高中文科数学解三角形部分整理
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
高中数学解三角形知识点
高中数学解三角形知识点
一、图形知识
1. 三角形的基本性质：三角形是由三条相交的直线组成的一种多边形，这三条直线将三角形的面分割成三个不同的三角形。
2. 内角和：三角形内角的和为180°。
3. 锐角：三角形中，一个角边大于90°，其内角叫做锐角。
4. 钝角：三角形中，一个角边小于90°，其内角叫做钝角。
5. 直角：三角形中，一个角边等于90°，其内角叫做直角。
6. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。
7. 等边三角形：三边长度相等的三角形。
二、三角函数
1. 定义：三角函数是一类把一个角度大小转换成其对应的值的函数。
2. 基本函数：sin、cos、tan、cot等。
3. 余弦定理：一个三角形的两边长度加起来的平方等于其对边的平方和。
4. 正弦定理：一个角的正弦等于改角对相邻边的比例。
5. 余切定理：一个角的余切等于改角对相邻边的倒数比例。
6. 洛必达定理：一个三角形的两边长度乘积等于其对边的乘积和乘以
其余弦。
高中数学知识点《解三角形》
解三角形（一）解三角形：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b c R C===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc +-A = 第二章 数列 1、数列中与之间的关系：11,(1),(2).n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意通项能否合并。
2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）， 那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2a b A +⇔=⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+-或(n a pn q p q =+、是常数）. ⑷前n 项和公式： ()()11122n n n n n a a S na d -+=+= ⑸常用性质：①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+；②下标为等差数列的项()Λ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列；③数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列；④若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、，…也成等差数列。
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。
高中数学——解三角公式
解三角形 公式汇总一、正弦定理二、余弦定理公式正弦定理：推论1：（边化角）推论2：（角化边）题型（1）已知sinB 求B:一题多解型判断依据：大角对大边，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（2）asin B ＝2b:方法：边化角，推论1，a ：b=sinA ：sinB（3）3sin A ＝5sinB 或 sinA:sinB:sinC=1:2:3 方法：角化边，推论2,sinA ：sinB=a ：b公式余弦定理： （已知两边及夹角，求第三边）推论1：（已知三边，求角）推论2：（三边的平方关系）a 2＋b 2－c 2=2abcosC b 2＋c 2－a 2=2bccosA a 2＋c 2－b 2=2accosB题型（1）已知a ，b ，角C,求c方法：已知两边及夹角，求第三边，余弦定理c 2=a 2＋b 2-2abcosC（2）已知a ：b ：c=1:2：，求cosB 方法：已知三边求角，余弦定理推论1，（3）已知，求cosA方法：已知三边平方关系，余弦定理推论2，b 2＋c 2－a 2=2bccosA三、求三角形面积公式：题型1：已知a ，b ，c ，A 求△ABC 的面积． 方法：带公式题型2：已知A ，a ，b ＋c ，求△ABC 的面积． 方法：四、判断三角形形状题型：cos cos sin b C c B a A +=，判断三角形形状 方法1：角化边公式：sinA:sinB:sinC=a:b:c 或结论：方法2：边化角公式：a:b:c = sinA:sinB:sinC将原式转化为sinBcosC ＋sinCcosB=sin 2A ，用三角恒等变换公式求解。
注：三角形内常见角度转化：。
高中数学题型解法归纳《解三角形题型的解法》
高中数学题型解法归纳《解三角形题型的解法》在直角三角形中，三边之间有一个重要的关系，即勾股定理，即a²+b²=c²。
同时，锐角之间的关系为A+B=90度，而边角之间的关系则可以用锐角三角函数来表示，例如sinA=cosB=a/c，cosA=sinB=b/c，tanA=a/b。
在斜三角形中，三角形内角和为180度，正弦定理可以用来描述各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径）。
而余弦定理则可以用来描述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a²=b²+c²-2bccosA，b²=a²+c²-2accosB，c²=a²+b²-2abcosC。
三角形的面积公式有两种，一种是以三条边的高为基的公式，即S=1/2ah=1/2bh=1/2ch，另一种则是以三边和它们所对的角的正弦为基的公式，即S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB。
解三角形是指由三角形的六个元素中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题。
解三角形的主要类型有两类正弦定理和两类余弦定理。
如果出现多解，可以利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验。
在三角形中的三角变换中，除了应用上述公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
例如，由于在三角形中A+B+C=180度，所以sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC，tan(A+B)=-tanC。
在△ABC中，已知c=2，C=π/3.1）若△ABC的面积等于3，求a,b；2）求a+b的取值范围。
解析：（1）由正弦定理有a/___，代入c和C的已知值，得到a/sinA=b/sinB=2/√3.由面积公式S=1/2ab sinC，代入已知值和a/sinA=b/sinB，得到3=1/2ab sin(π/3)，即ab=6√3.将a/sinA=b/sinB=2/√3代入正弦定理中，得到sinA=√3/2，sinB=1/2，因此a=2√3，b=2.答案：a=2√3，b=2.2）由三角不等式，有a+b>c，即a+b>2.又由正弦定理有a/sinA=b/sinB=2/√3，因此a=2b/√3，代入a+b>2中得到b(√3+2)>4，即b>4/(√3+2)。
高中数学解三角形知识点总结
高中数学解三角形知识点总结1500字高中数学中的三角形知识点非常重要，对于解题和理解概念都有着重要的作用。
下面是一个对于高中数学解三角形知识点的总结，包括三角形的性质、相似三角形、勾股定理、三角函数等内容。
一、三角形的基本概念及性质1. 三角形：由三条线段(即三边) 和它们的位置所决定的一个平面图形。
2. 三角形的分类：(1) 根据边的关系，可以分为等腰三角形、等边三角形、普通三角形；(2) 根据角的关系，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
3. 三角形的性质：(1) 三角形的三个内角的和为180°；(2) 任意一个角的补角和它的余角的和都等于90°；(3) 三角形的两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
二、相似三角形1. 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相似的。
2. 相似三角形的性质：(1) 对应两个角相等的两个三角形，对应的边成比例；(2) 如果两个三角形的对应两边成比例，那么对应的角相等。
3. 相似三角形的判定：(1) AA相似判定法：如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形是相似的；(2) SAS相似判定法：如果两个三角形的两个边对应成比例，且夹角对应相等，那么这两个三角形是相似的；(3) SSS相似判定法：如果两个三角形的三个边对应成比例，那么这两个三角形是相似的。
三、勾股定理1. 勾股定理的概念：直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边分别的平方的和。
2. 勾股定理的公式：a² = b² + c²。
3. 勾股定理的应用：(1) 判断三边长度是否满足勾股定理，从而判断三角形是否为直角三角形；(2) 利用勾股定理求解三角形的边长；(3) 通过勾股定理推导三角形的其他性质。
四、三角函数1. 三角函数的定义：三角函数是一种描述角度与边长之间关系的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中文科数学解三角形部分整理
一 正弦定理
（一）知识与工具：
正弦定理：在△ABC 中，
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===。
变形：::sin :sin :sin a b c A B
C =.
在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。
注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：
(1)三内角和为180° 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (2)三角函数的恒等变形
sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin 2B A +=cos 2C ，cos 2
B
A +=sin 2C (3)面积公式：S=
21absinC=R
abc
4=2R 2sinAsinBsinC
（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型 题型1 利用正弦定理公式原型解三角形
例一、在△ABC 中，若0
30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 【解析】C.
00tan 30,tan 3023,244,23b
b a
c b c b a
=====-=
题型2 利用正弦定理公式变形边角互化解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。
例二、在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）
A ．006030或
B ．006045或
C ．0060120或
D ．0
015030或 【解析】D. 012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302
b a B B A B A A ====或0
150
题型3 三角形解的个数的讨论
方法一：画图看
方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。
例三、等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0
60，则底边长为（D ） A ．2 B ．
2
3
C ．3
D ．32
二 余弦定理
（一）知识与工具：
a 2
=b 2
+c 2
﹣2bccosA cosA=bc
a 2c
b 2
22-+
b 2
=a 2
+c 2
﹣2accosB cosB=ac
b c a 22
22-+
c 2
=a 2
+b 2
﹣2abcosC cosC=ab
c b a 22
22-+
注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。
在变形中，注意三角形中其他条件的应用：
(1)三内角和为180°；
(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
(3)面积公式：S=
2
1
absinC=R abc 4=2R 2sinAsinBsinC
(4)三角函数的恒等变形。
（二）题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型 题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形
例一、在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2
2
2
_________。
【解析】
120 22201
c o s ,12022
b c a A A bc +-==-=
题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的
题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。
题型3 判断三角形的形状
结论：根据余弦定理，当a 2+b 2＜c 2、b 2+c 2＜a 2、c 2+a 2＜b 2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a 2+b 2＞c 2、b 2+c 2＞a 2，c 2+a 2＞b 2中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。
判断三角形形状的方法：
(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。
例一、在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=
sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+=
cos 0A =或cos 0B =，得2
A π
=
或2
B π
=
所以△ABC 是直角三角形。
（2）应用题 求 距离
两点间不可通又
不可视
两点间可视但不
可达
两点都不可达
求 高度
底部可达
底部不可达
题型1 计算高度 题型2 计算距离 题型3 计算角度 题型4 测量方案的设计 实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解。
例一：如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出AB 两点的距离为( )
A ．50 2 m
B ．50 3 m
C ．25 2 m D.252
2 m
答案：A
析：由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC
sin B
，AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×
2212
＝502(m)
例二、一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔
恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )
A ．5海里
B ．53海里
C ．10海里
D ．103海里
析：依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是5
0.5＝10(海里/小时)．答案：C
（三）其他常见结论
1三角形内切圆的半径：2S r a b c
∆
=
++，
特别地，2
a b c r +-=
斜
直
2三角学中的射影定理：
在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，… 3两内角与其正弦值：
在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…
例一、在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ）
A ．12
B ．221
C ．28
D ．36 【解析】D 0
11cos ,60,sin 6322
ABC A A S bc A ====。