第二节定积分基本定理

= − cos( π − π sin 2 x ) sin x − cos( π sin 2 x ) cos x
= cos( π sin 2 x ) sin x − cos( π sin 2 x ) cos x
= (sin x − cos x ) cos( π sin 2 x )
例3 求 lim 解 lim
是单调增加的。 证明 g ′ ( x )是单调增加的。
∫
a
−a
x − t f (t )dt ,
− a ≤ x ≤ a (a > 0 ).
x a
证 Q g(x ) =
∫
a
−a
x − t f (t )dt =
x −a
∫ ( x − t ) f (t )dt + ∫ (t − x ) f (t )dt
−a x
= f [ β ( x )] β ′( x ) − f [α ( x )]α ′( x )
d x3 3 例1 求 1 + t 2 dt dx ∫1 d x3 3 解 1 + t 2 dt = 3 1 + x 6 ( x 3 )′ = 3 x 2 3 1 + x 6 dx ∫1
d 例2 求 dx
解
∫
∫
a
u
f ( t )dt = − ∫ f ( t )dt
a
d Φ d Φ du = = − f ( u )α ′( x ) = − f [α ( x )]α ′( x ). dx du dx
d β (x) = d a f ( t )dt + β ( x ) f ( t )dt (3) ∫α ( x ) f ( t )dt ∫α ( x ) ∫a dx dx
∫
b
a
f ( x)dx = F (b) − F (a )
积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克· 积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特 弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。 弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本 定理将微分和积分联系在一起，这样， 定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函 就可以方便地计算它在一个区间上的积分。 数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成 为高等数学中最基本的工具， 为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛 运用。 运用。 积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（ 积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条 ）。黎曼的定义运用了极限的概念 黎曼的定义运用了极限的概念， 目黎曼积分）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想 为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起， 为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐 渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说， 渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说， 路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（ 路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间 ），而是一条平面上或空间中的曲线段 在面积积分中， 而是一条平面上或空间中的曲线段； [a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲 线被三维空间中的一个曲面代替。 线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何 中的基本概念。 中的基本概念。 对积分概念的推广来自于物理学的需要， 对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要 的物理定律中，尤其是电动力学。 的物理定律中，尤其是电动力学。现代的积分概念基于抽象代数 主要是由昂利·勒贝格建立的勒贝格积分。 学，主要是由昂利·勒贝格建立的勒贝格积分。
Φ( x) = ∫ f (t)dt (a ≤ x ≤ b)
x a
积分上限函数
定理1 2. 定理1 若 f ( x ) ∈ C [a, b] ⇒ Φ ′( x ) ∃,
d x ′ 且 Φ (x) = ∫ f (t)dt = f (x) (a ≤ x ≤ b) dx a
证 思路： 根据导数的定义， 求增量、算比值、取极限” 根据导数的定义，“求增量、算比值、取极限” 思路： y = f (x) ∀x ∈ (a , b )，使得x + ∆x ∈ (a , b), y 因为 Φ( x + ∆x ) = ∫
(∫
(∫ d (∫ dx
d dx
β ( x)
f ( t )dt = f [ β ( x )]β ′( x )
)
(1)
(2)
(3)
a
α ( x)
f ( t )dt = − f [α ( x )]α ′( x )
)
α( x)
f ( t )dt = f [ β ( x )]β ′( x ) − f [α ( x )]α ′( x )
F ( x ) = Const , x ∈ (− ∞ , +∞ )
f ( x ) = F ( x )e x = F (0 )e x = f (0 )e − 0 e x = 0 , x ∈ (− ∞ , +∞ )
是连续的正函数， 例6 对一切实数 t , 函数 f 这段路程又是位置函数s (t )在区 间[t1 , t 2 ]上的增量
s (t 2 ) − s(t1 )
所以
∫
t2
t1
v(t )dt = s (t 2 ) − s (t1 )
注意到s ' (t ) = v(t )，即位置函数s (t )是速度 函数v(t )的原函数。
猜想：设F ( x)是f ( x)在区间[a, b]上的原函 数, 则
x2
'
( )
e
− cos 2 x
2
sin x 1 ⋅ = x 2e
例5 设 f ( x ) ∈ C [0 , +∞ ), f ( x ) > 0 , 求证
F (x) =
∫ ∫
x
0 x 0
tf ( t ) dt f ( t ) dt
内是单调增加函数。 在 (0,+∞)内是单调增加函数。
证 只要证 F ′( x ) > 0 即可。 即可。
a
=∫
又 g ′′ ( x ) = f ( x ) + f ( x ) = 2 f ( x ) > 0
∴ g ′ ( x )是单调增加的。 是单调增加的。
−a
f (t )dt − ∫ f (t )dt
a x
例7 设 f ( x )在
x−a 证明在 (a, b ) 内有 F ′( x ) ≤ 0.
一、积分上限函数及其导数
1. 定义 设
f ( x ) ∈ C [a , b], ∀x ∈ [a , b], f ( x )在区间 [a, x ]
x
定积分与积 分变量无关
上的上限变动的定积分
∫
a
f ( x )dx
∫
x
a
f ( t )dt
上的新函数， 又确定了一个在 [a, x ]上的新函数，记作 Φ ( x ) , 即
Q t ∈ [0, x], f (t ) > 0, ( x − t ) f (t ) ≥ 0，
/ 且 ( x − t ) f ( t ) ≡ 0,
x x
⇒
∫
0
f ( t )dt > 0 , ∫ ( x − t ) f ( t )dt > 0 ,
0
∴ F ′( x ) > 0
内是单调增加函数。 ∴ F ( x )在 (0,+∞)内是单调增加函数。
例6
设 f ( x ) ∈ C (− ∞ , +∞ ), f ( x ) =
∫
x
0
f (t )dt 求证
f (x) ≡ 0
证
f ( x ) = ∫ f (t )dt
x 0
f ' ( x ) = f ( x ),
F ( x ) = f ( x )e − x , x ∈ (− ∞ , +∞ ) F ′( x ) = ( f ′ ( x ) − f ( x ))e − x = 0 , x ∈ (− ∞ , +∞ )
x a
∫ f ( x )dx = ∫
f ( t )dt + C
肯定了连续函数的原函数是存在的 揭示了定积分与原函数之间的关系
定理1` 3. 定理1` 若f (t ) ∈ C [α ( x ), β ( x )]
⇒ α ( x )、β ( x )在(a , b )内可导
β ( x)
a
d dx
= x∫
x
−a x
f (t )dt − ∫ tf (t )dt + ∫ tf (t )dt − x ∫ f (t )dt
a a x x
∴ g ′( x ) = ∫
−a x
f (t )dt + xf ( x ) − xf ( x ) − xf ( x ) − ∫x f (t )dt + xf ( x )
f ( t )dt ∫0
x
2
x x f ( t )dt − x tf ( t )dt f ( x ) x ( x − t ) f (t )dt f ( x ) ∫ ∫0 ∫0 0 = F ′( x ) = 2 2 x x f ( t )dt f (t )dt ∫0 ∫0
x + ∆x a
f ( t )dt .
∆Φ = Φ( x + ∆x ) − Φ( x )
=∫
a
( Φ x) ∆Φ
o a
x
x + ∆x
a
f (t )dt − ∫ f (t )dt
x a
x + ∆x x