马尔科夫链(上)
第三章 马尔可夫链
第三章 马尔可夫链 一、马尔可夫链的概念马尔可夫过程是一类有重要应用意义的随机过程，它具有如下特征：随机过程‘将来’所处的状态仅与‘现在’所处的状态有关，而与‘过去’曾处于什么状态无关。
马尔可夫过程按其状态和时间参数是离散还是连续的可以分成三类 （1） 时间和状态都是离散的马尔可夫过程，称为马尔可夫链。
（2） 时间连续、状态离散的马尔可夫过程，称为连续时间的马尔可夫链。
（3） 时间和状态都连续的马尔可夫过程。
本章介绍马尔可夫链定义1 设}0,{≥n X n 为随机序列，其状态空间为},,,{210 i i i I =，如果对任意正整数n 及任意n+2个状态I i i i i n ∈+1210,,,, ，有},,,{110011n n n n i X i X i X i X P ====++}{11n n n n i X i X P ===++则称此随机序列}0,{≥n X n 为马尔可夫链。
若将时刻n 称为‘现在’，将时刻n+1称为‘将来’，而把0，1，2，……，n-1称为‘过去’。
定义中的等式便可通俗解释为：在已知}0,{≥n X n ‘现在’所处的状态条件下，‘将来’所要达到的状态与‘过去’所经历的状态无关，这一特性常称为马尔可夫的无后效性。
例1．一个n 级数字传输系统，每一级的输入和输出信号只取0或1两个值，每一级的输出是下一级的输入；并假定当一级输入为0时，其输出为0和为1的概率分别为p 和1-p;当输入为1时，其输出为1和0的概率分别为p 和1-p （见图）令Xn 表示第n 级输出，则{ Xn,n ≥0}便为一个马尔可夫链。
例2．从1，2，……，N 数字中任取一个数，记为X0；再从1，2，……，X0数字中任取一个数，记为X1；再从1，2，……，X1中任取一个数，记为X2；依此类推，在1，2，……，Xn-1中任取一个数，记为Xn 。
可以证明{ Xn,n ≥0}为马尔可夫链。
事实上，{ Xn,n ≥0}的状态空间为I={1，2，……，N}，对任意正整数n ，取n+1个状态I i i i i n ,,,,210 ,由题意可知故{ Xn,n ≥0}为马尔可夫链。
第四章 马尔可夫链
股市预测
预测股票价格变化 基于历史数据建立模型 考虑股票之间的相关性 用于投资决策和风险管理
05
马尔可夫链的算法
状态转移矩阵算法
定义：状态转移 矩阵算法是马尔 可夫链中用于描 述状态转移概率 的算法
计算方法：根据 历史数据和当前 状态计算未来的 状态转移概率
应用场景：广泛 应用于自然语言 处理、语音识别、 机器翻译等领域
类问题等。
可扩展性强： 马尔可夫链可 以通过增加状 态和转移概率 来扩展模型， 以处理更复杂
的问题。
缺点
状态转移概率矩 阵必须已知
无法处理连续时 间或非齐次过程
无法处理多维或 多状态过程
无法处理非马尔 可夫过程
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特点：隐马尔可夫链的状态转移和观测概率是参数化的，需要通过训练数据来估计。
应用：隐马尔可夫链在语音识别、自然语言处理、机器翻译等领域有广泛应用。
算法：隐马尔可夫链的算法包括前向-后向算法、Viterbi算法和Baum-Welch算法等。
04
马尔可夫链的应用
自然语言处理
文本分类：利 用马尔可夫链 对文本进行分 类，如垃圾邮 件过滤、情感
01
添加章节标题
02
马尔可夫链的定义
状态转移
定义：马尔可夫链的状态转移概率是描述状态之间转移的规则
特性：状态转移具有无记忆性，即下一个状态只与当前状态有关，与过去状态无关
转移矩阵：描述状态转移概率的矩阵
稳态分布：在长期状态下，马尔可夫链将趋于一个稳态分布，该分布描述
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马尔可夫链
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马尔可夫链
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}， 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解1.什么是马尔可夫链在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。
马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。
该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。
这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。
马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。
在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。
状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。
随机漫步就是马尔可夫链的例子。
随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。
2.一个经典的马尔科夫链实例用一句话来概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。
举个简单的例子，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。
这么说可能有些不严谨，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。
假设状态序列为由马尔科夫链定义可知，时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关，用数学公式来描述就是：既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就定了。
看一个具体的例子。
这个马尔科夫链是表示股市模型的，共有三种状态：牛市（Bull market）, 熊市（Bear market）和横盘（Stagnant market）。
马尔可夫链1
如果 p0 = 1, r0 = 0, 称为带一个反射壁 的随机游动，质点一旦到达状态 0 后下 一步它以概率 p0 向右移一格。
15
0
1
如果状态空间 I = {0,1,2,L, N } 是有 限的，且状态 0 与状态 N 都为吸收状 态，即 r0 = 1, p0 = 0, rN = 1, q N = 0 称为具有两个吸收壁的随机游动.
∑ P{ X 0 = a i , X n = a j }
ai
ai ∈I
pi (0) Pij (n)
绝对分布的向量表示形式
→
p( n) = ( p1 ( n), p2 ( n),L , p j ( n),L)
→
M M M
aj
0
n
绝对分布与初始分布的关系可表示为
p( n ) = p ( 0 ) P ( n )
5
二、马尔可夫链的概念及转移概率 1、马尔可夫链的概念 定义2、时间和状态都是离散的马尔可夫过程称 为马尔可夫链，简称马氏链，记为
{ X n = X ( n), n = 0,1,2, L}
马氏链可看作在时间集 T = {0,1,2, L , n L} 上对离散状态的过程相继观察的结果。我们约 定链的状态空间为 I = {a1 , a 2 ,L , a n ,L}, a i ∈ R.
1 n
a i ∈I
1
n −1in
ai
ai
0
25
ai
2
ai
L
n−1
ai
ar∈I
=
ar ∈I
∑
P (k )Prj (n − k ) ir
P ( n) = P ( k ) P ( n − k )
12离散参数马氏链上
例1 Bernoulli序列是离散参数齐次马尔可夫
链. 验证 在Bernoulli序列{Xn,n=1,2,3,}中, 对任
意正整数 m, t1 t2 tm tm1
X t1 , X t2 , , X tm , X tm1 相互独立, 故对
jk 0,1, (k 1, 2,, m 1)
P{X (tm ) i}
四. 离散参数齐次马尔可夫链
定义3 设离散参数马尔可夫链
{X (t),t t0 ,t1,t2 ,,tn ,}
如果一步转移概率pij(tm)不依赖于参数tm 即对任意两个不等的参数tm和tk, mk,有
pij (tm ) pij (tk ) pij
则称此马尔可夫链具有齐次性或时齐性,称 X(t)为离散参数齐次马尔可夫链.
对于状态空间S内的任意两个状态 i 和j , 恒有
(1)
p(n) ij
(tm
)
0
(2)
p(n) ij
(tm
)
1,
n
1,
2,
jS
p(n) ij
(tm
)
P{X (tmn ) j | X (tm ) i}
jS
jS
P{X (tmn )
jS
j, X (tm ) i}
P{X (tm )
i}
1
P{X (tm ) i}
二．马尔可夫链的分类
状态空间S是离散的(有限集或可列集),参数 集T可为离散或连续的两类.
本课程主要介绍离散参数马尔可夫链.
三．离散参数马尔可夫链
1. 转移概率
定义2 设离散参数马尔可夫链 {X (t),t t0 ,t1,t2 ,,tn ,}
条件概率 P{X (tm1) j | X (tm ) i} pij (tm ) 称为X(t)在时刻(参数)tm由状态 i 一步转
第2章-马尔可夫链
0.4834
0.5009
例
甲、乙两人进行比赛，设每局比赛中甲胜的概率是p，
乙胜的概率是q，和局的概率是r ，（p q r 1）。
设每局比赛后，胜者记“+1”分，负者记“-1”分，
和局不记分。当两人中有一人获得2分结束比赛。X以n
表示比赛至第n局时甲获得的分数。
（1）写出状态空间；（2）求P(2)；
pij a0j,i ,
ji ji
显然{Yn,n≥1}也是一马尔可夫链。
例2 M/G/1排队系统
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不具马 尔可夫性。
Xn-----第n个顾客走后剩下的顾客数， Yn -----第n+1个顾客接受服务期间来到的顾客数，则
X
n1
Xn 1 Yn ,
CHAPTER 2 马尔可夫链
第一节 基本概念
一、马尔可夫链的定义及例子
1、定义
随机过程Xn, n 0,1, 2, 称为马尔可夫链，若它只
取有限或可列个值（称为过程的状态，记为0，1，2，…），
并且，对任意
及状态
，有
n0
i, j, i0 , i1, , in1
P( X n1 j X 0 i0 , X1 i1, , X n1 in1, X n i)
（3）问在甲获得1分的情况下，再赛二局可以结束比 赛的概率是多少？
解
（1）
记甲获得“负2分”为状态1，获得 “负1分”为状态2，获得“0分”为状态3， 获得“正1分”为状态4，获得“正2分”为 状态5，则状态空间为
I {1，2，3，4，5}
一步转移概率矩阵
1 0 0 0 0
q
r
p
马尔可夫链基础及应用
马尔可夫链基础及应用马尔可夫链是一种数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
马尔可夫链可以用于建模和分析许多实际问题，如天气预测、金融市场分析、自然语言处理等。
一、马尔可夫链的基本概念马尔可夫链由状态空间、初始状态分布和状态转移概率矩阵组成。
1. 状态空间：马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的所有状态的集合。
状态可以是离散的，也可以是连续的。
2. 初始状态分布：初始状态分布是指系统在初始时刻各个状态的概率分布。
通常用向量表示，向量的每个元素表示对应状态的概率。
3. 状态转移概率矩阵：状态转移概率矩阵描述了系统从一个状态转移到另一个状态的概率。
矩阵的每个元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有以下性质：1. 马尔可夫性：在给定当前状态的情况下，未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
2. 遍历性：从任意一个状态出发，经过有限步骤后可以到达任意一个状态。
3. 不可约性：任意两个状态之间存在一条路径，使得在有限步骤内可以从一个状态转移到另一个状态。
4. 非周期性：不存在一个状态，使得从该状态出发，经过若干步骤后又回到该状态的路径。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在许多领域有广泛的应用，下面以天气预测和自然语言处理为例进行说明。
1. 天气预测：天气是一个具有马尔可夫性质的随机过程。
我们可以通过观察历史天气数据，建立一个天气状态的马尔可夫链模型。
根据当前天气状态，可以预测未来几天的天气情况。
2. 自然语言处理：自然语言是一个具有马尔可夫性质的随机过程。
我们可以通过观察大量的文本数据，建立一个词语的马尔可夫链模型。
根据当前词语，可以预测下一个可能出现的词语。
马尔可夫链还可以应用于金融市场分析、生物信息学、信号处理等领域。
通过建立合适的状态空间和状态转移概率矩阵，可以对复杂的系统进行建模和分析，从而提供决策支持和预测能力。
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5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
› 以下定理显示，马氏链在时刻n的分布是如何依赖于 它的初始分布的。
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
首达概率、常返状态、非常返状态（暂态）
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
1/2 1/2
1 1
1/2
1/2 4
2
1/3 2/3
3
5.2 状态的分类及其性质
注：将直线上的随机徘徊推广到d 维空间，假设质点处在某一个格
点时，以等概率在下一时刻移动到与之相邻的任意格点上，便得到
Zd 上的对称随机徘徊。类似地，可得：
p(2n) 00
c
1 nd /2
所以，当 d <= 2 时，所有状态都是常返态；而当 d >= 3 时，所
有状态则均为暂态。
第5章 作业
› 教材 P111 习题5 1-4 › 补充作业
1/2 1/2
1 1
1/2
1/2 4
2
1/3 2/3
3
5.2 状态的分类及其性质
1/2 1/2
1 1
1/2
1/2 4
2
1/3 2/3
3
该马尔科夫链的状态分为三类：{1,2}，{3}，{4}。
5.2 状态的分类及其性质
n步转移概率的首达分解定理
证明：利用全概率公式
注：Tj表示过程
首次到达状态 j 的时间，称为 首达时间。
p (n) ijP{X nj|X0i}
P{X n j, X 0 i} P{X 0 i}
n
n
P{X n j, X 0 i,Tj l}
P{X n j | X 0 i,Tj l}P{Tj l, X 0 i}
l1
l1
P{X 0 i}
P{X 0 i}
n
n
P{X n j | X 0 i,Tj l}P{Tj l | X 0 i} P{X n j | X l j} fij(l)
› 也可以利用n步转移概率的首达分解定理证明。
5.2 状态的分类及其性质
› 常返态与暂态的充要条件
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
可见，各态互通，即状态空间不可约。
5.2 状态的分类及其性质
5.2 状态的分类及其性质
由于各状态是互通的，故而所有的状态具有相同的常返性和周期性。
方程
5.1 基本概念
› 马尔可夫链及其转移概率矩阵
5.1 基本概念
› 马尔可夫链及其转移概率矩阵
5.1 基本概念
› 马尔可夫链及其转移概率矩阵
5.1 基本概念
› 马尔可夫链及其转移概率矩阵
5.1 基本概念
› 马尔可夫链及其转移概率矩阵
5.1 基本概念
› 马尔可夫链举例
5.1 基本概念
› 马尔可夫链举例
l 1
l 1
n
f p (l ) (nl ) ij jj
l 1
5.2 状态的分类及其性质
› 常返态与暂态的充要条件
› 进而，对于暂态 j 有：
i,
n1
p(n) ij
fij 1 f jj
lim
n
p(n) ij
0
› 证明：可以母函数证明，思路比较清晰。详见《应用随机过程 -模型和方法》，龚光鲁 钱敏平，P29.
› 设行向量
(n) (i (n)), i (n) P{Xn i},i S
› 则有主方程：
(nm) (m) Pn
› 证明：
(n) (0)P(n) (0)Pn
j (m n) P{X mn j} P{X m i}P{X mn j | X m i} i i (m) pij (n) ( (m)P(n) ) j , j S i
第5章 马尔科夫链（上）
2016-2017学年第2学期 统计与信息学院 张建新
2017/4/17
第5章 马尔科夫（Markov）链
› 5.1 基本概念 › 5.2 状态的分类及其性质 › 5.3 极限定理即平稳分布 › 5.4 马尔可夫链的应用 › 5.5 连续时间马尔可夫链
5.1 基本概念
› 马尔可夫链及其转移概率矩阵 › 马尔可夫链举例 › n步转移概率矩阵、C-K方程与主
5.1 基本概念
› 马尔可夫链举例
5.1 基本概念
› 马尔可夫链举例
5.1 基本概念
› 马尔可夫链举例
5.1 基本概念
› 马尔可夫链举例
5.1 基本概念
› 马尔可夫链举例
5.1 基本概念
› 马尔可夫链举例
5.1 基本概念
› 马尔可夫链举例
5.1 基本概念
› 马尔可夫链举例
5.1 基本概念
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
已知初始分布为 (0) 0.25 0.30 0.35 0.1
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.2 状态的分类及其性质
可以利 用C-K 方程证 明（3）
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
5.1 基本概念
› n步转移概率矩阵、C-K方程与主方程
P00(3)=7/27