9.1+图形的旋转(练)

9.1 图形的旋转（巩固练习）一．选择题（共4小题）1．下列运动形式属于旋转的是( ) A ．在空中上升的氢气球 B ．飞驰的火车 C ．时钟上钟摆的摆动D ．运动员掷出的标枪2．如图，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转α，得到EBD ∆，若点A 恰好在ED 的延长线上，则CAD ∠的度数为( )A ．90α︒-B ．αC ．180α︒-D ．2α3．如图，以点A 为中心，把ABC ∆逆时针旋转120︒，得到△AB C ''（点B 、C 的对应点分别为点B '、)C '，连接BB '，若//AC BB ''，则CAB '∠的度数为( )A ．45︒B ．60︒C ．70︒D ．90︒4．如图，将直角三角形(90)ABC BAC ∠=︒绕点A 逆时针旋转一定角度得到直角三角形ADE ，若65CAE ∠=︒，若90AFB ∠=︒，则D ∠的度数为( )A ．60︒B ．35︒C ．25︒D ．15︒二．填空题（共4小题）5．小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印 （填“能”或“不能” )通过旋转与右手手印完全重合在一起．6．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，2BC =，△ABC ''可以由ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到，其中点A '与点A 是对应点，点B '与点B 是对应点，连接AB '，且A 、B '、A '在同一条直线上，则AA '的长为 ．7．如图，在ABC ∆中，8AC BC ==，90C ∠=︒，点D 为BC 中点，将ABC ∆绕点D 逆时针旋转45︒，得到△A B C '''，B C ''与AB 交于点E ，则ACDE S =四边形 ．8．如图，ABC ∆中，AB AC BC ==，P 为三角形内一点，2PA =，1PB =，PC ABC ∆的面积是 ．三．解答题（共4小题）9．如图，90ACD ∠=︒，AC DC =，MN 是过点A 的直线，DB MN ⊥于点B ，连接BC ． （1）当MN 绕A 旋转到如图1位置时，线段AB 、BC 、BD 之间满足怎样的数量关系，请写出你的猜想，并证明你的猜想．（2）MN 在绕点A 旋转过程中，当30BCD ∠=︒，BD =CB = ．10．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt ABC ∆的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(7,1)-，点B 的坐标为(3,1)-，点C 的坐标为(3,3)-．（1）若(,)P m n 为Rt ABC ∆内一点，平移Rt ABC ∆得到Rt △111A B C ，使点(,)P m n 移到点1(6,)P m n +处，试在图上画出Rt △111A B C ，并直接写出点1A 的坐标为 ；（2）将原来的Rt ABC ∆绕点B 顺时针旋转90︒得到Rt △222A B C ，试在图上画出Rt △222A B C ，并直接写出点A 到2A 运动路线的长度为 ；（3）将Rt △111A B C 绕点Q 旋转90︒可以和Rt △222A B C 完全重合，请直接写出点Q 的坐标为 ．11．在平面直角坐标系中，ABC ∆的位置如图所示，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C ；（2）将ABC ∆绕着点A 顺时针旋转180︒，画出旋转后得到的△222A B C ，并直接写出点2B ，2C 的坐标．12．将正方形ABCD 和正方形BEFG 如图（一)所示放置，已知AB =6BE =，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转一定的角度(0360)αα︒︒剟到图（二)所示：连接AE ，CG ，（1）求线段AE 与CG 的关系，并给出证明（2）当旋转至某一个角度时，点C ，E ，G 在同一条直线上，请画出示意图形，并求出此时AE 的长9.1 图形的旋转（巩固练习）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．下列运动形式属于旋转的是( ) A ．在空中上升的氢气球 B ．飞驰的火车 C ．时钟上钟摆的摆动D ．运动员掷出的标枪【分析】根据旋转的定义分别判断得出即可．【解答】解：A 、在空中上升的氢气球是平移，故此选项错误；B 、飞驰的火车投是平移，故此选项错误；C 、时钟上钟摆的摆动，属于旋转，故此选项正确；D 、运动员掷出的标枪传是平移，故此选项错误．故选：C ．2．如图，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转α，得到EBD ∆，若点A 恰好在ED 的延长线上，则CAD ∠的度数为( )A ．90α︒-B ．αC ．180α︒-D ．2α【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360︒，可以求得CAD ∠的度数，本题得以解决．【解答】解：由题意可得， CBD α∠=，ACB EDB ∠=∠， 180EDB ADB ∠+∠=︒， 180ADB ACB ∴∠+∠=︒，360ADB DBC BCA CAD ∠+∠+∠+∠=︒，CBD α∠=， 180CAD α∴∠=︒-，故选：C ．3．如图，以点A 为中心，把ABC ∆逆时针旋转120︒，得到△AB C ''（点B 、C 的对应点分别为点B '、)C '，连接BB '，若//AC BB ''，则CAB '∠的度数为( )A ．45︒B ．60︒C ．70︒D ．90︒【分析】先根据旋转的性质得到120BAB CAC ∠'=∠'=︒，AB AB ='，根据等腰三角形的性质易得30AB B ∠'=︒，再根据平行线的性质由//AC BB ''得30C AB AB B ∠''=∠'=︒，然后利用CAB CAC C AB ∠'=∠'-∠''进行计算．【解答】解：以点A 为中心，把ABC ∆逆时针旋转120︒，得到△AB C ''， 120BAB CAC ∴∠'=∠'=︒，AB AB ='， 1(180120)302AB B ∴∠'=︒-︒=︒，//AC BB ''，30C AB AB B ∴∠''=∠'=︒，1203090CAB CAC C AB ∴∠'=∠'-∠''=︒-︒=︒．故选：D ．4．如图，将直角三角形(90)ABC BAC ∠=︒绕点A 逆时针旋转一定角度得到直角三角形ADE ，若65CAE ∠=︒，若90AFB ∠=︒，则D ∠的度数为( )A ．60︒B ．35︒C ．25︒D ．15︒【分析】先根据旋转的性质得65BAD CAE ∠=∠=︒，B D ∠=∠，再利用互余计算出9025B BAD ∠=︒-∠=︒，即可．【解答】解：ABC ∆绕点A 逆时针旋转一定角度，得到ADE ∆， 65BAD CAE ∴∠=∠=︒，B D ∠=∠， 90AFB ∠=︒，9025B BAD ∴∠=︒-∠=︒， 25B D ∴∠=∠=︒．故选：C ．二．填空题（共4小题）5．小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印 不能 （填“能”或“不能” )通过旋转与右手手印完全重合在一起． 【分析】根据旋转的性质判断即可．【解答】解：不能，因为无论怎么旋转，两个图形都不能重合， 故答案为：不能．6．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，2BC =，△ABC ''可以由ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到，其中点A '与点A 是对应点，点B '与点B 是对应点，连接AB '，且A 、B '、A '在同一条直线上，则AA '的长为 6 ．【分析】利用直角三角形的性质得出4AB =，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出2AB '=，进而得出答案．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，2BC =， 30CAB ∴∠=︒，故4AB =，△A B C ''由ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到，其中点A '与点A 是对应点，点B '与点B 是对应点，连接AB '，且A 、B '、A '在同一条直线上， 4AB A B ∴=''=，AC AC ='， 30CAA A ∴∠'=∠'=︒， 30ACB B AC ∴∠'=∠'=︒， 2AB B C ∴'='=， 246AA ∴'=+=，故答案为6．7．如图，在ABC ∆中，8AC BC ==，90C ∠=︒，点D 为BC 中点，将ABC ∆绕点D 逆时针旋转45︒，得到△A B C '''，B C ''与AB 交于点E ，则ACDE S =四边形 28 ．【分析】利用旋转的性质得出45B BDE ∠=∠=︒，4BD =，进而由ACB BDE ACDE S S S ∆∆=-四边形求出即可．【解答】解：由题意可得：45B BDE ∠=∠=︒，4BD =， 则90DEB ∠=︒，BE DE ∴==，142BDE S ∆∴=⨯，1322ACB S AC BC ∆=⨯⨯=，28ACB BDE ACDE S S S ∆∆∴=-=四边形． 故答案为：28．8．如图，ABC ∆中，AB AC BC ==，P 为三角形内一点，2PA =，1PB =，PC ABC ∆的面积是．【分析】首先将ABP ∆以A 为旋转中心，逆时针旋转60︒得到ACD ∆，易得APD ∆是等边三角形，PCD ∆是直角三角形，继而求得90APC ∠=︒，由勾股定理，可求得AC 的长，继而求得答案．【解答】解：将ABP ∆以A 为旋转中心，逆时针旋转60︒得到ACD ∆，AP AD =，60PAD ∠=︒，1CD PB ==，2AD PA ==， PAD ∴∆是等边三角形，60APD ∴∠=︒，2PD PA ==， 3PC =，222PC CD PD ∴+=，PCD ∴∆是直角三角形，且90PCD ∠=︒， 1sin 2CD CPD PD ∴∠==， 30CPD ∴∠=︒，90APC APD CPD ∴∠=∠+∠=︒，AC ∴=11sin 6022ABC S AB AC ∆∴=︒==．三．解答题（共4小题）9．如图，90ACD ∠=︒，AC DC =，MN 是过点A 的直线，DB MN ⊥于点B ，连接BC ． （1）当MN 绕A 旋转到如图1位置时，线段AB 、BC 、BD 之间满足怎样的数量关系，请写出你的猜想，并证明你的猜想．（2）MN 在绕点A 旋转过程中，当30BCD ∠=︒，BD =时，则CB =1 ．【分析】（1）过点C 作CE CB ⊥于点C ，与MN 交于点E ，由余角的性质可得BCD ACE∠=∠，可证ACE DCB ∆≅∆，可得AE DB =，CE CB =，可证BD AB +=； （2）连接AD ，过点D 作DF BC ⊥于点F ，由题意可证点A ，点C ，点D ，点B 四点共圆，可得45CAD CBD ∠=∠=︒，由勾股定理可求BF ，CF 的长，即可求BC 的长．【解答】解：（1）BD AB +=理由如下：如图，过点C 作CE CB ⊥于点C ，与MN 交于点E90ACB BCD ∠+∠=︒，90ACB ACE ∠+∠=︒， BCD ACE ∴∠=∠ DB MN ⊥90ABC CBD ∴∠+∠=︒， CE CB ⊥90ABC CEA ∴∠+∠=︒， CBD CEA ∴∠=∠．又AC DC =，()ACE DCB AAS ∴∆≅∆，AE DB ∴=，CE CB =，ECB ∴∆为等腰直角三角形，BE ∴=．又BE AE AB =+，BE BD AB ∴=+，BD AB ∴+=（2）若点B 在CD 上方，连接AD ，过点D 作DF BC ⊥于点F ，AC CD =，90ACD ∠=︒， 45CAD ADC ∴∠=∠=︒，90ACD ABD ∠=∠=︒，∴点A ，点C ，点D ，点B 四点共圆，45CAD CBD ∴∠=∠=︒，且CF BC ⊥45FBD FDB ∴∠=∠=︒，且BD =1BF DF ∴==，30BCD ∠=︒，DF BC ⊥CF ∴=1BC CF BF ∴=+=当点B 在CD 的下方，同理可得1DF BF ==，CF1BC ∴=1110．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt ABC ∆的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(7,1)-，点B 的坐标为(3,1)-，点C 的坐标为(3,3)-．（1）若(,)P m n 为Rt ABC ∆内一点，平移Rt ABC ∆得到Rt △111A B C ，使点(,)P m n 移到点1(6,)P m n +处，试在图上画出Rt △111A B C ，并直接写出点1A 的坐标为 (1,1)- ；（2）将原来的Rt ABC ∆绕点B 顺时针旋转90︒得到Rt △222A B C ，试在图上画出Rt △222A B C ，并直接写出点A 到2A 运动路线的长度为 ；（3）将Rt △111A B C 绕点Q 旋转90︒可以和Rt △222A B C 完全重合，请直接写出点Q 的坐标为 ．【分析】（1）由点(,)P m n 移到点1(6,)P m n +处，得到三角形ABC 向右移动6个单位得到Rt △111A B C ，画出相应的图形，找出1A 坐标即可；（2）以B 为旋转中心，将原来的Rt ABC ∆绕点B 顺时针旋转90︒得到Rt △222A B C ，画出图形，点A 到2A 运动路线的长度为弧2AA 的长，利用弧长公式求出即可；．（3）在图形中找出(0,4)P ，可将Rt △111A B C 绕点P 旋转90︒可以和Rt △222A B C 完全重合 【解答】解：（1）根据题意得：Rt ABC ∆向右平移6个单位得到Rt △111A B C ，作出图形，如图所示，点1A 的坐标为(1,1)-；（2）如图所示，Rt △222A B C 为所求的三角形， 290ABA ∠=︒，4AB =，∴点A 到2A 运动路线的长度为弧2AA 的长9042180l ππ⨯⨯==； （3）如图所示，当(0,4)P 时，Rt △111A B C 绕点P 旋转90︒可以和Rt △222A B C 完全重合． 故答案为：（1）(1,1)-；（2）2π；（3）(0,4)．11．在平面直角坐标系中，ABC ∆的位置如图所示，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C ；（2）将ABC ∆绕着点A 顺时针旋转180︒，画出旋转后得到的△222A B C ，并直接写出点2B ，2C 的坐标．【分析】（1）分别作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点，再顺次连接可得； （2）分别作出点B 、C 绕着点A 顺时针旋转180︒所得对应点，顺次连接可得． 【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求；（2）如图所示，△222A B C 即为所求，2B 的坐标为(2,2)--，2C 的坐标为(3,1)-．12．将正方形ABCD 和正方形BEFG 如图（一)所示放置，已知AB =6BE =，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转一定的角度(0360)αα︒︒剟到图（二)所示：连接AE ，CG ，（1）求线段AE 与CG 的关系，并给出证明（2）当旋转至某一个角度时，点C ，E ，G 在同一条直线上，请画出示意图形，并求出此时AE 的长【分析】（1）由旋转中对应边和对应角相等，可证ABE CBG ∆≅∆，可得AE CG = （2）画图可知，点C 、E 、G 在同一条直线上存在两种情况，根据（1）的全等证明，可知AE CG =，利用CG 所在三角形利用勾股定理求出CH ，加上HG 可得CG 长度即AE 的长．【解答】解：（1）AE AG =AB CB =，ABE CBG ∠=∠，BE BG =()ABE CBG SAS ∴∆≅∆ AE CG ∴=（2）当E 在CG 线段上时，如图所示由（1）可知ABE CBG ∆≅∆∴=AE CG在Rt CBH∆中BC=BH EH==∴=CH∴=CE∴=CG∴=AE当点E在CG的延长线上时，如图所示由（1）可知ABE CBG∆≅∆∴=AE CG在Rt BHC∆中BH HG==BC=∴=CH∴=CG∴AE∴AE。