数学习题与定理

二
函数极限 函数极限的六种形式：
1 定义
x → x0
(1) lim f ( x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 < x − x0 < δ 时，有 f ( x) − A < ε .
f ( x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 < x − x 0 < δ 时，有 f ( x) − A < ε . (2) lim +
x → x0
(3) lim f ( x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 − δ < x − x 0 < 0 时，有 f ( x) − A < ε . −
x → x0
(4) lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x > M 时，有 f ( x) − A < ε .
A ≤ B.
2）若 A < B ，则 ∃δ > 0 ，当 x ∈ U 0 ( x 0 , δ ) 时，有 f ( x ) < g ( x ) . 性质 5（迫敛性）若 lim f ( x) = lim g ( x) = A ，且存在 x0 的某去心邻域 U 0 ( x 0 , δ ) ，
x → x0 x → x0
3
f ( x ′) − f ( x ′′) < ε .
性质 7（海涅（Heine）定理）设函数 f ( x ) 在 x 0 的某去心邻域 U 0 ( x 0 , δ ) 内有定义，则 极 限 lim f ( x) 存 在 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 对 任 意 满 足 条 件 lim x n = x 0 , x n ∈ U 0 ( x 0 , δ )
xห้องสมุดไป่ตู้→ x0 x → x0
lim f ( g ( x)) = A .
性质 11
定理 3（
Stolze 定理
∞ ） 设函数 f ( x), g ( x) 在 [ a, + ∞) 有定义，且存在正数 T，满足： ∞
（1） g ( x + T ) > g ( x), ∀x ≥ a ； （2） f ( x), g ( x) 在 [ a, + ∞) 内闭有界，且 g ( x ) → +∞( x → +∞) ；
以上给出了极限为有限值情形下的 6 种定义。当极限为无穷时，相应的定义为（仅以一 种类型极限为例，读者可类似给出其余定义）： (7) lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N > 0, 当 x > N 时，有 f ( x) > M .
x →∞
(8) lim f ( x ) = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N > 0, 当 x > N 时，有 f ( x ) > M .
使得 ∀x ∈ U 0 ( x 0 , δ ) 时，有 f ( x ) ≤ h( x ) ≤ g ( x ) ，则
x → x0
lim h( x) = A .
性质 6（柯西收敛准则）设函数 f ( x ) 在 x 0 的某去心邻域 U 0 ( x 0 , δ ) 内有定义，则极限
x → x0
lim f ( x) 存在的充分必要条件是： ∀ε > 0, ∃0 < δ ′ < δ , ∀x ′, x ′′ ∈ U 0 ( x 0 , δ ′) ，有
n→∞
中的有限项.
3 性质
性质 1（唯一性）收敛数列的极限是唯一的。 性质 2（有界性） 收敛数列必有界。 性质 3（保号性） 若 lim a n = a > 0 ，则 ∃N > 0 ，当 n > N 时，有 a n > 0 .
n →∞
性质 4 （保不等式性）设 {a n } 与 {bn } 均为数列 . 若存在正数 N 0 ，使得当 n > N 0 时有
（1） 0 < g ( x + T ) < g ( x), ∀x ≥ a ；
4
（2） lim f ( x) = lim g ( x) = 0 ；
x → +∞ x → +∞
⎧a， f ( x + T ) − f ( x) ⎪ （3） lim = ⎨+ ∞， x → +∞ g ( x + T ) − g ( x ) ⎪− ∞， ⎩ ⎧a， f ( x) ⎪ 则 lim = ⎨+ ∞， x → +∞ g ( x) ⎪− ∞. ⎩
特别地，若函数以零为极限，则称之为该情形下的无穷小量.理解无穷小量阶的比较的定 义及其意义，掌握等价无穷小量在极限计算中的应用，熟记常用的等价无穷小量：当 x → 0 时，
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x) ~ e x − 1 ， 1 − cos x ~ x2 , (1 + x) α ~ αx, a x − 1 ~ x ln a . 2
a n ≤ bn ，则 lim a n ≤ lim bn .
n→∞ n→∞
性质 5 改变数列的有限项不改变数列的敛散性，且不改变收敛数列的极限。 性质 6（迫敛性） 设收敛数列 {a n } 与 {bn } 均以 a 为极限，数列 {c n } 满足： ∃N > 0 ，当
n > N 时，有 a n ≤ c n ≤ bn ，则数列 {c n } 收敛，且 lim c n = a .
x1 + x 2 + n
注意到 x1 − A +
n →∞
性质 7 （柯西收敛准则）数列 {a n } 收敛的充要条件是： ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n, m > N
1
时有 a n − a m < ε 。 性质 8 数列 {a n } 收敛的充要条件是： {a n } 的任何非平凡子列都收敛。 性质 9（致密性定理）有界数列必有收敛子列。 性质 10 任何数列必有单调子列。 性质 11（单调有界定理）在实数系中，单调有界数列必收敛，且单增（减）数列收敛到 该数列的上（下）确界。 性质 12 收敛数列的四则运算法则。 性质 13 数列 ⎨(1 + 性质 14 Stolz 定理 定理 1（
x →∞
(9) lim f ( x) = −∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N > 0, 当 x > N 时，有 f ( x ) < − M .
x →∞
2 性质（仅以 x → x0 为例） 性质 1（唯一性）若极限存在，则必是唯一的。 性质 2（局部有界性）若极限存在，则存在 x 0 的某去心邻域，使得 f ( x ) 在其内有界。 性 质 3 （ 局 部 保 号 性 ） 若 lim f ( x) = A > 0 , 则 ∀ 0 < r < A , ∃δ > 0 ， 当
1 定义 设 {a n } 为数列， a 为定数. 若 ∀ε > 0, ∃N > 0 ，使得当 n > N 时有
an − a < ε ，
则称数列 {a n } 收敛于 a，a 称为数列 {a n } 的极限，并记作
lim a n = a .
n→∞
2 几何意义： lim a n = a 的充要条件是： ∀ε > 0 ，邻域 U ( a,ε ) 之外至多含有数列 {a n }
x → x0
n →∞
( n = 1,2, ) 的数列 {x n } ，极限 lim f ( x n ) 存在且相等.
n→∞
0 0 性质 8（单调有界定理）若函数 f ( x ) 是定义在 U + ( x 0 ) （或 U + ( x 0 ) ）内的单调有界函
数，则极限 lim f ( x) （或 lim− f ( x) ）存在. +
⎧ ⎩
1 n +1 ⎫ 1 n⎫ ⎧ 严格单增收敛于 e, ⎨(1 + ) ⎬ 严格单减收敛收敛于 e. n) ⎬ n ⎩ ⎭ ⎭
∞ ） 设数列 x n 严格单调递增，且 lim x n = +∞ . 若 ∞ n →∞
⎧a， ⎧a， y n +1 − y n ⎪ yn ⎪ lim = ⎨+ ∞， 则 lim = ⎨ + ∞， n →∞ x n →∞ x n +1 − x n n ⎪ − ∞， ⎪− ∞. ⎩ ⎩
x →∞
(5). lim f ( x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x > M 时，有 f ( x) − A < ε .
x → +∞
(6) lim f ( x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x < − M 时，有 f ( x) − A < ε .
x → −∞
2
x → x0 x → x0
性质 9（极限的四则运算法则）设 lim f ( x) = A ， lim g ( x) = B ，则函数 f ± g , fg 在
x → x0 x → x0
x → x0 时极限存在，且.
x → x0
lim ( f ( x) ± g ( x)) = A ± B, lim ( f ( x) g ( x)) = AB.
⎧a， f ( x + T ) − f ( x) ⎪ （3） lim = ⎨+ ∞， x → +∞ g ( x + T ) − g ( x ) ⎪− ∞， ⎩ ⎧a， f ( x) ⎪ 则 lim = ⎨+ ∞， x → +∞ g ( x) ⎪− ∞. ⎩
定理 4（
0 ） 设函数 f ( x), g ( x) 在 [ a, + ∞) 有定义，且存在正数 T，满足： 0