高中数学第一章直线、多边形、圆12圆与直线切割线定理素材北师大版4-1

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切割线定理公式及证明

切割线定理公式及证明
切割线定理是几何学中一种重要的定理，它是于1733年由英国数学家乔治华莱士提出的。

根据切割线定理，由一条直线和一个多边形组成的图形，如果任何一条直线穿过此图形，则这条直线必将穿过多边形的边的一半数量的次数，也就是该直线穿过多边形的总边数的一半，不管该多边形的形状与大小如何。

从表面上看，这个定理很简单，但要证明它本来是一个非常困难的任务。

以下是切割线定理的一般公式：
设N为n边形，M为n条直线，即N∩M = n/2
若M穿过N，则N与M的交点数目是n/2
既然有了一般公式，就可以利用证明定理的原则来推导出该定理的证明。

首先，假设N与M的交点数为x，此时可以得出结论：x = n/2。

为了证明这一结论，可以从多种可能中求解出更多的可行解，即如果M不穿过N，M同N的交点数将小于或大于n/2。

首先，假设M不穿过N，由于N的边缘被M分割，M与N的交点数取决于M的弧形长度与N边缘之间的交叉点，因此在这种情况下，N与M的交点数必定小于n/2。

其次，假设M穿过N，即M同N的交点数大于等于n/2时，由于M穿过N，可以把N看作一个圆，此时M与N的交点数取决于M的弧形长度与N边缘之间的交叉点，因此在这种情况下，N与M的交点数必定大于等于n/2。

根据以上求解过程，可以得出M与N的交点数将等于n/2，即该定理正确。

综上所述，切割线定理是指不管一条直线穿过的多边形的形状与大小如何，总能穿过多边形的边数的一半。

因此，这个定理同时也揭示了自然数学中的一条重要原理。

该定理公式及证明完成了，它可以用来解决对几何图形的研究，有助于更深入地理解几何学中的一些概念及原理。

北师大版数学高二圆内接四边形的性质与判定定理选修4-1

高中数学圆内接四边形的性质与判定定理教案选修4-1 几何证明是培养学生逻辑推理能力的最好载体，迄今为止还没有其他课程能够代替几何的这种地位，几何证明过程包含着大量的直观、想象、探究和发现的因素，这对培养学生的创新意识也非常有利.本讲主要证明一些反映圆与直线关系的重要定理，提高学生几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力.研究近几年的新课标高考试卷，不难发现，高考对本部分内容的考查大多集中在与圆相关的性质定理和相似三角形等知识上，难度不大，一根据新课程改革考纲的要求，这一讲我们计划安排4 课时复习，具体安排如下：第一节：圆周角定理一课时.这节课的重点是帮助学生复习圆周角定理，会用圆周角定理，并会借助圆周角定理证明角相等，三角形相似等问题.第二节：圆内接四边形的性质与判定定理一课时.这节课的重点是帮助学生复习圆内接四边形的性质与判定定理，会灵活运用定理、证明四点共圆问题及解决角相等的问题.第三节：圆的切线的性质及判定定理、弦切角的性质一课时.这节课主要帮助学生通过复习圆的切线的性质及判定定理、弦切角的性质,熟练掌握判定切线的方法.已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心连线成直角，第二应考虑弦切角定理，第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理.第四节：与圆有关的比例线段一课时.这节课主要帮助学生复习相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理，会结合三角形及其相似等知识来证明线段相等或等比例线段问题.复习时,我们主要是通过知识梳理→开心自测→金题精讲→知能演练→课堂小结→能力锤炼等几个环节进行的.由于湖北高考数学试题选考几何证明专题,从近几年新课标高考试题中不难看出,以圆为载体的证明题或计算题出现的频率较高,所以我们认为:对直线与圆的位置关系复习是重中之重,而圆内接四边形的性质与判定定理是该讲的核内知识,它起到了承前启后的作用，它之前有圆周角定理，它之后还有圆的切线的性质及判定定理、弦切角的性质、相交弦定理、切割线定理、切线长定理等.另外,认真落实教材所讲的知识,重视教材中的例题和习题,深研教材,发掘教材中的内涵是提高几何专题复习效率的一种有效途径.第二节《圆内接四边形的性质与判定定理》说课稿一、说教材（一）教材分析圆内接四边形的性质与判定定理是选修4-1第二讲的核心内容,也是新课标高考试题中的常见考点.以圆为载体的相关问题是新高考命题的潜规则,这是因为:1.根据四点共圆这个条件,可以构造出直角三角形,容易设置高考题.2.四点共圆时,可充分利用外角等于它的内对角、对角互补、相交弦、切割线、割线定理等证明等式.所以应高度重视对这一节教材中的三个定理和一个推论的复习,关键是要让学生懂得定理的应用.（二）教学目标知识目标1.了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；2.掌握圆内接四边形判定定理及其推论;熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理进行计算和证明．能力目标1.通过对圆内接四边形的概念及其性质定理的复习,培养学生应用定理解决问题的能力;2.通过复习圆内接四边形判定定理及其推论,促使学生会用定理判定四点共圆；3.通过定理的应用，培养学生逻辑推理能力．情感目标1.开心自测引入复习，激发学生观察、分析、探求的学习激情，强化学生参与意识及主体作用.2.通过证明方法的探求，培养学生勤于思考的习惯，并促进学生辩证思维的能力和严谨的治学精神和态度，渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.（三）教学重难点1.重点圆内接四边形的性质与判定定理.2.难点定理的灵活应用.二、说教法在课堂教学过程中，要充分调动学生学习的主动性.通过学生自己动手操作、探索，获得对知识的深刻理解，这符合中学生好动厌静的心理特点，能更好地吸引学生的注意力.要把课堂还给学生，多注意倾听，理顺学生思维过程，引导学生合作探究.借助学生的嘴来说，借助学生的脑来想.自己要注意选用示范性强、有一定梯度的2—3道例题进行重点分析、讲评，要善于把自己对于问题的理解转化为学生的理解，而不是直接强加给学生.要培养学生自己“找路”的能力，在学生迷路时及时给予点拨，让学生在主动参与学习的过程中真正的理解.针对本节课的复习目标，主要以下面几个环节进行：知识梳理→开心自测→金题精讲→知能演练→课堂小结→能力锤炼.三、说学法因为这节课的内容学生在初中已经接触过，内容也比较熟悉，但是定理如何灵活地在解题中运用还有一些欠缺，遇到题目时往往无从下手，所以在复习过程中要善于引导学生运用目标分析意识来解决问题.这节课以解决问题为主线展开，主要采用“探究式学习法”，引导学生发挥主观能动性，主动探索新知.四、说教学过程知识梳理圆内接四边形的性质定理：定理1 圆内接四边形的对角互补.定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.推论: 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.设计意图：通过梳理知识,使学生明确本节所复习的内容,熟练掌握本节的三个定理和一个推论.开心自测1.如图1,⊙O的内接四边形BCED,延长ED,CB交于点A,若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=_______;CE=__________.2.如图2，AD、BE是△ABC的两条高,求证:∠CED=∠ABC.1.选题立意：设计开心自测题,主要体现课堂中的自主学习,目的是激发学生的学习兴趣.其中第1题的立意是:考查圆内接四边形性质定理及割线定理的灵活运用.第2题的立意是:考查灵活运用圆内接四边形性质定理证明角相等问题.2.处理过程：让学生独立完成这两道自测题,并分成两组,每一组推荐一名同学说出解题思路和答案.金题精讲例1 (2011·课标全国卷)如图3,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于方程x2-14x+mn=0的两个根.(1)证明:C,B,D,E四点共圆;(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.1.选题立意:本题考查三角形相似、四点共圆的基本知识与方法,考查推理论证能力及运算求解能力.2.处理过程：第(1)小题是证明四点共圆问题，那么要证四点共圆,我们有那些方法呢?通过提问让学生在大脑中搜索相关知识,寻找最佳解题方案.这样问题可以转化为证明Rt△ADE与Rt△ABC相似,从而利用本节的推论来证明四点共圆.第(2)小题是计算问题，关键是引导学生如何确定圆心的位置.根据圆的性质可知,圆心即为该圆弦的中垂线的交点，问题就转化为在矩形AFHG中求圆的半径了.3.老师点评：证明四点共圆主要是利用圆内接四边形的判定定理或其推论.解题时,关键是寻找四边形的对角互补或其一外角与它的内角的对角相等.金题精讲例2(2011·辽宁卷)如图4,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED.(1)证明:CD∥AB;(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明A,B,G,F四点共圆.1.选题立意：本题考查平面几何的证明问题,主要涉及两条直线平行以及四点共圆的判定.2.处理过程:第(1)小题如何利用已知条件来证明CD∥AB?让学生去“找路”,证平行问题主要是运用平行线的判定定理.本题中A、B、C、D四点共圆这个条件的正确运用是证明该问题的关键.第(2)小题是证明四点共圆问题,引导学生作出辅助线,连接AF、BG得四边形ABGF,如何运用四点共圆的判定定理呢?此时,把问题交给学生去探究.要证∠AFD+∠ABC=180°,即证∠FAB=∠GBA.3.老师点评：灵活运用圆内接四边形性质与判定定理是解题的关键.例3 (2009年·宁夏)如图5,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC上,且AE=AF.(1)证明:B,D,H,E四点共圆;(2)证明:CE平分∠DEF.1.选题立意：本题考查四点共圆的判定方法及利用四点共圆的性质证明角相等问题.2.处理过程:第(1)小题只要证明四边形BDHE的内对角互补即可,但该小题的的难点恰在于如何证明内对角互补.这时可以分组讨论,充分调动学生的学习积极性,只要学生能想的就让学生想,学生能说的让学生说,学生能做的让学生做.第(2)小题实际上是证明角相等问题,请一个学生用分析法来寻求证明思路.当学生“找路”有困难时，及时正确引导，同时注意引导方式.3.老师点评：解答平面几何问题时不仅要用到几何定理，而且还要用到各种不同的推理形式，推理策略，有时还要使用“添加辅助线”之类的技巧性较高的方法.在几何学习中，除了运用逻辑推理外，还要应用观察、比较、类比、直觉、猜想、归纳、概括等合情推理.知能演练如图6,已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圆劣弧AC⌒上的点(不与A,C重合),延长BD到E.(1)求证:AD的延长线平分∠CDE;(2)若∠BAC=30°,△ABC中BC边上的高为2+ 3 ,求△ABC外接圆的面积.设计意图:检验所学习的知识，从而熟练掌握本节的重点，形成相应的数学能力.能力锤炼:1. 如图7,在Rt △ABC 中,∠BCA=90°,以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点,D 为AC 的中点,连结BD 交⊙O 于F 点.求证:BC BE = CFEF .2. 如图8,AB 为⊙O 的弦,CD 切⊙O 于P,AC ⊥CD 于C,BD ⊥DC 于D,PQ ⊥AB 于Q,求证:PQ 2=AC ·BD.3. 如图9,已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于B,C 两点,圆心O 在∠PAC 的内部,点M 是BC 的中点. (1)证明:A,P,O,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小.4.如图10,已知四边形ABCD 内接于圆,延长AB 和DC 相交于E,EG 平分∠E,且与BC 、AD 分别相交于F 、G.求证:∠CFG=∠DGF.5.如图11,已知PA 、PB 是圆O 的切线,A 、B 分别是切点,C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点,课堂小结 1.本节课我们复习了圆内接四边形的性质与判定定理.2.通过开心自测、金题精讲和知能演练，使我们初步掌握了如何灵活运用圆内接四边形的性质与判定定理解决问题.3.这节课我们运用了数形结合、转化与化归等数学思想方法.设计意图:课堂小结使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对圆内接四边形的性质与判定定理认识的再次深化.能力锤炼能力锤炼题见表下面.设计意图:课后检测，巩固本节知识点，深化相应的数学能力.若∠ACB=120°,求∠APB的大小.。

高中数学第一章直线、多边形、圆 1.2 圆与直线切割线定理素材北师大版选修4-1

切割线定理
定理
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幂定理的一种。

几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT²=PA·PB（切割线定理）
推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）
由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD
证明
切割线定理证明:
设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB 证明：连接AT, BT
∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠APT=∠TPA(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则PB：PT=PT：AP
即：PT²=PB·PA
比较
相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。

一般用于求直线段长度。

2019-2020学年度最新北师大版数学选修4-1教学案：第一章2-5切割线定理相交弦定理

2019-2020学年度最新北师大版数学选修4-1教学案：第一章2-5切割线定理相交弦定理[对应学生用书P23][自主学习]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．[合作探究]1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．[对应学生用书P23][例1]如图所示，⊙O与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨]本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析](1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB. ②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知PAPE＝PCPD，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2的直径，∴AD＝AE，∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4[例2]OA的垂线分别交⊙O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨]由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，所以PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[精解详析]连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．2．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于．解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝AB2－BD2＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即(2)2＝2r－1，解得r＝32.答案：3 2[例3]∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨]本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用．解题时先证△CED∽△DEF，同时利用平行关系可证(1)；然后证明△DEF∽△PEA，结合相交弦定理可证(2)；最后由切割线定理可求PA.[精解详析](1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶EC＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△CED∽△DEF.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA，即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得EP ＝272. ∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452. 由切割线定理得PA 2＝PB ·PC . ∴PA 2＝152×452.∴PA ＝1523.解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用．3．如图，E 是⊙O 内两弦AB 和CD 的交点，直线EF ∥CB ，交AD 的延长线于点F ，FC 与圆交于点G .求证：(1)△DFE ∽△EFA ； (2)△EFG ∽△CFE . 证明：(1)∵EF ∥CB ， ∴∠DEF ＝∠DCB .∵∠DCB 和∠DAB 都是DB 上的圆周角， ∴∠DAB ＝∠DCB ＝∠DEF . ∵∠DFE ＝∠EFA ，∴△DFE ∽△EFA . (2)由(1)知：△DFE ∽△EFA ，∴EF AF ＝FDFE . 即EF 2＝FA ·FD .由割线定理得FA ·FD ＝FG ·FC . ∴EF 2＝FG ·FC ，即EF GF ＝FC FE .又∵∠EFG ＝∠CFE ，∴△EFG ∽△CFE .本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用．难度中档，是高考命题的热点内容．[考题印证](新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[命题立意]本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理．[自主尝试](1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.[对应学生用书P25]一、选择题1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为()A．4B．5C．8 D．10解析：选B设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x ＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.2.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为()A．10B．2 2C．5D． 6解析：选B设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.所以x·2x＝16，所以x＝2 2.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：选A在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是()A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2>∠1>∠ABC ，所以AB >BC >AC ，因为CA ，CD 分别切圆O 1于A ，D 两点， CB ，CE 分别切圆O 2于B ，E 两点，所以AC ＝CD ，BC ＝CE ，所以AB >CE >CD . 故选A. 二、填空题5．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD ＝27，AB ＝3，则BD 的长为．解析：由切割线定理得：DB ·DA ＝DC 2，即DB (DB ＋BA )＝DC 2，∴DB 2＋3DB －28＝0，∴DB ＝4.答案：46．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA＝22，PC ＝4，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为．解析：记圆O 的半径为R .依题意得PA 2＝PB ·PC ，PB ＝PA 2PC ＝2，BC ＝PC －PB ＝2，所以R ＝(12BC )2＋(3)2＝2. 答案：27．如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A ，若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝；CE ＝ .解析：由切割线定理得AB ·AC ＝AD ·AE ，即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5；易知AD AB ＝AC AE ＝34，又∠A ＝∠A ，故△ABD ∽△AEC ，故∠BCE ＝∠BDA ＝90°，BDEC ＝AD AC .在直角三角形ABD 中，BD ＝42－32＝7，∴CE ＝BD ·ACAD ＝7× 63＝27.答案：5 278.如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为．解析：设BE ＝x ，则FB ＝2x ，AF ＝4x ，由相交弦定理得DF ·FC＝AF ·FB ，即2＝8x 2，解得x ＝12，AE ＝72，再由切割线定理得CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72. 答案：72三、解答题9．如图，P 为圆O 外一点，PA ，PB 是圆O 的两条切线，A ，B 为切点，OP 与AB 相交于点M ，且点C 是AB 上一点．求证：∠OPC ＝∠OCM .证明：连接OB ，由切线长定理，得PA ＝PB ，PM ⊥AB ， PO 平分∠APB .又PB ⊥OB ，在Rt △OPB 中，OB 2＝OP ·OM ， ∵OB ＝OC ，∴OC 2＝OP ·OM ，即OC OP ＝OMOC，∴△OCP ∽△OMC ，∴∠OPC ＝∠OCM . 10.如图，两个同心圆的圆心是O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD 是大圆的直径．大圆的弦AB ，BE 分别与小圆相切于点C ，F .AD ，BE 相交于点G ，连接BD .(1)求BD 的长．(2)求∠ABE ＋2∠D 的度数． (3)求BGAG 的值．解：(1)连接OC ，因为AB 是小圆的切线，C 是切点，所以OC ⊥AB ，所以C 是AB 的中点．因为AD 是大圆的直径，所以O 是AD 的中点．所以OC 是△ABD 的中位线．所以BD ＝2OC ＝10. (2)连接AE .由(1)知C 是AB 的中点．同理F 是BE 的中点．即AB ＝2BC ，BE ＝2BF ，由切线长定理得BC ＝BF . 所以BA ＝BE .所以∠BAE ＝∠E . 因为∠E ＝∠D ，所以∠ABE ＋2∠D ＝∠ABE ＋∠E ＋∠BAE ＝180°. (3)连接BO ，在Rt △OCB 中，因为OB ＝13，OC ＝5，所以BC ＝12，AB ＝24. 由(2)知∠OBG ＝∠OBC ＝∠OAC . 因为∠BGO ＝∠AGB ，所以△BGO ∽△ AGB . 所以BG AG ＝BO AB ＝1324.11.如图，在Rt △BDE 中，∠BDE ＝90°，BC 平分∠DBE 交DE 于点C ，AC ⊥CB 交BE 于点A ，△ABC 的外接圆的半径为r .(1)若∠E ＝30°，求证：BC ·BD ＝r ·ED .(2)若BD ＝3，DE ＝4，求AE 的长．解：(1)证明：取AB 的中点为O ，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，O 是外接圆的圆心，连接CO ，所以BO ＝CO ，∠BCO ＝∠OBC ，因为BC 是∠DBE 的平分线，所以∠DBC ＝∠CBA ，所以∠OCB ＝∠DBC ，所以OC ∥DB (内错角相等，两直线平行)，所以OC BD ＝CE DE，把比例式化为乘积式得BD ·CE ＝DE ·OC ，因为OC ＝r ，所以BD ·CE ＝DE ·r .因为∠D ＝90°，∠E ＝30°，所以∠DBE ＝60°，所以∠CBE ＝12∠DBE ＝30°，所以∠CBE ＝∠E ，所以CE ＝BC ，所以BC ·BD ＝r ·ED .(2)过点C 作CH ⊥OE ，垂足为H .BD ＝3，DE ＝4，根据勾股定理，BE ＝5，OC ＝OA ＝r ，因为OC ∥DB ，所以△OCE ∽△BDE ，所以OC BD ＝OE BE ＝CE DE ，即r 3＝OE 5＝CE 4，解得OE ＝53r ，CE ＝43r . CH ＝OC ·CE OE ＝45r ，因为BC 平分∠DBE 交DE 于点C ，则△BDC ≌△BHC ，所以BH ＝BD ＝3，则HE ＝2.在Rt △CHE 中，根据勾股定理得：CH 2＋EH 2＝CE 2，即⎝⎛⎭⎫45r 2＋22＝⎝⎛⎭⎫43r 2，解得：r ＝158，则AE ＝BE －2r ＝5－154＝54.。

2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)

《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A． B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。

切线和割线(1)

1
切线和割线
知识定位
切割线定理是初中平面几何中的重要定理,它应用广泛,各地的中考题有相当多的题目都用到它,竞赛题也不例外.且题目新颖，灵活多变，学生往往甚感困难。

因此有计划、有目的、有步骤地对切割线定理进行补充、演化无疑是十分有益的。

知识梳理
知识梳理1：切割线定理
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幂定理的之一。

几何语言:∵PT切⊙O于点T，PDC是⊙O的割线
∴PT²=PD·PC(切割线定理)
知识梳理2：割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言:∵PT是⊙O切线，PBA、PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)(割线定理)
由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD
例题精讲
【题目】如图，等边三角形ABC中，边AB与⊙O相切于点H，边BC,CA与⊙O交于点D,E,F,G。

已知AG=2,GF=6,FC=1.则DE=_______.
【答案】21
1。

(必考题)高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(有答案解析)(1)

一、选择题1．过点(0,1)且倾斜角为3π的直线l 交圆2260x y y +-=于A ，B 两点，则弦AB 的长为（） A ．10B ．210C ．22D ．422．若直线y x m =+与曲线21y x =-有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．(]{}1,12-⋃-B ．{}2,2-C ．[){}1,12-D ．(1,2⎤⎦3．已知圆()221:24C x y +-=，抛物线22:2(0)C y px p =>， 1C 与2C 相交与,A B 两点，且855AB =，则抛物线2C 的方程为（） A ．285y x =B ．2165y x =C ．2325y x =D ．2645y x = 4．已知点是圆内的一点，则该圆上的点到直线的最大距离和最小距离之和为（）A ．B ．C ．D ．不确定5．已知AC 、BD 分别为圆O ：x 2+y 2=4的两条垂直于坐标轴的弦，且AC 、BD 相交于点M（1，），则四边形ABCD 的面积为（） A ．2B ．3C ．D ．6．已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（） A ．2 B ．6 C ．4D ．27．已知点(,)M a b ，(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么（） A ．//m n 且n 与圆O 相离 B ．//m n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m n ⊥且n 与圆O 相交 8．如图，四边形ABCD 内接于O ，:1:2AD BC =，35AB =，40PD =，则过点P 的O 的切线长是（）．A ．60B ．240C ．235D ．509．在⊙O 外，切⊙O 于，交⊙O 于、，则（） A ．B ．C ．D ．10．已知圆O :221x y +=，点()00,M x y 是直线20x y -+=上一点，若圆O 上存在一点N ，使得6NMO π∠=，则0x 的取值范围是（）A ．[]2,0-B ．()0,3C ．[]2,4D ．()1,3-11．直线0ax by a b +++=与圆222x y +=的位置关系为（） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切12．从原点O 引圆m kx y m y m x 当的切线,1)2()(222=+=-+-变化时，切点P 的轨迹方程是 A ．322=+y x B ．2)1(22=+-y x C ．3)1()1(22=-+-y x D ．222=+y x二、填空题13．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点A 在E 上，以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，若2AB BF =，则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为7，则p =______．14．若直线cos ,sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数，且2πθ≠)与圆42cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）相切，则直线的倾斜角θ=______.15．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，直线与圆相切于点，AD CE ⊥于点，若圆的面积为4π，30ABC ∠=，则AD 的长为______．16．已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩ (t 为参数),圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数).若直线l 与圆C 有公共点,则实数a 的取值范围是__________.17．已知两点()()2,0,2,0-M N ，若直线()3y k x =-上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，使得MNP ∆是直角三角形，则实数k 的取值范围是______.18．在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，求过点A 与圆22:4C x y +=相切的直线方程___．19．（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知切线PA 切圆于点A ，割线PBC 分别交圆于点,B C ，点D 在线段BC 上，且2DC BD =，BAD PAB ∠=∠，210PA =，4PB =，则线段AB 的长为________．20．已知点P(x, y)是圆(x －3)2+(y －)2=6上的动点，则的最大值为_______ ；三、解答题21．如图，△ABC 内接于直径为BC 的圆O ，过点作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，AE 交BC 和圆O 于点D 、E ，且DBCDAB AC =，若PA=2PB=10.（Ⅰ）求证：AC=2AB ；（Ⅱ）求AD•DE 的值.22．已知圆22222240x y ax ay a a ++-+-=（04a <≤）的圆心为点C ，直线l ：y x m =+．（1）若4m =，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(0,4]上变化时，求m 的取值范围． 23．已知直线:l 022=++y x 及圆y y x C 2:22=+．（1）求垂直于直线l 且与圆C 相切的直线'l 的方程；（2）过直线l 上的动点P 作圆C 的一条切线，设切点为T ，求PT 的最小值． 24．（本小题满分10分）已知圆C 的圆心在y 轴上，且圆C 与直线1:l y x =相切于点(1,1)．（1）求圆C 的方程；（2）若线段AB 为圆C 的直径，点P 为直线2:43210l x y -+=上的动点，求PA PB ⋅的最小值．25．（本题满分12分）已知圆221:2C x y +=和圆2C ，直线l 与圆1C 相切于点()1,1A ，圆2C 的圆心在射线()200x y x -=≥上，圆2C 过原点O ，且被直线l 截得的弦长为43．（1）求直线l 的方程；（2）求圆2C 的方程． 26．已知圆的方程：，（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）当圆与圆：相外切时，求直线:被圆，所截得的弦的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】写出直线l 的方程，求圆心到直线l 的距离，再利用弦长公式进行求解即可．【详解】过点()0,1且倾斜角为3π的直线l 为3x 310x y -+=, ∵圆()22226039x y y x y +-=+-=即，∴圆心（0，3），半径r =3，圆心到直线l 310x y -+=的距离d =312-+=1，∴直线被圆截得的弦长l 2231-=42 故选：D ．【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式222l r d =-2．C解析：C 【解析】【分析】运用几何意义，当直线与半圆相切或者只有一个公共点时满足题意【详解】21y x =-直线y x m =+与曲线21y x =- ①()22111m d ==+-，解得2m 2m =-（舍去）②代入（-1，0）可得011m m =-+=，代入（1，0）可得011m m =+=-，结合图象，综上可得11m -≤<或2m 故选C 【点睛】本题考查了直线与半圆之间的位置关系，为满足题意中只有一个交点，则需要进行分类讨论，运用点到直线距离和点坐标代入计算出结果3．C解析：C【解析】根据直线与圆相交的弦长公式可知22285224R d d -=-=，解得255d =，设直线AB 的方程为y kx =，圆心()0,2到直线的距离2251d k==+ ，解得2k =-（舍）或2k =， ()222{24y x x y =+-= ，解得0{0x y == 或85{165x y == ，代入抛物线方程2168255p ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭ ，解得： 3225p = ，所以抛物线方程为2325y x =，故选C. 【点睛】本题考查了直线与圆，直线与抛物线和圆与抛物线的位置关系，如果直接选择圆与抛物线联立，那不易得到两个交点坐标，所以首先看成直线与圆的位置关系，根据弦心距公式得到直线方程，再让直线与抛物线联立，得到交点的坐标，求出抛物线方程.4．B解析：B 【解析】由题意得,所以圆心到直线距离为,因此该圆上的点到直线的最大距离和最小距离之和为,选B.点睛：与圆有关的距离的最值问题，一般根据距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．5．A解析：A【解析】试题分析：求出|AC|，|BD|，代入面积公式S=•|AC||BD|，即可求出四边形ABCD的面积．解：由题意圆心O到AC、BD的距离分别为、1，∴|AC|=2=2，|BD|==2，∴四边形ABCD的面积为：S=•|AC|（|BM|+|MD|）=•|AC||BD|==2，故选：A．考点：直线与圆的位置关系．6．B解析：B【解析】试题分析：求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选：B．考点：直线与圆的位置关系．7．A解析：A【解析】，所以m的斜率为试题分析：直线m是以点M为中点的弦所在直线，所以m POab-，所以//n m ，圆心到直线n 的距离为222r a b+，因为M 在圆内，所以2ax by r +<，所以222r r a b>+，所以直线n 与圆相离，故选A ．考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用，属于中档试题，对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，本题解答中利用直线m 是以点M 为中点的弦所在直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行，表示出点到直线n 的距离，根据点M 在园内判断出,a b 和r 的关系，进而判断长圆心到直线n 的距离大于半径，判断长二者的关系是相离．8．A解析：A 【解析】考点：圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．分析：作切线PE ，由切割线定理推出 PA PC = PAPB，说明△PAD ∽△PBC ，求出PB=80，然后求出PE ．解：作切线PE ，由切割线定理知，PE 2=PD•PC=PA•PB ，所以PA PC = PAPB，又△PAD 与△PBC 有公共角P ，∠PDA=∠PBC ，所以△PAD ∽△PBC ．故PD PB = AD BC =12，即40PB =12所以PB=80，又AB=35，PE 2=PA•PB=（PB-AB ）•PB=（80-35）×80=602， PE=60．故选A ．9．C【解析】试题分析：由∠PCA 是弦切角，且弦CA 所对的圆周角是∠B ，知∠PCA=∠B ．解：如图，PC 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A 、B ， ∵∠PCA 是弦切角，且弦CA 所对的圆周角是∠B ， ∴∠PCA=∠B ，故选C ．点评：本题考查弦切角的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．A解析：A 【解析】试题分析：过()00,M x y 作圆O 切线交圆O 于R ，根据圆的切线性质，有OMR OMN ∠≥∠．反过来，如果6OMR π∠≥，则圆O 上存在一点N 得6OMN π∠=故若圆O 上存在一点N ，使6OMN π∠=，则6OMR π∠≥12OR OR MR OM =⊥∴≤，，．又22222220000000000222442444M x x OM x y x x x x x x +=+=++=++∴++≤（，），（），，解得，020x -≤≤．0x ∴取值范围是[]2,0-，选A考点：直线与圆的位置关系【思路点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，计算能力，属于中档题．解题时过()00,M x y 作圆O 切线交圆O 于R ，则OMR OMN ∠≥∠．由题意可得6OMR π∠≥，2OM ≤．再根据2200002244M x x OMx x +=++（，），求得0x 的取值范围．11．D解析：D 【解析】试题分析：由不等式知，222222b a b a b a b a +≥+∴+≤+)2(，因此圆心到直线的距离22ba b a d ++=2≤，即圆心到直线距离小于等于半径，故直线与圆相交或相切．选D ．考点：①直线与圆的位置关系；②重要不等式的应用．【方法点睛】（1）判断直线与圆的位置关系的方法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则：①若r d <，则直线与圆相交；②若r d ≤，则直线与圆相交或相切；③若r d >，则直线与圆相离；④若r d ≥，则直线与圆相离或相切．（2）需记忆常用的重要不等式①若,,00>>b a 则ab b a 2≥+；②22222b a b a ab +≤+≤)(． 12．A解析：A 【解析】试题分析：设圆心为(),2C m ，切点(),P x y ，由题意知222OP PC OC+=；而22222222,4,1OP x y OC m PC r m =+=+==+，代入化简得322=+y x ，故选A ．考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系．二、填空题13．【解析】【分析】根据条件以A 为圆心的圆与y 轴相切且交AF 于点B 求出半径然后根据垂径定理建立方程求解【详解】设以为圆心的圆与轴相切则半径由抛物线的定义可知又∴解得则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为解析：2【解析】【分析】根据条件以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，2AB BF =，求出半径，然后根据垂径定理建立方程求解【详解】设11(,)A x y ，以A 为圆心的圆与y 轴相切，则半径1r x =，由抛物线的定义可知，12pAF x =+，又2AB BF =， ∴111122p AF x x x =+=+，解得1x p =，则32pAF =，圆A 截线段AF 即2297164p p -=，解得2p =．故答案为2．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义，合理利用圆的弦长是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．或【解析】【分析】先把直线的方程转化为普通方程再根据直线与圆的位置关系求解【详解】直线的普通方程为圆的普通方程为当它们相切时有解得故直线的倾斜角或【点睛】本题主要考查直线的参数方程与普通方程的转化以解析：6π或56π 【解析】【分析】先把直线的方程转化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系求解。

高中数学几何定理大全

高中数学几何定理大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于18018 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22 边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于6034 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45 逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46 勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48 定理四边形的内角和等于36049 四边形的外角和等于36050 多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）18051 推论任意多边的外角和等于36052 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54 推论夹在两条平行线间的平行线段相等55 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59 平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61 矩形性质定理2 矩形的对角线相等62 矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63 矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64 菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65 菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66 菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（ab）267 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70 正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75 等腰梯形的两条对角线相等76 等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77 对角线相等的梯形是等腰梯形78 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a+b）2 s=lh83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(ab)／b=(cd)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101 圆是定点的距离等于定长的点的集合102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104 同圆或等圆的半径相等105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109 定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

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