菲涅尔衍射讲义
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工程光学下篇：第13.2节 菲涅耳衍射
泰伯效应（Talbot）
(x1, y1)
(x, y)
用菲涅耳衍射公式进行推导：
z
以振幅型正弦光栅为例
光栅的振幅透射系数为：t(x1,
y1)
1 2
1
cos
2
d
x1
采用单位振幅的平面波垂直照明
刚刚透过光栅的光场：E~1(x1, y1) t(x1, y1)（被调制 衍射）
在菲涅耳衍射区内距离为z处：
深圳大学光电工程学院
§13.2 菲涅耳衍射
泰伯效应（Talbot）
当用单色平面波垂直照明具有周期结构的衍射屏时，将 会在衍射屏后菲涅尔衍射区内的某个距离上出现该物体 的几何像
z
不用透镜即可对周期性物体成像的方法称为泰伯效应或 泰伯自成像（Self-imaging）
深圳大学光电工程学院
§13.2 菲涅耳衍射
2
e e d i z e e
i
2 d
(
x
)
i k 2 2z
i
2 d
x
iz
1 d
2
E~(x,
y)
eikz 2
1
e
iz
1 d
2
cos
2
d
x （常数相位深因圳子大学可光电省工略程学）院
§13.2 菲涅耳衍射
泰伯效应（Talbot）
用菲涅耳衍射公式进行推导：
(x1, y1)
(x, y)
第j个波带在P0的振幅：
|
E~j
|
C
Aj rj
1K(co) s
2
j rj ，cos
| E~1 || E~2 || E~3 |
振幅随j增大而减小
物理光学课件：3_2菲涅耳衍射
E j1
2
E j1
E(P0 )
E1 2
En 2
(n为奇数取正，偶数为负）
P点的光强可由从 P 点看衍射孔分为几个半波带 来决定：若是奇数个半波带，则为亮点；偶数个半 波带，则为暗点。逐渐开大或缩小圆孔可看到明暗 交替的变化。
自由空间传播的球面波即圆孔非常大时 En 0
E
E1 2
,
I I1 / 4
n
或E(P) E2 j nE1 2nE j 1
I 2n2 I
n 10, I 100I
菲涅耳透镜的焦距
P
Σ
R ρj
R
h A0
rj
r0
P0
j2 rj2 (r0 h)2 rj2 r02 2r0h h2
rj2 r02 jr0
h j r0
R r0 2
j2
j
r0 R R r0
定义：f
r0
j2 j
j2 j
r0 R R r0
R
r0
有限远点源的成像公式
Q
ρj
S
l
f
P0
S’
l
1 1 1 l l f l 和 l 分别为物距和像距。
普通透镜 菲涅耳透镜
入射平行光汇聚于焦点 焦点处光强大大增强
泊松点
（2）菲涅耳透镜的缺陷
① 多焦点、多象点、虚焦点 ② 波带片的焦距与波长成反比，色差极大 ③ 象点的光强较弱
球面波自由传播时整个波面上各次波源在 P 点产生的 合振动振幅等于第一半波带在该点产生振幅之半，强 度为1/4。
菲涅耳半波带的应用
园环形波带片：把一个屏的偶数或奇数 带挡住，只让奇数或偶数带通过。 此时各点到达 P 点时所引起光振动的位相相 同，相互加强。
菲涅尔衍射
其中：
f
z1
j2 j
10
4、菲涅尔透镜的成像特点
1）菲涅尔透镜除主焦点P0外，还存在光强较小的次焦
点P1 P2 P3… ，它们距波带片的距离分别为f/3、
f/5、f/7、 … 2）还存在一系列与实焦点对称的虚焦点P’0 P’1 P’2 P’3… 3）菲涅尔透镜的焦距与波长成反比。 4）采用二元光学方法补偿波带相位，且增大台阶数可
4
2z
2 d
分别积分得：
ik 2 e 2z d
iz
1 2
ei
2
1 d
x
ei
k 2z
2
d
iz
e e 1
2
i 2
1 d
x
iz
1 d
2
e i 2
1 d
x ei
k 2z
2
d
iz
e e 1
2
i
2
1 d
x
iz
1 d
2
代入原式得：
E~(x, y
)
1
e
iz
1 d
2
cos 2
x
d
15
E~(x, y
)
1
eiz
1 d
2
cos 2
x
d
☃当
z 2md2 m 0, 1
时，
菲涅尔衍射复振幅分布与光栅透射系数相同。
☃ 满足光栅自成像的距离z称为泰伯距离。
1
j
z1
惠更斯菲涅耳衍射课件
生物医学成像
X射线成像
X射线在穿过人体组织时发生衍射 ，通过分析衍射产生的图像可以 诊断疾病。
超声成像
超声波在遇到人体组织时发生衍射 ，通过分析衍射产生的回波可以生 成人体内部结构的图像。
光学显微镜
光学显微镜利用光的衍射和干涉现 象来观察细胞和组织的结构。
04 实验演示
单缝衍射实验
总结词
通过单缝衍射实验，观察光通过单缝产生的衍射现象，了解衍射的基本原理。
的变化引起的，而物理衍射是由于波动性质引起的。
按光强分布分类
02
根据光强分布的不同，衍射可以分为会聚衍射、发散衍射和干
涉衍射等类型。
按波长与障碍物尺寸关系分类
03
根据波长与障碍物或孔缝尺寸的关系，衍射可以分为小孔衍射
、大孔衍射和多缝衍射等类型。
0动现象的基本方程，其形式为$frac{partial^2 Phi}{partial t^2} = c^2 nabla^2 Phi$，其中$Phi$是波动场，$c$是波速。
透镜制造
在制造透镜时，需要考虑 到材料的衍射特性，以消 除或减少像差。
干涉仪
干涉仪利用衍射原理来测 量波长和相干长度。
雷达 and sonar
目标识别
雷达和声纳通过分析衍射 产生的回波来识别目标。
距离测量
通过测量衍射回波的时间 差，可以计算出目标与探 测器之间的距离。
速度测量
通过分析衍射回波的多普 勒频移，可以测量目标的 速度。
实现更高效的衍射器件
利用衍射现象，可以设计出各种光学器件，如光束整形器 、光束分束器等。未来可以通过优化设计，提高这些器件 的效率和稳定性。
探索其他物理场的衍射现象
除了光学领域，其他物理场如电磁波、声波等也存在衍射 现象。未来可以进一步探索这些物理场的衍射现象及其应 用。
第九讲菲涅耳衍射
1, 0,
x0 y0 a 2 其它
2
2
提示 1. 用F.T.表达式, 并取x = y = 0,
2 2 2 2 x0 y0 x0 y0 exp( jkz ) U (0,0, z ) circ ( ) exp( jk )dx0 dy 0 j z a 2z
提示2. 用极坐标, 积分可求出.
exp( jkz) 2 U (0,0, z ) d 0 jz
r2 0 exp(jk 2 z )rdr
a
轴上强度分布:
2 I (0,0) z 4 sin a 2z
2
a2 a 2 2 j exp( jkz) exp( jk ) sin( ) 4z 2z
中央亮斑宽度: Dx =2z/a, Dy =2z/b ∴x, y方向的角展宽:
D x Dx , D y z a/2 b/2
-1 0 1
2
I/I(0)
1
与圆孔数量级相同. 孔尺寸越小,角展宽越大
ax/z
简单孔径的夫琅和费衍射：双缝
1 rect(x0/a) a/2 0 a/2
余弦型振幅光栅的复振幅透过率为
x t x a b cos d
式中，d 为光栅周期，a>b>0。观察平面与光栅相距z。用单色 平面波垂直照明光栅，当 z 分别取下列各数值时，确定在观察 平面上产生的强度分布。 （式中zT称作泰伯距离） （1）
zT d z
(x0+d/2)+ (x0-d/2)
x0
*
1
1
t (x0)
d/2
d/2
0 d/2
x0
光学3(光的衍射)讲义
菲涅耳简介
法国物理学家，主要成就有：
(1)用定量形式建立了惠更斯--菲涅耳原 理，完善了光的衍射理论；
(2)1821年与阿拉果一起研究了偏振光的 干涉，确定了光是横波；
Augustin-Jean resnel ( 1788 ― 1827 )
(3)1823年发现了光的圆偏振和椭圆偏振 现象，用波动说解释了偏振面的旋转；
例 用波长为λ的单色光照射狭缝，得到单缝的夫琅禾费衍射 图样，第3级暗纹位于屏上的P处，问：
求 (1)若将狭缝宽度缩小一半，那么P处是明纹还是暗纹？
a
(k 1,2, )
a sin a t an a xk （2k 1）
f
2
xk
(2k
1) f
2a
(k 1,2, )
单缝衍射明纹角宽度和线宽度 角宽度 相邻两暗纹中心对应的衍射角之差
线宽度 观察屏上相邻两暗纹中心的间距
观测屏
透镜
x2
1
x1
x
1 o
0
x1
x0
衍射屏 f
中央明纹 角宽度 0 21 2 λ a
E
L1
L2
S
a A
f
D
L1、L2 透镜 A：单缝
E：屏幕
缝宽a
缝屏距D（ L2的焦距 f ）
中央 明纹
二、菲涅尔半波带法
o
*
B
f
AC
x
P·x
0
f
菲涅耳根据通过单缝的光波的对称性，提出了半波带理论， 用代数加法或矢量图解代替积分，可简单解释衍射现象。
A, B P 的光程差 AC asin
( a 为缝 AB的宽度 )
一面元都是子波源。 P 点的光振动 是所有面元光振动的叠加：
13-8 菲涅耳衍射 物理光学 教学课件
8
由以上两式可得：
讨论：
N
2 N
1 (
r0
1) R
▲ 对 P 点若S 恰好分成 N 个半波带时：
AP
1 2(a1
aN)
N为奇数 AP 12(a1 aN) N为偶数 AP 12(a1 aN)
最大 最小
▲ 对P 若S中还含有不完整的半波带时：
1 2(a 1aN)A P1 2(a 1aN)
光强介于最大 和最小之间
随r0增大，N减小，菲涅耳衍射效应显著；
当r0大到一定程度时，r0→∞，露出的波带数N不 变化，且为
N
Nmax
N2 R
称为菲涅耳数，它是一个描述圆孔 衍射效应的很重要的参量。
此后，随着r0的增大，P点光强不再出现明暗交替 的变化，逐渐进入夫朗和费衍射区。
而当r0很小时，N很大，衍射效应不明显。当r0小 到一定程度时，可视光为直线传播。- -几何区
所示，图中为了清楚起见，把偶数带画上了斜线。 – 这些波带在P点引起振动的振幅大小，不仅取决于波带的数目，还
取决于每个波带露出部分的大小。 – 精确计算P点的合成振动振幅是很复杂的，但可以预计，当Q点逐
渐偏离P0点时，有的地方衍射光会强些， 有些地方会弱些。
15
图1 轴外点波带的分法
图2 轴外点带的分布
19
菲涅耳波带片（透镜）与一般透镜特点的比较： （1）具有一般透镜的聚焦、成像作用 （2）除主焦距f外，对应f/3，f/5，f/7·······位置处 有一系列次焦点与实焦面对称还有一系列虚焦点存在 （3）菲涅耳波带片: f～1/λ；
一般透镜: f～λ 两者结合，有利于消除色差
20
【例题】波长为 0.45μm的单色平面波入射到不透明的屏
经典实验讲义-菲涅尔单缝衍射 (演示实验)
菲涅尔单缝衍射（演示实验）一、实验目的观察菲涅尔单缝衍射现象二、实验原理菲涅尔衍射和夫郎和费衍射是研究衍射现象的两种方法，前者是不需要用任何仪器就可以直接观察到衍射现象，在这种情况下，观察点和光源（或其中之一）与障碍物（或孔）间的距离有限，在计算光程和叠加后的光强等问题时，都难免遇到繁琐的数学运算。
而后者研究的是观察点和光源距障碍物都是无限远（平行光束）时的衍射现象，在这种情况下计算衍射图样中的光强分布时，数学运算就比较简单。
所谓光源无限远，实际上就是把光源置于第一个透镜的焦平面上，得到平行光束；所谓观察点无限远，实际上就是在第二个透镜的焦平面上观察衍射图样。
请读者在以下的三个实验中注意观察。
三、实验仪器1、He—Ne激光器（632.8nm）2、小孔径扩束镜L： f=6.2mm3、二维调整架： SZ-074、单面可调狭缝: SZ-225、白屏H： SZ-136、公用底座： SZ-047、一维底座： SZ-038、一维底座： SZ-039、公用底座： SZ-04四、仪器实物图及原理图图十六五、实验步骤把所有器件按图十六的顺序摆放在平台上，调至共轴。
激光器通过扩束镜（以不满足远场条件）投射到单缝上，如图十六所示，即可在屏幕上出现衍射条纹，缓慢地连续地将单缝由窄变宽，同时注意屏幕上的图样，即可观察到与理论分析结果一致的由夫郎和费单缝衍射图样过渡到菲涅尔单缝衍射图样。
也可不加扩束镜。
（图中数据均为参考数据）实验十七 菲涅尔圆孔衍射（演示实验）一、实验目的观察菲涅尔圆孔衍射现象二、实验原理附图13如附图13所示：S —单色光源P —光场中任一点S 与P 之间有一带圆孔的光屏M ，圆孔中心在SP 连线上。
这时S 对P 的作用就只是内露出的一部分波面∑上的那些次波源在P 点所产生的光振动的叠加。
按照波带法，分别以P 为中心，r+2/λ，r+λ…为半径将露出的波面分成若干个波带，各波带在P 点产生振动的振幅为： 122i j a a A =± 当圆孔露出奇数个波带时，P 点的光强度是约等于21a 亮点，而当圆孔露出偶数个波带时，P 点是光强度接近于零的暗点。
菲涅尔圆孔衍射和圆屏衍射(修正版)讲义
§6 菲涅耳圆孔和圆屏衍射
1．菲涅耳圆孔和圆屏衍射 1）衍射装置
S
P0
R
对于可见光：
b
~ mm量级 R ~ m 量级 b ~ 3m 5m
2）实验现象
衍射图样是亮暗相间的同心圆环，中 心点可能是亮的，也可能是暗的。 孔径变化，衍射图样中心的亮暗交替 变化。 移动屏幕，衍射图样中心的亮暗交替 变化，中心强度随 的变化很敏感，随 距离 b 的变化迟缓。 圆屏的衍射图样也是同心圆环，但衍 射图样的中心总是一个亮点。
（4）求露出前n个半波带的圆孔衍射中心场点Po 处的合振幅
取：
A1
A3 Ak A(P) A4
· · ·
…
A2 A1
则有：
(a) k为奇数 A3 Ak A(P)
1 A( P0 ) [ A1 (1) ( n 1) An ] 2
பைடு நூலகம்
I A ( P0 )
2
A2 (b) k为偶数 波带法中的振幅矢量
U m ( P0 ) A( P0 )e
i ( 0 )
3)画出矢量图 注意： 矢量图是正多边形， 一个完整半波带首尾矢量的 位相差是 4)连接首尾矢量，得到合成 矢量，则半波带在P0点产生的 光强为：
m M Am
A
A3 O A1 A2
I ( P0 ) A
l/2
k 由菲涅耳原理可知： Ak k ( k ) r k Rl Ak k ( k ) k ( k ) Rb Ak仅随 k ( k ) 变化，随k的增加缓慢减小，最后
趋近于零。即：
A1 A2 A3 Ak 1 Ak 2 A 0
1．菲涅耳圆孔和圆屏衍射 1）衍射装置
S
P0
R
对于可见光：
b
~ mm量级 R ~ m 量级 b ~ 3m 5m
2）实验现象
衍射图样是亮暗相间的同心圆环，中 心点可能是亮的，也可能是暗的。 孔径变化，衍射图样中心的亮暗交替 变化。 移动屏幕，衍射图样中心的亮暗交替 变化，中心强度随 的变化很敏感，随 距离 b 的变化迟缓。 圆屏的衍射图样也是同心圆环，但衍 射图样的中心总是一个亮点。
（4）求露出前n个半波带的圆孔衍射中心场点Po 处的合振幅
取：
A1
A3 Ak A(P) A4
· · ·
…
A2 A1
则有：
(a) k为奇数 A3 Ak A(P)
1 A( P0 ) [ A1 (1) ( n 1) An ] 2
பைடு நூலகம்
I A ( P0 )
2
A2 (b) k为偶数 波带法中的振幅矢量
U m ( P0 ) A( P0 )e
i ( 0 )
3)画出矢量图 注意： 矢量图是正多边形， 一个完整半波带首尾矢量的 位相差是 4)连接首尾矢量，得到合成 矢量，则半波带在P0点产生的 光强为：
m M Am
A
A3 O A1 A2
I ( P0 ) A
l/2
k 由菲涅耳原理可知： Ak k ( k ) r k Rl Ak k ( k ) k ( k ) Rb Ak仅随 k ( k ) 变化，随k的增加缓慢减小，最后
趋近于零。即：
A1 A2 A3 Ak 1 Ak 2 A 0
《菲涅耳衍射》PPT课件
N
2 N
(1
R)
2 N
(78)
R r0 r0
AN
a1 2
aN 2
(76)
a1 a2 a3 aN
(4)轴外点的衍射
对于轴外任意点 P 的光强度，原则上也可以用同样 的方法进行讨论。
M
P
M0M2M
S
O1M 1
2
P
0
MN R N hN
rN=r0+N /
2
S
S O O
r0
P
0
(4)轴外点的衍射
通常在半定量处理菲涅耳衍射现象时，均采用比较 简单、物理概念很清晰的菲涅耳波带法或图解法。
4.3.1 菲涅耳圆孔衍射—菲涅耳波带法(Fresnel diffraction by a circular aperture — Fresnel's zone construction )
1. 菲涅耳波带法
N
1
2 2
(73)
(3)倾斜因子 由上图可见，倾斜因子为
K( ) 1 cos (74)
2
将(72)-(74)式代入(66)式，可以得到各个波带在 P0 点产生的光振动振幅
aN
πR
R r0
1
cos N
2
(75)
可见，各个波带产生的振幅 aN 的差别只取决于倾角
N。
aN
SN rN
K ( )
(66)
这说明，当孔小到只露出一个波带时，P0 点的光强 度由于衍射效应，增为无遮挡时 P0 点光强度的四倍。
I1 a12
只露出一个波带时的光强
A
a1 2
(80)
无遮挡时的光强
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以获得高衍射效率、高光强的主焦点。
11
三、泰伯（Talbot）效应
现象：当用单色平面波垂直照明具有周期结构的衍射 屏时，将会在衍射屏后菲涅尔衍射区内某个距离 上出现该物体的几何像。 x x' z
定义：不用透镜可对周期性物体成像的方法成为泰伯效应或泰伯
自成像（Selfimaging）。
12
说明： （以振幅型正弦光栅为例） x1,y1
第八节 菲涅尔衍射
( Fresnel Diffraction )
一、菲涅尔波带法及圆孔、圆屏的菲涅尔衍射
1、菲涅尔波带法
y1 x1 z1 + λ C Σ z1+λ/2 z1 K y
z1 +3λ/2
P0 E
x
1
从中心C向外第 j 波带在P0产生的复振幅为
A j 1 cos ~ Ej C rj 2
4
2、圆孔衍射图样
y1 y z1+λ/2 x1
z1 +λ z1 z1
z1 +3λ/2 P P0
x
C’
Σ
K
E
随P点离开P0点逐渐向外，其光强将时大时小变化，由于系统的对 称性，距离P0相同的点P有相同的光强。故衍射图样为同心圆。
5
3、圆屏衍射图样
y1 y x1 r0 +λ/2 r0 + P0 E
3
因Ei单调下降，且变化缓慢，所以近似有：
~ E2 ~ E ~ ~ E1 E3 ~ E1 2 2 , ~ E3 ~ ~ E2 E4 2 ,
~ En 2
n为奇数时取正， n为偶数时取负。
讨论： 1、 P0的振幅与强度与衍射屏所包含的波带数有关，当波带数为奇 数时，强度较大，反之强度较小。 2、对于一定大小的衍射孔和光波波长，波带数取决于距离z1，因此 沿光轴移动接收屏，可见P0忽明忽暗交替变化。 3、当圆孔非常大时， P0点的复振幅等于第1波带产生复振幅的一半， 强度为第1波带强度的1/4。（符合直线传播定律）
14
eikz ~ E x, y iz 12
k 2 1 x 1 x 1 i 2 d 1 1 i 2 d e d e exp i 2 4 4 2z
分别积分得：
ik 2 2 z e d
~ E
~ E1 2
C
Σ K
x
R0
讨论：
1、圆屏较小时，轴上点P0总是亮点；
2、随P点离开P0点逐渐向外，其光强将时大时小变化，由于系统的
对称性，距离P0相同的点P有相同的光强。故衍射图样为同心圆。
3、圆屏较大时，P0点的光强度接近于0。
6
二、菲涅尔透镜
1、菲涅尔透镜 已知菲涅尔圆孔衍射P0点复振幅为：
Aj 2 j 2 j 1 z1
由
各波带的面积近似相等
A j 1 cos ~ Ej C rj 2
知各波带在P0产生的复振幅有以下关系：
~ ~ ~ E1 E2 E3
则各波带在P0产生的复振幅为：
~ ~ ~ ~ ~ n ~ E E1 E2 E3 E4 1 En
1 iz 2 得：
eikz ~ E x, y 1 iz 2
k 2 1 x 1 x 1 i 2 d 1 1 i 2 d e d e exp i 2 4 4 2z
j2
j
10
4、菲涅尔透镜的成像特点
1）菲涅尔透镜除主焦点P0外，还存在光强较小的次焦
点P1 P2 P3… ，它们距波带片的距离分别为f/3、
f/5、f/7、 … 2）还存在一系列与实焦点对称的虚焦点P’0 P’1 P’2 P’3… 3）菲涅尔透镜的焦距与波长成反比。
4）采用二元光学方法补偿波带相位，且增大台阶数可
1 k 1 1 cos 2 x1 exp i 2 2 d 2z
x x y y
2 2 1 1
dx1dy1
作变பைடு நூலகம்代换
x x1 ，并由积分
ik y y1 2 e 2z dy1
~ ~ ~ ~ ~ n ~ E E1 E2 E3 E4 1 En
若制成一个特殊的光阑将奇数波带或偶数波带阻挡， 则剩下的各波带在P0产生的复振幅将同相位叠加。光 强将会大大增加。
7
定义：将奇数波带或偶数波带挡住的特殊光阑称为菲涅 尔波带。由于它的聚光作用类似于一个普通透镜，故称 为菲涅尔透镜。
菲涅尔波带
8
2、菲涅尔透镜的焦距
若波带片是对应距离为z1的轴上点P0设计的, 当单色光
z1 即为波带片的焦距。
垂直照射波带片时，P0 为一亮点，称为波带片的焦点，
由公式
得：
j jz1
f z1
j2
j
9
3、菲涅尔透镜的成像关系
波带片
s
l l'
s'
1 1 1 l' l f 其中： f z1
iz 2
1
1 2 1 x i z i 2 d 1 2 d
k 2 i 2 1 x i 2 z d
e
e
d iz e
1 2
e
代入原式得：
i 2 1 x d
i
e
e
k 2 2z
设光栅的振幅透射系数为
2 t ( x1 , y1 ) 1 cos x1 d
z
若单位平面波垂直照射，刚刚透过光栅的光场为：
~ E ( x1 , y1 ) t ( x1 , y1 )
13
~ 被光栅调制的光场 E ( x1 , y1 ) 传播到菲涅尔衍射区到达距离z 时的复振幅分布为：
eikz ~ E x, y iz
设第 j 波带的半径为ρj，由图得：
2 j z1 j z 21 2 1 2
y1
x1 z1 +λ z1 +3λ/2 C z1+λ/2 z1
y
x
j jz1 1 4 z 1
1 2
P0 E
2
当
z1
时
Σ
K
j jz1
11
三、泰伯（Talbot）效应
现象：当用单色平面波垂直照明具有周期结构的衍射 屏时，将会在衍射屏后菲涅尔衍射区内某个距离 上出现该物体的几何像。 x x' z
定义：不用透镜可对周期性物体成像的方法成为泰伯效应或泰伯
自成像（Selfimaging）。
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说明： （以振幅型正弦光栅为例） x1,y1
第八节 菲涅尔衍射
( Fresnel Diffraction )
一、菲涅尔波带法及圆孔、圆屏的菲涅尔衍射
1、菲涅尔波带法
y1 x1 z1 + λ C Σ z1+λ/2 z1 K y
z1 +3λ/2
P0 E
x
1
从中心C向外第 j 波带在P0产生的复振幅为
A j 1 cos ~ Ej C rj 2
4
2、圆孔衍射图样
y1 y z1+λ/2 x1
z1 +λ z1 z1
z1 +3λ/2 P P0
x
C’
Σ
K
E
随P点离开P0点逐渐向外，其光强将时大时小变化，由于系统的对 称性，距离P0相同的点P有相同的光强。故衍射图样为同心圆。
5
3、圆屏衍射图样
y1 y x1 r0 +λ/2 r0 + P0 E
3
因Ei单调下降，且变化缓慢，所以近似有：
~ E2 ~ E ~ ~ E1 E3 ~ E1 2 2 , ~ E3 ~ ~ E2 E4 2 ,
~ En 2
n为奇数时取正， n为偶数时取负。
讨论： 1、 P0的振幅与强度与衍射屏所包含的波带数有关，当波带数为奇 数时，强度较大，反之强度较小。 2、对于一定大小的衍射孔和光波波长，波带数取决于距离z1，因此 沿光轴移动接收屏，可见P0忽明忽暗交替变化。 3、当圆孔非常大时， P0点的复振幅等于第1波带产生复振幅的一半， 强度为第1波带强度的1/4。（符合直线传播定律）
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eikz ~ E x, y iz 12
k 2 1 x 1 x 1 i 2 d 1 1 i 2 d e d e exp i 2 4 4 2z
分别积分得：
ik 2 2 z e d
~ E
~ E1 2
C
Σ K
x
R0
讨论：
1、圆屏较小时，轴上点P0总是亮点；
2、随P点离开P0点逐渐向外，其光强将时大时小变化，由于系统的
对称性，距离P0相同的点P有相同的光强。故衍射图样为同心圆。
3、圆屏较大时，P0点的光强度接近于0。
6
二、菲涅尔透镜
1、菲涅尔透镜 已知菲涅尔圆孔衍射P0点复振幅为：
Aj 2 j 2 j 1 z1
由
各波带的面积近似相等
A j 1 cos ~ Ej C rj 2
知各波带在P0产生的复振幅有以下关系：
~ ~ ~ E1 E2 E3
则各波带在P0产生的复振幅为：
~ ~ ~ ~ ~ n ~ E E1 E2 E3 E4 1 En
1 iz 2 得：
eikz ~ E x, y 1 iz 2
k 2 1 x 1 x 1 i 2 d 1 1 i 2 d e d e exp i 2 4 4 2z
j2
j
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4、菲涅尔透镜的成像特点
1）菲涅尔透镜除主焦点P0外，还存在光强较小的次焦
点P1 P2 P3… ，它们距波带片的距离分别为f/3、
f/5、f/7、 … 2）还存在一系列与实焦点对称的虚焦点P’0 P’1 P’2 P’3… 3）菲涅尔透镜的焦距与波长成反比。
4）采用二元光学方法补偿波带相位，且增大台阶数可
1 k 1 1 cos 2 x1 exp i 2 2 d 2z
x x y y
2 2 1 1
dx1dy1
作变பைடு நூலகம்代换
x x1 ，并由积分
ik y y1 2 e 2z dy1
~ ~ ~ ~ ~ n ~ E E1 E2 E3 E4 1 En
若制成一个特殊的光阑将奇数波带或偶数波带阻挡， 则剩下的各波带在P0产生的复振幅将同相位叠加。光 强将会大大增加。
7
定义：将奇数波带或偶数波带挡住的特殊光阑称为菲涅 尔波带。由于它的聚光作用类似于一个普通透镜，故称 为菲涅尔透镜。
菲涅尔波带
8
2、菲涅尔透镜的焦距
若波带片是对应距离为z1的轴上点P0设计的, 当单色光
z1 即为波带片的焦距。
垂直照射波带片时，P0 为一亮点，称为波带片的焦点，
由公式
得：
j jz1
f z1
j2
j
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3、菲涅尔透镜的成像关系
波带片
s
l l'
s'
1 1 1 l' l f 其中： f z1
iz 2
1
1 2 1 x i z i 2 d 1 2 d
k 2 i 2 1 x i 2 z d
e
e
d iz e
1 2
e
代入原式得：
i 2 1 x d
i
e
e
k 2 2z
设光栅的振幅透射系数为
2 t ( x1 , y1 ) 1 cos x1 d
z
若单位平面波垂直照射，刚刚透过光栅的光场为：
~ E ( x1 , y1 ) t ( x1 , y1 )
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~ 被光栅调制的光场 E ( x1 , y1 ) 传播到菲涅尔衍射区到达距离z 时的复振幅分布为：
eikz ~ E x, y iz
设第 j 波带的半径为ρj，由图得：
2 j z1 j z 21 2 1 2
y1
x1 z1 +λ z1 +3λ/2 C z1+λ/2 z1
y
x
j jz1 1 4 z 1
1 2
P0 E
2
当
z1
时
Σ
K
j jz1