第2节 行列式的性质
线性代数1.2行列式的性质
如 1 6 7
1 9 7
137
5 7 3 5 1 3 5 6 3
2 3 9 2 4 9 2 1 9
性质5 将行列式的某一行(列)所有元素的 k倍加到另一行
(列)的对应元素上,行列式的值不变,即:
a11 a12 a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 ain k
ai1
ai 2
ain
aj 1 aj 2 ajn
例1计算 阶行列式
3
4 1 2
D
15 2
12 0
9 12 1 1
1 20 3 3
解：注意到行列式第2列元素都有因数4，可将其提出来。
3 1 1 2
3 1 1 2
D
4 15 2
3 0
9 1
12 1
4
3 5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
1 5 3 3
将行列式化成上三角型行列式过程中我们希望第1行、第1列
ipj
jpi
npn
p1pi pj pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
p1pj pi pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
D
p1pj pi pn
证毕。
推论1 若行列式的两行(列)的对应元素相同,则行列式为零.
第二节 行列式的性质
一 行列式的性质
在计算行列式的时候,一般都不会直接使用定义,通常会 将行列式进行一些变换,化成容易看出结果的形态,此节就是 讨论行列式的变换遵循什么法则.
线性代数之行列式的性质及计算
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质考虑111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =将它的行依次变为相应的列，得称T D 为D 的转置行列式 .性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）事实上，若记111212122212n n T n n nnb b b b b b D b b b =则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔)或两列(i j c c ↔)，行列式变号.例如 123123086351.351086=- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即11121112212n i i i i in in n n nna a a ab a b a b a a a +++=111211212n i i in n n nna a a a a a a a a +111211212n i i in n n nna a ab b b a a a . 证: 由行列式定义性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i jr kr D D +=，即计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式解: 211231231232123223240188(1)3234086204250425r r r r r r D +↔-----=------=43324130858412321232018801880058620058621430303729r r r r r r -++------==143[1(1)58]28629=-⨯-⨯⨯=. 41212,3,4666611111111131113110200(2)66113111310020111311130002ii i r r r r i D=+-=∑===6(1222)48=⨯⨯⨯⨯=.此方法称为归边法. 例2: 计算n 阶行列式 解: (1)1112132,3,1111100000i r r ni nna a a D a a a a -=+---=221111111001001nna a a a a -=+-(箭形行列式)(2) 注意到行列式各行元素之和等于(1)x n a +-,有12,3,,100[(1)]i r r i na a x a x n a x a-=-+--=1[(1)]()n x n a x a -=+--.例3: 设111111111111,kk kk k n n nkn nna a a a D c cb bc c b b =11111,kk kka a D a a =11121,nn nnb b D b b =证明:12.D D D =证: 对1D 作行运算i j r kr +, 把1D 化为下三角形行列式: 对2D 作列运算i j c kc +, 把2D 化为下三角形行列式:先对D 的前k k 行作行运算i j r kr +, 然后对D 的后n 列作列运算i j c kc +, 把D 化为下三角形行列式: 故, 111112.kk nn D p p q q D D =⋅=.思考练习 1.计算行列式2.证明1111111112222222222a bb c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++ 3. 证明4.计算行列式2324323631063a b c d a a b a b ca b c dD a a b a b ca b c da ab a bc a b c d++++++=++++++++++++答案2.左边=21111111111111222222222222c c a bb c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a -++++-++++=+-+++++-+2312121111111222222222c c c c c c a b a c b a c a b a c b a c a b a c b a c -+↔+--=+-=-=+--1112222a b c a b c a b c . 3. 证(1)左边111111111abcdef -=--213111102020r r r r abcdef ++-=23111020002r r abcdef ↔-=-4.abcdef = (2)左边12222,3,42214469214469214469214469i c c i a a a a b b b b cc c cd d d d -=++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b cc d d --++==++=右边 4. 解: 从第4行开始，后行减前行得， §2.2 行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个n －1阶行列式来计算？ 一、余子式与代数余子式定义：在n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的元素按原来的顺序构成的1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ；而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.例如 三阶行列式 111213212223313232a a a a a a a a a 中元素ij a 的余子式为1112233132aa M a a =元素23a 的代数余子式为23232323(1)A M M +=-=-四阶行列式1011025112331x ---中元素x 的代数余子式为3232111(1)0515001A +-=--= 二、行列式按行（列）展开定理 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即证 （1）元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;此时 11212221200n n n nna a a a D a a a =1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）111110j n ij n njnna a a a D a a a = 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行; 将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地1122j j j j nj nj D a A a A a A =++同理有.推论 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即 证 考虑辅助行列式1122).t j t j t nj nt a A a A a A j t =++≠按第列展（该行列式中有两列对应元素相等.而10D =，所以1122)0j t j t nj nt a A a A a A j t ++≠=（.关于代数余子式的重要性质在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n 阶行列式换成n 个（n －1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的. 三、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.计算行列式常用方法：化零，展开.例4: 计算四阶行列式123410123110125D =---.解: 31412122210031461217c c c c D-------=()22122211146217+=⨯------按第行展()()122(1)111121146217r r ÷÷--⨯⨯---=1112146217=--21311002135239c c c c ----=()113521139+=⨯⨯---按第1行展3522439==---.例5 已知4阶行列式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.304222207001111=---3407222111=--34014111002=342811=28=-. 例6: 计算n 阶行列式 解：11111212111(1)nn n D a A a A a A =++按第列展1(1)n n n x y +=+-.1110000200(1)(1)!00200001n n nn n n ++=-=---.例7: 计算四阶行列式4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.解: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a b D a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-, 对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得22[()()]a b a b D a b a b a b a b+-=+---+4222a b =.例8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde )12111112111()(2)nn i j j i nn n n nx x x D x x n x x x ≤<≤---==-≥∏,其中1()i j j i nx x ≤<≤-∏表示所有可能的())i j x x j i -<（的乘积. 证: (用数学归纳法)2n =时,2211211,D x x x x ==-结论正确; 假设对n -11n -范得蒙行列式结论成立，以下考虑n 阶情形.112()nii x x ==-∏按第列展提取公因子2322223111nn n n nx x x x x x ---1()i j j i nx x ≤<≤=-∏.例9 用范德蒙行列式计算4阶行列式解 ：对照范德蒙行列式，此处12344,3,7,5x x x x ====- 所以有(34)(74)(54)(73)(53)(57)10368 =----⋅---⋅--=. 第三环节：课堂练习练习:已知4阶行列式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.iA i=的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.它是D中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有。
第二节 行列式的性质
推论(零性) 如果行列式有两行(列)的对应元素成比 例, 则行列式的值等于零.
记法 第s行乘以k： krs 第s列乘以k:
kcs
5
性质4（可加性）若行列式的某一列(行)的元素都是 两数之和. a a (a a ) a
11 12 1i 1i 1n
例如
D
a 21 a n1
a 22
b3
bn 1
解 将第1行加到第2行，所得新的第2行加到第3行， … ，所得新的第行加到第行，得
b1 0 D 0 0 0 0 b2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 bn 0 1 2 3 n n 1
20
b3
(n 1)b1b2 bn
DT=D
2
证明：
D
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann 设 D
T
b11 b12 b1n b21 b22 b2 n bn1 bn 2 bnn
则 bij a ji 由行列式定义
( i , j 1,2,, n)
3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下 的低一阶行列式； 4、依次作下去，直到使它成为上三角行列式。
13
注： 上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法， 要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次 运算是作用在前一次运算结果上。
例如：
a
b
c d a b
r1 r2 r2 r1
ac bd c a d b
a1n atn ann a1 n atn ann
8
a s 2 kat 2 a sn katn
第2讲 1.3行列式的性质 1.4行列式按行(列)展开
7 15 6 6 2. 5 38
记 交换 i、j 两行： ri rj ；交换i、j两列： ci c j
推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行
列式为零
证明 把相同的两行互换，有D＝－D，所以 D=0
性质3 用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等
于用数 k 乘此行列式
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n
即 kas1 kas2
kasn k as1 as 2
asn
an1
an2
ann
an1 an2
ann
记 第 i 行乘以 k：kri；第j列乘以 k: kcj 推论1 若行列式D中某一行（列）的所有元素均为零，
则D=0.
推论2 行列式的某一行（列）中所有元素的公 因子 可以提到行列式符号的外面．
a 3a b 6a 3b c
d abcd 4a 3b 2c d 10a 6b 3c d
解 从第 4 行开始，后行减前行得，
r4 r3 a b
c
d
r3 r2 0 a a b a b c
r2 r1
D
0
a
2a b
3a 2b c
0 a 3a b 6a 3b c
r4 r3 a b c
a11 a12 a1n
s ai1 ai2 ain
s ai1 ai2 ain
t
k
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
0.
t
an1 an2 ann
an1 an2 ann
例1 设
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
a21 a22 a23 1, 求 3a21 a22
1.2行列式性质
a13 a23 12 a33
a23 a33 3 a21 a33 a31
1
0 2
0 1 2
100 298
100 0 200 1 300 2
例2
计算行列式 2 1 199
3
1 2 3 0 1 2 100 1 199 2 298 3
解
1 2 3
0 1 2
100 1 200 2 300 3
D T 称为D的转置行列式。从而有 D D T
这条性质说明行列式的行和列的地位是相同的。也就 是说，对“行”成立的性质，对于“列”成立的
性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。即
r r i j
D
c c i j
D,
则D D
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等 于零。 性质3 行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以数k 得到行列式D1，等于数k乘以此行列式。即
0 an
例6 设
a11 11 ak 1 k1 c11 c n1
这是用两条线将行列式分成四 块了，其中一块为0，与0不在 同一对角线上的两块必须方块
D
a1 k akk kk c1 k c nk
0
c11 c n1 b11 11 bn1 bn1
0
解
b a Dn a a
a b a a
a a a a a b a a
a b a a
a a a b
a a a a
c1 c2 cn
b (n 1)a a a a a b (n 1)a b a a a b (n 1)a a a b a b (n 1)a a a a b
1-2行列式的性质
a1 b3 a 2 b3 0. a 3 b3
1.解 互换行列式D第1行、第4行(r1←→r4)得
0 0 D 0 1
0 0 2 3 0 3 2 3
4 1 2 4 0 2 4 0 0 4 0 0
3 3 3 0
4 4 = −24. 4 4
2. 解
1 2 2 2
2 2 2 2
2 2 3 2
c2 c 1 c3
d2 d 1 d3
.
性质 2 的证明 设行列式 D = det (aij ) 互换第 i , j ( i＜ j ) 两行,得行列式
b11
b12 b1n
b21 b22 b2 n D1 , bn1 bn 2 bnn
其中，当 k≠ i , j 时, bkp = akp ;当 k = i , j 时，bip = ajp,, bjp = aip , 于是 t( p p p p ) 1 i j n b1 p1 bipi b jp j bnp n ( 1 ) D1
1 0 6 0 0
r4+3r3
0 1 2 1 1 1 0 1 3 0 3 5
1 0 0
2 1 3 4
24
例 9 计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
b c d a ab abc a4 0 a 2a b 0 0 a
例 10 计算行列式
a x D x x
解
x a x x
x x a x
x x x a
各行都加到第一行，
a 3x x D x x
华中科技大学线性代数第二节行列式的性质
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
命题得证
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
n
（列）
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
n
n
D a1 j A1 j a2 j A2 j
因此
anj Anj akj Akj
k 1
n i 1
k 1
n
k 1
nD
j 1
T
n
T a A kj kj nD
n
k 1
a
k 1
n
ik
Aik
nD nD
即结论成立
注：行列式中的行与列的地位是平等的。（对行 成立的性质，同样对列成立）
例6
计算范德蒙德(Vander monde)行列式
1 x1 2 Dn x1
n 1 x1
1 x2 2 x2
n 1 x2
1 xn 2 xn
n 1 xn
解
将前一行乘以 x加到下一行上 1
1 1 x2 x1 x2 ( x2 x1 )
n 2 x2 ( x2 x1 )
（从下往上）
1 xn x1 xn ( xn x1 )
设原n阶行列式为D, D1为交换D的第i行与第j行之后的 行列式，由于n>2，故除了交换的第i行与第j行，还有 一个第k行，分别对D1和D按第k行展开：
D1 1 D 1
k 1
ak1 M k1 1 ak1 M k1 1
0102行列式的基本性质与计算
i 2, , n
0
n1
0
xa
x ( n 1)a x a
x a1 例4 D a1 a1 x
ri r1
a2 x a2 a2
a3 an a3 an x an . a3 a2 x a2 0 0 x a3 an 0 0 x an 0 x a3 0
ann 0
ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n 1i j aij M ij . anj a n , j 1 ann
即 D aij Aij .
所以命题得证
行列式按行（列）展开法则 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2,, n
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj AnjBiblioteka j 1, 2, , n
证 利用行列式的性质四--拆分原理有 a11 a12 a1n D ai 1 0 0 0 ai 2 0 0 0 ain a n1 an 2 ann
计算行列式技巧：
1、分析，探求行列式的结构
2、化零，尽可能把行列式化为爪型
3、对角化 1 ，边化 1 4、靠边，把行列式化为三角形行列式 5、求出行列式 6、整理思路
（二） 行列式按行(列)展开
行列式按行（列）展开 范德蒙(Yandermonde)行列式
行列式按行（列）展开法则 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即
3
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DT=D
证略.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式 的性质凡是对“行”成立的对“列”也同样成立.
2
性质2
交换行列式的两行(列),行列式的值反号. 证略.
例如
1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8, 3 5 8 6 6 2
1 7 6 6 3 5
7 1 5 2 6 6 2. 5 3 8 8
1 an
1 a2 1 1 a2 1 a2 1 an 1 an 1 1 an
12
解
1 1 a1 1 原 式 a1 an a1 1 a1
1 1 a1 1 原 式 a1 an a1 1 a1
1 1 i 1 a i n 1 a1 a n 1 a i 1 i n 1 1 i 1 a i
证
由性质4和性质3的推论， a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n a 21 (a 2 i ka2 j ) a 2 j a 2 j a n1 (a ni kanj ) a nj a nj
a11 ka1 j a1 j a1n a 21 ka2 j a 2 j a 2 j anj anj an1 kanj
1 an 1 an 1 1 an
1
n
1 0 a1 an (1 ) i 1 a i 0 0 1
1 a2 1
1 an 0
第 二 行 开 始 每 行 减 去 第 一 行
1 a1 an (1 ) . i 1 a i
n
14
例4 计算 n 阶行列式
5
a11 D bi 1 ci 1 a n1
则
a12
a1n
பைடு நூலகம்
bi 2 ci 2 bin cin an 2 a1n a11 ann a12 ci 2 a1n cin 证略.
a11 D bi 1 a n1
a12 bi 2
bin ci 1 a n1
a n 2 a nn
a n 2 a nn
6
注意: 每次只能拆一行或一列.
性质5
把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数
k后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
a11 a1i
例如
a1 j
a1 n
a 21 a 2 i a n1 a ni
17
a1 b1 c1 c1
a1 b1 c1 a1
b1 b1 c1 a1
b1 c1 c1 a1
a2 b2 c2 c2 a 2 b2 c2 a 2 b2 b2 c2 a2 b2 c2 c2 a2 a3 b3 c3 c3 a 3 b3 c3 a 3 b3 b3 c3 a3 b3 c3 c3 a3
例5
证明 a1 b1 a 2 b2 a 3 b3
由性质4，
a1 a3
b1 c1 b2 c2 b3 c3
c1 a1
a1
b1 b2 b3
c1 c2 c3
c2 a2 2 a2 c3 a3 a3
b1 b3 b1 c1 b3 c3
证
b1 c1 b3 c3
1 1 0 2 0 1 1 2 4 0 0 2 4 0 2 0 0
利用行列式的性质，把行列式化为上三角形行列 式并求值，这是计算行列式的基本方法之一.
11
例3 计算n阶行列式
1 a1 1 1 1 1 1
(ai 0 , i 1,2,, n)
1 a2 1
b a
a b
a a
a a
D a a b a . a a a b
n
解
将第 2,3,, n 列都加到第一列得
b ( n 1)a b ( n 1)a
D b ( n 1)a
a b
a a
a a
b ( n 1)a
a b a a a b
解
2 1 2 r3 r1 0 0 0 r4 2r1 0 0
1 1 2 3 1 4
10
1 1 0 2 1 1 0 0 1 1 2 r3 r2 0 1 1 0 1 1 2 r4 3r2 0 0 2 0 3 1 4 0 0 2
2 2
4 2
r4 r3
n
15
1 1
a b
a a
a a
第二行开始每 行减去第一行
n
[b ( n 1)a ] 1 a b a 1 a a b
1 [ b ( n 1) a ]
a ba
a ba
a
O
ba n
16
O
[b (n 1)a](b a)n1 .
性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和， 则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一 行(列) 的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行 (列)的元素与原行列式相同.即如果
a11 D bi 1 ci 1 a n1
a12
a1n
bi 2 ci 2 bin cin an 2 ann
a11 a1i a1 j a1n a21 a2 i a2 j a2 j an1 ani anj anj
D0
D
8
二、利用行列式性质计算行列式
例1 计算行列式
103 100 4 D 199 200 5 301 300 0
解
3
100
n
1 a2 1 1 a2 1 a2
1 a2 1 1 a2 1 a2
1 an 1 an 1 1 an
1 an 1 an 1 1 an
第 一 列 加 上 其 余 各 列
13
1
n
1 a2
1 1 1 1 a1 a n (1 ) a2 ai i 1 1 1 a2
第二节
一、行列式的性质
a11 a21 a11 a12 a1n a12 a22 a21 a22 a2 n T 记 D ， D a1n a2 n an1 an 2 ann
行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即
T
a n1 an 2 ann
由性质2推论，第二、第三个行列式的值为0；
再由性质4，把第一、第四个行列式分别拆成两个行列 式之和并化简后，
a1 a3 b1 b3 c1 c3 b1 b3 c1 c3 a1 a3
a1 a3 b1 b3 c1 c3
18
上式 a 2 b2 c 2 b2 c 2 a 2 2 a 2 b2 c2 .
练习：
P28 习题一
19
a11
a2 j a2 j k a nj a nj
列 column 行 row
a1 n a nj
7
(a1i ka1 j ) a1 j (a ni kanj ) a nj
ci kc j
a 21 (a 2 i ka2 j ) a 2 j a 2 j a n1
4
3
1
4
D 1 200 5 100 1 2 5 2000 1 300 0 1 3 0
9
例2
计算行列式
0 1 1 1 1 0 D 1 2 1 2 1 1 2 2 0 0 1 0 1 1 2 2
1 1 0 0 1 1 r2 r1 D 1 2 1 2 1 1
5
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列 式的值为零. 证明 互换相同的两行，有 D D,
D 0.
3
性质3
行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以
同一数k，等于用数k乘此行列式, 即 a11 a12 a1n a11 a12 a1n 证略. kai 1 kai 2 kain k a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素若有公因子, 可 以提到行列式符号的外面． 推论2 如果行列式有一行(列)的元素全为零, 则行列式 的值等于零. 推论3 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例, 则行 4 列式的值等于零.
c1 a1 c3 a 3
c1 a1 c3 a3
上式左边 a2 b2 c2 c2 a2 b2 b2 c2 c2 a2
a1 b1 c1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 b1 c1 a1 b1 c1 c1 a1
a2 b2 c2 c2 a 2 b2 c2 a 2 b2 b2 c2 a2 b2 c2 c2 a2 a3 b3 c3 c3 a 3 b3 c3 a 3 b3 b3 c3 a3 b3 c3 c3 a3