2.6麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组推导过程
麦克斯韦方程组推导过程麦克斯韦方程组是电磁学中的基本方程组，由麦克斯韦提出，描述了电磁场的运动规律。
下面我们通过推导的过程来了解麦克斯韦方程组的由来和含义。
我们从麦克斯韦方程的第一个方程开始推导。
这个方程是高斯定律，描述了电场与电荷之间的关系。
根据高斯定律，电场通过一个闭合曲面的通量与这个曲面内的电荷量成正比，且与曲面的形状无关。
这个方程可以表示为：∮E·dA = 1/ε₀ ∫ρdV其中，∮E·dA表示电场E在闭合曲面上的通量，ε₀为真空中的电介质常数，ρ为曲面内的电荷密度。
接下来，我们推导麦克斯韦方程的第二个方程。
这个方程是法拉第电磁感应定律，描述了磁场变化时引起的感应电场。
根据法拉第定律，磁场的变化率与感应电场的环路积分成正比。
这个方程可以表示为：∮E·dl = -dφB/dt其中，∮E·dl表示感应电场E沿闭合回路的环路积分，dφB/dt表示磁场B的变化率。
接下来，我们推导麦克斯韦方程的第三个方程。
这个方程是安培环路定律，描述了电流与磁场之间的关系。
根据安培环路定律，沿闭合回路的磁场的环路积分等于通过回路的电流与真空中的电介质常数的乘积。
这个方程可以表示为：∮B·dl = μ₀I + μ₀ε₀dφE/dt其中，∮B·dl表示磁场B沿闭合回路的环路积分，μ₀为真空中的磁导率，I为通过回路的电流，dφE/dt表示电场E的变化率。
我们推导麦克斯韦方程的第四个方程。
这个方程是电磁场的无源性方程，描述了电场和磁场的耦合关系。
根据电磁场的无源性，闭合回路上的电场的环路积分和磁场的环路积分之和为零。
这个方程可以表示为：∮B·dl = 0其中，∮B·dl表示磁场B沿闭合回路的环路积分。
通过以上的推导过程，我们得到了麦克斯韦方程组，它们是描述电磁场的基本方程。
这四个方程分别描述了电场与电荷的关系、磁场与电流的关系、电场与磁场的耦合关系，以及磁场的无源性。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组维基百科，自由的百科全书麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组偏微分方程，描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的关系。
它含有的四个方程分别为：电荷是如何产生电场的高斯定理；论述了磁单极子的不存在的高斯磁定律；电流和变化的电场是怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律，以及变化的磁场是如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程共同形成了经典电磁学的完整组合。
1865年，麦克斯韦建立了最初形式的方程，由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
当代使用的数学表达式是由奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年使用矢量分析的形式重新表达的。
概论麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的。
它们分别为▪高斯定律描述电场是怎样由电荷生成的。
更详细地说，通过任意闭合表面的电通量与这闭合表面内的电荷之间的关系。
▪高斯磁定律表明，通过任意闭合表面的磁通量等于零，或者，磁场是一个螺线矢量场。
换句话说，类比于电荷的磁荷，又称为磁单极子，实际并不存在于宇宙。
▪法拉第电磁感应定律描述含时磁场怎样生成电场。
许多发电机的运作原理是法拉第电磁感应定律里的电磁感应效应：机械地旋转一块条形磁铁来生成一个含时磁场，紧接着生成一个电场于附近的导线。
▪麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的安培定律），另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项目）。
这个定律意味着一个含时磁场可以生成含时电场，而含时电场又可以生成含时磁场。
这样，理论上允许电磁波的存在，传播于空间。
▪一般表述在这段落里，所有方程都采用国际单位制。
若改采其它单位制，经典力学的方程形式不会改变；但是，麦克斯韦方程组的形式会稍微改变，大致形式仍旧相同，只有不同的常数会出现于方程的某些位置。
用五分钟了解一下“麦克斯韦方程组”，这个世上最伟大的公式
用五分钟了解一下“麦克斯韦方程组”，这个世上最伟大的公式英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的十个公式里，有著名的E=mc2、复杂的傅立叶变换、简洁的欧拉公式……但“麦克斯韦方程组”排名第一，成为“世上最伟大的公式”。
小编将带领大家一起来欣赏这个方程组的背后的故事和含义。
万有引力般的超距作用力很久以前，人类就对静电和静磁现象有所发现，但在漫长历史岁月里，两者井水不犯河水。
由于摩擦起电，在古希腊及地中海区域的古老文化里，早有文字记载，将琥珀棒与猫毛摩擦后，会吸引羽毛一类的物质，“电”的英文语源更是来自于希腊文“琥珀”一词。
发现电与磁之间有着某些相似规律，则要追溯到物理学家库仑的小小野心。
1785年，库仑精心设计了一个扭秤实验，如图所示，在细银丝下悬挂一根秤杆，秤杆挂有一个平衡小球B和一个带电小球A，在A旁还有一个和它一样大小的带电小球C。
A球和C球之间的静电力会使得悬丝扭转，转动悬丝上端的悬钮，进而使小球回到原来位置。
在这个过程中，可通过记录扭转角度、秤杆长度的变化，计算得知带电体A、C之间的静电力大小。
库仑扭秤实验库仑扭秤实验实验结果正如库仑所料，静电力与电荷电量成正比，与距离的平方反比关系。
这一规律后来被总结为“库仑定律”。
随后，库仑对磁极进行了类似的实验，再次证明：同样的定律也适用于磁极之间的相互作用。
这就是经典磁学理论。
库仑发现了磁力和电力一样遵守平方反比律，却并没有进一步推测两者的内在联系。
和当时大多数数学物理学家一样，他相信物理中的“能量、热、电、光、磁”甚至化学中所有的力都可描述成像万有引力般的超距作用力，而力的强度取决于距离。
只要再努力找到几条力学定律，那整个物理理论就能完整了！库仑这种天真的想法很快就被迅速打脸，万有引力般的超距作用显然没有那么强大，但是库仑定律的提出还是为整个电磁学奠定了基础。
终成眷属的电与磁最先发现电和磁之间联系的，是丹麦物理学家奥斯特。
麦克斯韦方程组的理解
麦克斯韦方程组的理解
麦克斯韦方程组是描述电磁现象的方程组，由19世纪苏格兰物理
学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦于1864年提出，对于理解电磁现象和
应用电磁技术具有重要的意义。
麦克斯韦方程组由四个方程式组成，分别是电场高斯定理、磁场
高斯定理、法拉第定律和安培环路定理。
这四个方程式描述了电荷与
电磁场之间的相互作用。
其中，电场高斯定理描述了电场线从正电荷
流向负电荷，其数目等于电荷的量；磁场高斯定理则描述了磁场的起
源和磁通量的守恒规律；法拉第定律则描述了电场线和磁场线的产生
关系；而安培环路定理则表明了电磁场的感应和电流的守恒。
麦克斯韦方程组对于解决电磁波的传播、电磁感应现象、电磁场
的波动等问题有着深刻的影响。
它的应用广泛，包括无线通信、光学、电动机、变压器等领域。
例如，电磁波的传播和调制是无线通信的基础；电磁感应的原理则是发电机和变压器等设备的基础；而电动机则
是利用电磁场的力产生动力的基础。
麦克斯韦方程组的提出，不仅推动了物理学的发展，也为电磁技
术的应用提供了理论基础。
它提供了一种深刻的理解电磁现象和应用
电磁技术的视角，对于我们认识和应用电磁现象的过程有着举足轻重
的意义。
麦克斯韦方程组及意义
麦克斯韦方程组及意义麦克斯韦方程组及其意义麦克斯韦方程组是电磁学的基础，描述了电磁场的产生、传播和相互作用的规律。
它由詹姆斯·麦克斯韦在19世纪提出，将电场和磁场统一起来，奠定了电磁理论的基础。
麦克斯韦方程组包括四个方程，分别是高斯定律、法拉第定律、安培定律和法拉第电磁感应定律。
这些方程不仅描述了电磁场的行为，还揭示了电磁波的存在和性质，对于现代科技的发展有着重要的意义。
麦克斯韦方程组的第一个方程是高斯定律，它描述了电场通过一个闭合曲面的总电通量与该闭合曲面内的电荷量之间的关系。
这个定律说明了电荷是电场的源，电场线从正电荷流向负电荷，形成了电场的分布。
高斯定律的意义在于揭示了电荷与电场的密切关系，为理解电荷与电场的相互作用提供了基础。
麦克斯韦方程组的第二个方程是法拉第定律，它描述了磁场的变化率与通过一个闭合回路的电流之间的关系。
法拉第定律说明了电流是磁场的源，磁场线围绕电流形成环状分布。
这个定律的意义在于揭示了电流与磁场的相互作用，为理解电流与磁场的相互转换提供了依据。
麦克斯韦方程组的第三个方程是安培定律，它描述了电场的闭合回路积分与通过该闭合回路的电流之间的关系。
安培定律说明了电流产生的磁场的环状分布，磁场线围绕电流形成环状分布。
这个定律的意义在于揭示了电流与磁场的相互作用，为理解电流与磁场的相互转换提供了依据。
麦克斯韦方程组的第四个方程是法拉第电磁感应定律，它描述了磁场的闭合回路积分与通过该闭合回路的变化磁通量之间的关系。
法拉第电磁感应定律说明了磁场的变化可以产生电流，电磁感应的现象是电磁场相互作用的结果。
这个定律的意义在于揭示了电磁场的相互作用，为理解电磁感应的原理提供了依据。
麦克斯韦方程组的意义在于揭示了电磁场的行为规律，将电场和磁场统一起来，为电磁学的发展奠定了基础。
它不仅解释了电磁场的起源和性质，还揭示了电磁波的存在和传播。
电磁波是一种由电场和磁场相互耦合所形成的波动现象，包括无线电波、微波、可见光、红外线、紫外线、X射线和γ射线等。
麦克斯韦关系式的推导
麦克斯韦关系式的推导1. 引言麦克斯韦关系式是电磁学中的一个重要公式，描述了电场、磁场和电流之间的相互关系。
它由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出，并成为了电磁学理论的基础之一。
本文将对麦克斯韦关系式进行推导，以便更好地理解其物理意义和应用。
我们将从基本的电场和磁场定律出发，逐步推导得到麦克斯韦关系式。
2. 推导过程2.1 安培定律安培定律是描述电流与磁场之间关系的基本定律。
根据安培定律，通过一个闭合回路的磁场积分等于该回路所包围的电流乘以真空中的磁导率μ₀。
数学表达为：∮B⃗ ⋅dl=μ0I其中，∮表示对闭合回路上路径积分，B⃗ 表示磁场强度，dl表示微元路径长度，μ0表示真空中的磁导率，I表示通过闭合回路的电流。
2.2 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律是描述磁场变化引起感应电动势的定律。
根据法拉第电磁感应定律，一个闭合回路中的感应电动势等于该回路所包围的磁通量变化率的负值。
数学表达为：ε=−dΦdt其中，ε表示感应电动势，Φ表示磁通量，t表示时间。
2.3 麦克斯韦-安培定律麦克斯韦-安培定律是描述电场和磁场之间关系的基本定律。
根据麦克斯韦-安培定律，一个闭合回路中的电场积分与该回路所包围的时间变化率的负值成正比。
数学表达为：∮E⃗⋅dl=−dΦdt其中，E⃗表示电场强度。
2.4 法拉第旋度定理法拉第旋度定理是描述旋度与闭合环路上的环流之间关系的定理。
根据法拉第旋度定理，一个闭合回路上的环流等于该回路所包围的磁场旋度积分。
数学表达为：∮B⃗ ⋅dA=μ0I enc其中，B⃗ 表示磁场强度，dA表示微元面积矢量，I enc表示通过被闭合曲面所包围的电流。
2.5 麦克斯韦方程组将安培定律和法拉第旋度定理结合起来，可以得到麦克斯韦方程组：∇×E⃗=−∂B⃗ ∂t∇×B⃗ =μ0J+μ0ε0∂E⃗∂t其中，∇表示梯度算子，×表示向量叉乘，J表示电流密度，ε0表示真空中的介电常数。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组
麦克斯韦电磁场理论的基本思想是：相对时间变化的磁 场会激发感生电场，而相对时间变化的电场会激发磁场.根据 这一思想，如果在空间某一区域内有变化的电场(如电荷做加 速运动)，那么在邻近区域内就会产生变化的磁场.这个变化的 磁场又会在较远处产生变化的感生电场.这样产生出来的电场 也是随着时间变化的，它必然要产生新的磁场.这样，在充满 变化的电场空间，同时也充满变化的磁场，两者相互联系、 相互转化.电场和磁场的统一体称为电磁场.前面讨论的静电场 和稳恒磁场都只不过是电磁场的两种特殊表现形式.
麦克斯韦方程组
这样，无论选择S1或S2作为以L为边界的曲面来计算H 的环流都得到相同的确定值，不会出现图10-26所示的矛盾 结果了.
对于任何电路，全电流永远是连续的.对图10-26中由S1 和S2组成的封闭曲面S来说，传导电流I流入S1而等量的位移 电流Id流出S2，所以
（10-24） 式（10- 24）就是全电流连续性方程.
激发磁场，位移电流也激发磁场.虽然两种电流的性质不同，但激发磁
场的性质却完全相同.
引入全电流定律，上述非稳恒电路中的矛盾就得到了解决.穿过图
10-26中以L为边界的曲面S1和S2的电流都应为全电流.在S1处位移电流 几乎为零，只剩下传导电流；而在S2处不存在传导电流，只有位移电 =I全=I
麦克斯韦方程组
图10- 27 电容器充、放电电路
麦克斯韦方程组
由此可见，导线中的传导电流I虽然在电容器极 板间中断了，可以替换它，可以等价地替换传导电 流密度j.若将电流的概念扩大，那么就解决了图1026所示电路中电流的连续性问题.
麦克斯韦提出，就电流的磁效应而言，变化的 电场也应该是一种电流.这种电流密度与电位移矢量 相联系，所以称为位移电流.
麦克斯韦方程组
在复数形式的电磁场定律中，由于复数场量和源量都只是空间位置的函数，在求解时，不必 再考虑它们与时间的依赖关系。因此，对讨论正弦时变场来说面采用复数形式的电磁场定律 是较为方便的。 注记 采用不同的单位制，麦克斯韦方程组的形式会稍微有所改变，大致形式仍旧相同，只是不同 的常数会出现在方程内部不同位置。 国际单位制是最常使用的单位制，整个工程学领域都采用这种单位制，大多数化学家也都使 用这种单位制，大学物理教科书几乎都采用这种单位制。其它常用的单位制有高斯单位制、 洛伦兹-赫维赛德单位制（Lorentz-Heavisideunits）和普朗克单位制。由厘米-克-秒制衍生 的高斯单位制，比较适合于教学用途，能够使得方程看起来更简单、更易懂。洛伦兹-赫维 赛德单位制也是衍生于厘米-克-秒制，主要用于粒子物理学；普朗克单位制是一种自然单位 制，其单位都是根据自然的性质定义，不是由人为设定。普朗克单位制是研究理论物理学非 常有用的工具，能够给出很大的启示。在本页里，除非特别说明，所有方程都采用国际单位 制。 这里展示出麦克斯韦方程组的两种等价表述。第一种表述如下：
注意： (1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程组有同样的形式。 (2)应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。例如在均匀各向同 性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系：
在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。在利用 t=0时场量的初值条件， 原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即 E(x,y,z,t)和 B(x,y,z,t)。
1855年至 1865年，麦克斯韦在全面地审视了库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的 基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。 方程组成 麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的：[1] 高斯定律：该定律描述电场与空间中电荷分布的关系。电场线开始于正电荷，终止于负电荷。 计算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即其电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。 更详细地说，这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。 高斯磁定律：该定律表明，磁单极子实际上并不存在。所以，没有孤立磁荷，磁场线没有初 始点，也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。换句话说，进入任何区域的磁场 线，必需从那区域离开。以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，或者，磁场是一个 无源场。 法拉第感应定律：该定律描述时变磁场怎样感应出电场。电磁感应是制造许多发电机的理论 基础。例如，一块旋转的条形磁铁会产生时变磁场，这又接下来会生成电场，使得邻近的闭 合电路因而感应出电流。 麦克斯韦-安培定律：该定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠传导电流（原本的 安培定律），另一种是靠时变电场，或称位移电流（麦克斯韦修正项）。 在电磁学里，麦克斯韦修正项意味着时变电场可以生成磁场，而由于法拉第感应定律，时变 磁场又可以生成电场。这样，两个方程在理论上允许自我维持的电磁波传播于空间。 麦克斯韦电磁场理论的要点可以归结为： ①几分立的带电体或电流，它们之间的一切电的及磁的作用都是通过它们之间的中间区域传 递的，不论中间区域是真空还是实体物质。 ②电能或磁能不仅存在于带电体、磁化体或带电流物体中，其大部分分布在周围的电磁场中。 ③导体构成的电路若有中断处，电路中的传导电流将由电介质中的位移电流补偿贯通，即全 电流连续。且位移电流与其所产生的磁场的关系与传导电流的相同。 ④磁通量既无始点又无终点，即不存在磁荷。 ⑤光波也是电磁波。 麦克斯韦方程组有两种表达方式。 1.积分形式的麦克斯韦方程组是描述电磁场在某一体积或某一面积内的数学模型。表达式 为：
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限定形式的麦克斯韦方程
D H J t B E t B 0 D
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E H E t H E t （理想媒质） H 0 E
与闭合线铰链的只有导线中的传导电流 ic CU m cos(t )，故得：
2πrH CU m cos(t )
CU m H e H e cos(t ) 2πr
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
10
例 2.6.2 在无源 ( J 0、 0) 的电介质 ( 0) 中，若已知 电场强度矢量 E ex Em cos(t kz ) V/m ，式中的E0为振幅、ω为角 频率、k 为相位常数。试确定 k 与 ω 之间所满足的关系，并求出 与 E 相应的其它场矢量。 解： E 是电磁场的场矢量，应满足限定形式的 ME。因此， 利用 ME 可以确定 k 与ω 之间所满足的关系，以及与 E 相应的 其它场矢量。
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
11
B = H
H ey
kEm
cos( t kz)
D E
D e xE m cos( t kz )
以上各个场矢量都应满足 ME ，则： H D t ex ey ez H y k 2 Em H ex ex sin( t kz ) x y z z Hx H y Hz
J 0, 0
两个方程的右边相差一个负号， 而正是这个负号使得电场和磁 场构成一个相互激励又相互制 约的关系。当磁场减小时，电
场的旋涡源为正，电场将增大；
而当电场增大时，使磁场增大，
磁场增大反过来又使电场减小。
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
7
小结： 麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象。
（ME Ⅰ） （ME Ⅱ） （ME Ⅲ） （ME Ⅳ）
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
3
2.6.2 非限定形式麦克斯韦方程组（微分形式）
D H J t E B t B 0 D
麦克斯韦方程组 时变场
0 t
静态场
0 t
迅变场
B 0 t
缓变场
D 0 t
电磁场 (EM)
准静电场 (EQS)
准静磁场 (MQS)
静电场 (ES)
恒定电场 (SS)
静磁场 (MS)
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
8
例 2.6.1 正弦交流电压源 u U m sin t 连接到平行板电容器 的两个极板上，如图所示。(1) 证明电容器两极板间的位移电流 与连接导线中的传导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为r 处的磁场强度。 解：( 1 ) 导线中的传导电流为
du d ic C = C [U m sin(t )] dt dt CU m cos(t )
忽略边缘效应时，间距为d 的两平行板 之间的电场为 E = u / d ，则：
ic
r C
u
P
平行板电容器与交 流电压源相接
D E
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U m sin(t )
d
电磁场与电磁波
第2章
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
2
2.6.1 非限定形式麦克斯韦方程组（积分形式）
D ) dS C H dl S (J t B dS C E dl S t S B dS 0 S D dS V ρdV
B E (ex ey ez ) ex Ex t x y z Ex e y ey Em cos(t kz ) ey kEm sin(t kz ) z z
积分得： B
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kEm B t dt ey cos(t kz )
Dx D ex ex Em sin( t kz ) t t
k 2 Em
Em
k
2 2
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（ME Ⅰ）表明真实的电流和变化 的电场都能产生磁场 （ME Ⅱ）表明变化的磁场产生电场 （ME Ⅲ）表明磁场是无源场， 磁感线总是闭合曲线磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
4
2.6.3 媒质的本构关系
理想媒质（均匀、线性、各向同性媒质）的本构关系为： D E B H J E 代入麦克斯韦方程组中可得：
电磁场的基本规律
9
则极板间的位移电流为:
D id J d dS dS S S t U m cos(t ) S0 CU m cos(t ) ic d
式中的S0为极板的面积，而
S0
d
C
( 2 ) 由导线本身的轴对称性，则：
C
H dl 2πrH i ic
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
5
时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变 磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和 磁场互为激发源，相互激发。 时变电磁场的电场和磁场不
再相互独立，而是相互关联，
构成一个整体 —— 电磁场。 电场和磁场分别是电磁场的
两个分量。
在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密 度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形 成电磁振荡并传播，这就是电磁波。
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
1
2.6 麦克斯韦方程组（Maxwell’s Equation, ME） 麦克斯韦方程组 —— 宏观电磁现象所遵循的基本规律，
是电磁场的基本方程。
本节内容
2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式 2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式 2.6.3 媒质的本构关系
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
6
在理想介质（不导电）、无源空间中
， 为常数， 0
限定形式的麦克斯韦方程
D E H t t B H E t t H 0 E 0