第73讲 轨迹问题

第73讲轨迹问题【考点解读】1.了解曲线与方程的关系，2．掌握求动点轨迹的基本思路和常用方法3.培养用坐标法解题的思想【知识扫描】1.曲线与方程的关系一般的，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点均是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求轨迹方程的基本思路(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）坐标为M(x,y).(2)写出动点M所满足的几何条件的集合.(3)将动点M的坐标代入几何条件,列出关于动点坐标的方程f(x,y)=0.(4)化简方程f(x,y)＝0为最简形式.(5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件.注意：第（2）步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第（5）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）x、y的取值范围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）.3.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x,y的等式就得到曲线的轨迹方程；(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的定义,则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动，如果相关点P满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；(4)参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程；(5)交轨法：在求两动曲线交点的轨迹问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨迹方程，再联立方程，通过解方程组消去参变量，直接得到x ,y 的关系式.【考计点拨】1.方程1x -=表示的曲线是（ ）A ．一个圆 B. 两个圆 C. 半个圆 D. 两个半圆 【答案】D 2.已知椭圆 =1的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 为椭圆上一动点,延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,则动点Q 的轨迹方程是 .【答案】()224100x y ++=3.ABC ∆的两个顶点B （-2，0），C （2，0），顶点A 在抛物线21y x =+上移动，则ABC ∆ 的重心的轨迹方程为 .【解析】设ABC ∆的重心G 为(x, y), A(x 0, y 0) 则由重心坐标公式有x= 0223x -++,y=003y ++即x 0 = 3x, y 0 = 3y ∵顶点A 在抛物线21y x =+上移动 ∴2001y x =+ ⇔ 3y = (3x)2 +1 ，即2133y x =+∴所求轨迹方程为2133y x =+.4.设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且.PF PM ，MP 2MN ———————→→→→--⊥=当点P 在y 轴上运动时，则N 点的轨迹C 的方程为 【解析】【解】∵→---→---=MP 2MN ，故P 为MN 中点．又∵→---→---⊥PF PM ，P 在y 轴上，F 为（1，0），故M 在x 轴的负方向上，设N （x ，y ）则M （－x ，0），⎪⎭⎫ ⎝⎛2y ,0P ，（x>0），∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=→--→--2y ,1PF ,2y ,x PM ，又∵→---→---⊥PF PM 故,0PF PM =⋅→---→--- 即 ()0x x 4y 04y x 22>=∴=+-是轨迹C 的方程。

5.已知两点()()2,2,0,2P Q -以及一条直线:l y x=，AB 在直线l 上移动，则直线PA 和QB 的交点M【解析】设 则由⇒ b = a+1 直线PA 方程为y – 2 =22(a x a -+直线QB 方程为y – 2 = 2b x b- 22259x y +∴动点M 满足2222221()a y x a b y xb b a -⎧-=+⎪+⎪-⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，消去参数a, b 得222280x y x y -+-+=. 典例分析考点一、用直接法求轨迹方程【例1】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

解：(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA =（-x,-1-y ）, MB=(0,-3-y),AB =(x,-2).再由愿意得知（MA +MB ）• AB=0,即（-x,-4-2y ）• (x,-2)=0.所以曲线C 的方程式为y=14x 2-2. (Ⅱ)设P(x 0,y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点，因为y '=12x,所以l 的斜率为12x 0 因此直线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即200220x x y y x -+-=。

则O 点到l的距离2d =又200124y x =-，所以201412,2x d +==≥当20x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.【变式训练】（2011天津理数18）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．（I ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c -> 由题意，可得212||||,PF F F =2.c =整理得22(10,1cc caa a+-==-得（舍）， 或1.2c a =所以1.2e = （II ）解：由（I）知2,,a c b = 可得椭圆方程为2223412,x y c += 直线PF 2方程为).y x c =-A ，B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得2580.x cx -= 解得1280,.5x x c ==得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设8(,),(0,)55A c cB 设点M的坐标为8(,),(,),(,)5x y AM x c y BM x y =-=则，由),.y x c c x y =-=得于是38,),55AM y x y x =-().BM x = 由2,AM BM ⋅=-即38)()255y x x y x -⋅+=-，化简得218150.x --=将22105,0.16x y c x y c x +===>得所以0.x >因此，点M 的轨迹方程是218150(0).x x --=>考点二、用定义法求轨迹方程【例2】如图，已知圆A ：(x +2)2+y 2=1与点A (-2，0)，B (2，0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程.(1)△PAB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切(P 为动圆圆心)；(3)圆P 与圆A 外切且与直线x =1相切(P 为动圆的圆心).【解析】(1)根据题意，知|PA |+|PB |+|AB |=10，即|PA |+|PB |=6＞4=|AB |,故P 点的轨迹是椭圆，且2a =6,2c =4,即a =3,c =2,因此其方程为 =1(y ≠0). (2)设圆P 的半径为r ，则|PA |=r +1，|PB |=r ，因此|PA |-|PB |=1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支,且2a =1,2c =4,即a = ,c=2,则b 因此其方程为4x2- y 2=1(x ≥ ).(3)依题意知，动点P 到定点A 的距离等于到定直线x =2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p =4.因此其方程为y 2=-8x .【变式训练】在ABC ∆中，BC =24，AC 、AB 边上的中线长之和等于39，求ABC ∆的重心的轨迹方程。

【解析】如图所示，以线段BC 所在直线为x 轴、线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系。

设M 为ABC ∆的重心，BD 是AC 边上的中线，CE 是AB 边上的中线，由重心的性质知||32||BD BM =，2295x y +1241512||32||CE CM =，于是=+||||MC MB ||32BD ||32CE +=|(|32BD |)|CE +=263932=⨯.根据椭圆的定义知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆.=a 2 =+||||MC MB 26，13=∴a ，又24||2==BC c ，12=∴c ，25121322222=-=-=∴c a b ，故所求的椭圆方程为)0(12516922≠=+y y x .考点三、用代入法求轨迹方程【例3】如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。

求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

【解析】：设动点P 的坐标为（x,y ）,点Q 的坐标为（x 1,y 1） 则N （ 2x-x 1,2y-y 1）代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2 ① 又PQ 垂直于直线x+y=2，故111=--x x y y ，即x-y+y 1-x 1=0 ②由①②解方程组得12321,1212311-+=-+=y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y-1=0【变式训练】（2011陕西理数17）如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上一点，且45MD PD =（Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度 解：（Ⅰ）设M 的坐标为（x,y ）P 的坐标为（x p ,y p ）由已知 x p =x 54p y y =∵ P 在圆上， ∴ 225254x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即C 的方程为2212516x y +=（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为45的直线方程为()435y x =-， 设直线与C 的交点为()()1122,,,A x y B x y 将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得 ()22312525x x -+= 即2380x x --= ∴12x x ==∴ 线段AB 的长度为415AB ====考点四、用参数法、点差法求轨迹方程【例4】经过抛物线y 2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于B 、C 两点，求线段BC 的中点M 轨迹方程。