =，分段函数要满足在R 上单调递减，需要满足1303421a a a a a ≥⎧⎪-<⎨⎪-+≤+⎩，解得413a ≤≤．故答案为41,3⎡⎤⎢⎣⎦15．【答案】()1,1-【解析】幂函数()f x 的图象过点()4,2-，∴()f x 为偶函数，在一象限过()4,2；当0x ≥，设()f x x α=，则42α=，解得12α=；∴幂函数()()24f x xx R =∈，当[)0+x ∈∞，上单调递增；不等式()()()()221221221f a f a fa f a a a ->-⇔->-⇔->-，解得11a -<<；所以实数a 的取值范围是()1,1-．故答案为：()1,1-16．【答案】72-【解析】因为()1f x +是偶函数，所以()()+11f x f x -=+①，因为()2f x +是奇函数，所以()()+22f x f x -=-+②，令1x =，由①得：()()024f f a b ==+，由②得：()()()3=1f f a b -=-+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a +-+=⇒=，令0x =，由②得：()()()22208f f f b =-⇒=⇒=-，所以当[]1,2x ∈时，()2=28f x x -，11137=1122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．17．【解析】（1）当2m =时，{}19B x x =<<{}39A B x x =-<<U 因为{}R 19B x x =≤≥或ð，所以(){}R 31A B x x =-<≤I ð（2）当B =∅时，133m m -≥+，解得2m ≤-；当B ≠∅时，133333m m m -<+⎧⎨+≤-⎩或13314m m m -<+⎧⎨-≥⎩解得5m ≥，综上，m 的取值范围是{}52m m m ≥≤-或．18.【解析】（1）由二次函数()235y mx m x n =+--的图象经过点()0,15-得15n =，因为不等式()2350mx m x n +--<的解集为33mn x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以0m >．易得关于x 的一元二次方程()2350mx m x n +--=的两个根分别为3m -，3n ．由根与系数的关系可得53,33,33m n m mm n n m -⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⋅=-⎪⎩解得3m =或－3（舍去），即3m =，15n =．（2）不等式()235150mx m x +-->可化为()()350mx x +->．令35m -=，得35m =-．①当35m =-时，不等式为()250x -<，无解；②当35m <-时，35m -<，解不等式()()350mx x +->得35x m -<<；③当305m -<<时，35m ->，解不等式()()350mx x +->得35x m<<-．综上：当35m <-时，原不等式的解集为35x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当35m =-时，原不等式的解集为∅；当305m -<<时，原不等式的解集为35x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭．19.【解析】（1）充分性：因为2a =，所以()2224b c b c bc +-+=-可化为()222b c a b c bc a +-+=-，即222a b c ab ac bc ++=++，所以222222222a b c ab ac bc ++=++，则()()()2220a b b c a c -+-+-=，所以0a b b c a c -=-=-=，即a b c ==，ABC △为等边三角形，充分性得证．②必要性：因为ABC △为等边三角形，且2a =，所以2a b c ===，则()2220b c b c +-+=，40bc -=，所以()2224b c b c bc +-+=-，必要性得证．故ABC △为等边三角形的充要条件是()2224b c b c bc +-+=-．附：充分性另外两种证法，方法二：因为()2224b c b c bc +-+=-，所以()()22234342b c b c b c bc +⎛⎫+-+=-≤⋅- ⎪⎝⎭，所以()()28160b c b c +-++≤，即()240b c +-≤，所以4b c +=，当且仅当2b c ==时，等号成立，即a b c ==，ABC △为等边三角形，充分性得证．方法三：因为()2224b c b c bc +-+=-，所以222244280b c b c bc +---+=，则()()()222220b c b c -+-+-=，所以2b c ==，即a b c ==，ABC △为等边三角形，充分性得证．20．【解析】（1）因为2HG x =米，所以HL =米，得HW LW x ==米．根据题意可得四个三角形的面积之和为22x 平方米，正方形WUZV 的面积为24x 平方米，四个五边形的面积之和为22228000400000042242x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯-=- ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭平方米，则休闲广场的总造价222222400000080000002042800022528616000S x x x x x x ⎛⎫=⨯+⨯+-+⨯=++⎪⎝⎭（020x <≤）（2）因为22800000086160001600016000800068800S x x =++≥++，当且仅当22800000086x x=，即2220x ==<时，等号成立，所以该居民休闲广场的总造价最低为68800百元．21．【解析】（1）当0x =时，由函数()f x 为R 上的奇函数得()00f =；当0x >时，0x -<，则()2a f x x x-=--，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()2a f x f x x x=--=-++，故()2,0,0,0,2,0.a x x x f x x a x x x ⎧-+-<⎪⎪==⎨⎪⎪-++>⎩（2）由函数()f x 在[)2,+∞上单调递减，设1x ∀，[)22,x ∈+∞，且12x x <，都有()()12f x f x <，即()()120f x f x ->恒成立即()()()12122112122210a a a f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+---+-=-⋅+> ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立、因为12x x <，所以210x x ->，故1x ∀，[)22,x ∈+∞，1210a x x +>⋅即12a x x >-⋅恒成立．而124x x -⋅<-，所以4a ≥-．22．【解析】（1）因为()f x =[)0,+∞上单调递增，所以()f x =[],a b上的函数值的取值范围是，即1212a b ==，显然0a b ≤<，所以04a b =⎧⎨=⎩，故函数()f x =M ．（2）解：()45,014545,12x x x f x x x x x x ⎧+-<<⎪⎪=+-=⎨⎛⎫⎪-+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，因为4y x x=+在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增①当[](),0,1a b ⊆时，()f x 单调递减，∴()()fa mb f b ma =⎧⎪⎨=⎪⎩，得4545a b a a b b +-=+-，整理得()()50a b a b -+-=，∵5a b +=与[](),0,1a b ⊆矛盾，∴当[](),0,1a b ⊆时，不合题意．②当[][),1,2a b ⊆时，()f x 在[)1,2单调递增，∴()()f a ma f b mb =⎧⎪⎨=⎪⎩，知()f x mx =在[)1,2上有两个不等实根，即()2451f x m x x x ==-+-在[)1,2上有两个不等实根，…（10分）令11,12t x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，()2451h t t t =-+-，由1122h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，59816h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10h =，知19216m <<，。
重庆市2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题含解析
2023-2024学年度重庆市高一上期第一次月考数学试题（答案在最后）注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.设全集{}17U x x =∈-<<N ，{}0,1,4,5A =，{}2,4,5B =，则()U A B =ð（）A.{}0,1 B.{}4,5 C.{}0 D.{}1,3,4,6【答案】A 【解析】【分析】根据补集和交集的运算即可求解.【详解】依题得，{0,1,2,3,4,5,6}U =，{0,1,3,6}U B =ð，所以(){0,1}U A B ⋂=ð.故选：A2.命题00:R,31p x x ∃∈<的否定是（）A.00R,31x x ∃∈≥B.00R,31x x ∃∈>C.R,31x x ∀∈≥D.R,31x x ∀∈>【答案】C 【解析】【分析】利用存在量词命题的否定即可得解.【详解】量词命题的否定步骤为：“改量词，否结论”，所以命题00:R,31p x x ∃∈<的否定为R,31x x ∀∈≥.故选：C.3.集合{(1)(2)0}A xx x x =--=∣，若B A ⊆，则满足条件的集合B 的个数为（）A.4B.5C.7D.8【答案】D【分析】先判断集合A 的元素个数，再利用集合的子集个数公式计算即可.【详解】()(){}{}1200,1,2A x x x x =--==，因为B A ⊆，所以满足条件的集合B 的个数为328=.故选：D.4.已知x 、y 是实数，则“22x y >”是“0x y <<”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若22x y >，取2x =，1y =，则0x y >>，即“22x y >”⇒“0x y <<”，若0x y <<，则0x y >>，由不等式的性质可得22x y >，即“22x y >”⇐“0x y <<”，因此，“22x y >”是“0x y <<”的必要而不充分条件.故选：B.5.已知实数0x >，0y >，32x y +=，则11x y+的最小值为（）A.3B.1+C.22+D.2【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式计算可得答案.【详解】因为0,0x y >>，且32x y +=，所以()1134221111322⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x y y x y y x 当且仅当3y xx y =，即33y -=，1x =-时取等号，6.不等式1123x x +≥-的解集为（）A.[)3,4,2⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B.3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[)3,4,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.3,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】将所求不等式变形为4023x x -≤-，利用分式不等式的解法解原不等式，可得其解集.【详解】由1123x x +≥-可得()2311410232323x x x x x x x --++--==≤---，解得342x <≤，故不等式1123x x +≥-的解集为3,42⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D.7.已知命题p ：x ∃∈R ，使得2210ax x ++<成立为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.(),1-∞ C.[)0,1 D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当0a ≤时，命题为真命题，当0a >时，需0∆>，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】命题p 为真命题等价于不等式2210ax x ++<有解．当0a =时，不等式变形为210x +<，则12x <-，符合题意；当0a >时，Δ440a =->，解得01a <<；当a<0时，总存在x ∃∈R ，使得2210ax x ++<；综上可得实数a 的取值范围为(),1-∞．故选：B8.已知实数12,x x 是关于x 的一元二次方程()21210x m x m -++-=的两个根，满足12111m x x +<-，则实数m 的取值范围是（）A.()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭B.()(),02,-∞+∞ C.()10,5,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D.()(),05,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】先由韦达定理得到1212,x x x x +，同时由0∆>得到m 的一个范围，再将1212,x x x x +代入题设不等式可得到关于m 的分式不等式，解之又得到m 的另一个范围，两者取交集即可.【详解】因为实数12,x x 是关于x 的一元二次方程()21210x m x m -++-=的两个根，所以12121,21x x m x x m +=+=-，且0∆>，即()()214210m m +-->，整理得()()510m m -->，得1m <或5m >，所以12121211121x x m x x x x m +++==-，故1121m m m +<--，即()11021m m m +--<-，即()()211102121m m m m m --+-<--，整理得：()22021m m m -+<-，即()2021m m m ->-，故()()2210m m m -->，利用数轴穿根法，可得102m <<或m>2，又因为1m <或5m >，所以102m <<或5m >，即()10,5,2m ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选：C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列叙述正确的是（）A.若{(1,2)}P =，则P ∅∈B.{|1}{|1}x x y y >⊆C.{(,)|1}M x y x y =+=，1{|}N y x y =+=，则M N =D.{2,4}有3个非空子集【答案】BD 【解析】【分析】A 选项：集合与集合的关系是包含与否；B 选项：直接判断即可；C 选项：点集和数集之间没有关系；D 选项：一个集合中有n 个元素，则它的非空子集的个数为21n -.【详解】∅是个集合，所以P ∅⊆，A 错误；{|1}x x >是{|1}y y 的一个子集，所以{|1}{|1}x x y y >⊆ ，B 正确；M 是点集，N 是数集，所以集合M 与集合N 没有关系，C 错误；{2,4}的非空子集有{2}，{4}与{2,4}，共3个，D 正确.故选：BD10.若a 、b 、R c ∈，则下列命题正确的是（）A.若11a b>，则a b < B.若10a -<<，则20a a +<C.若0a b >>且0c >，则a c ab c b+<+ D.2a b+≥【答案】BCD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断A 选项；利用不等式的性质可判断B 选项；利用作差法可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，取1a =，1b =-，则11a b>，但a b >，A 错；对于B 选项，若10a -<<，则10a +>，所以，()210a a a a +=+<，B 对；对于C 选项，若0a b >>且0c >，则0b c +>，0b a -<，所以，()()0c b a a c a b c b b b c -+-=<++，所以，a c ab c b+<+，C 对；对于D 选项，()()()222222220a ba b a b ab a b +-+=+-=-≥ ，所以，()22224a b a b ++³，故22a b a b ++≥≥，D 对.故选：BCD.11.已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下面正确的是（）A.224a b -<B.214a b+>C.若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x <D.若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =【答案】CD 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解.【详解】由题意，集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则20x ax b ++=只有一个根，所以240a b ∆=-=，所以()22224244a b b b b -=-=--+≤，所以A 错误；对于B ：21144a b b b +=+≥=，当且仅当14b b =即12b =时，等号成立，所以B 错误；对于C ：若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ，由韦达定理知21204a x xb =-=-<，所以C 正确；对于D ：若不等式2x ax b c ++<的解集为12(,)x x ，即20x ax b c ++-<的解集为12(,)x x ，由韦达定理知：21212,4a x x a x xbc c +=-=-=-，则12||24x x -==，解得4c =，所以D 正确.故选：CD.12.已知正实数x ，y 满足1xy x y --=，则（）A.xy的最大值为3 B.x y +的最小值为2C.2x y +的最小值为3+ D.22x y +的最小值为6+【答案】BD 【解析】【分析】利用基本不等式构造一元二次不等式即可判断A ，根据xy 和x y +的等式关系即可判断B ，利用多变量变单变量法即可判断C ，构造关于xy 的二次函数关系即可判断D.【详解】对A ，因为1xy x y --=，则1x y xy +=-≥1≥+，则3xy ≥+当且仅当1x y ==+时等号成立；故A 错误；对B ，因为1x y xy +=-，则()()min min 2131x y xy =-+==-，当且仅当1x y ==时取得最小值，故B 正确；对C ，1xy x y --=，即()11x y y -=+，当1y =时显然不合题意，故1y ≠，则101y x y +=>-，则1y >或1y <-（舍去），则()1222123213271112x y y y y y y y y ++=++=++-≥+---+=，当且仅当()2211y y =--，即2y =，此时3x =时等号成立，故C 错误；对D ，()()2222212x y xy xy xy x y =+---+=，令xy t =，由A 知3t ≥+()()22221223x t t y t =-=-+--，则当3t =+，()()n22i 2m 3236x y =+-++=，此时1x y ==+，故D 正确.故选：BD.第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每道题5分，共20分）13.已知方程230ax bx ++=的两个实数根分别为3-，1，则不等式230ax bx ++>的解集为_______.【答案】(3,1)-【解析】【分析】由题意得方程230ax bx ++=的两根为3-和1，由根与系数的关系可得1a =-，2b =-，代入即可得解.【详解】 方程230ax bx ++=的两根为3-和1，由根与系数的关系可得31331b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，1a ∴=-，2b =-，2+30ax bx +>可变为22+30x x -->，即2+230x x -<，解得31x -<<.故答案为：(3,1)-.14.设:431p x -<，:210q x a --<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______.【答案】()0,∞+【解析】【分析】首先化简命题p 、q ，分别记所对应的不等式的解集为A 、B ，依题意可得A B ，即可得到不等式，解得即可.【详解】由431x -<，解得1x <，即:1p x <，记{}|1A x x =<；由(21)0x a -+<，解得21x a <+，即:q 21x a <+，记{}|21B x x a =<+，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，即211a +>，解得0a >，所以a 的取值范围是()0,∞+.故答案为：()0,∞+.15.已知关于x 的不等式组()222022550x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解的集合为{}2-,则实数k 的取值范围是______．【答案】[)3,2-【解析】【分析】解出不等式组中的不含参数的一元二次方程，对k 进行分类讨论，使不等式组的整数解的集合为{}2-，根据数轴即可得出结果.【详解】由220x x -->，解得1x <-或2x >，由()222550x k x k +++<，即()()250x x k ++<，当52k >时，()()250x x k ++<的解为52k x -<<-，故不等式组的解集为52x k x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，因为522-<-，不符合不等式组的解集中有整数2-，故舍去；当52k =时，不等式()222550x k x k +++<为22521002x x ++<，即25202x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以不等式无解，不符合题意，故舍去；当52k <时，()()250x x k ++<的解为52x k -<<-，若需不等式组的整数解的集合为{}2-，由数轴可知只需23k -<-≤，解得32k -≤<，综上，实数k 的取值范围是32k -≤<.故答案为：[)3,2-.16.若0x >，0y >，且11112x x y+=++，则2x y +的最小值为________.【答案】1232+【解析】【分析】将目标式改写为3(1)232222x x y x y +++=+-，再应用基本不等式“1”的代换求最小值，注意等号成立的条件.【详解】3(1)233(1)232[]()2222112221x x x x y x x y y y x +++++=+-=+++-+13(1)21122(2)2(1)22x x y x y x +++=++≥+=++，当且仅当21)x y x +=+时等号成立，∴2x y +的最小值为12+.故答案为：12+四、解答题（本题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）17.设m 为实数，集合{|24}A x x =-≤≤，{}|2B x m x m =≤≤+.（1）若3m =，求A B ⋃，R ()A B ð；（2）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|25}A B x x ⋃=-≤≤，R |3(){A x B x =< ð或4}x >（2）()(),44,∞∞--⋃+【解析】【分析】（1）求出3m =时集合B ，再利用集合的运算即可求出A B ⋃与R ()A B ð；（2）根据A B ⋂=∅得出关于m 的不等式，由此求出实数m 的取值范围.【小问1详解】集合{|24}A x x =-≤≤，3m =时，{}|35B x x =≤≤，所以{}|25=-≤≤ A B x x ，又因为{}|34A B x x =≤≤ ，所以{R ()|3A B x x ⋂=<ð或}4x >，【小问2详解】由A B ⋂=∅，得22m +<-或4m >，即4m <-或4m >，所以实数m 的取值范围是()(),44,∞∞--⋃+.18.已知函数()()21f x x m x m =+--.（1）若(),1x f x ∀∈>-R ，求m 的取值范围；（2）若0m <，解关于x 的不等式()0f x >.【答案】（1）()3,1-（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式在R 上恒成立问题运算求解；（2）分类讨论两根大小解一元二次不等式.【小问1详解】由()()211f x x m x m =+-->-，可得()2110x m x m +--+>对x ∀∈R 恒成立，则()()22141230m m m m ∆=---+=+-<，解得31m -<<，故m 的取值范围()3,1-.【小问2详解】由题意可得：()()()()211f x x m x m x x m =+--=+-，令()0f x =，可得=1x -或x m =，对于不等式()0f x >，则有：当1m <-时，不等式的解集为()(),1,m -∞-+∞U ；当1m =-时，不等式的解集为{}|1x x ≠-；当10m -<<时，不等式的解集为()(),1,m -∞-+∞U .19.设集合222{|320}{|150}A x x x B x x a x a =-+==+-+-=，（）．（1）若{}2A B ⋂=，求实数a 的值；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3a =-或1a =（2）{a |a ≤-3或a ＞73}【解析】【分析】（1）由{}2A B ⋂=可得2B ∈，可得2x =是方程22150x a x a +-+-=（）的实数根，代入求解即可；（2）由A B A ⋃=可得B A ⊆，分B =∅和B ≠∅进行讨论即可得解.【小问1详解】（1）集合{}2{|320}12A x x x =-+==，，若{}2A B ⋂=，则2x =是方程22150x a x a +-+-=（）的实数根，可得：2230a a +-=，解得3a =-或1a =；经检验符合题意【小问2详解】（2）∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，当B =∅时，方程22150x a x a +-+-=（）无实数根，即221450a a ---（）（）＜解得：3a -＜或a ＞73；当B ≠∅时，方程22150x a x a +-+-=（）有实数根，若只有一个实数根，2221150Δ1450a a a a ⎧+-+-=⎨=---=⎩（）（）或()22242150Δ1450a a a a ⎧+-+-=⎨=---=⎩（）（），解得：3a =-，若只有两个实数根，x =1、x =2，2121125Δ0a a +=-⎧⎪⨯=-⎨⎪>⎩，无解.综上可得实数a 的取值范围是{a |a ≤-3或a ＞73}.20.（1）若04x <<，求()123y x x =-的最大值，并求取得最大值时x 的值；（2）求26123x x y x ++=+，在3x >-时的最小值，并求取得最小值时x 的值.【答案】（1）2x =时，最大值为12；（2）3x =-时，最小值为【解析】【分析】（1）根据()()112331233y x x x x =-=⨯-，结合基本不等式即可得出答案；（2）根据()223361233333x x x y x x x x ++++===+++++,结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：（1）∵04x <<，∴1230x ->，∴()()2113123123312312332x x y x x x x +-⎛⎫=-=⨯-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当3123x x =-，即2x =时等号成立；所以2x =时，函数()123y x x =-的最大值为12；（2）()223361233333x x x y x x x x ++++===+++++，∵3x >-，∴30x +>，∴333x x ++≥+，当且仅当333x x +=+，即3x =-时，等号成立，∴函数26123x x y x ++=+的最小值为21.若命题p ：存在12x ≤≤，230x x a -+-<，命题q ：二次函数221y x ax =-+在12x ≤≤的图像恒在x 轴上方（1）若命题p ，q 中均为假命题，求a 的取值范围？（2）对任意的11a -≤≤，使得不等式221x ax a -+≥成立，求x 的取值范围.【答案】（1）13a ≤≤（2）(,1[2,)-∞--+∞ 【解析】【分析】（1）方便求出命题p ，q 为真命题时a 的取值范围，进而可求均为假命题时a 的取值范围；（2）把不等式看成关于a 的一次不等式，结合图像即可求解.【小问1详解】若命题p 为真命题，则命题可转化为212,3x a x x ≤≤>-+，即()2min 3a x x >-+，令22111324y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，得函数y 在[1,2]上单调递增，所以min 1133y =-+=，则3a >，若命题p 为假命题，则3a ≤；若命题q 为真命题，则命题q 可转化为2210x ax -+>在12x ≤≤上恒成立，即2111222x a x x x +<=+，则11122x x +≥=，当且仅当1122x x =时，即1x =时等号成立，则1a <，若命题q ，则1a ≥，则命题q ，q 均为假命题，则13a ≤≤【小问2详解】任意的11a -≤≤，使得不等式221x ax a -+≥成立，即22(1)01x a x -+-≥)(在11a -≤≤上恒成立，令221()(1)x g a x a -+=-()，当12x =时，3()004g a a =⋅-<，不合题意；当12x ≠时，有22(1)(21)(1)0(1)(12)(1)0g x x g x x ⎧-=-+-≥⎨=-+-≥⎩，解得(,1[2,)x ∈-∞-⋃+∞；所以x的取值范围是(,1[2,)-∞--+∞ .22.某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：2234,02()850,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩，且单株施用肥料及其它成本总投入为20x 元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()f x =22020340,028050020,251x x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎨--<≤⎪-⎩（2）当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元【解析】【分析】（1）利用()10()20=⨯-f x W x x ，即可求解；（2）对()f x 进行化简，得到()2120335,022*******,251x x f x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩，然后分02x ≤≤、25x <≤讨论max ()f x 的取值，进而得到答案.【小问1详解】根据题意，()10()20=⨯-f x W x x ，化简得，()()1020=-=f x W x x 22020340,028050020,251x x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎨--<≤⎪-⎩；【小问2详解】由（1）得()22020340,028050020,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩2120335,022*******,251x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩，当02x ≤≤时，()()max 2380==f x f ，当25x <≤时，114x <-≤，所以()44802011f x x x ⎛⎫=-+- ⎪-⎝⎭48020400≤-⨯=，当且仅当411x x =--时，即3x =时等号成立，因为380400<，所以当3x =时，()max 400f x =，。
高一数学上学期第二次月考模拟试卷(第1章-第4章)(解析版)
高一数学上学期第二次月考模拟试卷一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·河北·唐山一中高一阶段练习）已知全集U R =，集合{}|11A x x =-<，25|11x B x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()U A B ⋂=（ ）A ．{}12x x <<B ．{}12x x <≤C ．{}12x x ≤<D ．{}14x x ≤< 【答案】C【解析】由题意得{}{}{}|1111102A x x x x x x =-<=-<-<=<<，{}25410|1411x x B x x x x x x x ⎧⎫⎧⎫--=≥=≥=<≥⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭或， ∴{}14U B x x =≤<，∴(){}12U A B x x ⋂=≤<．故选C ．2．（2022·湖北宜昌·高一阶段练习）已知函数()y f x =的定义域为[3,5]-，则函数(21)()2f xg x x -=-的定义域是（ ） A ．[1,2)(2,3]- B ．[7,2)(2,9]- C ．[1,3]- D ．[7,9]- 【答案】A【解析】根据抽象函数定义域及分母不为0可得321520x x -≤-≤⎧⎨-≠⎩，解得[1,2)(2,3]x ∈-⋃，故定义域为[1,2)(2,3]-，故选：A.3．（2022·河北·石家庄市第十九中学高一阶段练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】“攻破楼兰”不一定会“返回家乡”，不充分；“返回家乡”一定是在“攻破楼兰”的前提下，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选：A ．4．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若52x =，lg 20.3010≈，则x 的值约为（ ） A ．0.431 B ．0.430 C ．0.429 D ．2.322 【答案】A【解析】由52x =得：5lg 2lg 2lg 20.3010log 20.43110lg51lg 210.3010lg 2x ====≈≈--.故选：A. 5．（2021·河北·唐山一中高一阶段练习）若不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x -<<，则不等式20cxbx a ++<的解集为（ ）A ．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{|1x x <-或1}3x > C ．113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|3x x <-或1}2x >【答案】C【解析】不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x -<<，∴方程20ax bx c ++=的实数根为1-和3，且0<a ，1313b a c a ⎧-+=-⎪⎪∴⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得2b a =-，3c a =-， 则不等式20cx bx a ++<可化为2320ax ax a --+<，即23210x x +-<，即113x -<<，∴所求不等式的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：C.6．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）设0.3log 3a =，132b -=，2log 3c =，则（ ）．A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b c a >> 【答案】A【解析】由题得0.30.3log 3log 10a =<=，1030221b ，22log 3log 21c =>=，所以c b a >>.故选：A7．（2022·湖北宜昌·高一阶段练习）已知函数()f x 满足11()24(0)f x f x x xx ⎛⎫--=≠ ⎪⎝⎭，且()22[1,2],5()3log 15x f x a a ∃∈≥-，则a 的取值范围为（ ）A ．[1,16]-B ．[2,0)(15,32]-C ．[2,32]-D ．[1,0)(15,16]- 【答案】D【解析】由()1124f x fx x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭①， 用1x -代换()()11240f x x x x f x ⎛⎫⎪⎝=⎭--≠中的x ，得()142xf f x x x ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭②， 由2x ⨯-⨯①②，得()(2425f x x x ⎫-=+⎪⎭，令(0)x t t -=≠，所以(0)x t t =-≠所以()(242()5()f t t t ⎫=-+⎪-⎭即()2425f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若()22[1,2],5()3log 15x f x a a ∃∈≥-则()2max 23()log 155f x a a ≥-因为()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()max 1225f x f ==， 所以()222log 15401516a a a a -≤⇔<-≤，解得[1,0)(15,16]-．故选：D.8．（2022·广东·广州市第五中学高一阶段练习）已知函数()21,23,21x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦有五个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．()0,2 C ．()0,3 D ．()1,3 【答案】A【解析】由()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦可得()f x a =或()1f x =，当0x ≤时，()[)21120,1x x f x =-=-∈；当02x <≤时，()2121x xf x =-=-.作出函数()f x 、1y =、y a =的图象如下图所示：由图可知，直线1y =与曲线()y f x =有2个交点，即方程()1f x =只有2解， 所以，方程()f x a =有3解，即直线y a =与曲线()y f x =有3个交点，则01a <<.故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知实数a 满足14a a -+=，下列选项中正确的是（ ）A ．2214a a -+= B ．13a a --= C ．11226a a -+=D ．332211224a a a a--+=+【答案】AC【解析】()21122224,216,14a a a a a a a a ----+=∴+=++=∴+=，故选项A 正确；()()22112144412,23a a a a a a ----=+-=-=∴-=±B 错误；21111122222426,6a a a a a a --⎛⎫+=++=+=∴+= ⎪⎝⎭C 正确； ()3322222331112111a aa a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝++⎭,33222111213a a a a a a ---+∴==++-,故选项D 错误．10．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知0a >，0b >，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ）A ．2222a b a b ++≥B ．11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭C ．111a a +>+D ．2abab a b>+【答案】BC【解析】对A ：因为0a >，0b >，且22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以2222a b a b ++≤，故选项A 错误；对B ：因为0a >，0b >，所以11()2224a b a b a b a abab b⎛⎫++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，故选项B 正确；对C ：因为()()111112111111a a a a a a +=++-≥+⨯=+++，当且仅当111a a +=+， 即0a =时等号成立，但0a >，所以111a a +>+，故选项C 正确； 对D ：因为0a >，0b >，所以2a b ab +≥，所以(22a b ab ab ab ab +≥=，所以2abab a b≤+a b =时等号成立，故选项D 错误.故选：BC. 11．（2022·江苏省怀仁中学高一阶段练习）已知函数()[]()212,2f x x x =-+∈-，()[]()220,3g x x x x =-∈，则下列结论正确的是（ ）A ．[]2,2x ∀∈-，()f x a >恒成立，则实数a 的取值范围是(),3-∞-B ．[]2,2x ∃∈-，()f x a >恒成立，则实数a 的取值范围是(),3-∞-C ．[]0,3x ∃∈，()g x a =，则实数a 的取值范围是[]1,3-D ．[]2,2x ∀∈-，[]0,3t ∃∈，()()f x g t = 【答案】AC【解析】A 选项，[]2,2x ∀∈-，()f x a >恒成立，即()min f x a >，()f x 为减函数，所以()min ()23f x f a ==->，A 正确；B 选项，[]2,2x ∃∈-，()f x a >恒成立，即()max f x a >，所以()25f a -=>，B 不正确；C 选项，[]0,3x ∃∈，()g x a =，即()()max min g x a g x ≥≥，()g x 的图像为开口向上的抛物线，所以在对称轴1x =处取最小值，在离对称轴最远处3x =取最大值， 所以()()3311g a g =≥≥=-，C 正确；D 选项，[]2,2x ∀∈-，[]0,3t ∃∈，()()f x g t =，即要求()f x 的值域是()g x值域的子集，而()f x 的值域为[3,5]-，()g x 值域为[1,3]-，不满足要求，D 不正确；故选：AC.12．（2022·吉林松原·高一阶段练习）设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()e 11e 2x x f x =-+，则下列叙述中正确的是（ ） A ．()f x ⎡⎤⎣⎦是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()f x ⎡⎤⎣⎦的值域是{}1,0,1- 【答案】BC【解析】根据题意知，()e 11e 112111e 1e 221e x x x x xf x +-=-=-=-+++， ()e1101e 2f ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()1111e 12f ⎡⎤⎡⎤-=-=-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦， 所以，()()11f f ≠-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦且()()11f f ≠--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以，函数()f x ⎡⎤⎣⎦既不是奇函数，也不是偶函数，A 错；()()()e 111111e 221e 2e 1e x x x x xf x f x ----=-=-=-=-+++，所以，函数()f x 为奇函数，B 对；因为函数1e xy =+为R 上的增函数，则函数11e xy =+为R 上的减函数， 故函数()1121e xf x =-+上的增函数，C 对；因为e 0x >，则1e 1x +>，所以，1011ex<<+，故()1122f x -<<， 所以，函数()f x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-，D 错.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）若幂函数()222()1mmf x m m x +=--的图象不经过原点，则实数m 的值为________．【答案】-1【解析】因为函数()()2221mmf x m m x+=--是幂函数，所以211m m --=，解得1m =-或2m =；当1m =-时，()1f x x -=，图象不经过原点，满足题意；当2m =时，()8f x x =，图象经过原点，不满足题意；所以1m =-.故答案为：1-.14．（2022·湖北·沙市中学高一阶段练习）设函数3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b =_______． 【答案】12【解析】因为3,1()2,1x x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，所以555()3662f b b =⨯-=-，当512b -<即32b >时，555(())()3()4622f f f b b b =-=--=，解得78b =，舍去；当512b -≥即32b ≤时，5255(())()2462b f f f b -=-==，解得12b =，故答案为：1215．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）已知0a >，0b >，且122243a b +=+-，则2a b +的最小值为________. 【答案】12【解析】∵0a >，0b >，且122243a b +=+-， ∴[]31222(2)(4)2(2)(4)224a b a b a b a b ⎛⎫+=++-=⨯++-+ ⎪+-⎝⎭()344(2)3444122242b a a b -+⎡⎤=⨯++≥⨯+=⎢⎥+-⎣⎦， 当且仅当44(2)24b a a b -+=+-，即14a =，172b =时取等号， 故2a b +的最小值为12．16．（2022·山东·聊城二中高一阶段练习）命题“x ∃∈R ，2290x mx ++<”为假命题，则实数m 的最大值为___________. 【答案】62【解析】因为命题“x ∃∈R ，2290x mx ++<”为假命题，则2720m ∆=-≤，解得6262m -≤因此，实数m 的最大值为62四、解答题：本小题共6小题，共70分。
重庆市中学2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
重庆市2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题（命题人：）（答案在最后）考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U =R ，3{|ln}3x M x y x -==+，}2{|2,1xx y y N =≤≤=，如图阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x ≤< B.{}34x x <≤C.{|2x x ≤或3}x > D.{}33x x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】由题意知，阴影部分表示的为M N ⋂，算出集合,M N 表示的范围，根据集合的交集的运算，即可得到本题答案.【详解】全集U =R ，集合M 中函数满足303x x ->+，解得3x <-或3x >，M ={|3x x <-或3}x >，集合N 中指数函数2x y =在上单调递增，则24222=x ≤≤，}|24{y N y =≤≤，由图可得阴影部分所表示的集合为{|34}M N x x ⋂=<≤，故选：B.2.若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A.1.2 B.1.3C.1.4D.1.5【答案】C【解析】【分析】由参考数据可得(1.4375)(1.375)0f f <，区间(1.375,1.4375)满足题干要求精确到0.1，结合选项可得答案.【详解】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.3.“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案.【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.4.函数21π()sin 212x xf x x -⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先得到函数的奇偶性，再计算出当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，判断出答案.【详解】化简函数()f x 解析式可得21()cos 21x x f x x -=⋅+，定义域为R ，112121212()()cos cos()cos cos 121212112xxxx x x x x f x f x x x x x------+-=⋅+-=⋅+⋅++++ 01212cos 11cos 22x x x x x x -=⋅+⋅+=+-，()f x ∴为奇函数，AC 错误；又因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，21()cos 021x x f x x -=⋅>+，B 错误，D 正确.故选：D.5.已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.9 B.69-C.9D.9【答案】A 【解析】【分析】先根据已知条件及同角三角函数基本关系求出π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭；再利用已知角π4α+和π42β-来配凑2βα+；最后利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πππ,442α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πππ,4242β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+=⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1cos 43α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πcos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.ππsin sin 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 442442ββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13333=⨯-⨯9=.故选：A.6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A.3hB.4hC.5hD.7h【答案】C 【解析】【分析】先根据题意表示出经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量；再列出不等式求解即可.【详解】经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：30.8mg /ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.只需30.80.24t⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即3144t⎛⎫< ⎪⎝⎭，341log 43344t ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为函数34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以341lg 42lg 20.602log 4.8164lg 4lg 32lg 2lg 30.6020.477t >==≈=---，故他至少要经过5个小时后才能驾车.故选：C.7.定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为A.9B.8C.7D.6【答案】B 【解析】【分析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x =的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.【详解】当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos(sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，()()12002f f ∴==，()()14202f f ==，若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-，即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=，由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=，作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图：由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =，故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用.判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b < ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意120x x <<，均有()()2112120x f x x f x x x ->-且(3)3f =，则不等式()0f x x ->的解集为（）A.(3,0)(3,)-⋃+∞B.()3,3-C.(,3)(3,)-∞-⋃+∞D.(3,0)(0,3)-⋃【答案】A 【解析】【分析】先变形得到()()1212f x f x x x <，令()()f x g x x =，得到()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增，结合(3)(3)13f g ==，得到3x >，再结合函数的奇偶性和单调性得到30x -<<，从而求出答案.【详解】因为120x x <<，所以()()21120x f x x f x -<，所以()()1212f x f x x x <.设函数()()f x g x x =，则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上单调递增，且(3)(3)13f g ==.当0x >时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x>，即()(3)g x g >，解得3x >，又因为()f x 是定义在上的奇函数，所以(0)0f =，所以，当0x =时，不等式()0f x x ->无解.因为()f x 是定义在上的奇函数，所以−=−，()()f x g x x=的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，又()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()()f x g x x=为偶函数，且在(,0)-∞单调递减，当0x <时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x<，因为(3)(3)13f g --==-，故()(3)g x g <-，解得30x -<<，综上，不等式()0f x x ->的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若1a b <<，则11b a< B.若22ac bc >，则a b>C.若0a b >>，0c >，则b b c a a c+<+ D.若c a b >>，a b c a c b<--【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项，可利用不等式性质进行判断；CD 选项，利用作差法比较出大小.【详解】A 选项，若1a b <<，则0ab >，不等式两边同除以ab 得11b a<，A 正确；B 选项，若22ac bc >，则0c ≠，故20c >，不等式两边同除以2c 得a b >，B 正确；C 选项，()()()b a cb bc ab bc ab ac a a c a a c a a c -++---==+++，因为0a b >>，0c >，所以0,0b a a c -<+>，故()()0b a c b b c a a c a a c -+-=<++，所以b b ca a c+<+，C 正确；D 选项，()()()a b c a b c a c b c a c b --=----，因为c a b >>，所以0c a ->，0c b ->，0a b ->，但c 的正负不确定，故无法判断()()()c a b c a c b ---的正负，从而无法判断a c a -与bc b-的大小关系，D 错误.故选：ABC.10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于直线π6x =对称B.函数()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.1(0)2f =-D.函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由三角函数的周期性与奇偶性，结合三角函数图象平移法则求得,ωϕ，再利用代入检验法与整体代入法逐一分析各选项即可得解.【详解】因为函数()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期为2ππω=，则2ω=，故()sin(2)f x x ϕ=+，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，因为得到的图象对应的函数2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以2πππ(Z)32k k ϕ+=+∈，即ππ(Z)6k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，当π6x =时，则πππ1sin 6362f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，令πππ2π22π262k x k -+<-<+，Z k ∈，得ππππ(Z)63k x k k -+<<+∈，当1k =时，()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，π1(0)sin 62f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，πππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD.11.设函数()()12,1log 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则()1243412x x x x ++++的值可以是（）A.4B.5C.163D.6【答案】AB 【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，结合交点关系得到()12344444222111x x x x x x +++=++++-，构造函数42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，根据函数单调性得到取值范围，求出答案.【详解】函数()f x的图象如图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知，当01t <≤时，直线y t =与函数()f x 的图象有四个交点，交点的横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，1x >时，令12()log (1)1f x x =-=，解得32x =或3x =.由图可知，120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，由()()34f x f x =，可得34111x x -=-，则有34111x x =+-，所以()1233444444422221111x x x x x x x x +++=+=+++++-.令42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，易知()g x 在(2,3]上为减函数，且16(2)3g =，(3)4g =，故()12344164213x x x x ≤+++<+，且1644,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1654,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，AB 正确；又1616164,,64,333⎡⎫⎡⎫∉∉⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，CD 错误.故选：AB.【点睛】将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数为1()f x -，且11()()4f a f b --+=-，则11a b +的最小值为__________.【答案】12【解析】【分析】先利用指、对数式的互化得到函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数，再利用对数的运算性质化简11()()4f a f b --+=-，最后由基本不等式求得最值即可．【详解】因为x y a =和log a y x =（0a >，1a ≠）互为反函数，若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112()log f x x -=，又因为11()()4f a f b --+=-，所以111222log log log ()4a b ab +==-，所以16ab =，且0a >，0b >，又11116162a b a b a b ab +++==≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为12.故答案为：12.13.如果函数()f x 的图象可以通过()g x 的图象平移得到，则称函数()f x 为函数()g x 的“同形函数”，下面几对函数是“同形函数”的是__________.（填上正确选项的序号即可）①()sin f x x =，()cos g x x =；②()2sin cos f x x x =，()cos 2g x x =；③44()sin cos f x x x =-，()cos 2g x x =；④()sin 2tan f x x x =⋅，()cos 2g x x =.【答案】①②③【解析】【分析】①②③，结合三角恒等变换及平移变换法则求出答案；④由两函数定义域不同，故④错误.【详解】①()cos g x x =的图象向右平移π2个单位得到()sin f x x =的图象，①正确；②π()2sin cos sin 2cos 22f x x x x x ⎛⎫===-⎪⎝⎭，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向右平移π4个单位得到，故②正确；③()()44222222()sin cos sin cos sincos sin cos f x x x x xx x x x =-=-+=-cos 2cos(2π)x x =-=+，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向左平移π2个单位得到，故③正确；④2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin 1cos 2cos(2)1co πs xf x x x x x x x x x=⋅=⋅==-=++，因为()sin 2tan f x x x =⋅的定义域不是，而()cos 2g x x =的定义域是，所以不可能由()cos 2g x x =的图象平移得到()sin 2tan 2f x x x =⋅的图象，故④错误.故答案为：①②③14.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0,1]x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R ，有(2)()f x f x +=-，2024(),0()log (),0f x xg x x x ≥⎧=⎨--<⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为__________.【答案】2027【解析】【分析】由于题意可得函数()f x 以4为周期，分0x >，0x <，0x =三种情况讨论，把问题转化函数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解．【详解】对任意∈有(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 以4为周期，由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则()(2)f x f x =-，又(2)()f x f x +=-，所以(2)(2)0f x f x ++-=，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称.当0x >时，0x -<，由()()0g x g x --=得()()g x g x =-，则2024()log f x x =-，作出()y f x =与2024log y x =-的大致图象如图，令2024log 1x -=-，则2024x =，而20244506=⨯，由图可知，在第一个周期内有三个交点，后面每个周期内有两个交点，所以()y f x =与2024log y x =-的图象在(0,)+∞上有350521013+⨯=个交点；当0x <时，0x ->，由()()g x g x =-得：2024log ()()x f x --=-，令x t -=，0t >，得2024()log f t t =-，由上述可知，()y f t =与2024log y t =-的图象在(0,)+∞上有1013个交点，故()y f x =-与2024log ()y x =--的图象在(,0)-∞上有1013个交点，又0x =时，()()0g x g x --=成立，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为2101312027⨯+=.故答案为：2027.【点睛】思路点睛：由题分析可得函数()f x 以4为周期，图象关于(2,0)中心对称，把问题转化函数图象交点个数问题，数形结合可得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合{}11ee x A x -=≤≤，若关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A .（1）求函数()2f x x mx n =++的解析式；（2）求关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+的解集，其中λ∈R .【答案】（1）详见解析；（2）{|x x λ<-或}3x λ>-.【解析】【分析】（1）先化简集合A ，再根据关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，利用根与系数的关系求解；（2）由（1）化简不等式为()()30x x λλ++->求解.【小问1详解】解：集合{}11ee x A x -=≤≤{}|12x x =≤≤，因为关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，所以3,2m n =-=，则()232f x x x =-+；【小问2详解】由（1）知：关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+即为：()2232322x x x λλ-++>-+，即为()222330x x λλλ+-+->，即为()()30x x λλ++->，解得：3x λ>-或x λ<-，所以不等式的解集为：{|x x λ<-或}3x λ>-.16.若函数()y f x =对任意实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”()f x 满足(1)1f -=-，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈.（1）判断“保积函数”()f x 的奇偶性；（2）若“保积函数”()f x 在区间(0,)+∞上总有()0f x >成立，试证明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（3）在（2）成立的条件下，若(2)2f =，求()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集.【答案】（1）()f x 为奇函数（2）证明见解析（3）π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）赋值，结合(1)1f -=-，进而得到()f x 为奇函数；（2）()f x 在(0,)+∞上单调递增，利用定义法得到函数的单调性；（3）赋值法得到1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，结合函数单调性得到211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，数形结合，结合定义域，得到不等式，求出解集.【小问1详解】()f x 为奇函数，理由如下：根据题意，令1y =-，得()()(1)f x f x f -=-，因为(1)1f -=-，所以()()f x f x -=-，故结合定义域可知，()f x 为奇函数.【小问2详解】证明：任取1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x >，则2101x x <<，因此()()()()()2212111111x x f x f x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2101x x <<，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈，所以2110x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，因为(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，所以()10f x >，所以()()()2121110x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，又因为120x x >>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；【小问3详解】(1)1f -=-Q ，又()f x 为奇函数，(1)(1)1f f ∴=--=，()()()f xy f x f y = ，112(2)22f f f⎛⎫⎛⎫∴⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)2f = ，1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故原不等式等价于()211log sin 2f x f ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，[0,2π]x ∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增且(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，又()f x 为奇函数，()f x ∴在上单调递增，故211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，则221log sin log 22x ≤-=，[0,2π]x ∈，∴sin 0sin 2x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得π04x <≤或3ππ4x ≤<，综上，()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集为π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.17.已知函数())f x x =ω+ϕ（0ω>，ππ22ϕ-≤≤）的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和ϕ的值；（2）当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()y f x =的最大值和最小值；（3）设()()(0)g x f cx c =>，若()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标不属于区间(π,2π)，求c 的取值范围.【答案】（1）2ω=，π6ϕ=-（22-（3）1150,,6312⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据最小正周期求出ω，再根据对称轴求出ϕ；（2）由（1）可得()f x 解析式，再由x 的取值范围求出π26x -的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；（3）首先得到()g x 的解析式，由12ππ22c⨯≥求出c 的大致范围，再求出()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)时c 的取值范围，即可得解.【小问1详解】因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，所以2π2Tω==，又因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以232ππkπϕ⨯+=+，k ∈Z ，所以ππ6k ϕ=-，k ∈Z ，又ππ22ϕ-≤≤，所以π6ϕ=-，综上可得2ω=，π6ϕ=-.【小问2详解】由（1）知π()26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ5π2666x -≤-≤，所以当ππ262x -=（即π3x =）时，max ()f x =当ππ266x -=-（即0x =）时，min 3()2f x =-，所以函数()y f x =在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 2-.【小问3详解】由题意π()()26g x f cx cx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()0c >，()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(π,2π)，12ππ22c ∴⨯≥且0c >，解得102c <≤，令ππ2π62cx k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x c c=+，k ∈Z ，若()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)，则πππ2π23k c c <+<，解得114623k k c +<<+，当1k =-时，112c -<且16c <-（矛盾），故解集为空集；当0k =时，1163c <<；当1k =时，55126c <<，故c 的取值范围为1150,,6312⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.18.已知函数2()43f x x x =-+，()(4)3g x a x =+-，a ∈R .（1）若[1,0]x ∃∈-，使得方程()20m f x -=有解，求实数m 的取值范围；（2）若对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（3）设()()()h x f x g x =+，记()M a 为函数()h x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值.【答案】（1）[]2log 3,3（2）{15a a ≤-或9}5a ≥-（3）3-【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性，结合存在性的定义、对数的单调性进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合函数的对称性分类讨论进行求解即可；（3）根据函数的对称性、单调性分类讨论进行求解即可.【小问1详解】[1,0]x ∃∈-，2()20243m m f x x x -=⇔=-+，因为函数2()43f x x x =-+的图象的对称轴是直线2x =，所以()y f x =在[1,0]-上为减函数，max ()(1)8f x f =-=，min ()(0)3f x f ==，故2[3,8]m ∈，所以m 的取值范围为[]2log 3,3.【小问2详解】对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，∴即在区间[1,5]-上，()()12max max f x g x ≤，函数2()43f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =，又[1,5]x ∈-，∴当5x =时，函数()f x 有最大值为2(5)54538f =-⨯+=，①当4a =-时，()3g x =-，不符合题意，舍去；②当4a >-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[7,517]a a --+，5178a ∴+≥，得95a ≥-；③当4a <-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[517,7]a a +--，78a ∴--≥，得15a ≤-，综上，a 的取值范围为{15a a ≤-或9}5a ≥-；【小问3详解】函数2()h x x ax =+图象的对称轴为2a x =-，①当2a ≤-或0a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，则()(1)|1|M a f a ==+；②当20a -<<时，2()max ,(1)max ,124a a M a ff a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=-=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，解不等式组22014a a a -<<⎧⎪⎨>+⎪⎩，得(221a -<<-，故当20a -<<，()((2,22141,210a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-≤<⎩，综上，()((2,22141,221a a M a a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或，()M a ∴在((),21∞--上单调递减，在()21,∞⎡+⎣上单调递增，(21a ∴=-时，()M a取最小值为(2113+=-.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的对称轴与所给区间的相位位置进行分类讨论.19.已知()()()sin22sin cos 8f m θθθθ=---+．（1）当1m =时，求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()fθ的最小值为7-，求实数m 的值；（3）对任意的π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，不等式()816sin cos m f θθθ->-恒成立．求m 的取值范围．【答案】（1）172+（2）5m =或1m =-（3）722,6⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数，再代入求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）首先设sin cos t θθ=-，利用三角恒等变换，将函数表示成关于t 的二次函数，讨论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解m ；（3）根据（2）的结果，不等式参变分离为128m t t t->+-，在(t ∈恒成立，转化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解m 的取值范围.【小问1详解】()()())πsin22sin cos 8sin22sin 84f m m θθθθθθ⎛⎫=---+=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，ππππ1ππsin 881261242124f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1178262π+=+=；【小问2详解】设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，22sin cos 1=-+t θθ，()()()229,f Q t t m t t θ⎡==---+∈⎣，其对称轴为12m t =-+，当102m-+≥，即2m ≥时，()f θ的最小值为(77Q =+=-，则5m =；当102m-+<，即2m <时，()f θ的最小值为77Q =-=-1m =-；综上，5m =或1m =-；【小问3详解】由()816sin cos m f θθθ->-，对所有π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立．设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则(t ∈，()281629m t m t t-∴>---+，(t ∈恒成立，280t -> ，128m t t t∴-+->，在(t ∈恒成立，当(t ∈时，8t t -递减，则18t t t+-在(递增，t ∴=时18t t t +-取得最大值726得2m ->2∴>m 所以存在符合条件的实数m ，且m的取值范围为2,6∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题的关键利用公式()22sin cos 1sin cos θθθθ=--，从而利用换元法转化为关于t 的函数问题.。
重庆市中学2024-2025学年高一上学期第一学月考试数学试题含答案
重庆市2024—2025学年第一学月考试高一（上）数学试题卷（答案在最后）考试说明：1．考试时间120分钟2．试题总分150分3．试卷页数2页一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.命题“2210x x ∀>->，”的否定为（）A.2210x x ∀>-≤，B.2210x x ∀≤-≤，C.2210x x ∃>-≤，D.2210x x ∃≤-≤，【答案】C 【解析】【分析】直接由全称命题的否定即可得出答案.【详解】 命题“2210x x ∀>->，”，由全称命题的否定可知，命题“2210x x ∀>->，”的否定为：2210x x ∃>-≤，，故选：C.2.下列表示正确的个数是（）（1）0∉∅；（2）{}1,2∅⊆；（3）{}210(,)3,435x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭；（4）若A B ⊆，则A B A = A.3 B.2C.1D.0【答案】A 【解析】【分析】由元素与集合的关系可判断（1）；由集合与集合的包含关系可判断（2）；由描述法可判断（3）；由集合的包含关系与交集的定义可判断（4）．【详解】因为空集没有任何元素，故0∉∅，故（1）正确；因为空集是任何集合的子集，故{}1,2∅⊆，故（2）正确；解方程组21035x y x y +=⎧⎨-=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，则(){}210(,)3,435x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭，故（3）错误；若A B ⊆，则A B A = ，故（4）正确.所以正确的个数是3．故选：A ．3.估计(的值应在（）A.9和10之间B.8和9之间C.7和8之间D.6和7之间【答案】C 【解析】【分析】先根据二次根式的运算法则进行计算，在对根式进行估算即可.【详解】(4=+因为91016<<，所以34<<，所以748<+<，故选：C.4.已知二次函数()2321y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A .4k < B.4k ≤ C.4k <且3k ≠ D.4k ≤且3k ≠【答案】D 【解析】【分析】由条件可得二次方程()23210k x x -++=有解，列不等式求k 的范围即可.【详解】由已知二次方程()23210k x x -++=有解，所以30k -≠，且()4430k --≥，所以4k ≤且3k ≠.故选：D.5.比较（0a >，0b >）的大小（）A.> B.+<C.+≥ D.≤【答案】C【解析】【分析】利用作差化简比较大小即可.【详解】因为0a >，0b >，20>>≥，+====2=≥，+≥，故选：C 6.已知102x <<，则1812x x+-的最小值为（）A.16 B.18C.8D.20【答案】B 【解析】【分析】将1812x x+-转化为28212x x +-，发现所求式子两个分母和为定值1，即()2121x x +-=，所以运用“1”的灵活代换及均值不等式即可求解.【详解】解：因为102x <<，所以0121x <-<，又因为()2121x x +-=，所以()1828281221212212211216102x x x x x x x x x x x x -++=+-+-⎛⎫⎡⎤=⨯=+ ⎪⎣⎦-⎝⎭--1018≥+（当且仅当162121x x x x -=-即16x =时等号成立），故选：B.7.已知命题:0p x ∀>，4x a x+≥，命题:q x ∃∈R ，210x ax ++=，若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围是（）.A.24a ≤≤B.22a -≤≤C.2a ≤-或24a ≤≤D.2a ≤-【答案】C 【解析】【分析】若命题p 为真命题，利用基本不等式求出4x x+的最小值即可得到a 的取值范围，若命题q 为真命题，则由0∆≥即可求出a 的取值范围，再取两者的交集即可.【详解】∵命题p ：40,x x a x∀>+≥为真命题，∴min4a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭，又∵0x >，∴44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，∴4a ≤，∵命题:q x ∃∈R ，210x ax ++=，为真命题，∴240a ∆=-≥，∴2a ≤-或2a ≥，∵命题p ，q 都是真命题，∴2a ≤-或24a ≤≤.故选：C8.已知集合{}1234,,,A x x x x =且1234x x x x <<<，定义集合{},,,,=1,2,3,4i j i j B x x x x x x A i j ==-∈，若B A =，给出下列说法：①1423x x x x +<+；②2132x x x =<；③3242x x x =+；正确的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】由集合的新定义结合B A =，可得324321x x x x x x -=-=-,由此即可求解.【详解】因为集合{}1234,,,A x x x x =且1234x x x x <<<,若B A =，则B 中也包含四个元素,即{}2131410,,,,B x x x x x x =---剩下的324321x x x x x x -=-=-，4231x x x x -=-，对于①:由4321x x x x -=-得4123x x x x +=+,故①正确;对于②：由3221x x x x -=-得2132x x x =+,故②正确;对于③：由3243x x x x -=-得3242x x x =+,故③正确;故选:D二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对6分，部分选对部分分）9.下列说法不正确的是（）A.“11a b>”是“a b >”的充分不必要条件B.“A =∅”是“A B =∅ ”的充分不必要条件C.若R a b c ∈,,，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”D.若,R a b ∈，则“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件【答案】AC 【解析】【分析】根据已知条件及特殊值法，结合充分条件必要条件的定义即可求解.【详解】对于A 选项，当2,3a b ==时，11;23a b ><当1,2a b =-=-时，11212->-->-，，所以两者既不充分也不必要，故A 错误;对于B 选项，当A B =∅ 时，可取}{}{1,2A B ==，但A ≠∅，当A =∅时，A B =∅ ，故B 正确;对于C 选项，当22ab cb >时，20b >，从而a c >，反之，a c >时，若0b =，则22ab cb =，所以两者不是充要条件，故C 错误；对于D 选项，220,0a b a +≠≠且00b a b ≠⇔+≠，故D 正确，故选:AC10.设正实数m ，n 满足2m n +=，则（）A.12m n+的最小值为3 B.+的最大值为2C.的最大值为1 D.22m n +的最小值为32【答案】BC 【解析】【分析】由基本不等式逐项求解判断即可.【详解】因为正实数m ，n 满足2m n +=，所以()1211212131232222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当2n mm n=，即2m ==，4n =-，等号成立，故A 错误；2224m n m n =++=+++=，当且仅当1m n ==时，等号成立，所以2≤，故B 正确；m n +≥12m n+≤=，当且仅当1m n ==时，等号成立，故C 正确；()22222424222m n m n m n mn mn +⎛⎫+=+-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，等号成立，故D 错误；故选：BC11.已知二次函数2y ax bx c =++（0,,,a a b c ≠为常数）的对称轴为1x =，其图像如图所示，则下列选项正确的有（）A.0abc abc +=B.当1a x a ≤≤-时，函数的最大值为2c a -C.关于x的不等式()()2422222ax bx a x b x +>-+-的解为x >或x <D.若关于x 的函数21t x bx =++与关于t 的函数21y t bt =++有相同的最小值，则1b -≥【答案】ACD【分析】A 选项，由开口方向，与y 轴交点，及对称轴，求出,,a b c 的正负，得到A 正确；B 选项，当1a x a ≤≤-时，数形结合得到函数随着x 的增大而减小，从而求出最大值；C 选项，结合2b a =-，化简不等式，求出解集；D 选项，配方得到两函数的最小值，从而得到2124b b -≥-，求出1b -≥【详解】A 选项，二次函数图象开口向上，故0a >，对称轴为12bx a=-=，故20b a =-<，图象与y 轴交点在y 轴正半轴，故0c >，所以0abc <，故0abc abc abc abc +=-+=，A 正确；B 选项，因为2b a =-，故22y ax ax c =-+，因为0a >，所以11a -<，当11a x a ≤≤-<时，22y ax ax c =-+随着x 的增大而减小，所以x a =时，y 取得最大值，最大值为322y a c a -=+，B 错误；C 选项，因为2b a =-，所以42422ax bx ax ax +=-，()()()2224224222442268a x b x ax ax a a x ax ax a -+-=-+--=-+，故不等式()()2422222ax bx a x b x +>-+-变形为2048ax a >-，因为0a >，22x >，解得：x >或x <，故C 正确；D 选项，2224121b t x bx x b ⎛⎫=++=+ +-⎪⎝⎭，当2b x =-时，t 取得最小值，最小值为214b -，2224121b y t bt t b ⎛⎫=++=+ +-⎪⎝⎭，当2b t =-时，y 取得最小值，最小值为214b -，所以2124b b -≥-，即2240b b --≥，所以()215b -≥，即1b -≥D 正确.故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知集合{}{}2,,1a a a =，则a =___________．【解析】【分析】根据集合相等的定义求解即可．【详解】由题意得，21a =，解得1a =-或1a =，当1a =时，集合为{}1,1，不满足集合中元素的互异性，舍去，当1a =-时，集合为{}1,1-，满足题意，故答案为：1-．13.已知11,11a b a b -≤+≤-≤-≤，求23a b +的取值范围__________．【答案】[3,3]-【解析】【分析】利用待定系数法设23()()a b a b a b λμ+=++-，得到方程组，解出,λμ，再根据不等式基本性质即可得到答案.【详解】设23()()a b a b a b λμ+=++-,则2,3,λμλμ+=⎧⎨-=⎩解得5,21.2λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故5123()()22a b a b a b +=+--，由11a b -≤+≤,故555()222a b -≤+≤，由1a b -≤-1≤,故111()222a b -≤--≤，所以23[3,3]a b +∈-.故答案为：[3,3]-.14.已知正实数,x y 满足224924x xy y -+=-，且24yx y <<，则3x y +的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】将224924x xy y -+=-，变形为()()424x y y x --=，再由()()342x y x y y x +=-+-，利用基本不等式求解.【详解】解：因为()()22492424x xy y x y x y -+=--=-，所以()()424x y y x --=，所以()()3424x y x y y x +=-+-≥=，（当且仅当42x y y x -=-时，联立224924x xy y -+=-，解得610,77x y ==），所以3x y +的最小值为4，故答案为：4四、解答题（本愿共5小题，共77分）15.已知{}3A xa x a =≤≤-+∣，{1B x x =<-∣或5}x >．（1）若A B =∅ ，求a 的取值范围；（2）若A B =R ，求a 的取值范围．【答案】（1）[)1,-+∞（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）分A =∅和A ≠∅两种情况讨论求解即可；（2）由题意得351a a -+≥⎧⎨≤-⎩，从而可求出a 的取值范围．【小问1详解】①当A =∅时，A B =∅ ，∴3a a >-+，∴32a >．②当A ≠∅时，要使A B =∅ ，必须满足32351a a a ⎧≤⎪⎪-+≤⎨⎪≥-⎪⎩，解得312a -≤≤．综上所述，a 的取值范围是[)1,-+∞．【小问2详解】∵A B =R ，{}3A xa x a =≤≤-+∣，{1B x x =<-∣或5}x >，∴351a a -+≥⎧⎨≤-⎩，解得2a ≤-，故所求a 的取值范围为(],2-∞-．16.已知集合{}{}222|560,|2(1)30A x x x B x x m x m =+-==+++-=（1）若0,m =写出A B 的所有子集（2）若“”x A ∈是“”x B ∈的必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}{}{}{}{}{}{},6,1,3,6,1,6,3,1,3,6,1,3∅--------（2）}{|2m m ≤-【解析】【分析】（1）先利用一元二次方程化简集合A ，B ，再利用集合的并集运算求解，进而得到子集；（2）由题意得到B A ⊆，分B 中没有元素即B =∅，B 中只有一个元素和B 中有两个元素求解.【小问1详解】{}{}25606,1A x x x =+-==-，若0m =，则{}{}22303,1B x x x =+-==-，此时{}6,1,3A B =-- ，所以A B 子集为{}{}{}{}{}{}{},6,1,3,6,1,6,3,1,3,6,1,3∅--------.【小问2详解】若“”x A ∈是“”x B ∈的必要条件，只需B A ⊆.①若B 中没有元素即B =∅，则()()2241438160m m m ∆=+--=+<，此时2m <-，满足B A ⊆；②若B 中只有一个元素，则0∆=，此时2m =-．则{}}{2|2101B x x x =-+==，此时满足B A ⊆；③若B 中有两个元素，则0∆>，此时2m >-．因为A 中也有两个元素，且B A ⊆，则必有{}6,1B A ==-，由韦达定理得2613m -⨯=-，则23m =-，矛盾，故舍去．综上所述，当2m ≤-时，B A ⊆．所以实数m 的取值范围：}{|2m m ≤-．17.对于二次函数2(0)y mx nx t m =++≠，若存在0R x ∈，使得2000mx nx t x ++=成立，则称0x 为二次函数2(0)y mx nx t m =++≠的不动点．（1）求二次函数23y x x =--的不动点；（2）若二次函数()2221y x a x a =-++-有两个不相等的不动点1x 、2x ，且1x 、20x >，求1221x x x x +的最小值．【答案】（1）不动点为1-和3（2）6【解析】【分析】（1）根据不动点的定义，解方程23x x x --=，可得答案；（2）根据题意，即为方程()22103x x a a +-+=-有两个不相等的正实数根，解得a 的范围，再由韦达定理结合基本不等式可求得1221x x x x +的最小值.【小问1详解】由题意知：23x x x --=，2230x x ∴--=，(3)(1)0x x ∴-+=，解得11x =-，23x =，所以二次函数23y x x =--的不动点为1-和3．【小问2详解】依题意，()2221x a x a x -++-=有两个不相等的正实数根，即方程()22103x x a a +-+=-有两个不相等的正实数根，所以()()21212Δ3810302102a a a x x a x x ⎧⎪=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1a >，所以1232x x a ++=，1212a x x -=，所以()222121212122112122x x x x x x x x x x x x x x +-++==()223121321212a a a a a a +⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭==--()()214(1)1621a a a -+-+=-1822621a a -=++≥=-当且仅当1821a a -=-，即5a =时等号成立，所以1221x x x x +的最小值为6．18.某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x 吨与年促销费用t 万元之间满足函数关系式22k x t =-+（k 为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.（1）求k 值；（2）将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数；（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）【答案】（1）=2k （2）()321670222y t t t =--+≥+（3）该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.【解析】【分析】（1）依题意当=0t 时，=1x 代入计算可得；（2）依题意求出当年生产x 吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润；（3）由（2）可得32269222t y t +⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，利用基本不等式计算可得.【小问1详解】由题意可知，当=0t 时，=1x ，所以122k =-，解得=2k ；【小问2详解】由于=2k ，故222x t =-+，由题意知，当年生产x 吨时，年生产成本为：232332232x t ⎛⎫+=-+ ⎪+⎝⎭，当销售x 吨时，年销售收入为：3213223222t t ⎡⎤⎛⎫-++ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，由题意，3212322332232222y t t t t ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()321670222y t t t =--+≥+.【小问3详解】由（2）知：()321670222y t t t =--+≥+，即3226932269222222t t y t t ++⎛⎫=--+=-++ ⎪++⎝⎭6926.52≤-=，当且仅当32222t t +=+，又22t +≥，即6t =时，等号成立.此时，max 26.5y =.该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.19.问题：正数a ，b 满足1a b +=，求12a b+的最小值．其中一种解法是：12122()123b a a ba b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭2b a a b=，且1a b +=时，即1a =-且2b =（1）若正实数x ，y 满足3xy x y =+，求x y +的最小值；（2）若正实数a ，b ，x ，y 满足22221x y a b-=，且a b >，试比较22a b -和2()x y -的大小，并说明理由；（3）利用（2）的结论，求代数式M =M 取得最小值时m 的值．【答案】（1）4+（2）()222a b x y -≤-，理由见解析.（3）136【解析】【分析】（1）把3xy x y =+转化为131x y+=，利用题设给出的方法求和的最小值.（2）借助“1”的代换，利用22a b -()222222x y a b a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22222222b x a y x y a b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，再利用不等式可判断22a b -和2()x y -的大小.（3）取x =y =2231x y -=，利用（2）的结论，可求M 的最小值，再分析“=”成立的条件，可得m 的值.【小问1详解】由3xy x y =+（0x >，0y >）可得：131x y+=（0x >，0y >），所以()13x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭34y x x y =++4≥+4=+（当且仅当3131y x x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即13x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩=”）.所以x y +的最小值为：4+.【小问2详解】因为22221x y a b-=，所以22a b -()222222x y a b a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22222222b x a y x y a b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，因为2222222b x a y xy a b +≥（当且仅当222222b x a y a b =时取“=”）.所以22222222222b x a y x y x y xy a b ⎛⎫+-+≤+- ⎪⎝⎭222x y xy ≤+-()2x y =-（当0xy >时取“=”）所以：()222a b x y -≤-（当且仅当2222220b x a y a b xy ⎧=⎪⎨⎪>⎩即22b x a y =时取“=”）.【小问3详解】取x =y =，由35020m m -≥⎧⎨-≥⎩⇒2m ≥，此时()()352230m m m ---=->，所以0x y ->.同时：2231x y -=⇒22113y x -=，取21a =，213b =.由（2）可知：()22212133x y a b -≥-=-=，所以3x y -≥，当且仅当22331x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，结合00x y >⎧⎨>⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即136m =时取“=”.【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用22a b -()()222222221x y a b a b a b ⎛⎫=-⨯=-- ⎪⎝⎭22222222b x a y x y a b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用.。
【高一数学试题精选】高一数学上册第一章综合检测试题(含答案)
高一数学上册第一章综合检测试题(含答案)5第一综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．sin2cs3tan4的值( )A．小于0 B．大于0c．等于0D．不存在[答案] A[解析] ∵π2 2 π，∴sin2 0，∵π2 3 π，∴cs3 0，∵π 4 3π2，∴tan4 0，∴sin2cs3tan4 02．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )A．43B．－43c．±43D3[答案] B[解析] 由条知，tan600°＝a－4，∴a＝－4tan600°＝－4tan60°＝－433．(08 全国Ⅰ)＝(sinx－csx)2－1是( )A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数c．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数[答案] D[解析] ∵＝(sinx－csx)2－1＝sin2x－2sinxcsx＋cs2x－1＝－sin2x，∴函数＝(sinx－csx)2－1的最小正周期为π，且是奇函数．4．函数＝sin2x－π3在区间－π2，π的简图是( )[答案] A[解析] x＝0时， 0，排除B、D，x＝π6时，＝0，排除c，故选A5．为了得到函数＝cs2x＋π3的图象，只需将函数＝sin2x的图象( )A．向左平移5π12个长度单位B．向右平移5π12个长度单位c．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位[答案] A[解析] ＝cs(2x＋π3)＝sin(2x＋π2＋π3)＝sin(2x＋5π6)＝sin2(x＋5π12)，由＝sin2x的图象得到＝cs(2x＋π3)的图象．只需向左平移5π12个长度单位就可以．6．函数＝|sinx|的一个单调增区间是( )A－π4，π4Bπ4，3π4cπ，3π2D3π2，2π[答案] c[解析] 画出函数＝|sinx|的图象，如图所示．由函数图象知它的单调增区间为π，π＋π2(∈Z)，所以当＝1时，得到＝|sinx|的一个单调增区间为π，3π2，故选c 7．(08 四川)设0≤α≤2π，若sinα 3csα，则α的取值范围是( )Aπ3，π2Bπ3，πcπ3，4π3Dπ3，3π2[答案] c[解析] ∵sinα 3csα，∴csα 0tanα 3或csα 0tanα 3或csα＝0sinα＝1，∴π3 α 4π3[点评] ①可取特值检验，α＝π2时，1＝sinπ2 3csπ2＝0，排除A；α＝π时，0＝sinπ 3csπ＝－3，排除B；α＝4π3时，sin4π3＝－32，3cs4π3＝－32，∴sin4π3＝3cs4π3，排除D，故选c②学过两角和与差的三角函数后，可化一角一函解决，sinα－3csα＝2sinα－π3 0，∴sinα－π3 0，∵0≤α≤2π，∴π3 α4π38．方程sinπx＝14x的解的个数是( )A．5 B．6c．7 D．8[答案] c[解析] 在同一坐标系中分别作出函数1＝sinπx，2＝14x的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计7个．9．已知△ABc是锐角三角形，P＝sinA＋sinB，Q＝csA＋csB，则( )A．P QB．P Qc．P＝QD．P与Q的大小不能确定[答案] B[解析] ∵△ABc是锐角三角形，∴0 A π2，0 B π2，A＋B π2，∴A π2－B，B π2－A，∵＝sinx在0，π2上是增函数，∴sinA csB，sinB csA，∴sinA＋sinB csA＋csB，∴P Q10．若函数f(x)＝3cs(ωx＋φ)对任意的x都满足fπ3＋x＝fπ3－x，则fπ3的值是( )A．3或0B．－3或0c．0D．－3或3[答案] D[解析] f(x)的图象关于直线x＝π3对称，故fπ3为最大值或最小值．11．下列函数中，图象的一部分符合下图的是( )A．＝sin(x＋π6)B．＝sin(2x－π6)c．＝cs(4x－π3)D．＝cs(2x－π6)[答案] D[解析] 用三角函数图象所反映的周期确定ω，再由最高点确定函数类型．从而求得解析式．由图象知T＝4(π12＋π6)＝π，故ω＝2，排除A、c又当x＝π12时，＝1，而B中的＝0，故选D12．函数＝2sinπ3－x－csx＋π6(x∈R)的最小值为( )A．－3 B．－2c．－1 D．－5[答案] c[解析] ∵＝2sinπ3－x－csx＋π6＝2csπ2－π3－x－csx＋π6＝csx＋π6，∴in＝－1第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．若1＋sin2θ＝3sinθcsθ则tanθ＝________[答案] 1或12[解析] 由1＋sin2θ＝3sinθcsθ变形得2sin2θ＋cs2θ－3sinθcsθ＝0 (2sinθ－csθ)(sinθ－csθ)＝0，∴tanθ＝12或114．函数＝16－x2＋sinx的定义域为________．[答案] [－4，－π]∪[0，π][解析] 要使函数有意义，则16－x2≥0sinx≥0，∴－4≤x≤42π≤x≤2π＋π(∈Z)，∴－4≤x≤－π或0≤x≤π15．已知集合A＝{α|30°＋180° α 90°＋180°，∈Z}，集合B＝{β|－45°＋360° β 45°＋360°，∈Z}，则A∩B＝________[答案] {α|30°＋360° α 45°＋360°，∈Z}[解析] 如图可知，A∩B＝{α|30°＋360° α 45°＋360°，∈Z}．16．若a＝sin(sin2018°)，b＝sin(cs2018°)，c＝cs(sin2018°)，d＝cs(cs2018°)，则a、b、c、d从小到大的顺序是________．[答案] b a d c[解析] ∵2018°＝5×360°＋180°＋29°，∴a＝sin(－sin29°)＝－sin(sin29°) 0，b＝sin(－c s29°)＝－sin(cs29°) 0，c＝cs(－sin29°)＝cs(sin29°) 0，d＝cs(－cs29°)＝cs(cs29°) 0，又0 sin29° cs29° 1 π2，∴b a d c[点评] 本题“麻雀虽小，五脏俱全”，考查了终边相同的角、诱导式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合题训练．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知sinθ＝1－a1＋a，csθ＝3a－11＋a，若θ为第二象限角，求实数a的值．[解析] ∵θ为第二象限角，∴sinθ 0，csθ 0∴1－a1＋a 0，3a－11＋a 0，解之得，－1 a 13又∵sin2θ＋cs2θ＝1，∴1－a1＋a2＋3a－11＋a2＝1，解之，得a＝19或a＝1(舍去)．故实数a的值为1918．(本题满分12分)若集合＝θsinθ≥12，0≤θ≤π，N＝θcsθ≤12，0≤θ≤π，求∩N[解析] 解法一可根据正弦函数图象和余弦函数图象，找出集合N和集合对应的部分，然后求∩N首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线＝12如图．结合图象得集合、N分别为＝θπ6≤θ≤5π6，N＝θπ3≤θ≤π得∩N＝θπ3≤θ≤5π6解法二利用单位圆中的三角函数线确定集合、N作出单位圆的正弦线和余弦线如图所示．由单位圆中的三角函数线知＝θπ6≤θ≤5π6，N＝θπ3≤θ≤π由此可得∩N＝θπ3≤θ≤5π619．(本题满分12分)已知csx＋sin＝12，求sin－cs2x的最值．[解析] ∵csx＋sin＝12，∴sin＝12－csx，∴sin－cs2x＝12－csx－cs2x＝－csx＋122＋34，∵－1≤sin≤1，∴－1≤12－csx≤1，解得－12≤csx≤1，所以当csx＝－12时，(sin－cs2x)ax＝34，当csx＝1时，(sin－cs2x)in＝－32[点评] 本题由－1≤sin≤1求出－12≤csx≤1是解题的关键环节，是易漏掉出错的地方．20．(本题满分12分)已知＝a－bcs3x(b 0)的最大值为32，最小值为－12(1)求函数＝－4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x；(2)判断其奇偶性．[解析] (1)∵＝a－bcs3x，b 0，∴ax＝a＋b＝32in＝a－b＝－12，解得a＝12b＝1，∴函数＝－4asin(3bx)＝－2sin3x∴此函数的周期T＝2π3，当x＝2π3＋π6(∈Z)时，函数取得最小值－2；当x＝2π3－π6(∈Z)时，函数取得最大值2(2)∵函数解析式f(x)＝－2sin3x，x∈R，∴f(－x)＝－2sin(－3x)＝2sin3x＝－f(x)，∴＝－2sin3x为奇函数．21．(本题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示．试依图推出(1)f(x)的最小正周期；(2)f(x)的单调递增区间；(3)使f(x)取最小值的x的取值集合．[解析] (1)由图象可知，T2＝74π－π4＝32π，∴T＝3π(2)由(1)可知当x＝74π－3π＝－54π时，函数f(x)取最小值，∴f(x)的单调递增区间是－54π＋3π，π4＋3π(∈Z)．(3)由图知x＝74π时，f(x)取最小值，又∵T＝3π，∴当x＝74π＋3π时，f(x)取最小值，所以f(x)取最小值时x的集合为xx＝74π＋3π，∈Z22．(本题满分14分)函数f(x)＝1－2a－2acsx－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)．(1)求g(a)；(2)若g(a)＝12，求a及此时f(x)的最大值．[解析] (1)由f(x)＝1－2a－2acsx－2sin2x＝1－2a－2acsx－2(1－cs2x)＝2cs2x－2acsx－(2a＋1)＝2csx－a22－a22－2a－1这里－1≤csx≤1①若－1≤a2≤1，则当csx＝a2时，f(x)in＝－a22－2a－1；②若a2 1，则当csx＝1时，f(x)in＝1－4a；③若a2 －1，则当csx＝－1时，f(x)in＝1因此g(a)＝1 (a －2)－a22－2a－1 (－2≤a≤2)1－4a (a 2) (2)∵g(a)＝12∴①若a 2，则有1－4a＝12，得a＝18，矛盾；②若－2≤a≤2，则有－a22－2a－1＝12，即a2＋4a＋3＝0，∴a＝－1或a＝－3(舍)．∴g(a)＝12时，a＝－1此时f(x)＝2csx＋122＋12，当csx＝1时，f(x)取得最大值为55。
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中外校2014级高一上期
数学周考（1）
只要努力，就有成绩； 坚持到底，就会胜利！
考试时间：120分钟 满分：150分 考试内容：1.1 集合
一、选择题 ：本大题共10题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是满足题目要求的请将你认为正确的选项填入后面．．．．．．．．．．．．．．的．表格中．．．。
1．下列各项中，不可以组成集合的是（ C ）
A ．所有的正数
B ．等于2的数
C ．接近于0的数
D ．不等于0的偶数
2．下列四个集合中，是空集的是（ D ）
A ．}33|{=+x x
B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=
C ．}0|{2≤x x
D ．},01|{2R x x x x ∈=+-
3．下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于Q ，则a 属于Q ；③集合{}1|2-=x y y 与集合(){}
1|,2-=x y y x 是同一个集合；④x x 212=+的解可表示为{}1,1；其中正确命题的个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 （ A ）
4．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ D ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
5．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ C ）
A ．3个
B ．5个
C ．7个
D ．8个
6．若集合{}{}22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈，则有（ A ）
A ．M N M =
B ． M N N =
C ． M N M =
D ．M N =∅
7．下列表述中错误的是（ C ）
A ．若A
B A B A =⊆ 则, B ．若B A B B A ⊆=，则
C ．)(B A A )(B A
D ．()()()B C A C B A C U U U =
8．50名同学参加跳远和铅球测验，其中跳远测验成绩及格的40人，铅球测验成绩及格的31人，2项测验成绩均不及格的有4人，则2项测验成绩都及格的人数是（ B ）
A ．35
B ．25
C ．28
D ．15
9．已知集合{}2|10,A x x A R φ=++== 若，则实数m 的取值范围是（ C ）
A ．4<m
B ．4>m
C ．40<≤m
D ．40≤≤m
10．设集合},4
12|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（ B ）
A ．N M =
B ．M N
C ．N M
D ．M N φ=
二、填空题：（本大题共5个题，每小题5分，共25分直接把各题答案填写在横线上）
11．设集合{}{}{}1,2,1,2,3,2,3,4A B C ===，则A B = （）C 。
{}1234，，，
12. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B = ，则用列举法表示集合C 为 {}0,1,4,6C =
13．若{}{}
21,4,,1,A x B x ==且A B B = ，则x = 。
2,2,0-或 14．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 ；
9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭
或 15．若{}{}{}.,,|,,M C A M A x x B b a A B 求=⊆==
解：{}{}{},,,,,x A x a b a b φ⊆=则或，{}{}{}{},,,,B a b a b φ=
∴{}{}{},,B C M a b φ=
三、解答题（本大题6个小题，共75分）解答应在答题卷写出详细文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（13分）已知集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈-∈=N x N x A 68|，试用列举法表示集合A 。
解：由题意可知6x -是8的正约数，当61,5x x -==；当62,4x x -==；
当64,2x x -==；当68,2x x -==-；而0x ≥，∴2,4,5x =，即 {}5,4,2=A ；
17．（13分）已知集合{}{}
22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =- ，求实数a 的值。
解：∵{}3A B =- ，∴3B -∈，而2
13a +≠-， ∴当{}{}33,0,0,1,3,3,1,1a a A B -=-==-=--，
这样{}3,1A B =- 与{}3A B =- 矛盾； 当213,1,a a -=-=-符合{}3A B =- ∴1a =-
18．（13分）集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}
2|280C x x x =+-= (1) B A ⋂=B A ⋃，求a 的值；
(2) φB A ⋂，且C A ⋂=φ，求a 的值； (3) B A ⋂=C A ⋂≠φ，求a 的值；
解：(1) 此时当且仅当B A =，有韦达定理可得5=a 和6192=-a 同时成立，即5=a ；
(2) 由于}3,2{=B ，}24{，-=C ，故只可能3A ∈。
此时01032=--a a ，也即5=a 或2=a ，由①可得2=a 。
(3) 此时只可能2A ∈
，有01522=--a a ，也即5=a 或3-=a ，由①可得3-=a 。
19．（12分）设全集U R =，{}
2|10M m mx x =--=方程有实数根， {}()2|0,.U N n x x n C M N =-+= 方程有实数根求
解：当0m =时，1x =-，即0M ∈； 当0m ≠时，140,m ∆=+≥即14m ≥-
，且0m ≠ ∴14m ≥-，∴1|4U C M m m ⎧⎫=<-⎨⎬⎩
⎭ 而对于N ，140,n ∆=-≥即14n ≤，∴1|4N n n ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭ ∴1()|4U C M N x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭ 20．（12分）已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆,求m 的取值范围。
解：当121m m +>-，即2m <时，,B φ=满足B A ⊆，即2m <；
当121m m +=-，即2m =时，{}3,B =满足B A ⊆，即2m =；
当121m m +<-，即2m >时，由B A ⊆，得12215
m m +≥-⎧⎨-≤⎩即23m <≤；∴3≤m
21．（12分）已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}
2|,C z z x x A ==∈,且C B ⊆,求a 的取值范围。
解：{}|123B x x a =-≤≤+，当20a -≤≤时，{}
2|4C x a x =≤≤， 而C B ⊆ 则1234,,20,2
a a a +≥≥-≤≤即而 这是矛盾的； 当02a <≤时，{}|04C x x =≤≤，而C B ⊆，则1234,,22a a a +≥≥≤≤1即即2
； 当2a >时，{}2|0C x x a =≤≤，而C B ⊆，则223,3a a a +≥<≤即 2； ∴132a ≤≤。