2020-2021上海上海中学高一数学上期末一模试题带答案

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2020-2021上海市东中学高一数学上期末一模试卷(含答案)

2020-2021上海市东中学高一数学上期末一模试卷(含答案)一、选择题1．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称2．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c <>C ．b a c >>D ．c a b >>3．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>4．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（）．A ．(3)(2)(1)f f f <-⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．10937．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（）A ．(1)(2)(0)f f f -<>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>9．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( )A ．13B ．14C ．3D ．410．曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 11．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－1212．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}二、填空题13．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______14．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 15．已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______.16．已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________. 17．已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.18．设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________. 19．2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()fx -=________20．定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和为________．三、解答题21．已知函数()f x 对任意实数x ，y 都满足()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，()1279f =，当1x >时，()()0,1f x ∈. (1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性，并给出证明； (3)若()1f a +≤，求实数a 的取值范围.22．设()()12log 10f x ax =-，a 为常数.若()32f =-. （1）求a 的值；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围 .23．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t . 24．已知幂函数35()()m f x xm N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.25．已知函数()log (1)2a f x x =-+（0a >，且1a ≠），过点(3,3). （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式()()123122xx f f +-<-.26．已知全集U=R,集合{}240,A x x x =-≤{}22(22)20B x x m x m m =-+++≤. (Ⅰ)若3m =，求U C B 和A B U ； (Ⅱ)若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 2．A解析：A 【解析】【分析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数，又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.3．A解析：A 【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.1x 1.1 1.11=>=Q ， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>．故选A ．【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行5．D解析：D 【解析】【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.6．D解析：D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.7．C解析：C 【解析】【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．8．A解析：A 【解析】因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．9．C解析：C 【解析】【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】f (log 43)＝log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.10．A解析：A 【解析】试题分析：1(22)y x =-≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512k =，过点()2,1-时斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法11．B解析：B 【解析】 y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B. 12．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．二、填空题13．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基解析：1-【解析】【分析】由()35f -=，求得1532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=，所以()15332725f a b -=-⋅-+=，所以153273a b -⋅-=，又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.14．【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而可得结论【详解】∵函数是偶函数∴即平方后整理得∴∴由得∴故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇解析：[2015,2019]【解析】【分析】由函数()f x 是偶函数，求出a ，这样可求得集合D ，得b 的取值范围，从而可得结论．【详解】∵函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，∴()()f x f x -=，即1122b bx a a x a a ---+-=--+-， x a x a -=+，平方后整理得0ax =，∴0a =，∴2{|20}{|20}D x x x x x =+≤=-≤≤，由b D ∈，得20b -≤≤． ∴22015201532019a b ≤-+≤．故答案为：[2015,2019]．【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查解一元二次不等式．解题关键是由函数的奇偶性求出参数a ．15．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图解析：341112,1e e e ⎡⎫+--⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】不妨设,0,,0a b c d ≤>，根据二次函数对称性求得+a b 的值.根据绝对值的定义求得,c d 的关系式，将d 转化为c 来表示，根据c 的取值范围，求得+++a b c d 的取值范围. 【详解】不妨设,0,,0a b c d ≤>，画出函数()f x 的图像如下图所示.二次函数221y x x =--+的对称轴为1x =-，所以2a b +=-.不妨设c d <，则由2ln 2ln c d +=+得2ln 2ln c d --=+，得44,e cd e d c--==，结合图像可知12ln 2c ≤+<，解得(43,c e e --⎤∈⎦，所以(()4432,e a b c d c c e e c ---⎤+++=-++∈⎦，由于42e y x x-=-++在(43,e e --⎤⎦上为减函数，故4341112,21e e e c c e -⎡⎫+--++∈⎢⎣-⎪⎭.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的解析：(,1]-∞【解析】【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()ag x x x=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可. 【详解】由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,，当0a ≥时，可知()ag x x x=+的值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ，所以，此时有2≤，解得01a ≤≤，当0a <时，()ag x x x=+的值域为R ，满足题意，综上所述，实数a 的范围为(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.17．【解析】【分析】将化简为关于的函数式利用基本不等式求出的最值即可求解【详解】当时当时时当且仅当时等号成立同理时即的最小值和最大值分别为依题意得解得故答案为:【点睛】本题考查函数的最值考查基本不等式的解析：【解析】【分析】将()f x 化简为关于x a +的函数式，利用基本不等式，求出的最值，即可求解. 【详解】当x a =-时，()0f x =，当x a ?时，()222111[()]1()2x a x af x a x x a a x a ax a++===+++-+++-+， x a >-时，21()22a x a a a x a+++-≥+当且仅当x a =时，等号成立，0()f x ∴<≤=同理x a <-时，()02af x ∴≤<，()22a af x ∴≤≤，即()f x ，2=，解得a =.故答案为:【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题.18．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析：【解析】【分析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值.【详解】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当x =.故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题. 19．（）【解析】【分析】设（）求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设（）所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对1（0x ≥）【解析】【分析】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =()1f x -.【详解】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=±因为x≥0，所以x =()11fx -=.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()11fx -=，0x （）≥.1，0x （）≥【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20．【解析】【分析】结合题意分析出函数是以为周期的周期函数其图象关于直线对称由可得出函数的图象关于点对称据此作出函数与函数在区间上的图象利用对称性可得出方程在上所有根的和【详解】函数满足即则函数是以为周解析：16【解析】【分析】结合题意分析出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，其图象关于直线1x =对称，由()()22f x f x -=-+可得出函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，据此作出函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象，利用对称性可得出方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和. 【详解】函数()y f x =满足()()2f x f x =-+，即()()()24f x f x f x =-+=+，则函数()y f x =是以4为周期的周期函数；()()2f x f x =-Q ，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称；由()()2f x f x =-+，()()2f x f x =-，有()()22f x f x -=-+，则函数()y f x =的图象关于点()2,0成中心对称；又函数12y x =-的图象关于点()2,0成中心对称，则函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象的交点关于点()2,0对称，如下图所示：由图象可知，函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象共有8个交点， 4对交点关于点()2,0对称，则方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和为4416⨯=. 故答案为：16.【点睛】本题考查方程根的和的计算，将问题转化为利用函数图象的对称性求解是解答的关键，在作图时也要注意推导出函数的一些基本性质，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．(1)()f x 为奇函数；(2)()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见解析；(3)[)4,1--.【解析】【分析】（1）令1y =-，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当0x >时，()0f x >，再利用已知和单调函数的定义，证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数()f x 在(),0-∞上的单调性；（3）先利用赋值法求得()339f -=再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：（1）令1y =-，则()()()1f x f x f -=-.∵()11f -=-，∴()()f x f x -=-∴函数()f x 为奇函数；(2)函数()f x 在(),0-∞上单调递减.证明如下：由函数()f x 为奇函数得()()111f f =--= 当()0,1x ∈时，11x >，()10,1f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()111f x f x =>⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当0x >时，()0f x >，设120x x <<，则211x x >，∴2101x f x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，于是()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.∵函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 在(),0-∞上单调递减.(3)∵()1279f =，且()()()()327393f f f f ==⎡⎤⎣⎦，∴()3f = 又∵函数()f x 为奇函数，∴()3f -= ∵()1f a +≤()()13f a f +≤-，函数()f x 在(),0-∞上单调递减. 又当0x ≥时，()0f x ≥.∴310a -≤+<，即41a -≤<-，故a 的取值范围为[)4,1--.【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法22．（1）2a =（2）17,8⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)依题意代数求值即可;(2)设()()121log 1022x g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,题设条件可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立,因此,求出()g x 的最小值即可得出结论.【详解】(1)()32f =-Q ,()12log 1032a ∴-=-, 即211032a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得2a =; (2)设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,题设不等式可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立,()g x Q 在[]3,4上为增函数,()31min2117(3)log (106)28g x g ⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭, 178m ∴<-, m ∴的取值范围为17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数性质的综合应用,属于中档题.在解决不等式恒成立问题时,常分离参数,将其转化为最值问题解决.23．（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩ 【解析】【分析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解;(2)根据二次函数的性质,分类讨论即可.【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; (2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈Q ,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦, 当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+, 当43log 4t ≥,即t ≥时,函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增, ()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭, 综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题.24．（Ⅰ）2()f x x =（Ⅱ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（I ）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性，求得m 的值，进而求得()f x 的解析式.（II ）先求得()g x 的解析式，由不等式()0<g x 分离常数λ得到122x x λ<-，结合函数122x y x =-在区间[]1,2上的单调性，求得λ的取值范围. 【详解】（Ⅰ）∵幂函数35()()m f x x m -+=∈N 为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增， 350m ∴-+>，且35m -+为偶数.又N m ∈，解得1m =，2()f x x ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-.当[1,2]x ∈时，由()0<g x 得122x x λ<-. 易知函数122x y x =-在[1,2]上单调递减， min 1123222224x x λ⎛⎫∴<-=-=- ⎪⨯⎝⎭. ∴实数λ的取值范围是3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.25．（1）2（2）{}2log 5x|2<x <【解析】【分析】（1）将点(3,3)代入函数计算得到答案.（2）根据函数的单调性和定义域得到1123122x x +<-<-，解得答案.【详解】（1）()()3log 3123,log 21,2a a f a =-+=∴=∴=∴ ()()2log 12f x x =-+. （2）()()2log 12f x x =-+Q 的定义域为{}|1x x >，并在其定义域内单调递增， ∴()()1123122,123122x x x x f f ++-<-∴<-<-，不等式的解集为{}22<log 5x x <.【点睛】本题考查了函数解析式，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.26．（Ⅰ）{05},{35}U A B x x C B x x x ⋃=≤≤=或（Ⅱ）02m ≤≤【解析】【分析】（Ⅰ）由3m =时，求得集合{04},{35}A x x B x x =≤≤=≤≤，再根据集合的并集、补集的运算，即可求解；（Ⅱ）由题意，求得{04},{2}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+，根据B A ⊆，列出不等式组，即可求解。

2020_2021学年上海浦东新区高一上学期期末数学试卷(答案版)

2020~2021学年上海浦东新区高一上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.【答案】【解析】【踩分点】设集合，且，则．集合，且，则．2.【答案】【解析】【踩分点】若点在幂函数的图象上，则该幂函数的表达式为．把点代入得，解得．则该幂函数的表达式为．3.【答案】【解析】【踩分点】不等式的解集是．∵不等式，，解得，∴不等式的解集为：．4.已知，则．【答案】【解析】【踩分点】由可得，故．5.【答案】【解析】【踩分点】函数的反函数是．，则，，故反函数为．6.【答案】【解析】【踩分点】设函数（且），则该函数的图象恒过定点的坐标是．当时，，故该函数的图象恒过定点．7.【答案】【解析】【踩分点】已知，则的最小值为．，当且仅当，即时等号成立，取得最小值．8.【答案】【解析】已知函数，，则此函数的值域是．易知该函数在上单调递减，【踩分点】所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，故该函数在上的值域为．9.【答案】【解析】【踩分点】若不等式在上有解，则实数的取值范围为．令，当时，，当时，，当时，．综上，最小值为．要使在上有解，则．∴的取值范围为．10.【答案】【解析】【踩分点】已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是．二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，若函数在区间上是减函数，则，解得，即实数的取值范围是．11.定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集是．yO x【答案】【解析】【踩分点】依题意，时，，时，，∵为奇函数，∴当时，，当时，，∴若，则，∴解集为．12.【答案】【解析】【踩分点】已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是．单调递减且值域为，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数的取值范围是．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.A.B.C.D.【答案】A 选项：B 选项：【解析】若实数，满足，则下列不等式成立的是（）．B举反例：取，，满足，但是，因此不正确；∵，∴，因此正确；C 选项：D 选项：，分子，的符号无法确定，因此不正确；，当时，取等号，因此不正确．故选 B .14.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】【解析】“函数与均是定义域为的奇函数”是“函数是偶函数”的（）．A ∵与均是定义域为的奇函数，则有，，∴，∴函数为偶函数，故充分性成立．当，时，为偶函数．但与均为非奇非偶函数，故必要性不成立．∴“函数与均是定义域为的奇函数”是“函数是偶函数”的充分非必要条件．故选．15.A.B.C.D.【答案】A 选项：【解析】下列不等式中，解集相同的是（）．与与与与C 等价于或，B 选项：C 选项：D 选项：解得或，而等价于，故不正确；由，解得：且，，故不正确；，等价于且，等价于，等价于，故正确；，等价于且，与取值范围不一致，故不正确．故选 C .16.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数，若，则的取值范围是（）．C 当时，不等式，所以，解得，这与不符，故此时不等式无解；当时，不等式为，所以，故此时不等式的解集为．综上，不等式的解集为．故选．三、解答题（本大题共5小题，共51分）18.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】设函数为的定义域为，不等式的解集为．求集合、．已知全集，求．或；．．要使有意义，需满足，解得或，故或；，解得，故．，．故．19.【答案】【解析】已知函数的表达式为．讨论函数的奇偶性，并说明理由．当时，函数为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数．证明见解析．函数的定义域关于原点对称17.【答案】【解析】【踩分点】设、为实数，比较与的值的大小．，，所以，当且仅当，时等号成立．【踩分点】①当时，，对任意，，∴为偶函数；②当时，，取，得，，∴，，∴函数既不是奇函数，也不是偶函数．综上所述，当时，函数为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第天的销售价格（元百斤），第天的销售量（百斤）．（销售收入销售价格销售量）求第天销售该商品的销售收入是多少？这天中，哪一天的销售收入最大？最大值为多少？元．第天该商品的销售收入最大，最大值为元．由已知得第天的销售价格（元百斤），销售量（百斤）．∴第天的销售收入（元），答：第天的销售收入为元．设第天的销售收入为，则．当时，，当时取最大值，当时，，当时取最大值，【踩分点】由于，答：第天该商品的销售收入最大，最大值为元．21.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知函数．当时，求证：在上是严格减函数．若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．证明见解析．．当时，，任取，则：，又，所以，，所以，则有，即，故当时，在上是严格减函数．由得对任意的恒成立，变形为对任意的恒成立，即对任意的恒成立，当即时，，所以．【踩分点】。

2020-2021学年上海市闵行区高一上学期期末数学试卷(附答案解析)

2020-2021学年上海市闵行区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.“φ=0”是“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知函数f(x)=2x+x，g(x)=x+log2x，ℎ(x)=x3+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小顺序正确的是()A. b>c>aB. b>a>cC. a>b>cD. c>b>a3.若{a2,0,−1}={a,b,0}，则a2014+b2014的值为()A. 0B. 1C. −1D. 24.已知函数f(x)=a x−log a x(a>1)有两个零点，则实数a的取值范围是()A. (1,e 1e)B. [2,e e)C. (e 1e,e e)D. (e 1e,e 2e)二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数f(x)=3x2√1−x+ln(x+1)的定义域为______ ．6.函数f(x)=2sinx+1，x∈[π2,π]的反函数f−1(x)=______7.某班有50名学生，先有32名同学参加学校电脑绘画比赛，后有24名同学参加电脑排版比赛．如果有3名学生这两项比赛都没参加，这个班同时参加了两项比赛的同学人数为______ ．8.已知定义域为R的函数f(x)=11+a x −1a是奇函数，则函数f(x)的值域为______．9.已知对数函数y=f(x)的图象经过点(2,12)，且f(x0)=2，则x0=______．10.若“任意”是真命题，则实数的取值范围是______．11.若lg2=a，lg7=b，则log285=______ ．12.定义在R上的奇函数f(x)对任意x∈R都有f(x)=f(x+4)，当x∈(−2,0)时，f(x)=2x，则f(2016)−f(2015)=______ ．13.据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2000年的湖水量为m，从2000年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为______ ．14.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间.例如，当.现有如下命题：①设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“”；②函数的充要条件是有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且④若函数有最大值，则．其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的序号)15.不等式(|x−a|+|x+a|−1)(x2−1−a2+2a)≥0对任意x∈R恒成立，则a=______．16.若集合A={y|y=x13,−1≤x≤1},B={y|y=2−1,0<x≤1}，则A∩B等于______．x三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知函数f(x)=2x−m的图象过点P(1,1)x(1)求实数m的值，并证明函数f(x)为奇函数；(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．>0}，B={x|x2−(2a+1)x+a(a+1)<0}．18.已知集合A={x|2−x1+x(1)写出集合A，集合B；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围；(3)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．19.某货轮匀速行驶在相距600海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其它费用为每小时500元，且该货轮的最大航行速度为60海里/小时．(Ⅰ)请将从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/小时)的函数；(Ⅱ)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？20.已知函数f(x)=x2+1的定义域为{x∈R|x≠0}，且f(1)=2．bx+c(1)求f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在[1,+∞)上的单调性，并用定义证明结论；(3)求函数在区间[1,2]上的最大值和最小值．21.设函数f(x)=ka x−a−x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)求k的值；(2)若f(1)>0，试判断函数单调性(不需证明)并求不等式f(x2+2x)+f(4−x2)>0的解集;(3)若f(1)=3且g(x)=a2x+a−2x−2m·f(x)在[1,+∞)上的最小值为−2，求m的值．2参考答案及解析1.答案：A解析：解：若φ=0，则f(x)=sin(x+φ)=sinx，为奇函数，所以成立．若f(x)=sin(x+φ)为奇函数，则φ=kπ．所以“φ=0”是“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数”的充分不必要条件．故选：A．结合三角函数的奇偶性性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．2.答案：A解析：解：对于函数f(x)=2x+x，令2x+x=0，∴2x=−x，∵2x>0，∴x<0，∴a<0对于函数g(x)，令log2x+x=0，∴log2x=−x，令z(x)=log2x，p(x)=−x，在同一坐标系作图可得∴0<b<1，对于函数ℎ(x)=x3+x=x(x2+1)，令ℎ(x)=0则，x=0，所以c=0．故选：A．先判断函数f(x)、g(x)、ℎ(x)的零点所在区间，再比较大小即可．本题主要考查函数零点所在区间的判定方法．属基础题．3.答案：D解析：本题考查了集合相等及其指数幂的运算性质，考查了推理能力，属于基础题．利用集合相等及其指数幂的运算性质即可得出．解：∵{a2,0,−1}={a,b,0}，∴a2=a≠0，−1=b或a2=b，a=−1．解得：a=1，b=−1或a=−1，b=1．则a2014+b2014=2．故选：D ．4.答案：A解析：解：根据题意，函数f(x)=a x −log a x(a >1)有两个零点，则函数y =a x 与函数y =log a x 有2个交点，设g(x)=a x ，ℎ(x)=log a x ，且两个函数互为反函数，两个函数的图象关于直线y =x 对称，当两个函数的图象都与直线y =x 相切时，设切点的横坐标为m ， g(x)=a x ，则g′(x)=a x lna ，当x =m 时，g′(m)=a m lna ， ℎ(x)=log a x ，则ℎ′(x)=1xlna ，ℎ′(m)=1mlna ，则有{a m lna =11mlna =1a m =log a m ，解可得m =e ，a =e 1e ；即当a =e 1e 时，两个函数的图象只有一个交点，则当a <e 1e 时，两个函数的图象有2个交点，即函数f(x)有2个零点；则实数a 的取值范围是(1,e 1e )；故选：A ．根据题意，若函数f(x)=a x −log a x(a >1)有两个零点，则函数y =a x 与函数y =log a x 有2个交点，结合反函数的性质分析两个函数的图象都与直线y =x 相切时a 的值，结合指数对数函数的图象分析可得答案．本题考查零点的判定，涉及函数导数的应用以及反函数的性质，注意数形结合思想的运用．5.答案：(−1,1)解析：解：由{1−x >0x +1>0，解得：−1<x <1．∴函数f(x)=2√1−xln(x +1)的定义域为(−1,1)．故答案为：(−1,1)．由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．6.答案：π−arcsinx−12，x ∈[1,3]解析：解：由y =2sinx +1，得sinx =y−12，∵x∈[π2,π]，∴x=π−arc y−12，把x与y互换，可得f−1(x)=π−arcsin x−12，x∈[1,3]．故答案为：π−arcsin x−12，x∈[1,3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．7.答案：9解析：设参加电脑绘画比赛学生为集合A，参加电脑排版比赛学生为集合B，根据card(A∪B)=card(A)+ card(B)−card(A∩B)可得答案．本题考查的知识点是集合元素的个数，其中熟练掌握card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)是解答的关键．解：某班有50名学生，则有47名学生至少参加了一项比赛，设参加电脑绘画比赛学生为集合A，参加电脑排版比赛学生为集合B，则card(A∪B)=47，又∵有32名同学参加学校电脑绘画比赛，有24名同学参加电脑排版比赛．∴card(A)=32，card(B)=24，∵card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)，∴card(A∩B)=9，即同时参加了两项比赛的同学人数为9人，故答案为：98.答案：(−12,1 2 )解析：解：∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)=12−1a=0，解得a=2，∴f(x)=11+2x −12，∵2x>0，∴2x+1>1,0<12x+1<1，∴−12<12x+1−12<12，即函数的值域为(−12,12)．故答案为：(−12,12 )．利用奇函数的性质f(0)=0可求得a，进而得到函数解析式，再求值域即可．本题考查函数奇偶性的运用及函数值域的求法，属于基础题．9.答案：16解析：解：设对数函数y=f(x)=log a x，由于它的的图象经过点(2,12)，f(2)=log a2=12，∴a=4，f(x)=log4x，∵f(x0)=log4x0=2，则x0=16，故答案为：16．由题意用待定系数法求出对数的底数，可得函数的解析式，再根据f(x0)=2，求得x0的值．本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．10.答案：m≥1解析：本题主要考查命题真假及正切函数的单调性．解：当，tanx∈[0,1)．若“任意”是真命题，则m≥1．故答案为m≥1．11.答案：1−a2a+b解析：直接利用对数的运算性质化简计算得答案．本题考查了对数的运算性质，是基础题．解：log285=lg5lg28=1−lg2lg4+lg7=1−a2lg2+b=1−a2a+b．故答案为：1−a2a+b．12.答案：−12解析：本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性、周期性的应用，考查计算能力．求出函数的周期，利用函数的周期以及函数的奇偶性，转化求解函数值即可．解：对任意x∈R都有f(x)=f(x+4)，可知函数的周期为4．∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)=0，当x∈(−2,0)时，f(x)=2x，．则f(2016)−f(2015)=f(0)−f(−1)=0−2−1=−12．故答案为：−1213.答案：y=0.9x50⋅m，x∈N∗解析：解：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50=0.9，所以q%=0.9150，所以x年后湖水量y=m⋅(q%)x=m⋅0.9x50，故答案为：y=0.9x50⋅m，x∈N∗．建立指数型函数模型，求出解析式．本题考查建立函数模型，本题建立指数型函数模型，求解析式，基础题．14.答案：①③④解析：本题考查了新定义，考查了函数的值域，考查了基本不等式，考查了推理论证能力及分类讨论能力，属于难题．由新定义及充要条件的定义可判断①，②，③；对于④，当a>0，x→+∞时，f(x)→+∞，不，当x>0时利用符合题意；当a<0，x→−2时，f(x)→+∞，不符合题意；故a=0，f(x)=xx2+1基本不等式可求范围，当x=0时f(x)=0，当x<0时利用基本不等式可求其范围，综合可判断④．解：(1)对于命题①“”即函数值域为R，“，，”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“，，”∴命题①是真命题；(2)对于命题②若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间.∴.例如：函数满足，则有，此时，无最大值，无最小值．∴命题②“函数的充要条件是有最大值和最小值．”是假命题；(3)对于命题③若函数，的定义域相同，且，，则值域为，，并且存在一个正数，使得.∴.则.∴命题③是真命题．(4)对于命题④∵函数(，)有最大值，∴假设，当→时，→0，→，∴→，则→.与题意不符；假设，当→时，→，→，∴→，则→.与题意不符．∴．即函数=，．当时，，当且仅当x=1时取等号，∴，即；当时，；当时，，当且仅当x=−1时取等号，∴，即．∴.即.故命题④是真命题．故答案为①③④．15.答案：1解析：解：由题意不等式(|x−a|+|x+a|−1)(x2−1−a2+2a)≥0，等价于①{|x −a|+|x +a|−1≥0x 2−(a −1)2≥0或②{|x −a|+|x +a|−1≤0x 2−(a −1)2≤0解①，|x −a|+|x +a|−1≥0，即|x −a|+|x +a|≥1，由绝对值的几何意义可知a ≥12， x 2−(a −1)2≥0，对任意x ∈R 恒成立，由二次函数图象可知，(a −1)2≤0，故a 只能取1，解②，由①知无解，故答案为：1．不等式(|x −a|+|x +a|−1)(x 2−1−a 2+2a)≥0，等价于{|x −a|+|x +a|−1≥0x 2−(a −1)2≥0或{|x −a|+|x +a|−1≤0x 2−(a −1)2≤0，进而求解；考查不等式的转化，绝对值几何意义的理解，二次函数图象的理解，属于中档题；16.答案：[−1,1]解析：解：∵A ={y|−1≤y ≤1}， B ={y|y ≤1}， ∴A ∩B =[−1,1]，故填：[−1,1]．先利用求函数的值域的方法化简集合A 和B ，再根据两个集合的交集的意义求解．本题属于以函数为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．17.答案：解：(1)根据题意，函数f(x)=2x −mx 的图象过点P(1,1)则有1=2−m ，解可得m =1，则f(x)=2x −1x ，其定义域为{x|x ≠0}，且f(−x)=2(−x)−1(−x)=−(2x −1x )=−f(x)，则函数f(x)为奇函数；(2)根据题意，由(1)的结论，f(x)=2x −1x ，则(0,+∞)上为增函数，证明：设0<x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(2x 1−1x 1)−(2x 2−1x 2)=2(x 1−x 2)(x 1x 2+1x 1x 2)，又由0<x 1<x 2，则(x 1−x 2)<0，则f(x 1)−f(x 2)<0，则函数f(x)在(0,+∞)上为增函数．解析：本题考查函数奇偶性、单调性的判断，关键是求出m 的值，属于基础题．(1)根据题意，将P的坐标代入函数的解析式，可得1=2−m，解可得m的值，即可得函数f(x)的解析式，求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义分析可得结论；(2)根据题意，设0<x1<x2，由作差法可证得结论．18.答案：解：(1)A={x|−1<x<2}，B={x|a<x<a+1}；(2)∵A∪B=A；∴B⊆A；∴{a≥−1a+1≤2；解得−1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[−1,1]；(3)∵A∩B=⌀；∴a≥2，或a+1≤−1；∴实数a的取值范围是{a|a≤−2，或a≥2}．解析：(1)解不等式即可得出A={x|−1<x<2}，B={x|a<x<a+1}；(2)根据A∪B=A即可得出B⊆A，从而得出{a≥−1a+1≤2，解出a的范围即可；(3)根据A∩B=⌀即可得出a≥2，或a+1≤−1，从而可得出a的取值范围．考查描述法表示集合的概念，以及分式不等式和一元二次不等式的解法，交集和并集的概念及运算，空集的概念．19.答案：解：(Ⅰ)由题意，每小时的燃料费用为：0.5x2(0<x≤60)，从甲地到乙地所用的时间为600x小时，则从甲地到乙地的运输成本：y=0.5x2⋅600x +500⋅600x，(0<x≤60)．故所求的函数为：y=0.5x2⋅600x +500⋅600x=300(x+1000x)，(0<x≤60)．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，y=300(x+1000x)≥300×2√x⋅1000x=3000√10，当且仅当x=1000x，即x=10√10时取等号．故当货轮航行速度为10√10海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．解析：本题考查了由函数模型建立目标函数，利用基本不等式求函数最值的问题，属于中档题．(Ⅰ)从甲地到乙地的运输成本y(元)=每小时的燃料费用×时间+每小时其它费用×时间；(Ⅱ)由(Ⅰ)求得函数表达式300(x+1000x)，(0<x≤60).用基本不等式可求得最小值．20.答案：解：(1)由已知bx+c≠0，即x≠0，∴b≠0，c=0，又∵f(1)=2，∴b=1，∴f(x)=x2+1x =x+1x…(4分)(2)函数f(x)在[1,+∞)上是增函数．证明：任取x1，x2∈[1,+∞)，且x1<x2则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)(1−1x1x2)…(6分)∵1≤x1<x2，∴x1−x2<0，1−1x1x2>0∴(x1−x2)(1−1x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)在[1,+∞)上是增函数．…(8分) (3)由(2)知函数f(x)在[1,+∞)上是增函数，∴函数f(x)在[1,2]上也是增函数，∴f(x)max=f(2)=2+12=52,f(x)min=f(1)=1+1=2．故所求函数的最大值为52，最小值为2.…(12分)解析：(1)利用函数的定义域以及函数值考查方程求解即可．(2)利用函数的单调性的定义证明即可．(3)利用函数的单调性，真假求解函数的最值．本题考查函数的综合应用，函数的解析式的求法，单调性的判断与证明，单调性的应用，考查计算能力．21.答案：解：(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0，则k−1=0，k=1，经检验符合题意，所以k=1；(2)由f(1)=a−a−1=a−1a>0，则a >1，f(x)在R 上单调递增，不等式可化为：f (x 2+2x )>−f (4−x 2)=f (x 2−4)，因为函数单调递增，则x 2+2x >x 2−4，所以x >−2，不等式的解集为{x|x >−2}；(3)因为f (1)=32，所以a −1a =32，解得a =2或a =−12(舍)，g (x )=22x +2−2x −2m (2x −2−x )=(2x −2−x )2−2m (2x −2−x )+2，令t =2x −2−x ，f (x )=2x −2−x 为增函数，因为x ≥1，所以t ≥f (1)=32，令ℎ(t )=t 2−2mt +2=(t −m )2+2−m 2,(t ≥32)，当m ≥32，则t =m 时，ℎ(t)有最小值为2−m 2=−2，解得m =2；当m <32时，则t =32时，ℎ(t)有最小值为174−3m =−2，解得m =2512>32，所以舍去．综上m =2．解析：此题考查利用函数的奇偶性求参数及利用单调性解不等式，考查利用换元法及二次函数的性质解决最小值问题．(1)由函数为奇函数，代入f(0)=0，得出k=1；(2)由f(1)>0得出a>1，可得函数f(x)为增函数，由单调性及奇偶性将不等式转化为x2+2x> x2−4，得出不等式的解集；(3)利用f(1)=3得出a=2，由换元法及二次函数的性质、分类讨论得出m的值．2。

2020-2021上海市高中必修一数学上期末一模试题(带答案)

2020-2021上海市高中必修一数学上期末一模试题(带答案)一、选择题1．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()n n A ．B ．C ．D ．2．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（）A ．4B ．3C ．2D ．13．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：x1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 ()f x-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.99．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．109310．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．()3,5 B ．()2,4C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭12．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－12二、填空题13．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2a，则a 的值为____________.14．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 15．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是．16．己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝．18．若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.19．若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________． 20．若函数()121xf x a =++是奇函数，则实数a 的值是_________. 三、解答题21．已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，其中m 为实数. （1）若1m =，求证：函数()f x 在()1,+∞上为减函数；（2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值. 22．已知()1log 1axf x x-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围. 23．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅--24．已知函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性;(2)解不等式()()2341xxf f +≤+.25．若()221x x af x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.26．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方．排除D ．故答案为C 。

2020-2021上海上海外国语大学附属大境初级中学高中必修一数学上期末一模试卷带答案

2020-2021上海上海外国语大学附属大境初级中学高中必修一数学上期末一模试卷带答案一、选择题1．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 2．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b c a <⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．1eB ．eC ．21eD ．2e 4．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B ．2C ．14，2 D ．14，4 6．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（） A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -7．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（） A ．(1)(2)(0)f f f -<0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．11．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（） A ．10 B ．9C ．8D ．512．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12C ．13D ．－12二、填空题13．已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.14．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是．15．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．16．函数{}()min 2,2f x x x =-，其中{},min ,{,a a ba b b a b≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.17．0.11.1a =，122log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________. 18．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是小时.19．已知35m n k ==，且112m n+=，则k =__________ 20．若函数()242xx f x aa =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.三、解答题21．已知函数()221f x x ax =-+满足()()2f x f x =-.(1)求a 的值； (2)若不等式()24x xf m ≥对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若函数()()()22log log 1g x f x k x =--有4个零点，求实数k 的取值范围. 22．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.23．已知函数()(2lg 1x f x x =+.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围.24．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-. （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.25．义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x,y 均有()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，又当1x >时，()0f x >.（1）求()()0.1f f -的值，并证明：当1x <时，()0f x <；（2）若不等式()()()222221240faa x a x ----++<对任意[] 1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.26．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M 、养鸡的收益N 与投入a（单位：万元）满足25,1536,49,3657,a M a ⎧⎪=⎨<⎪⎩剟…1202N a =+.设甲合作社的投入为x （单位：万元），两个合作社的总收益为()f x （单位：万元）. （1）若两个合作社的投入相等，求总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()0f x f x π++-=，且()()f x f x -=-，所以()()f x f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=-故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.2．D解析：D 【解析】【分析】可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ．故选D ．【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.3．A解析：A 【解析】【分析】直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】因为函数2log ,0(),0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩，因为102>，所以211()log 122f ==-，又因为10-<，所以11(1)f e e--==，即11(())2f f e=，故选A.【点睛】该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.4．B解析：B 【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．5．A解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．6．D解析：D 【解析】【分析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +，其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +，该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=，所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.7．C解析：C 【解析】【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．8．A解析：A 【解析】【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]，故选A ．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.9．C解析：C 【解析】【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]，所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0，所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10．C解析：C 【解析】【分析】【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。

2020-2021学年上海市青浦区高一(上)期末数学试卷(附解析)

2020-2021学年上海市青浦区高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 若0<a <1,b <−1，则函数f(x)=a x +b 的图象不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 下列函数中，定义域为R 的偶函数是( )A. y =2xB. y =x|x|C. y =|x 2−1|D. y =log 2|x|3. 下列不等式中，恒成立的是( )A. x +4x ≥4B. |x −y|+1x−y ≥2 C. |x −y|≥|x −z|+|y −z|D. x 2+1x ≥x +1x4. 已知集合A =[0,12)，B =[12,1]，f(x)={x +12,x ∈A2(1−x),x ∈B，若x 0∈A ，且f(f(x 0))∈A ，则x 0的取值范围是( )A. (0,14]B. (14,12)C. (14,12]D. [0,38]二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知全集U ={−1,0，2}，集合A ={−1,0}，则A −= ______ ． 6. 不等式1x <12的解集是______．7. 已知log 32=a ，则用a 表示log 827= ______ ．8. 若a ，b ∈R ，且|a|≤1，|b|≤5，则|a +b|的最大值是______ ． 9. 已知幂函数y =(a 2−a +1)x a+2为奇函数，则实数a 的值为______ ．10. 已知条件α：0<x <4和条件β：0<x <a ，若α是β的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______ ． 11. 函数y =2x −12x +1的值域为______ ．12. 已知正实数x ，y 满足1x +2y =3，则yx 的最大值为______ ． 13. 已知函数y ={2x −x 2,x >0x 2−2x,x <0，则该函数的零点是______ ．14. 在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了x 1，x 2，x 3，x 4四项多元评价指标，并通过经验公式S =x 1x 2+x 3x 4来计算各城区的综合得分，S 的值越高则评价效果越好.若某城区在自查过程中各项指标显示为0<x 3<x 4<x 2<x 1，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为______ .(填入x1，x2，x3，x4中的一个)15.已知函数y=f(x)，其中f(x)=x3+x，关于x的不等式f(mx2+2)+f(−x)<0在区间[1,5]上有解，则实数m的取值范围是______ ．>1，16.已知函数f(x)的定义域为R，f(1)=3，对任意两个不等的实数a，b都有f(a)−f(b)a−b 则不等式f(2x−1)<2x+1的解集为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.已知不等式|1−2x|<7的解集是A，函数y=√x2+2x−8的定义域是B，求A∩B．18.已知函数y=f(x)，其中f(x)=x+1．x(1)判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若g(x)=f(x)⋅x+ax，且y=g(x)在区间(0,2]上是严格减函数，求实数a的取值范围．19.设f(x)=(m+1)x2−mx+m−1(m∈R)．(1)若不等式f(x)>0解集为⌀，求实数m的取值范围；(2)若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．20.研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示．当x∈[0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时，曲线是函数y=log0.8(x+a)+80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(精确到1分钟)21.定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在实数x0(a<x0<b)，满，那么称函数y=f(x)是区间[a,b]上的“平均值函数”，x0是足f(x0)=f(b)−f(a)b−a它的一个均值点．(1)判断函数f(x)=x4是否是区间[−1,1]上的“平均值函数”，并说明理由；(2)若函数g(x)=−4x+m⋅2x是区间[0,1]上的“平均值函数”，求实数m的取值范围；(3)设函数ℎ(x)=kx2+x−4(k>0,k∈N)是区间[−2,t](t>0，t∈N)上的“平均值函数”，1是函数ℎ(x)的一个均值点，求所有满足条件的数对(k,t)．答案和解析1.【答案】A【解析】解：函数f(x)=a x (0<a <1)的是减函数，图象过定点(0,1)，在x 轴上方，过一、二象限，函数f(x)=a x +b 的图象由函数f(x)=a x 的图象向下平移|b|个单位得到， ∵b <−1，∴|b|>1，∴函数f(x)=a x +b 的图象与y 轴交于负半轴，如图，函数f(x)=a x +b 的图象过二、三、四象限．故选A ．根据函数f(x)=a x (0<a <1)的单调性和平移方向，可知图象不过第一象限．本题考查指数函数的图象和性质，利用图象的平移得到新的图象，其单调性、形状不发生变化，结合图形，一目了然．2.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =2x ，是指数函数，不是偶函数，不符合题意，对于B ，y =x|x|={x 2,x ≥0−x 2,x <0，不是偶函数，不符合题意，对于C ，y =|x 2−1|，定义域为R ，有f(−x)=|x 2−1|=f(x)，是定义域为R 的偶函数，符合题意，对于D ，y ==log 2|x|，定义域不是R ，不符合题意，故选：C ．根据题意，依次分析选项中函数的定义域和奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断，涉及函数的定义域，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：当x =−1时，x +4x =−5<4，故选项A 错误；又当x =1，y =2时，|x −y|+1x−y =0<2，故选项B 错误；由绝对值不等式的性质可得：|x −z|+|y −z|≥|(x −z)−(y −z)|=|x −y|，故选项C 错误；对于选项D ：当x <0时，显然有x 2+1x 2≥x +1x ；当x >0时，令f(t)=t +1t ，t >0，则f(t)在(0,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，又当x >1时，x 2>x >1，则有：f(x 2)>f(x)，即x 2+1x 2>x +1x ，当x =1时，x 2=x ，则有f(x 2)=f(x)，即x 2+1x 2=x +1x ，当0<x <1时，0<x 2<x <1，则有f(x 2)>f(x)，即x 2+1x 2>x +1x ，综上，x 2+1x 2≥x +1x ，故选项D 正确，故选：D ．利用函数及绝对值不等式的性质逐个选项验证其正误即可．本题主要考查特值法、绝对值不等式的性质及函数性质的应用，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，f(x)={x +12,x ∈A 2(1−x),x ∈B，若x 0∈A ，即0≤x 0<12，f(x 0)=x 0+12，有12≤f(x 0)<1，则f(f(x 0))=2[1−f(x 0)]=1−2x 0，若f(f(x 0))∈A ，则0≤1−2x 0<12，解可得：14<x 0<12，即x 0的取值范围是(14,12)，故选：B ．根据题意，由函数的解析式可得f(f(x 0))=2[1−f(x 0)]=1−2x 0，则有0≤1−2x 0<12，解可得x 0的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及函数的值域分析，属于基础题．5.【答案】{2}【解析】解：全集U={−1,0，2}，集合A={−1,0}，由补集的定义A−={x|x∈U且x∉A}，可得A−={2}．故答案为：{2}．运用集合的补集定义：A−={x|x∈U且x∉A}，即可得到所求．本题考查集合的运算，主要是补集的求法，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题6.【答案】(−∞,0)∪(2,+∞)【解析】解：当x>0时，去分母得：x>2，所以原不等式的解集为：(2,+∞)；当x<0时，去分母得：x<2，所以原不等式的解集为：(−∞,0)，综上，原不等式的解集为：(−∞,0)∪(2,+∞)．故答案为：(−∞,0)∪(2,+∞)根据x大于0和x小于0分两种情况考虑，当x大于0时，去分母得到不等式的解集，与x大于0求出交集即为原不等式的解集；当x小于0时，去分母得到不等式的解集，与x小于0求出交集即为原不等式的解集，综上，得到所有满足题意的x的范围即为原不等式的解集．此题考查了其他不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道基础题．学生做题时注意在不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号要改变．7.【答案】1a【解析】解：因为log32=a，所以log827=log2333=log23=1log32=1a．故答案为：1a．利用对数的运算性质进行分析求解即可．本题考查了对数的运算，涉及了对数的运算性质的应用，同时考查了log a b⋅log b a=1的应用．8.【答案】6【解析】解：∵|a|≤1，|b|≤5，根据绝对值不等式的性质，得||a|−|b||≤|a +b|≤|a|+|b|，∴|a +b|的最大值是6，当a =1，b =5或a =−1，b =−5时，|a +b|取得最大值6．故答案为：6．由已知结合绝对值不等式的性质即可求得|a +b|的最大值．本题考查绝对值不等式的性质的应用，理解并牢记公式是解题的关键，是基础题．9.【答案】1【解析】解：由题意得：a 2−a +1=1，解得：a =0或a =1，故a =0时，y =x 2，是偶函数，不合题意， a =1时，y =x 3，是奇函数，符合题意，故答案为：1．根据幂函数的定义求出a 的值，根据函数的奇偶性确定a 的值即可．本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，是一道基础题．10.【答案】(4,+∞)【解析】解：∵α是β的充分不必要条件， ∴α⫋β， ∴a >4，故答案为：(4,+∞)．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．11.【答案】(−1,1)【解析】解：函数y =2x −12+1=1−22+1，因为x ∈R ，所以2x +1>1，所以−22x +1∈(−2,0)，则1−22x +1∈(−1,1)，故函数的值域为(−1,1)．先通过分离常数法化简函数解析式，再通过指数函数的值域以及反比例函数的值域即可求解．本题考查了求函数的值域问题，涉及到分离常数法以及指数函数和反比例函数值域的应用，属于基础题．12.【答案】98【解析】解：∵正实数x ，y 满足1x +2y =3， ∴0<y <32，则yx =y(3−2y)=−2(y −34)2+98， ∴当y =34时，yx 的最大值为98，故答案为：98．根据条件求出y 的取值范围，再结合二次函数的性质即可求解结论．本题主要考查二次函数的性质，属于基础题目．13.【答案】x =2【解析】解：因为函数y ={2x −x 2,x >0x 2−2x,x <0，当x >0时，令2x −x 2=0，解得x =2或x =0(舍)；当x <0时，令x 2−2x =0，解得x =2或x =0(舍)；综上可得，该函数的零点是x =2．故答案为：x =2．根据函数零点的定义，将问题转化为求方程的根即可得到答案．本题考查了函数的零点的定义，解题的关键是把球函数的零点转化为求对应方程的根．14.【答案】x 3【解析】解：∵S =x 1x 2+x3x 4，∴要使S 增加，则应该增加分子x 1或x 3，减小分母x 2或x 4，又0<x 3<x 4<x 2<x 1，且在分子都增加1的前提下，分母越小时，S 的值增加越多， ∴要使S 的值增加最多，则应该增加x 3．故答案为：x 3．从分式的性质中，寻找S 值的变化规律．本题考查函数的实际应用，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．15.【答案】(−∞,18)【解析】解：f(−x)=−x 3−x =−f(x)，∴f(x)是奇函数，又f′(x)=3x 2+1>0， ∴f(x)在R 上是增函数，∵f(mx 2+2)+f(−x)<0在[1,5]上有解， ∴f(mx 2+2)<−f(−x)=f(x)在[1,5]上有解 ∴mx 2+2<x 在[1,5]上有解，即m <x−2x 2在[1,5]上有解．令g(x)=x−2x ，x ∈[1,5]，则只需m <g max (x)即可． ∵g′(x)=4−x x 3，∴当1≤x <4时，g′(x)>0，当4<x ≤5时，g′(x)<0， ∴g max (x)=g(4)=18， ∴m <18，故答案为(−∞,18).判断f(x)的单调性和奇偶性，从而得出mx 2+2<x 在[1,5]上有解，再分离参数得m <x−2x 2，求出g(x)=x−2x 2最大值即可得出m 的范围．本题考查了函数单调性与奇偶性的应用，存在性问题与函数最值的计算，属于中档题．16.【答案】(−∞,1)【解析】解：不妨令a >b ，则f(a)−f(b)a−b>1等价于f(a)−a >f(b)−b ，构造函数ℎ(x)=f(x)−x ，则ℎ(x)是R 上的增函数，因为f(1)=3，所以f(2x −1)<2x +1等价于f(2x −1)−(2x −1)<f(1)−1，即2x −1<1，解得x <1．故答案为：(−∞,1)．构造函数ℎ(x)=f(x)−x ，由已知结合单调性定义可得ℎ(x)是R 上的增函数，结合单调性可求不等式的解集．本题主要考查了利用函数的单调性的定义求解不等式，解题的关键是函数的构造．17.【答案】解：∵A ={x||1−2x|<7}={x|−3<x <4}，B ={x|x 2+2x −8≥0}={x|x ≤−4或x ≥2}，∴A ∩B =[2,4)．【解析】根据题意即可求出A ，B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了绝对值不等式和一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)f(x)=x +1x ，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(−x)=−x +1−x =−(x +1x )=−f(x)，所以函数y =f(x)为奇函数．(2)g(x)=f(x)⋅x +ax =x 2+ax +1，因为y =g(x)在区间(0,2]上是严格减函数，所以−a 2≥2，解得a ≤−4，即实数a 的取值范围为(−∞,−4]．【解析】(1)由函数的奇偶性的定义即可判断；(2)求出g(x)，由二次函数的性质即可求得a 的取值范围．本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，属于基础题． 19.【答案】解：(1)由不等式f(x)>0解集为⌀，可得{m +1<0△=m 2−4(m +1)(m −1)≤0，即为{m <−1m ≥2√33或m ≤−2√33，可得m ≤−2√33，即m 的取值范围是(−∞,−2√33]； (2)由不等式f(x)>0对一切实数x 恒成立，当m +1=0，即m =−1时，f(x)=x −2，则f(x)>0不恒成立；当m +1<0时，f(x)的图象为开口向下的抛物线，f(x)>0不恒成立；当m +1>0，且△<0，f(x)>0恒成立，由{m +1>0△=m 2−4(m +1)(m −1)<0，即为{m >−1m >2√33或m <−2√33，解得m >2√33，即m的取值范围是(2√33,+∞)．【解析】(1)由题意可得m+1<0，且△≤0，解不等式可得所求范围；(2)讨论m+1≤0，f(x)>0不恒成立；m+1>0，△<0，解不等式可得所求范围．本题考查二次函数的图象与性质和二次不等式的解法，以及不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)当x∈[0,16]时，设f(x)=b(x−12)2+84，(b<0)，所以f(16)=b(16−12)2+84=80，解得b=−14，所以f(x)=−14(x−12)2+84，当x∈[16,40]时，f(x)=log0.8(x+a)+80，由f(16)=log0.8(16+a)+80=80，解得a=−15，所以f(x)=log0.8(x−15)+80，综上可得，f(x)={−14(x−12)2+84,x∈[0,16]log0.8(x−15)+80,x∈(16,40]；(2)当x∈[0,16]时，令f(x)=−14(x−12)2+84<68，解得x∈[0,4]，当x∈[16,40]时，令f(x)=log0.8(x−15)+80<68，解得x∈[30,40]，故在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有4+10=14分钟．【解析】(1)利用待定系数法设出对应的函数解析式，再利用图象上的特殊点，即可求得答案；(2)根据(1)中的解析式，分两种情况分别列出不等式，求解不等式即可得到答案．本题考查了函数解析式的求解及常用方法，涉及了分段函数解析式的求解，要掌握求解析式的常用方法：待定系数法、换元法、方程组法、配凑法等．21.【答案】解：(1)是；理由：根据新定义，可得f(1)−f(−1)1−(−1)=x4在区间[−1,1]上有解，可得x=0，所以(1)是“平均值函数”；(2)函数g(x)=−4x+m⋅2x是区间[0,1]上的“平均值函数”，可得m−31−0=−4x+m⋅2x在区间[0,1]上有解，可得4x−m⋅2x+m−3=0在区间[0,1]上有解，令2x=t，t∈[1,2]，则t 2−mt +m −3=0在区间[1,2]上有解，令g(t)=t 2−mt +m −3∴{△≥0g(1)≥0g(2)≥01<m 2<2或g(1)⋅g(2)≤0，即{m 2−4(m −3)≥0−2≥01−m ≥01<m 2<2此时不等式组无解；或−2⋅(1−m)≤0；解得m ≤1．故实数m 的取值范围(−∞,1]；(3)函数ℎ(x)=kx 2+x −4(k >0,k ∈N)是区间[−2,t](t >0，t ∈N)上的“平均值函数”，1是函数ℎ(x)的一个均值点，即kt 2+t−4−4k+6t+2=k −3，可得k(3−t)=4，∴k =43−t∵k ∈N ，k >0，t >0，t ∈N ，则43−t ≥1解得3>t ≥−1，当t =1，k 不是整数，当t =2时，可得k =4，故所有满足条件的数对(4,2)．【解析】(1)根据新定义及即可判断；(2)根据新定义及转化为二次函数在区间[0,1]上有解问题，即可求解实数m 的取值范围；(3)根据1是函数ℎ(x)的一个均值点，求解k 与t 的关系，即可求解满足条件的数对(k,t)即可；本题考查新定义函数与方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，题目比较新颖．属于中档题．。

上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题人教新课标A版

上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、填空题1. 已知函数的图象如图所示，则该函数的值域为________.2. 已知集合，，则________.（结果用区间表示）3. 已知函数，则它的反函数________________.4. 已知函数，满足，且当时，，则________.5. 已知是奇函数，满足，且在区间内是严格增函数，则不等式的解集是________.（结果用区间表示）6. 已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是________.7. 函数，的最小值是________.8. 设方程的解为，的解为，则________.二、解答题若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数的取值范围是________.三、填空题对于实数、，定义，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根、、，则的取值范围为________.四、单选题下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是()A.与B.与C.与D.与函数f(x)=的零点所在的一个区间是A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)已知，则“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件设函数若，，则关于的方程的解的个数为()A.1B.2C.3D.4五、解答题已知实数，判断函数的奇偶性，并说明理由.已知命题：幂函数的图象过原点；命题：函数在区间上不是单调函数. 若命题和命题只有一个为真命题，求实数的取值范围.已知函数.（1）判断函数的单调性，并证明；（2）用函数观点解不等式：. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的“平均值函数”，且是函数的一个均值点，求所有满足条件的有序数对.参考答案与试题解析上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、填空题1.【答案】[加加){1,3,4)【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】由图象可得函数值，得值域．【解答】由图象可知函数值有1，3,4，即值域为{1,3,4}故答案为：{1,3,4}2.【答案】I≤加)(1,4)【考点】分式不等式的解法【解析】先求出集合A,B，再根据交集的定义即可求出．【解答】∵A={x||x−1|<3}={x|−2<x<4}B={x|x−1x−5<0}={x|1<x<5}A∩B={x|1<x≤4}=(1,4)故答案为:(1,4)3.【答案】[加加]√x+13【考点】反函数函数的值域及其求法函数奇偶性的性质【解析】由y=x3−1求得后交换xy的位置可得反函数，同时注意求原函数的值域，即反函数的定义域．【解答】由y=x3−1知y∈Rx3=y+1，所以x=√y+13所以f−1(x)=√x+13x∈R故答案为：√x+134.【答案】2【考点】函数的概念及其构成要素伪代码判断两个函数是否为同一函数【解析】根据函数的周期性直接求解．【解答】由函数y=f(x)，满足f(x)=f(x+2)即f(x)=f(x−2)得f(92)=f(52)=f(12)=4×12=2故答案为：2.5.【答案】[加加](−1,0)∪(0,1)【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质函数奇偶性的性质【解析】由奇函数性质得f(−1)=0，在(−∞,0)上函数也是递增的，从而可求得不等式的解．【解答】由题意f(−1)=0，且f(x)在(−∞,0)上函数是递增的，f(x)x<0⇒{f(x)<0x>0或{f(x)>0x<0，所以0<x<1或−1<x<0故答案为：(−1,0)∪(0,1)6.【答案】−5【考点】函数的对称性【解析】根据偶函数及绝对值函数性质直接求解即可．【解答】由已知y=|x−n|+2是定义在[4m,m2−5)上的偶函数，故4m+m2−5=0，即m=1，或m=−5，且函数图象关于！轴对称，又4m<m2−5，故m=−5因为y=|x−n|+2关于直线x=n对称，故n=0m+n=−5故答案为：−57.【答案】2【考点】与二次函数相关的复合函数问题【解析】令t=log3x，可得y=t(1+t)=(t+12)2−14，即可求出最小值．【解答】∵y=log3x⋅log33x=log3x⋅(1+log3x)令t=log3x．x∈[3,9]，t∈[1,2]则y=t(1+t)=(t+12)2−14当t=1时，y加加=2故答案为：2.8.【答案】【答2.【考点】进位制三角函数值的符号集合的确定性、互异性、无序性【解析】由反函数对称性质即可求解．【解答】由x+log2x=2的解为x1，得log2x1=−x1+2同理x+24=2的解为x2，得2x=−x2+2又函数y=log2x与函数y=2x互为反函数，图象关于直线y=x对称，且y=−x+2与y=x互相垂直，且交点为(1,1)则函数y=log2x与函数y=−x+2的交点A(x1,y1)，函数y=2x与函数y=−x+2的交点B(x2,y2)，关于直线y=x对称，即A(x1,y1)与B(x2,y2)关于点(1,1)对称，即x1+x2=2故答案为：2．二、解答题【答案】(3,4]【考点】根的存在性及根的个数判断区间与无穷的概念函数的零点与方程根的关系【解析】方程(x−2)(x2−4x+m)=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是2，即三角形的一边是2，另两边是方程x2−4x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2−4x+m=0的两个根设是x x和x3，一定是两个正数，且一定有|x1−x3|<2<x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定”的范围．【解答】解：：方程(x−2)(x2−4x+m)=0有三根，x1=2x2−4x+m=0有根，方程x2−4x+m=0的Δ=16−4m>0，得m≤4又：原方程有三根，且为三角形的三边和长．有x2+x3>x1=2|x2−x3|<x1=2，而x2+x3=4>2已成立；当|x2−x3|<2时，两边平方得：(x2+x3)2−4x2x3<4即：16−4m<4．解得m>33≤m≤4故答案为：(3,4]三、填空题【答案】【3加加(5−√34,1)【考点】根的存在性及根的个数判断函数的零点与方程根的关系一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】化简得出函数y =f (x )的解析式，不妨设x 1<x 2<x 3，作出函数y =f (x )的图象，可知当0<m <14时，直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个交点，由对称性可求得x 2+x 3的值，由f (x 1)=(0,14)可解得x 1的取值范围，进而可求得 x 1+x 2+x 3的取值范围．【解答】当2x −1≤x −1时，即当x ≤0时，f (x )=(2x −1)2−(2x −1)(x −1)=2x 2−x 当2x −1>x −1时，即当x >0时，f (x )=(x −1)2−(2x −1)(x −1)=x −x 2 f (x )={2x 2−x,x ≤0x −x 2,,,,,，作出函数y =f (x )的图象如下图所示：设x 1<x 2<x 3，可知点(x 2,m )与点(x 3,m )关于直线x =12对称，则x 1+x 3=1当x >0时，f (x )=x −x 2=−(x −12)2+14≤14由图象可知，当0∴m <14时，直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个交点，由f (x 1)=2x 12−x 1∈(0,14)，可得0<2x 12−x 1∴14∵x 1<0，解得1−√34<x 1<0，所以，5−√34<x 1+x 2+x 3<1因此，x 1+x 2+x 3的取值范围为(5−√34,1)故答案为：(5−√34,1)四、单选题【答案】 D【考点】对数函数的图象与性质判断两个函数是否为同一函数【解析】判断函数的定义域与对应法则，两者均相同的为同一函数．【解答】A ．两函数定义域都是R ，但对应法则不相同，一个是y =x ，一个是y =|x|，不是同一函数；B ．前一函数定义域是[1,+∞), 后一函数定义域是(−∞,−1]∪[1,+∞)，不是同一函数；C ．前一函数定义域是R ，后一函数定义域是(0,+∞)，不是同一函数；D ．两函数定义域相同，后一函数，计算x =1时，y =1x =2时，y =1，对应法则相同，值域也相同，是同一函数．故选：D ．【答案】 B【考点】函数零点的判定定理【解析】试题分析：因为函数f (x )=223x 在其定义域内是递增的，那么根据f (−1)=12−3=−52<0,f (0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(−1,0)，选B ．【解答】此题暂无解答【答案】 D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断充分条件、必要条件、充要条件运用诱导公式化简求值【解析】分别对充分性和必要性进行判断，对于不能推出的情况举一个反例就可以．【解答】4a >43⇔a >b充分性：取a =0,b =−1，但是04≤(−1)4，即不能推出a 4>b 4，所以充分性不满足；必要性：取a =−1,b =0，符合a 4>b 4，但是4−1<4∘，即不能推出4a >4”，必要性不满足．综上：“4a >4y ”是a 4>b 4”的既非充分又非必要条件故选：D 【答案】 C【考点】函数的求值求函数的值运用诱导公式化简求值【解析】由题意求得b 、c 的值，可得函数f (x )的解析式．再分类讨论解方程，从而得到关于》的方程f (x )=x 的解的个数．【解答】解：由f (−4)=f (0)得16−4b +c =c ，① 由f (−2)=−2得4−2b +c =−2，③ 由①②得b =4c =2所以f (x )={x 2+4x +2(x ≤0),2(x >0),当x ≤0时，由f (x )=x 得方程x 2+4x +2=x ，解得x 1=−1x 2=−2 当x >0时，由f (x )=x 得x =2 故方程共有3个解．故选：C 五、解答题【答案】【答a =1时，f (x )为奇函数；a ≠1时，f (x )为非奇非偶函数．【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据定义域讨论a =1和a ≠1时利用定义判断．【解答】由题可得24−a ≠0当a =1时，x ≠0，即f (x )的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称， f (−x )=2−x +12−x −1=1+2x1−2x =−f (x )f (x )为奇函数，当a ≠1时，f (x )的定义域不关于原点对称，则f (x )为非奇非偶函数．【答案】加加加)0,1]][4,+∞)【考点】命题的真假判断与应用奇偶性与单调性的综合复合命题及其真假判断【解析】通过两个命题求出α的范围，然后通过当？真4假时，当Р假♀真时即可求解【解答】若？为真命题，则a −1>0，解得a >1 若♀为真命题，则{a >0√a <2，解得0<a <4因为命题？和命题4只有一个为真命题，所以a ∈(0,1]∪[4,+∞) 【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）(2,+∞)）．【考点】函数单调性的判断与证明奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质【解析】（1）任取对、x 2∈(0,+x )且x 1>x 2，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数f (x )在(0,+x )上的单调性；（2）由已知条件可得出f (x )>f (2)，结合（1）中的结论可解原不等式．【解答】（1）任取x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1>x 2，即x 1>x 2>0f (x 1)−f (x 2)=(x 12−2x 1−3)−(x 22−2x 1−3)=(x 12−x 22)+(2x 2−2x 1) =(x 1−x 2)(x 1+x 2)+2(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1+x 2+2x 1x 2)因为x 1>x 2>0，则x 1−x 2>0,x 1+x 2+2x 1x 2>0f (x 1)−f (x 2)>0所以函数f (x )=x 2−2x −3在区间(0,+∞)上是严格增函数；（2）由（1）可知函数f (x )=x 2−2x −3在区间(0,+∞)上是严格增函数，且f (2)=0因此由f (x )>0=f (2)可得x >2因此，不等式f (x )>0的解集为(2,+∞) 【答案】（1）y =16−4x+1−x (0≤x ≥a )；（2）当a ≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16−41+1−1=13万元；当a <1时，促销费用投入ａ万元，厂家的利润最大，为16−4a+1−a 万元．【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型概率的应用【解析】（1）根据产品的利润三销售额一产品的成本建立函数关系；（2）利用导数可求出该函数的最值．【解答】（1）由题意知，y =(4+20p)p −x −(10+2p )将p =3−2x+1代入化简得：y =16−4x+1−x (0≤x ≥a ) （2）y ′=−1−−4(x+1)2=−(x+1)2+4(x+1)2=−x 2+2x−3(x+1)2=−(x+3)(x−1)(x+1)2(i)当a ≥1时，①当x ∈(0,1)时，y >0，所以函数y =16−4x+1−x 在(0,1)上单调递增，②当x ∈(1,a )时，y <0，所以函数y =16−4x+1−x 在(1,a )上单调递减，从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；(ii)当a <1时，因为函数y =16−4x+1−x 在(0,1)上单调递增，所以在[0,a ]上单调递增，故当x =a 时，函数有最大值，即促销费用投入ａ万元时，厂家的利润最大综上，当a ≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16−41+1−1=13万元；当a <1时，促销费用投入ａ万元，厂家的利润最大，为16−4a+1−a 万元．【答案】（1）是，理由见解析；（2）(1,+∞)；（3）(4,2)【考点】奇偶性与单调性的综合函数解析式的求解及常用方法函数恒成立问题【解析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到f (x 0)=0，求出x 0，即可判断出结果；（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在0<x 0<1，使m ⋅(2x −1)=4x 3，利用换元法，结合指数函数的性质，即可求出结果；（3）先由题意，得到f (1)=k (t −2)+1，推出t =3−4k ，结合题中条件，即可得出结果．【解答】（1）由“平均值函数”的定义，存在0∈(−1,1)，满足f (0)=0=f (1)−f (−1)1−(−1)因此f (x )=x 4是区间[−1,1]上的“平均值函数”．（2）若函数g (x )=m ⋅2x −1是区间[0,1]上的“平均值函数”，则存在x ∈(0,1)，满足m ⋅2x −1=g (1)−g (0)1−0=m即关于》的方程m ⋅24−1=m 在区间(0,1)内有解．参变分离，将方程转化为m =12x −1,x ∈(0,1)函数y =12x −1,x ∈(0,1)的值域为(1,+∞) 因此m ∈(1,+∞)（3）若函数ℎ(x )=kx 2+x −4(k ≥1,k ∈N )是区间[−2,1],t ∈Nt ∈N)上的“平均值函数”，且1是函数ℎ(x )的一个均值点，则ℎ(1)=ℎ(t )−ℎ(−2)t−(−2) 即k −3=k+t 2+t−4−(4k−6)t+2=k (t −2)+1得到k =43−t ，其中k ≥1,k ∈N,t,t ∈N 满足条件的解为{k =4t =2即所有满足条件的有序数对(k,t )为(4,2)。

上海市上海中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题 (1)

上海市上海中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数()()ln 1f x x -的定义域为______．2．设函数()()()1x x a f x x+-=为奇函数，则实数a 的值为______． 3．已知log 2a y x =+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图像上，则()f x =______．4．方程21193x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的解为______．5．对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，()94f =，则f =______． 6．已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______． 7．已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 8．函数234log 65y x x =-+的单调递增区间为______． 9．若函数()()2log 2a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）满足：对任意1x ，2x ，当122a x x <≤时，()()120f x f x ->，则a 的取值范围为______． 10．已知0x >，定义()f x 表示不小于x 的最小整数，若()()()3 6.5f x f x f +=，则正数x 的取值范围为______．11．已知函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）只有一个零点，则实数m 的取值范围为______． 12．已知函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，()n m <的值域是[]1,1-，有下列结论：（1）0n =时，0,2m ；（2）12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（3）10,2n ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭时，(],2m n ∈，其中正确的结论的序号为______．二、单选题13．下列函数中，是奇函数且在区间()1,+∞上是增函数的是（）．A ．()1f x x x=- B ．()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．()3f x x =- D ．()21log 1x f x x +=-- 14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数m 满足()()11f m f ->-，则m 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()(),02,-∞+∞C ．（0，2）D ．()2,+∞ 15．如果函数()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“可拆分函数”，若()lg21x a f x =+为“可拆分函数”，则a 的取值范围是（）A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．(]3,+∞16．定义在()1,1-上的函数()f x 满足()()111f x f x =+- 当(1,0]x ∈-时，()111f x x=-+ 若函数()()12g x f x mx m =--- 在()1,1-内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．19,416⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．19[,)416C ．11[,)42 D ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17．已知函数()21x f x =-的反函数是()1y f x -=，()()4log 31g x x =+（1）画出()21xf x =-的图像；（2）解方程()()1f xg x -=．18．已知定义在R 上的奇函数()x x f x ka a -=-（（0a >且1a ≠），k ∈R ）（1）求k 的值，并用定义证明当1a >时，函数()f x 是R 上的增函数；（2）已知()312f =，求函数()22x xg x a a -=+在区间[]0,1上的取值范围．19．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，市场调研测试，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时电车为满载状态，载客为400人，当210t ≤≤时，载客量会少，少的人数与()10t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为()p t ．（1）求()p t 的表达式；（2）若该线路分钟的净收益为()6150060p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20．对于定义域为D 的函数()y f x =，若存在区间[],a b D ⊂，使得()f x 同时满足，①()f x 在[],a b 上是单调函数，②当()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域也为[],a b ，则称区间[],a b 为该函数的一个“和谐区间”（1）求出函数()3f x x =的所有“和谐区间”[],a b ；（2）函数()43f x x=-是否存在“和谐区间”[],a b ？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由（3）已知定义在()2,k 上的函数()421f x m x =--有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．21．定义在R 上的函数()g x 和二次函数()h x 满足：()()229x xg x g x e e +-=+-，()()201h h -==，()32h -=-（1）求()g x 和()h x 的解析式；（2）若对于1x ，[]21,1x ∈-，均有()()11253h x ax g x e ++≥+-成立，求a 的取值范围；（3）设()()(),0,0g x x f x h x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，在（2）的条件下，讨论方程()5f f x a =+⎡⎤⎣⎦的解的个数．参考答案1．(]1,2【解析】【分析】求已知函数解析式的函数定义域即使式子有意义，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于零，即可解答。

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2020-2021上海上海中学高一数学上期末一模试题带答案一、选择题1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 2．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（）A．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－153．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知131log 4a =，154b=，136c =，则（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2] D ．[0，2]6．函数ln x y x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．若0.33a =，log 3bπ=，0.3log c e =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>8．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <在[]1,3-上的解集是 ( )A ．()1,3B ．()1,1-C ．()()1,01,3-UD ．()()1,00,1-U10．曲线241(22)y x x =-+-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 11．函数()()212ln 12f x x x =-+的图象大致是( ) A ．B ．C ．D ．12．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2）二、填空题13．若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 14．已知log log log 22a a ax yx y +-=，则x y的值为_________________． 15．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩ 若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________ 16．求值： 233125128100log lg += ________17．若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =___________.18．若函数()242xx f x a a =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.19．已知sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)x x <>则1111()()66f f -+为_____20．已知正实数a 满足8(9)a aa a =，则log (3)a a 的值为_____________.三、解答题21．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()11xf x x+=-． ()1求函数()f x 在R 上的解析式；()2判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．22．已知函数2()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2. （1）求m ，n 的值；（2）令()()f x g x x=，若函数()()22x xF x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，求实数r 的取值范围.23．已知函数1()21xf x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值.24．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域; (2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 25．科研人员在对某物质的繁殖情况进行调查时发现，1月、2月、3月该物质的数量分别为3、5、9个单位.为了预测以后各月该物质的数量，甲选择了模型2y ax bx c =++，乙选择了模型xy pq r =+，其中y 为该物质的数量，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 为常数. （1）若5月份检测到该物质有32个单位，你认为哪个模型较好，请说明理由. （2）对于乙选择的模型，试分别计算4月、7月和10月该物质的当月增长量，从计算结果中你对增长速度的体会是什么？26．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x Q 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.2．A解析：A 【解析】【分析】设()2f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由韦达定理得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，42b a ∴=--，3c a =， ()()2423f x ax a x a ∴=-++，由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根，即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <Q ，解得15a =-，故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．D解析：D 【解析】【分析】采用逐层求解的方式即可得到结果. 【详解】∵(] 121∈-∞，，∴112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则110102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴()1(())21010f f f =，又∵[)102∈+∞，，∴()103f =，故选D ．【点睛】本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．4．C解析：C 【解析】【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.5．D解析：D 【解析】【分析】由分段函数可得当0x =时，2(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函数，即有0a ≥，当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，则有22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为当x≤0时，f(x)＝()2x a -，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x ＞0时，1()2f x x a a x=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需22(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤，所以a 的取值范围是02a ≤≤，故选D. 【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.6．C解析：C 【解析】分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q （）（）， ∴排除B ，当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故排除A,D ，故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．7．A解析：A 【解析】因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．8．B解析：B 【解析】【分析】【详解】由对数函数的性质可知343333log 2log 34a =<=<，由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以3(,1)c ∈，所以a c b <<，故选B.9．C解析：C 【解析】若[20]x ∈-，，则[02]x -∈，，此时1f x x f x -=--Q （），（）是偶函数，1f x x f x ∴-=--=（）（），即1[20]f x x x =--∈-（），，，若[24]x ∈，，则4[20]x -∈-，， ∵函数的周期是4，4413f x f x x x ∴=-=---=-（）（）（），即120102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，（），，，作出函数f x （）在[13]-，上图象如图，若03x ≤＜，则不等式0xf x （）＞等价为0f x （）＞，此时13x ＜＜，若10x -≤≤ ，则不等式0xf x （）＞等价为0f x （）＜，此时1x -＜＜0 ，综上不等式0xf x （）＞在[13]-，上的解集为1310.⋃-（，）（，）故选C.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．10．A解析：A 【解析】试题分析：1(22)y x =-≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512k =，过点()2,1-时斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法11．A解析：A 【解析】函数有意义，则：10,1x x +>∴>-，由函数的解析式可得：()()21002ln 0102f =⨯-+=，则选项BD 错误；且211111112ln 1ln ln 402222848f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--⨯-+=-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则选项C 错误；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．12．D解析：D 【解析】【分析】根据偶函数的性质,求出函数()0f x <在(－∞，0]上的解集,再根据对称性即可得出答案. 【详解】由函数()f x 为偶函数,所以()()220f f -==,又因为函数()f x 在(－∞，0]是减函数,所以函数()0f x <在(－∞，0]上的解集为(]2,0-,由偶函数的性质图像关于y 轴对称,可得在(0,+ ∞)上()0f x <的解集为(0,2),综上可得,()0f x <的解集为(-2,2). 故选:D. 【点睛】本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.二、填空题13．1【解析】故答案为解析：1 【解析】155325a b c ===因为，1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===，252525111log 15log 5log 3a b c∴+-=+-25log 251==，故答案为1. 14．【解析】【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：即解方程即可【详解】因为且所以即整理得：所以或因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算性质同时考查了学生的计算能力属于中档题解析：3+【解析】【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：2()2x y xy -=，即2()6()10x x y y -+=，解方程即可.【详解】因为log log log 22a a ax yx y +-=，且x y >，所以2log log ()2aa x y xy -=，即2()2x y xy -=. 整理得：2260x y xy +-=，2()6()10x xy y-+=.26432∆=-=，所以3x y =-3x y =+因为0x y >>，所以1xy >.所以3x y=+故答案为：3+【点睛】本题主要考查对数的运算性质，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.15．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13-【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈；当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-；当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）；综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-. 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.16．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有：解析：32-【解析】由题意结合对数、指数的运算法则有：()2log 31532lg 3210022=-+-=-. 17．【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a 的值再将1代入即可求解【详解】∵函数为奇函数∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）即f （﹣x ）∴（2x ﹣1）（x+a ）＝（2x+1）（x ﹣a ）即2x2+（2 解析：23【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a 的值，再将1代入即可求解【详解】∵函数()()()21xf x x x a =+-为奇函数， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），即f （﹣x ）()()()()2121x x x x a x x a -==--+--+-，∴（2x ﹣1）（x +a ）＝（2x +1）（x ﹣a ），即2x 2+（2a ﹣1）x ﹣a ＝2x 2﹣（2a ﹣1）x ﹣a ，∴2a ﹣1＝0，解得a 12=．故2(1)3f = 故答案为23【点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键． 18．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解解析：2或12 【解析】【分析】将函数化为()2()26x f x a =+-,分01a <<和1a >两种情况讨论()f x 在区间[]1,1-上的最大值,进而求a .【详解】()242x x f x a a =+-()226x a =+-,11x -≤≤Q , 01a ∴<<时,1x a a a -<<,()f x 最大值为()21(1)2610f a --=+-=,解得12a =1a >时,1x a a a -≤≤,()f x 最大值为()2(1)2610f a =+-=,解得2a =, 故答案为:12或2. 【点睛】本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.19．0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题解析：0【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可求解.【详解】因为sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)x x <> 则11111()sin()sin 6662f ππ-=-==, 11511()()()sin()66662f f f π==-=-=-, 所以1111()()066f f -+=. 【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.20．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题解析：916【解析】【分析】将已知等式8(9)a aa a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解.【详解】 8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-Q ， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题.三、解答题21．（1）()1,010,01,01x x x f x x x x x+⎧<⎪-⎪==⎨⎪-⎪->+⎩（2）函数()f x 在()0,+∞上为增函数,详见解析【解析】【分析】()1根据题意，由奇函数的性质可得()00f =，设0x >，则0x -<，结合函数的奇偶性与奇偶性分析可得()f x 在()0,+∞上的解析式，综合可得答案；()2根据题意，设120x x <<，由作差法分析可得答案．【详解】解：()1根据题意，()f x 为定义在R 上的函数()f x 是奇函数，则()00f =，设0x >，则0x -<，则()11x f x x--=+，又由()f x 为R 上的奇函数，则()()11x f x f x x -=-=-+，则()1,010,01,01x x x f x x x x x+⎧<⎪-⎪==⎨⎪-⎪->+⎩；()2函数()f x 在()0,+∞上为增函数；证明：根据题意，设120x x <<，则()()()()()1212211212211221111111111x x x x x x f x f x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-----=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，又由120x x <<，则()120x x -<，且()110x +>，()210x +>；则()()120f x f x ->，即函数()f x 在()0,+∞上为增函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及掌握函数奇偶性、单调性的定义．22．（1）1m =，2n =；（2）1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可；（2）求出()g x 得表示，由函数()()22x xF x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，可得21112()322x xr =+⋅-⋅，设12x t =，代入可得r 的取值范围. 【详解】解：（1）由函数2()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2，可得130460m n m n -+=⎧⎨-+=⎩，可得1m =，2n =；（2）由题意得：()2()3f x g x x x x ==+-，函数()()22x x F x g r =-⋅在[]1,1x ∈-上有零点，即()022x x g r -⋅=在[]1,1x ∈-有解，即21112()322x x r =+⋅-⋅在[]1,1x ∈-有解，设12x t =，有[]1,1x ∈-，可得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2231r t t =⋅-⋅+，即2231r t t =⋅-⋅+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，可得：223112312(),(2)482r t t t t =⋅-⋅+=--≤≤，可得138r -≤≤，故r 的取值范围为1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性、最值问题，考查换元思想，属于中档题.23．(1)见解析；(2)12a =；(3) 16. 【解析】【分析】【详解】(1)()f x Q 的定义域为R, 任取12x x <, 则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++.12x x <Q ,∴1212220,(12)(12)0x x x x -++.∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.所以不论a 为何实数()f x 总为增函数.(2)()f x Q 在x ∈R 上为奇函数,∴(0)0f =,即01021a -=+. 解得12a =. (3)由(2)知，11()221x f x =-+, 由(1) 知，()f x 为增函数,∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为(1)f .∵111(1)236f =-=， ∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为16. 24．(1)1,22⎛⎫-⎪⎝⎭;(2)1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】 (1)由真数大于0列出不等式组求解即可；(2)由312f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得出14a =，再利用对数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】(1)要使函数有意义，则12020x x +>⎧⎨->⎩，即122x -<<，故()h x 的定义域为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)∵312f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴log (13)log 41a a +==-， ∴14a =， ∴1144()log (12)log (2)h x x x =+--，∵()0h x <，∴0212x x <-<+，得123x <<， ∴使()0h x <成立的的集合为1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了求对数型函数的定义域以及由对数函数的单调性解不等式，属于中档题.25．（1）乙模型更好，详见解析（2）4月增长量为8，7月增长量为64，10月增长量为512；越到后面当月增长量快速上升.【解析】【分析】（1）根据题意分别求两个模型的解析式，然后验证当5x =时的函数值，最接近32的模型好；（2）第n 月的增长量是()()1f n f n --，由增长量总结结论.【详解】（1）对于甲模型有3425939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：113a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩23y x x ∴=-+当5x =时，23y =.对于乙模型有23359pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：121p q r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，21x y ∴=+当5x =时，33y =.因此，乙模型更好；（2）4x =时，当月增长量为()()4321218+-+=， 7x =时，当月增长量为()()76212164+-+=，10x =时，当月增长量为()()1092121512+-+=，从结果可以看出，越到后面当月增长量快速上升.（类似结论也给分）【点睛】本题考查函数模型，意在考查对实际问题题型的分析能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是读懂题意.26．(1) ()45100x ，∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【解析】【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，()180029040f x x x=+->，即2659000x x -+>，解得20x <或45x >，∴()45100x ∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当030x <≤时，()()30%401%4010x g x x x =⋅+-=-；当30100x <<时， ()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭； ∴()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减；当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．。