高二数学-南京市2015-2016学年高二上学期期末调研数学押题卷
2016-2017学年度高二第一学期期末调研试卷答案数学
南京市2016－2017学年度第一学期期末调研试卷 高二数学〔理科〕注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕两部分．本试卷总分值为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上1．命题“假设a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆否命题是 ▲ ．2．双曲线x 2－＝1的渐近线方程是 ▲ ．3．已知复数为纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点(4，3)到直线3x －4y ＋a ＝0的距离为1，则实数a 的值 是 ▲ ．5．曲线y ＝x 4与直线y ＝4x ＋b 相切，则实数b 的值是 ▲ ．6．已知实数x ，y 满足条件则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线C 上一点，且PF ＝5，则点P 的横坐标是 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与圆M :(x －3)2＋(y ＋4)2＝4相交，则r 的取值范围是 ▲ ．9．观察以下等式(sin)－2＋(sin)－2＝×1×2；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝×2×3；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×3×4；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×4×5；……依此规律，当n ∈N *时，(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝ ▲ ．10．假设“ x ∈R ，x 2＋ax ＋a ＝0”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知函数f (x )＝(x 2＋x ＋m )e x (其中m ∈R ，e 为自然对数的底数)．假设在x ＝－3处函数f (x )有极大值，则函数f (x )的极小值是 ▲ ．12．有以下命题：①“m ＞0”是“方程x 2＋my 2＝1表示椭圆”的充要条件；②“a ＝1”是“直线l 1:ax ＋y －1＝0与直线l 2:x ＋ay －2＝0平行”的充分不必要条件；③“函数f (x )＝x 3＋mx 单调递增”是“m ＞0”的充要条件；④已知p ，q 是两个不等价命题，则“p 或q 是真命题”是“p 且q 是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是 ▲ ．13．已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，左焦点为F ，点M 的坐标为 (－2c ，0)．假设椭圆E 上存在点P ，使得PM ＝PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是 ▲ ．14．已知t ＞0，函数f (x )＝假设函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(此题总分值14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 三个顶点坐标为A (7，8)，B (10，4)， C (2，－4)．(1)求BC 边上的中线所在直线的方程；(2)求BC 边上的高所在直线的方程．16．(此题总分值14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，(a n －3)a n ＋1－a n ＋4＝0(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明.17．(此题总分值14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线y ＝－2x 上，且圆M 与直线 x ＋y －1＝0相切于点P (2，－1)．(1)求圆M 的方程；(2)过坐标原点O 的直线l 被圆M 截得的弦长为，求直线l 的方程．18．(此题总分值16分)某休闲广场中央有一个半径．．为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF 和梯形DEFC )构成的六边形ABCDEF 区域，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 都在圆周上，CF 为圆的直径(如图)．设 ∠AOF ＝θ，其中O 为圆心．(1)把六边形ABCDEF 的面积表示成关于θ的函数f (θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积到达最大？并求最大面积．19．(此题总分值16分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，两个顶点分别为A (－a ，0)，B (a ，0)，点M (－1，0)，且3＝，过点M 斜率为k (k ≠0)的直线交椭圆E 于C ，D 两点，其中点C 在x 轴上方．(1)求椭圆E 的方程；(2)假设BC ⊥CD ，求k 的值；(3)记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：为定值．AB C F D E 〔第18题图〕 O θ20．〔此题总分值16分〕已知函数f(x)＝ax－ln x(a∈R).(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；(2)假设存在x∈[1，3]，使得＋ln x＝2成立，求a的取值范围;(3)假设对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f()成立，求a的取值范围.南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学〔理科〕参考答案及评分标准2017．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分〕1．假设|a |≠|b|，则a≠b 2．y＝±2x3．2 4．±5 5．－3 6．9 7．4 8．(3，7) 9．10．(－∞，0]∪[4，＋∞) 11．－1 12．②④13．[，] 14．(3，4)二、解答题〔本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕15．〔此题总分值14分〕解：〔1〕由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D的坐标为〔6，0〕，………………2分所以AD的斜率为k＝＝8，……………… 5分所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，即8x－y－48＝0．……………… 7分〔2〕由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝＝1，…… 9分所以BC边上的高所在直线的斜率为－1，………………… 12分所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－1(x－7)，即x＋y－15＝0．………………………… 14分16．〔此题总分值14分〕解：〔1〕令n＝1，－2a2＋3＝0，a2＝，………………1分令n＝2，－a3－＋4＝0，a3＝，………………2分令n＝3，－a4－＋4＝0，a4＝．………………3分〔2〕猜想a n＝(n∈N*)．………………5分证明：当n＝1时，a1＝1＝，所以a n＝成立，……………… 6分假设当n＝k时，a n＝成立，即a k＝，………………8分则(a k－3)a k＋1－a k＋4＝0，即(－3)a k＋1－＋4＝0，所以a k＋1＝，即a k＋1＝＝，所以当n＝k＋1时，结论a n＝成立. ………………12分综上，对任意的n∈N*，a n＝成立. ………………14分17．〔此题总分值14分〕解：〔1〕过点(2，－1)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－3＝0，……2分由解得所以圆心M的坐标为(1，－2)，………………4分所以圆M的半径为r＝＝，………………6分所以圆M的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．………………7分〔2〕因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d＝＝，……………9分假设直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．假设直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，由d＝＝，………………11分整理得k2＋8k＋7＝0，解得k＝－1或－7，………………13分所以直线l的方程为x＋y＝0或7x＋y＝0．………………14分18．〔此题总分值16分〕解：〔1〕作AH⊥CF于H，则OH＝cosθ，AB＝2OH＝2cosθ，AH＝sinθ，……………2分则六边形的面积为f (θ)＝2×(AB＋CF)×AH＝(2cosθ＋2)sinθ＝2(cosθ＋1)sinθ，θ∈(0，)．………………6分〔2〕f ′(θ)＝2[－sinθsinθ＋(cosθ＋1)cosθ]＝2(2cos2θ＋cosθ－1)＝2(2cosθ－1)(cosθ＋1)．………………10分令 f ′(θ)＝0，因为θ∈(0，)，所以cosθ＝，即θ＝，……………………12分当θ∈(0，)时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，)上单调递增；当θ∈(，)时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)在(，)上单调递减，…………14分所以当θ＝时，f (θ)取最大值f ()＝2(cos＋1)sin＝．…………15分答：当θ＝时，可使得六边形区域面积到达最大，最大面积为平方百米．…………………………16分19．〔此题总分值16分〕解：〔1〕因为3＝，所以3(－1＋a，0)＝(a＋1，0)，解得a＝2．………………2分又因为＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1．………………4分〔2〕方法1设点C的坐标为(x0，y0)，y0＞0,则＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．因为BC⊥CD，所以(－1－x0)( 2－x0)＋y02＝0．①……………6分又因为＋y02＝1，②联立①②，解得x0＝－，y0＝，………………8分所以k＝＝2．………………10分方法2因为CD的方程为y＝k(x＋1)，且BC⊥CD，所以BC的方程为y＝－(x－2)，………………6分联立方程组，可得点C的坐标为(，)，………………8分代入椭圆方程，得＋()2＝1，解得k＝±2．又因为点C在x轴上方，所以＞0，所以k＞0，所以k＝2 ………………10分〔3〕方法1因为直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．…………………12分所以＝＝＝＝…………………14分＝＝＝3，所以为定值．………………………16分方法2因为直线AD的方程为y＝k1(x＋2)，由解得D(，)，………………………12分因为直线BC的方程为y＝k2(x－2)，由解得C(，)，由于C，M，D三点共线，故，共线，又＝(＋1，)＝(，)，＝(＋1，)＝(，)，所以·＝·，……………14分化简得12k22k1－k1＝4k12k2－3k2，即(4k1k2＋1)(k1－3k2)＝0，假设4k1k2＋1＝0，则k2＝－代入C(，)，化简得C(，)，此时C与D重合，于是4k1k2＋1≠0，从而k1－3k2＝0，所以＝3，即为定值．………………………16分方法3设C(x0,y0)，则CD：y＝(x+1)(－2＜x0＜2且x0≠－1)，由消去y，得[(x0＋1)2＋4y02]x2＋8y02x＋4y02－4(x0＋1)2＝0. ………………12分又因为＋y02＝1，所以得D(，)，………………14分所以＝·＝·＝3，所以为定值．……………………16分方法4设D(x0，y0)，y0≠0，则k1k BD＝·＝＝＝－．…………………12分因为CD的方程为y＝k(x＋1)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以k2k BD＝×＝＝＝＝＝－．…………………14分又因为k1k BD＝－，所以＝3，即为定值．………………………16分20．〔此题总分值16分〕解：〔1〕a＝1时，f(x)＝x－ln x , 则f '(x)＝1－＝，令f '(x)＝0，则x＝1．……………………2分当0＜x＜1时，f '(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递减；当x＞1时，f '(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，………………3分所以当x＝1时，f (x)取到最小值，最小值为1．…………………4分〔2〕因为＋ln x＝2(x＞0)，所以ax－ln x＝(2－ln x)x2，即a＝2x－x ln x＋，…………………6分设g(x)＝2x－x ln x＋，x∈[1，3]，则g '(x)＝2－(1＋ln x)＋＝(1－ln x)(1＋)，令g '(x)＝0，解得x＝e，当1＜x＜e时，g '(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上单调递增；当e＜x＜3时，g '(x)＜0，所以g(x)在(e，3)上单调递减，………………8分因为g(1)＝2，g(e)＝e＋，g(3)＝6－ln3，因为6－ln3＞2，所以函数g (x)的值域是[2，e＋]，所以a的取值范围是[2，e＋]．………………10分〔3〕对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f()成立，则ax－ln x≥＋ln x，即a(x－)－2ln x≥0．令h(x)＝a(x－)－2ln x，则h'(x)＝a(1＋)－＝，①当a≥1时，ax2－2x＋a＝a(x－)2＋≥0，所以h'(x)≥0，因此h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以x∈[1，＋∞)时，恒有h(x)≥h(1)＝0成立，所以a≥1满足条件．………………12分②当0＜a＜1时，有＞1，假设x∈[1，]，则ax2－2x＋a＜0，此时h'(x)＝＜0，所以h(x)在[1，]上单调递减，所以h()＜h(1)＝0，即存在x＝＞1，使得h(x)＜0，所以0＜a＜1不满足条件．……………14分③当a≤0时，因为x≥1，所以h'(x)＝＜0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，所以a≤0不满足条件．综上，a的取值范围为[1，＋∞). ………………16分。
2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是．2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是．5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是．9．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=．10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是．14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是若|a|≠|b|，则a≠b．【解答】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是2．【解答】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是±5．【解答】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是﹣3．【解答】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）则有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；则：b=n﹣4=﹣3；故答案为：﹣3．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是9．【解答】解：实数x，y满足条件作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，则当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A（3，3）．此时z=9，故答案为：9．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是4．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：48．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是3＜r＜7．【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．9．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=n（n+1）．【解答】解：观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n （n+1），故答案为：n（n+1）10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2﹣4a≥0，解得：a∈（﹣∞，0]∪[4，+∞），故答案为：（﹣∞，0]∪[4，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是﹣1．【解答】解：f（x）=（x2+x+m）e x，f′（x）=（x2+3x+m+1）e x，若f（x）在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则f′（﹣3）=0，解得：m=﹣1，故f（x）=（x2+x﹣1）e x，f′（x）=（x2+3x）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣3，故f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，0）递减，在（0，+∞）递增，=f（0）=﹣1，故f（x）极小值故答案为：﹣1．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，若函数f （x）=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q 一定是真命题，故正确；故答案为：②④13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是[] ．【解答】解：设P（x，y），由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒（x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b ＞0）有公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[]14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是（3，4）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f′（x）=，当x＜，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故，=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：（1）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC中点D的坐标为（6，0），…（2分）所以AD的斜率为k==8，…（5分）所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y﹣0=8（x﹣6），即8x﹣y﹣48=0．…（7分）（2）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC所在直线的斜率为k==1，…（9分）所以BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，…（12分）所以BC边上的高所在直线的方程为y﹣8=﹣1（x﹣7），即x+y﹣15=0．…（14分）16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）令n=1，﹣2a2+3=0，a2=，令n=2，﹣a3﹣+4=0，a3=，令n=3，﹣a4﹣+4=0，a4=．（2）猜想a n=（n∈N*）．证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，则（a k﹣3）a k+1﹣a k+4=0，即（﹣3）a k+1﹣+4=0，所以a k+1=，即a k+1==，所以当n=k+1时，结论a n=成立．综上，对任意的n∈N*，a n=成立．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，…（2分）由解得，所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…（4分）所以圆M的半径为r=，…（6分）所以圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d==，…（9分）若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由d==，…（11分）整理得k2+8k+7=0，解得k=﹣1或﹣7，…（13分）所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…（14分）18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．【解答】（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）则六边形的面积为f （θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（6分）（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．…（10分）令f′（θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…（12分）当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，）上单调递增；当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（，）上单调递减，…（14分）所以当θ=时，f （θ）取最大值f （）=2（cos+1）sin=．…（15分）答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…（16分）19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【解答】解：（1）因为3=，所以3（﹣1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．…（2分）又因为=，所以c=，所以b2=a2﹣c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…（4分）（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，则=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0）．因为BC⊥CD，所以（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+y02=0．①…（6分）又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=﹣，y0=，…（8分）所以k==2．…（10分）（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（﹣2＜x0＜2且x0≠﹣1），由消去y，得x2+8y02x+4y02﹣4（x0+1）2=0．…（12分）又因为+y02=1，所以得D（，），…（14分）所以===3，所以为定值．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x﹣lnx（x＞0）的导数为f′（x）=1﹣=，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1；（2）存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2﹣lnx，即有a=，设g（x）=，x∈[1，3]，则g′（x）=（1﹣lnx）（1+），当1＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增；当e＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+；努力的你，未来可期！g（1）=2，g（3）=3（2﹣ln3）+＞2，则a的取值范围是[2，e+]；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，即为ax﹣lnx≥﹣ln，即有a（x﹣）≥2lnx，x≥1，令F（x）=a（x﹣）﹣2lnx，x≥1，F′（x）=a（1+）﹣，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即有a（1+）﹣≥0，即a≥，由=＜=1，则a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞）．。
【数学】2015-2016年高二上数学期末试卷与答案
南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学卷2016.01一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．命题：“ x ∈Q ，x 2－8＝0”的否定是▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 经过点(4，2)，则实数p ＝▲．3．在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋21＝0的半径为▲．4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程是▲．5．已知p ：0＜m ＜1，q ：椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则p 是q 的▲条件（用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”填空）．6．函数f (x )＝x ＋sin x 的图象在点O (0，0)处的切线方程是▲．7．已知实数x ，y≥1，≥0，＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是▲．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C 、D 的双曲线的离心率是▲．9．函数f (x )＝xex （e 为自然对数的底数）的最大值是▲．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (3，0)，动点P 满足2PO ＝PA ，则点P的轨迹方程是▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到点A (3，0)的距离等于它到准线的距离，则PA ＝▲．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t ＞0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是▲．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0和圆M ：x 2＋y 2＝9．若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l 的距离为2，则实数m 的取值范围是▲．14．已知函数y ＝x 3－3x 在区间[a ，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a 的所有值是▲．xO y A B CD(第8题)二、解答题：本大题共6小题，共计58分．15．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点(0，2)，其焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面积．16．（本题满分10分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|x2－ax＜0}．（1）若a＝2，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)．（1）求圆M 的方程；（2）若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ →＝0，求实数m 的值．18．（本题满分10分）A 、B 两地相距300km ，汽车从A 地以v km/h 的速度匀速行驶到B 地（速度不超过60km/h ）．已知汽车每小时．．．的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v 的立方成正比，比例系数为11000．设全程的运输成本为y 元．（1）求y 关于v 的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？已知函数f(x)＝ln x．（1）若直线y＝2x＋p(p∈R)是函数y＝f(x)图象的一条切线，求实数p的值．（2）若函数g(x)＝x－mx－2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2m＋8＋y2m＝1(m＞0)的离心率为63．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，求满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值；若不存在，说明理由．南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．∀x ∈Q ，x 2－8≠02．123．24．y ＝±x 5．充要6．y ＝2x7．28．2＋19．1e10．x 2＋y 2＋2x －3＝011．312．2313．[－52，52]14．0和3－1二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解（1）由题意可知，c ＝5，b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝9，……………………2分所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1．……………………4分（2）方法（一）由（1）可知，F 1F 2＝25，PF 1＋PF 2＝6，又PF 1＝4，所以PF 2＝2，…………………6分所以PF 12＋PF 22＝F 1F 22，所以PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为12×PF 1·PF 2＝4．……………………8分方法（二）由（1）可知e ＝53，设P (x 0，y 0)，因为PF 1＝4，所以3＋53x 0＝4，解得x 0＝35，…………………6分代入方程得15＋y 024＝1，解得|y 0|＝45，所以△PF 1F 2的面积为12×25×45＝4．……………………8分16．解（1）当a ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜2}．………………………3分所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．………………………5分（2）a ＝0时，B ＝∅，a ＜0时，B ＝{x |a ＜x ＜0}，a ＞0时，B ＝{x |0＜x ＜a }．…………7分因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，＋∞)．……………………10分17．解（1）方法（一）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，＋F＋1＝0，D＋F＋9＝0，＋F＋1＝0，…………………………2分＝－4，＝－4，＝3．所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0．……………………4分方法（二）线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，＝x，＝2，解得M(2，2)．……………………2分所以圆M的半径r＝AM＝5，所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．……………………4分（2）因为·＝0，所以∠PMQ＝π2．又由（1）得MP＝MQ＝r＝5，所以点M到直线l的距离d＝102．………………………8分由点到直线的距离公式可知，|2m－4－2m－1|m2＋4＝102，解得m＝±6．………………………10分18．解（1）由题意知y＝(v31000＋250)×300v＝300(v21000＋250v)（0＜v≤60）．……………………4分（2）设f(v)＝v21000＋250v，v＞0，则f′(v)＝v500－250v2，由f′(v)＝0得，v＝50，……………………6分当0＜v＜50时，f′(v)＜0，当50＜v＜60时，f′(v)＞0，…………………8分所以v＝50时，f(v)取得最小值，即y取得最小值．答：为使全程运输成本最小，汽车应以50km/h速度行驶．………………10分19．解（1）方法（一）由题意知f ′(x )＝1x．设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝2，解得x 0＝12，所以切点的坐标为(12，－ln2)，代入直线y ＝2x ＋p ，解得p ＝－1－ln2．……………………4分方法（二）f ′(x )＝1x，设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则切线的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0·x ＋ln x 0－1，又切线方程为y ＝2x ＋p ，2，ln x 0－1，解得p ＝－1－ln2．…………………4分（2）函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝1＋m x 2－2x ＝x 2－2x ＋mx 2．………………6分由题意可知，关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，…………………8分＞0，4－4m ＞0，解得0＜m ＜1．即实数m 的取值范围是(0，1)．…………………10分20．解（1）由题意a 2＝m ＋8，b 2＝m ，所以c 2＝a 2－b 2＝8．又椭圆的离心率为63，所以8m ＋8＝23，解得m ＝4．…………………3分（2）由（1）知椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1，所以A (0，2)．假设存在椭圆C 的一条弦AB 满足条件．方法（一）当AB 斜率不存在时，AB 的方程为x ＝0，显然符合题意，此时P (0，0)，r ＝1．……………………4分当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，P (x 0，y 0)，x 2＋3y 2＝12，y ＝kx ＋2，消去y ，整理得，(1＋3k 2)x 2＋12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝－12k1＋3k 2，……………………6分所以x 0＝－6k1＋3k 2，y 0＝21＋3k2．由21＋3k 2－0－6k 1＋3k 2－1×k ＝－1，得3k 2＋4k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－13．………………………9分所以直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22，或直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………10分方法（二）设P (x 0，y 0)，则B (2x 0，2y 0－2)．因为B 在椭圆C 上，所以(2x 0)2＋3(2y 0－2)2＝12，即x 20＋3(y 0－1)2＝3，所以x 20＋3y 20－6y 0＝0．①……………………5分设M (1，0)，则MP ⊥AB ，所以·＝0，即2x 0(x 0－1)＋(2y 0－4)y 0＝0，x 20＋y 20－x 0－2y 0＝0．②…………………7分0＝0，0＝0，0＝0，0＝2，(舍)0＝32，0＝32，0＝32，0＝12．当点P 为(0，0)时，直线AB 方程为x ＝0，r ＝1；当点P 为(32，32)时，直线AB 方程为y ＝－13x ＋2，r ＝102．当点P 为(32，12)时，直线AB 方程为y ＝－x ＋2，r ＝22．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………………10分。
江苏省南师大附校2015-2016学年高二上学期8月调研测试数学试题 Word版含答案[ 高考]
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南师大附校高二调研测试数 学 2015．08.31注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填涂在答题卡上指定的位置． 3．答题时，必须用黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上指定的位置，在其他位置作答一律无效．4．本卷考试结束后，上交答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∪B ＝ ▲ ． 2．函数f (x )＝sin x cos x 的最小正周期是 ▲ ．3．已知tan α＝－2，，且π2＜α＜π，则cos α＋sin α＝ ▲ ．4．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，x )，且(a ＋b )⊥ a ，则实数x 的值为 ▲ ．5．已知直线l ：x ＋my ＋6＝0，若点A (－5，1)到直线l 的距离为2，则实数m 的值为 ▲ ．6．若A (1，2)，B (－3，4)，C (2，t )三点共线，则实数t 的值为 ▲ ． 7．已知圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的体积为 ▲ ．8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知C ＝120︒，c ＝23，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 的面积为 ▲ ．9．对于不重合直线a ，b ，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中，能推出α∥β的有 ▲ ．（填写所有正确的序号）．①γ⊥α，γ⊥β； ②α∥γ，β∥γ； ③a ∥α，a ∥β； ④a ∥b ，a ⊥α，b ⊥β．10．已知函数f (x )＝a ＋14x －1是奇函数，则实数a 的值为 ▲ ．11．设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 12．已知公差不为零的等差数列{a n }的前8项的和为8，且a 12＋a 72＝a 32＋a 92，则{a n }的通项公式为a n ＝ ▲ ．13．某地一天6时至20时的温度y (︒C )随时间x (小时)的变化近似满足函数y ＝10sin(π8x ＋3π4)＋20，x ∈[6，20]．在上述时间范围内，温度不低于20︒C 的时间约有 ▲ 小时．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －2|， 1≤x ≤3，3f (x 3)， x ＞3．若将集合A ＝{x ∣f (x )＝t ，0＜t ＜1}中元素由小到大排列，则前六个元素之和为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (3,5)，AB 边所在直线的方程为x -3y +8=0，点N (0,6)在AD 边所在直线上． （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求对角线AC 所在直线的方程．16．（本小题满分为14分）在△ABC 中，已知cos A ＝45，tan(B －A )＝17，AC ＝5．求： （1）B ； （2）AB 边的长．17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知点D为棱BC中点．（1）如果AB＝AC，求证：平面ADC1 平面BB1C1C；（2）求证：A1B∥平面AC1D．18．（本小题满分16分）设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，已知它的前10项和为110，且a1，a2，a4 成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{1a n a n＋1}的前n项和T n ．C1ABCA1B1D（第17题图）19．（本小题满分16分）如图，某小区进行绿化改造，计划围出一块三角形绿地ABC，其中一边利用现成的围墙BC，长度为a米，另外两边AB，AC使用某种新型材料，∠BAC＝120︒．设AB＝x米，AC＝y 米．（1）求x，y满足的关系式；（2）若无论如何设计上述三角形绿地确保此材料都够用，则至少需准备长度为多少的此种新型材料？20．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝ax2－|x－a|．（1）当a＝3时，求不等式f(x)＞7的解集；A（第19题图）（2）当a ＞0时，求函数f (x )在区间[3，＋∞)上的值域．高二数学参考答案及评分标准2015.08说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{1，2，3，4}． 2．π． 3．55． 4．－7． 5．1． 6．32． 7．833π． 8．3． 9．②④． 10．12． 11．(0，94] 12．－2n ＋10． 13．8． 14．52． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解 (1)解法一：因为AB 边所在直线的方程为x －3y ＋8＝0 ，所以k AB ＝13．…………………… 2分又因为矩形ABCD 中，AD ⊥AB ，所以k AD ＝－1k AB＝－3． ………………………… 4分所以由点斜式可得AD 边所在直线的方程为：y －6＝－3(x －0)， 即3x＋y－6＝0． ………………………… 6分解法二：因为矩形ABCD 中，AD ⊥AB ， 所以设AD边所在直线的方程为：3x ＋y ＋m ＝0． ………………………… 4分又因为直线AD 过点N (0，6)， 所以将点N (0，6)代入上式得3×0＋6＋m ＝0，解得m ＝－6． 所以AD边所在直线的方程为：3x ＋y －6＝0． ………………………… 6分(2)由⎩⎨⎧ x －3y ＋8＝0， 3x ＋y －6＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即A (1，3)， ………………………… 10分所以对角线AC 所在直线的方程：y －3 5－3 ＝x －13－1 ，即x－y＋2＝0． ………………………… 14分 16．解 (1) 解法一：在△ABC 中，因为 cos A ＝45，所以tan A ＝34， ………………………… 2分所以tan B ＝tan[(B －A )＋A ]＝tan(B －A )＋tan A1－tan(B －A ) tan A＝17＋341－17·34＝1． ………………………… 4分因为B∈(0，π)，所以B＝π4． ………………………… 6分解法二：在△ABC中，因为cos A ＝45，所以tan A ＝34， ………………………… 2分所以tan(B －A )＝tan B －tan A1＋tan B ·tan A＝tan B －341＋tan B ·34＝17，解得tan B ＝1． ………………………… 4分因为B∈(0，π)，所以B＝π4． ………………………… 6分 (2) 在△ABC 中，由cos A ＝45，B ＝π4， 可得sin A＝35，sin B＝cos B＝22， ………………………… 9分从而sin C＝sin(A＋B )＝sin A cos B＋cos A sin B＝7210． ………………………… 11分由正弦定理AC sin B ＝ABsin C ，代入得522＝AB7210，从而AB ＝7． …………………………14分解法二：作CD ⊥AB ，垂足为D ，由AC ＝5，cos A ＝45， 所以CD＝3，AD＝4， ………………………… 9分又B ＝π4，所以BD ＝CD ＝3， ………………………… 12分所以AB＝3＋4＝7． ………………………… 14分17．证明 （1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．因为AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD ． ……………………… 2分 因为AB ＝AC ，D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ．………………… 4分 因为BC ⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ，BC ∩CC 1＝C ，所以AD ⊥平面BB 1C 1C ． ………………………… 6分C 1ACA 1B 1DE因为AD ⊂平面AC 1D ，所以平面AC 1D ⊥平面BB 1C 1C ． ……………………………8分 （2）连结A 1C ，设A 1C ∩AC 1＝E ，连结DE ．因为在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 为平行四边形， 所以E为A 1C中点． ………………………… 10分 因为D为BC中点，所以DE∥A 1B ． ………………………… 12分 因为DE ⊂平面AC 1D ，A 1B ⊄平面AC 1D ， 所以A 1B∥平面AC 1D ． ………………………… 14分18．解 （1）设{a n }的前n 项和为S n ，则由S 10＝110，得2a 1＋9d ＝22．① ………………………… 4分由a 1，a 2，a 4成等比数列，得a 22＝a 1a 4． ② ………………………… 6分由①②解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2．所以a n＝2n ； ………………………… 8分 （2）1 a n a n ＋1＝12n (2n +2)＝14(1n－1n ＋1)， ………………………… 12分 所以T n ＝14[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝n4(n +1)． ………………………… 16分19．解（1）在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝x 2＋y 2－2xy cos120︒，即x 2＋y 2＋xy＝a 2； ………………………… 5分（2）由x 2＋y 2＋xy ＝a 2，得(x ＋y )2＝a 2＋xy ，即 (x ＋y )2－a 2＝xy ． ………………………… 8分由xy ≤(x ＋y 2)2，得 (x ＋y )2－a 2≤(x ＋y2)2， ………………………… 12分解得(x＋y )2≤43a 2，即x＋y≤233a ， ………………………… 14分当且仅当x ＝y ＝33a 时取等号．答：至少需要准备233a 米材料，才能确保能够围成上述三角形绿地． ………………………… 16分20．解 （1）当a ＝3时，不等式f (x )＞7，即3x 2－|x －3|＞7，①当x ≥3时，原不等式化为3x 2－x －4＞0， 解得x＜－1或x＞43，此时取x≥3； ………………………… 2分②当x ＜3时，原不等式化为3x 2＋x －10＞0， 解得x ＜－2或x ＞53，此时取x ＜－2或53＜x ＜3． ………………………… 4分综上，所求不等式解集为{x ∣x ＜－2或x ＞53}． ………………………… 6分（2）（Ⅰ）当0＜a ≤3时，f (x )＝ax 2－x ＋a ＝a (x －12a )2＋a －14a ．①若12a ＜3，即16＜a ≤3时，f (x )在[3，＋∞)上单调增，值域为[f (3)，＋∞)，即[10a－3，＋∞)； ………………………… 8分②若12a ≥3，即0＜a ≤16时，值域为[f (12a )，＋∞)， 即[a－14a，＋∞)． ………………………… 10分（Ⅱ）当a ＞3时，f (x )＝⎩⎨⎧ax 2－x ＋a ，x ≥a ，ax 2＋x －a ，3≤x ＜a ．①当x ≥a 时，f (x )＝ax 2－x ＋a ＝a (x －12a )2＋a －14a ，图象开口向上， 对称轴x ＝12a 在[a ，＋∞)的左边，则f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )∈[f (a )，＋∞)，即[a 3，＋∞)． ………………………… 12分②当3≤x ＜a 时，f (x )＝ax 2＋x －a ＝a (x ＋12a )2－a －14a ，图象开口向上， 对称轴x ＝－12a 在区间[3，a )的左边，f (x )在[3，a )上为增函数，所以f (x )∈[f (3)，f (a ))，即f (x )∈[8a ＋3，a 3)． ………………………… 14分所以当a ＞3时，f (x )∈[a 3，＋∞)∪[8a ＋3，a 3)， 即f (x )∈[8a ＋3，＋∞)．综上所述，当0＜a ≤16时，f (x )值域为[a －14a ，＋∞)；当16<a ≤3时，f (x )值域为[10a －3，＋∞)；当a ＞3时， f (x )值域为[8a ＋3，＋∞)． (16)分。
2015-2016学年高二数学练习第三章《不等式》章末归纳总结新人教A版必修5
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 不等式章末归纳总结新人A 教版必修5一、选择题1．(2015·四川理，1)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |1<x <2}D ．{x |2<x <3}[分析] 考查集合的基本运算和一元二次不等式的解法．解答本题先解不等式求出A ，再按并集的意义求解．[答案] A[解析] A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <3}，选A ．2．已知a ＋b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－b ＞－a ＞b C ．a ＞－b ＞b ＞－a D ．a ＞b ＞－a ＞－b[答案] C [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b ＞0⇒a ＞－b b ＜0⇒－b ＞0⇒a ＞－b ＞0⇒－a ＜b ＜0.∴选C ．另解：可取特值检验．∵a ＋b >0，b <0，∴可取a ＝2，b ＝－1，∴－a ＝－2，－b ＝1，∴－a <b <－b <a ，排除A 、B 、D ，∴选C ．3．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1，或x ≥92B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤92C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－92或x ≥1 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－92≤x ≤1 [答案] D[解析] 解法1：取x ＝1检验，满足排除A ；取x ＝4检验，不满足排除B ，C ；∴选D ． 解法2：化为：2x 2＋7x －9≤0， 即(x －1)(2x ＋9)≤0，∴－92≤x ≤1.4．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][答案] D[解析] ∵2x＋2y≥22x ＋y，∴22x ＋y≤1，∴2x ＋y≤14＝2－2，∴x ＋y ≤－2，故选D ． 5．(2014·安徽理，5)x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1[答案] D[解析] 本题考查线性规划问题．如图，z ＝y －ax 的最大值的最优解不唯一，即直线y ＝ax ＋z 与直线2x －y ＋2＝0或x ＋y －2＝0重合，∴a ＝2或－1.画出可行域，平移直线是线性规划问题的根本解法．6．当x ∈R 时，不等式kx 2－kx ＋1>0恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．[0,4) D ．(0,4)[答案] C[解析] k ＝0时满足排除A 、D ；k ＝4时，不等为4x 2－4x ＋1>0，即(2x －1)2>0，显然当x ＝12时不成立．排除B ，选C ．二、填空题7．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. [答案] 36[解析] 由基本不等式可得4x ＋a x≥24x ·ax ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时等号成立．故a2＝3，a ＝36.8．已知：a 、b 、x 、y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系是________．[答案] ab ≥xy[解析] ab ＝ab ·(1a ＋1b)＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≥4，等号在a ＝2，b ＝2时成立，xy ≤x 2＋y 22＝4，等号在x ＝y ＝2时成立，∴ab ≥xy .三、解答题9．(1)设a 、b 、c 为△ABC 的三条边，求证：a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )； (2)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．[分析] (1)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，各边长均为正数．再结合轮换对称关系设法构造三个不等式相加．(2)由ab ＝a ＋b ＋3出发，求ab 的范围，关键是寻找ab 与a ＋b 之间的联系，由此联想到基本不等式a ＋b ≥2ab .[解析] (1)∵a 、b 、c 是△ABC 的三边， 不妨设a ≥b ≥c >0则a >b －c ≥0，b >a －c ≥0，c >a －b ≥0.平方得：a 2>b 2＋c 2－2bc ，b 2>a 2＋c 2－2ac ，c 2>a 2＋b 2－2ab ，三式相加得：0>a 2＋b 2＋c 2－2bc －2ac －2ab . ∴2ab ＋2bc ＋2ac >a 2＋b 2＋c 2. (2)令ab ＝t (t >0)． ∵a ，b 均为正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即得t 2≥2t ＋3，解得t ≥3或t ≤－1(舍去)， ∴ab ≥3， 故ab ≥9，∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．10．m 为何值时，关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根： (1)都大于1；(2)一根大于2，一根小于2. [解析] 设方程的两根分别为x 1、x 2. (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2>2x 1－x 2－，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2－m －m －18>2m －78－m －18＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤9或m ≥25m >17m ∈R，∴m ≥25.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1－x 2－，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2－m －m －78－m －8＋4<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <9或m >25m >27，∴m >27.一、选择题11．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0≤x ≤1}[答案] B[解析] 因为集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}，选B ． 12．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B ．log 12b <log 12a <0C ．2b<2a <2 D ．a 2<ab <1[答案] C[解析] 取a ＝12，b ＝13验证可知选C ．13．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <abB ．v ＝abC ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2[答案] A[解析] 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab . 又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a2a ＋b＝0，∴v >a .14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，＋∞)D ．[－12，1)[答案] D[解析] 作出可行域如右图所示，由于ω＝y －1x ＋1可理解为经过点P (－1,1)与点(x ，y )的直线的斜率，而k PA ＝0－11－－＝－12，另一直线斜率趋向1，因此ω的取值范围为[－12，1)．二、填空题15．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．[答案] 20[解析] 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立．故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．16．(2014·苏州调研)若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－12)[解析] 依题意，对任意的x ∈[4，＋∞)，有f (x )＝(mx ＋1)(m 2x －1)＜0恒成立，结合图象分析可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－1m＜4，1m 2＜4，由此解得m ＜－12，即实数m 的取值范围是(－∞，－12)．三、解答题17．已知a ∈R ，试比较11－a 与1＋a 的大小．[解析] 11－a －(1＋a )＝a21－a .①当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a . ②当a ＜1且a ≠0时，a 21－a ＞0，∴11－a ＞1＋a .③当a ＞1时，a 21－a ＜0，∴11－a＜1＋a . 综上所述，当a ＝0时，11－a ＝1＋a ；当a ＜1且a ≠0时，11－a ＞1＋a ；当a ＞1时，11－a＜1＋a . 18．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．[解析] (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。
2016-2017学年度高二第一学期期末调研试卷答案数学
南京市2016－2017学年度第一学期期末调研试卷 高二数学〔理科〕注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕两部分．本试卷总分值为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上1．命题“假设a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆否命题是 ▲ ．2．双曲线x 2－＝1的渐近线方程是 ▲ ．3．已知复数为纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点(4，3)到直线3x －4y ＋a ＝0的距离为1，则实数a 的值 是 ▲ ．5．曲线y ＝x 4与直线y ＝4x ＋b 相切，则实数b 的值是 ▲ ．6．已知实数x ，y 满足条件则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线C 上一点，且PF ＝5，则点P 的横坐标是 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与圆M :(x －3)2＋(y ＋4)2＝4相交，则r 的取值范围是 ▲ ．9．观察以下等式(sin)－2＋(sin)－2＝×1×2；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝×2×3；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×3×4；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×4×5；……依此规律，当n ∈N *时，(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝ ▲ ．10．假设“ x ∈R ，x 2＋ax ＋a ＝0”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知函数f (x )＝(x 2＋x ＋m )e x (其中m ∈R ，e 为自然对数的底数)．假设在x ＝－3处函数f (x )有极大值，则函数f (x )的极小值是 ▲ ．12．有以下命题：①“m ＞0”是“方程x 2＋my 2＝1表示椭圆”的充要条件；②“a ＝1”是“直线l 1:ax ＋y －1＝0与直线l 2:x ＋ay －2＝0平行”的充分不必要条件；③“函数f (x )＝x 3＋mx 单调递增”是“m ＞0”的充要条件；④已知p ，q 是两个不等价命题，则“p 或q 是真命题”是“p 且q 是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是 ▲ ．13．已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，左焦点为F ，点M 的坐标为 (－2c ，0)．假设椭圆E 上存在点P ，使得PM ＝PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是 ▲ ．14．已知t ＞0，函数f (x )＝假设函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(此题总分值14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 三个顶点坐标为A (7，8)，B (10，4)， C (2，－4)．(1)求BC 边上的中线所在直线的方程；(2)求BC 边上的高所在直线的方程．16．(此题总分值14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，(a n －3)a n ＋1－a n ＋4＝0(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明.17．(此题总分值14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线y ＝－2x 上，且圆M 与直线 x ＋y －1＝0相切于点P (2，－1)．(1)求圆M 的方程；(2)过坐标原点O 的直线l 被圆M 截得的弦长为，求直线l 的方程．18．(此题总分值16分)某休闲广场中央有一个半径．．为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF 和梯形DEFC )构成的六边形ABCDEF 区域，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 都在圆周上，CF 为圆的直径(如图)．设 ∠AOF ＝θ，其中O 为圆心．(1)把六边形ABCDEF 的面积表示成关于θ的函数f (θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积到达最大？并求最大面积．19．(此题总分值16分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，两个顶点分别为A (－a ，0)，B (a ，0)，点M (－1，0)，且3＝，过点M 斜率为k (k ≠0)的直线交椭圆E 于C ，D 两点，其中点C 在x 轴上方．(1)求椭圆E 的方程；(2)假设BC ⊥CD ，求k 的值；(3)记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：为定值．AB C F D E 〔第18题图〕 O θ20．〔此题总分值16分〕已知函数f(x)＝ax－ln x(a∈R).(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；(2)假设存在x∈[1，3]，使得＋ln x＝2成立，求a的取值范围;(3)假设对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f()成立，求a的取值范围.南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学〔理科〕参考答案及评分标准2017．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分〕1．假设|a |≠|b|，则a≠b 2．y＝±2x3．2 4．±5 5．－3 6．9 7．4 8．(3，7) 9．10．(－∞，0]∪[4，＋∞) 11．－1 12．②④13．[，] 14．(3，4)二、解答题〔本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕15．〔此题总分值14分〕解：〔1〕由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D的坐标为〔6，0〕，………………2分所以AD的斜率为k＝＝8，……………… 5分所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，即8x－y－48＝0．……………… 7分〔2〕由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝＝1，…… 9分所以BC边上的高所在直线的斜率为－1，………………… 12分所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－1(x－7)，即x＋y－15＝0．………………………… 14分16．〔此题总分值14分〕解：〔1〕令n＝1，－2a2＋3＝0，a2＝，………………1分令n＝2，－a3－＋4＝0，a3＝，………………2分令n＝3，－a4－＋4＝0，a4＝．………………3分〔2〕猜想a n＝(n∈N*)．………………5分证明：当n＝1时，a1＝1＝，所以a n＝成立，……………… 6分假设当n＝k时，a n＝成立，即a k＝，………………8分则(a k－3)a k＋1－a k＋4＝0，即(－3)a k＋1－＋4＝0，所以a k＋1＝，即a k＋1＝＝，所以当n＝k＋1时，结论a n＝成立. ………………12分综上，对任意的n∈N*，a n＝成立. ………………14分17．〔此题总分值14分〕解：〔1〕过点(2，－1)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－3＝0，……2分由解得所以圆心M的坐标为(1，－2)，………………4分所以圆M的半径为r＝＝，………………6分所以圆M的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．………………7分〔2〕因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d＝＝，……………9分假设直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．假设直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，由d＝＝，………………11分整理得k2＋8k＋7＝0，解得k＝－1或－7，………………13分所以直线l的方程为x＋y＝0或7x＋y＝0．………………14分18．〔此题总分值16分〕解：〔1〕作AH⊥CF于H，则OH＝cosθ，AB＝2OH＝2cosθ，AH＝sinθ，……………2分则六边形的面积为f (θ)＝2×(AB＋CF)×AH＝(2cosθ＋2)sinθ＝2(cosθ＋1)sinθ，θ∈(0，)．………………6分〔2〕f ′(θ)＝2[－sinθsinθ＋(cosθ＋1)cosθ]＝2(2cos2θ＋cosθ－1)＝2(2cosθ－1)(cosθ＋1)．………………10分令 f ′(θ)＝0，因为θ∈(0，)，所以cosθ＝，即θ＝，……………………12分当θ∈(0，)时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，)上单调递增；当θ∈(，)时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)在(，)上单调递减，…………14分所以当θ＝时，f (θ)取最大值f ()＝2(cos＋1)sin＝．…………15分答：当θ＝时，可使得六边形区域面积到达最大，最大面积为平方百米．…………………………16分19．〔此题总分值16分〕解：〔1〕因为3＝，所以3(－1＋a，0)＝(a＋1，0)，解得a＝2．………………2分又因为＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1．………………4分〔2〕方法1设点C的坐标为(x0，y0)，y0＞0,则＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．因为BC⊥CD，所以(－1－x0)( 2－x0)＋y02＝0．①……………6分又因为＋y02＝1，②联立①②，解得x0＝－，y0＝，………………8分所以k＝＝2．………………10分方法2因为CD的方程为y＝k(x＋1)，且BC⊥CD，所以BC的方程为y＝－(x－2)，………………6分联立方程组，可得点C的坐标为(，)，………………8分代入椭圆方程，得＋()2＝1，解得k＝±2．又因为点C在x轴上方，所以＞0，所以k＞0，所以k＝2 ………………10分〔3〕方法1因为直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．…………………12分所以＝＝＝＝…………………14分＝＝＝3，所以为定值．………………………16分方法2因为直线AD的方程为y＝k1(x＋2)，由解得D(，)，………………………12分因为直线BC的方程为y＝k2(x－2)，由解得C(，)，由于C，M，D三点共线，故，共线，又＝(＋1，)＝(，)，＝(＋1，)＝(，)，所以·＝·，……………14分化简得12k22k1－k1＝4k12k2－3k2，即(4k1k2＋1)(k1－3k2)＝0，假设4k1k2＋1＝0，则k2＝－代入C(，)，化简得C(，)，此时C与D重合，于是4k1k2＋1≠0，从而k1－3k2＝0，所以＝3，即为定值．………………………16分方法3设C(x0,y0)，则CD：y＝(x+1)(－2＜x0＜2且x0≠－1)，由消去y，得[(x0＋1)2＋4y02]x2＋8y02x＋4y02－4(x0＋1)2＝0. ………………12分又因为＋y02＝1，所以得D(，)，………………14分所以＝·＝·＝3，所以为定值．……………………16分方法4设D(x0，y0)，y0≠0，则k1k BD＝·＝＝＝－．…………………12分因为CD的方程为y＝k(x＋1)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以k2k BD＝×＝＝＝＝＝－．…………………14分又因为k1k BD＝－，所以＝3，即为定值．………………………16分20．〔此题总分值16分〕解：〔1〕a＝1时，f(x)＝x－ln x , 则f '(x)＝1－＝，令f '(x)＝0，则x＝1．……………………2分当0＜x＜1时，f '(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递减；当x＞1时，f '(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，………………3分所以当x＝1时，f (x)取到最小值，最小值为1．…………………4分〔2〕因为＋ln x＝2(x＞0)，所以ax－ln x＝(2－ln x)x2，即a＝2x－x ln x＋，…………………6分设g(x)＝2x－x ln x＋，x∈[1，3]，则g '(x)＝2－(1＋ln x)＋＝(1－ln x)(1＋)，令g '(x)＝0，解得x＝e，当1＜x＜e时，g '(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上单调递增；当e＜x＜3时，g '(x)＜0，所以g(x)在(e，3)上单调递减，………………8分因为g(1)＝2，g(e)＝e＋，g(3)＝6－ln3，因为6－ln3＞2，所以函数g (x)的值域是[2，e＋]，所以a的取值范围是[2，e＋]．………………10分〔3〕对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f()成立，则ax－ln x≥＋ln x，即a(x－)－2ln x≥0．令h(x)＝a(x－)－2ln x，则h'(x)＝a(1＋)－＝，①当a≥1时，ax2－2x＋a＝a(x－)2＋≥0，所以h'(x)≥0，因此h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以x∈[1，＋∞)时，恒有h(x)≥h(1)＝0成立，所以a≥1满足条件．………………12分②当0＜a＜1时，有＞1，假设x∈[1，]，则ax2－2x＋a＜0，此时h'(x)＝＜0，所以h(x)在[1，]上单调递减，所以h()＜h(1)＝0，即存在x＝＞1，使得h(x)＜0，所以0＜a＜1不满足条件．……………14分③当a≤0时，因为x≥1，所以h'(x)＝＜0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，所以a≤0不满足条件．综上，a的取值范围为[1，＋∞). ………………16分。
南京市2014~2015学年度第一学期期末高二数学(理)调研终稿(试题)
南京市2014－2015学年度第一学期期末学情调研测试卷高二数学（理科） 2015.01一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上． 1．命题“∃x ∈R ，x 2≥x ”的否定是 ． 2．（复数删除 ）3．直线l ：3x －y －2＝0的倾斜角是 ．4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，2x ＋y －6≤0，则x ＋3y 的最大值是 ．5．若直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝e x 的一条切线，则实数b 的值为 ．6．方程x 2m －1－y 22－m ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是 ．7．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线的离心率为 ．8．已知函数y ＝12x －sin x ，x ∈(0，π)，则它的单调递减区间为 ．9．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆C 2：(x －a )2＋(y －4)2＝16外切，则实数a 的值为 ． 10．已知椭圆C ：x 225＋y 29＝1上一点P 到右准线的距离为5，则点P 到椭圆C 的左焦点的距离为 ． 11．设函数f (x )满足f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，x ∈R ，f (1)＝3，则f (2015)＝ ． 12．已知△ABC 顶点的坐标为A (1，0)，B (3，0)，C (0，1) ，则△ABC 外接圆的方程是 ． 13．下列命题正确的是 ．（填写所有正确命题的序号） ①a ，b ，c 成等差数列的充分必要条件是a ＋c ＝2b ；②若“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是a ＜1； ③a ＞0，b ＞0是方程ax 2＋by 2＝1表示椭圆的充分不必要条件；④命题“若a ≠1，则直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay －2＝0不平行”的否命题是真命题． 14．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在区间(0，2]上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答．题卡．．．．．作答，解答时应写出文字说明、．．指定区域内证明过程或演算步骤．15．（本题满分8分）已知△ABC的顶点为A(2，4)，B(0，－2)，C(－2，4)．（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）若直线l经过点C，且A，B两点到直线l的距离相等，求直线l的方程．16．（本题满分10分）已知半径为2的圆C满足：①圆心在y轴的正半轴上；②它截x轴所得的弦长是23．（1）求圆C的方程；（2）若直线l经过点P(2，－3)，且与圆C相切，求直线l的方程．在正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别是A 1B 1，CD ，B 1C 的中点． （1）求直线EG 与直线AF 所成角的余弦值； （2）求二面角D 1－AF －D 的余弦值．18．（本题满分10分）如图，一块钢板的边缘由一条线段及一段抛物线弧组成，其中抛物线弧的方程为y ＝－2x 2＋2(－1≤x ≤1)．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，切割时以边缘的线段为梯形的下底． （1）若梯形上底长为2x ，试求梯形面积S 关于x 的函数关系式； （2）求梯形面积S 的最大值．ABC D A 1B 1C 1D1EG F（第17题图） （第18题图）已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a ＞0)．（1）当a ＝1时，求f (x )的单调递减区间； （2）若f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围．20．（本题满分10分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(3，12)，离心率为32，其左、右顶点分别为A ，B ．直线l 1：x ＝－2，直线l 2：y ＝2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上在x 轴上方的一个动点，直线AP 与直线l 2交于点M ，直线BP 与直线l 1交于点N ，求直线MN 的斜率的取值范围．。
2015-2016学年高二数学期末试卷及答案
2015—2016学年第一学期期末测试高二理科数学复习题必修3,选修2-3,选修2-1简易逻辑、圆锥曲线参考公式：用最小二乘法求线性回归方程y bx a =+的系数公式：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 是数据的平均数．第Ⅰ卷（本卷共60分）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌，抽到牌“K”的概率是 ( ) A. 154 B. 127 C. 118D. 2272．设随机变量~(0,1)N ξ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<= ( ) A. 2p B. 1p - C. 12p -D. 12p -3．如图1所示的程序框图的功能是求①、②两处应分别填写( ) A ．5?i <，S S = B ．5?i ≤，S S =C ．5?i <，2S =+D ．5?i ≤，2S =图4．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,95．如图2，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( )A.24π- B.22-π C.44π- D.42-π6.(82x 展开式中不含．．4x 项的系数的和为 ( )A ．-1B ．1C ．0D ．27．学校体育组新买2颗同样篮球，3颗同样排球，从中取出4颗发放给高一4个班，每班1颗，则不同的发放方法共 ( )A ．4种B ．20种C ．18种D ．10种8．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：组号 12345678频数1013x141513129第三组的频数和频率分别是 ( ) A ．14和0.14 B ．0.14和14 C ．141和0.14 D ． 31和1419．“2012”含有数字0, 1, 2，且恰有两个数字2．则含有数字0, 1, 2，且恰有两个相同数字的四位数的个数为 ( )A ．18B ．24C ．27D ．3610.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为 ( )A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4经回归分析可得y 与x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为ˆ 1.1y x a =+，则a ＝ ( )A 、0.1B 、0.2C 、0.3D 、0.4 12.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若95)1(=≥ξp ，则)2(≥ηp 的值为 ( ) (A) 8132 (B) 2711 (C) 8165(D) 8116第Ⅱ卷（本卷共计90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52，则甲回家途中遇红灯次数的期望为 。
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江苏省南京市高二上学期期末调研押题卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上1．命题“ x ∈N ，x 2≠x ”的否定是 ▲ ．2．在平面直角坐标系xOy 中，焦点为F (5，0)的抛物线的标准方程是 ▲ ． 3．已知a ，b ∈R ，a ＋b i ＝(1＋2i)(1－i) (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ▲ ． 4．记函数f (x )＝x ＋1x的导函数为f (x )，则 f (1)的值为 ▲ ．5．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －y ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为 ▲ ．6．记命题p 为“若 ＝ ，则cos ＝cos ”，则在命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．如图，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3， BAA 1＝60 ，E 为棱C 1D 1的中点，则→AB ⋅→AE ＝ ▲ ．9．已知函数f (x )＝e x－ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．10．“a ＝1”是“函数f (x )＝x ＋a cos x 在区间(0，2)上为增函数”的 ▲ 条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）． 11．已知圆柱的体积为16 cm 3，则当底面半径r ＝ ▲ cm 时，圆柱的表面积最小． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x －y －1＝0，x －y＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B ，C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF13．定义在R 上的函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点O ，且它的导函数y （第13题图）C ABD A 1 B 1C 1D 1E（第8题图）的图像是如图所示的一条直线，则y ＝f (x )的图像一定不经过第 ▲ 象限． 14．已知A 是曲线C 1：y ＝ax －2(a ＞0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝5的一个公共点．若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分8分）已知m ∈R ，设p ：复数z 1＝(m －1)＋(m ＋3)i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，q ：复数z 2＝1＋(m －2)i 的模不超过10．（1）当p 为真命题时，求m 的取值范围；（2）若命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围．16．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－2x －3与坐标轴的交点都在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线x ＋y ＋a ＝0与圆C 交于A ，B 两点，且AB ＝2，求实数a 的值．17．（本题满分10分）在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝a ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点. （1）若AC 1⊥D 1F ，求a 的值；（2）若a ＝2，求二面角E －FD 1－D 的余弦值.ABCD C 1B 1 A 1D 1E F（第17题图）18．（本题满分10分）已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，今年新增的年销量．．．．．．(单位：万件)与(2－x )2成正比，比例系数为4． （1）写出今年商户甲的收益y (单位：万元)与今年的实际销售单价x 间的函数关系式； （2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．19．（本题满分10分）已知函数f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，其中a ≥0． （1）若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； （2）讨论函数f (x )的单调性．20．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点B 、C 的坐标为B (－2，0)，C (2，0)，直线AB ，AC 的斜率乘积为－14，设顶点A 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设曲线E 与y 轴负半轴的交点为D ，过点D 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，这两条直线与曲线E 的另一个交点分别为M ，N ．设l 1的斜率为k (k ≠0)，△DMN 的面积为S ，试求S∣k ∣的取值范围．数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1． x ∈N ，x 2＝x 2．y 2＝20x 3．4 4．－1 5．6 6．2 7．528．14 9．(1，e) 10．充分不必要． 11．2 12．8 13．1 14．2二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解（1）因为复数z 1＝(m －1)＋(m ＋3)i 在复平面内对应的点在第二象限，所以⎩⎨⎧m －1＜0，m ＋3＞0．解得－3＜m ＜1，即m 的取值范围为(－3，1)． ……………… 3分 （2）由q 为真命题，即复数z 2＝1＋(m －2)i 的模不超过10，所以12＋(m －2)2≤10，解得－1≤m ≤5． ……………… 5分 由命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题得⎩⎨⎧p 为真命题，q 为假命题，或 ⎩⎨⎧p 为假命题，q 为真命题． 所以⎩⎨⎧－3＜m ＜1，m ＜－1或m ＞5，或⎩⎨⎧m ≤－3或m ≥1，－1≤m ≤5，即－3＜m ＜－1或1≤m ≤5．所以m 的取值范围为(－3，－1)∪[1，5]． ……………… 8分16．解 （1）曲线与y 轴的交点是(0，－3)．令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x＝3．即曲线与x 轴的交点是(－1，0)，(3，0)． ……………… 2分设所求圆C 的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧9－3E ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝2，F ＝－3．所以圆C 的方程是x 2＋y 2－2x ＋2y -3＝0． ……………… 5分（2）圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝(5)2，所以圆心C (1，－1)，半径r ＝5． ……………… 7分 圆心C 到直线x ＋y ＋a ＝0的距离d ＝|1＋(－1)＋a | 2＝|a |2． 由于d 2＋(12AB )2＝r 2，所以(|a | 2)2＋12＝(5)2，解得a ＝±2 2 ． ……………… 10分17．解 如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立坐标系．（1）由题意得A (2，0，0)，D 1(0，0，a )，C 1(0，2，a )，F (0，1，0)故 AC 1＝(－2，2，a )，D 1F ＝(0，1，－a )． …… 2分因为AC 1⊥D 1F ，所以 AC 1·D 1F ＝0，即(－2，2，a )·(0，1，－a )＝0．从而2－a 2＝0，又a ＞0，故a ＝2． ……………… 5分 （2）平面FD 1D 的一个法向量为m ＝(1，0，0)． 设平面EFD 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为E (1，0，0)，a ＝2，故 EF ＝(－1，1，0)，D 1F ＝(0，1，－2)． 由n ⊥ EF ，n ⊥D 1F ，得－x ＋y ＝0且y －2z ＝0，解得x ＝y ＝2z ．故平面EFD 1的一个法向量为n ＝(2，2，1)． ……………… 8分 因为cos<m ，n >＝m ·n |m |·|n |＝(1，0，0)·(2，2，1)1×3＝23，且二面角E －FD 1－D 的大小为锐角，所以二面角E －FD 1－D 的余弦值为23． ……………… 10分18．解 （1）由题意知，今年的年销售量为1＋4(x －2)2 (万件)．因为每销售一件，商户甲可获利(x －1)元，所以今年商户甲的收益y ＝[1＋4(x －2)2](x －1)＝4x 3－20x 2＋33x －17，(1≤x ≤2)． ……………… 4分（2）由（1）知y ＝4x 3－20x 2＋33x －17，1≤x ≤2， 从而y ′＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)．令y ′＝0，解得x ＝32，或x ＝116．列表如下：……………… 7分又f (32)＝1，f (2)＝1，所以f (x )在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．……………… 10分19．解（1）当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋4ln x ，从而f ′(x )＝－2＋4x ，其中x ＞0． ……………… 2分所以f ′(1)＝2．又切点为(1，－2)，所以所求切线方程为y ＋2＝2(x －1)，即2x －y －4＝0． ……………… 4分 （2）因为f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，所以f ′(x )＝2ax －(4a ＋2)＋4x ＝2ax 2－(4a ＋2)x ＋4x ＝2(ax －1)(x －2)x，其中x ＞0．①当a ＝0时，f ′(x )＝－2(x －2)x，x ＞0．由f ′(x )＞0得，0＜x ＜2，所以函数f (x )的单调增区间是(0，2)；单调减区间是(2，＋∞)；……………… 6分②当0＜a ＜12时，因为1a ＞2，由f ′(x )＞0，得x ＜2或x ＞1a．所以函数f (x )的单调增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)；单调减区间为(2，1a)；……………… 8分③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)2x ≥0，且仅在x ＝2时，f ′(x )＝0，所以函数f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；④当a ＞12时，因0＜1a ＜2，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1a或x ＞2，所以函数f (x )的单调增区间是(0，1a )和(2，＋∞)；单调减区间为(1a ，2)．综上，当a ＝0时，f (x )的单调增区间是(0，2)，单调减区间是(2，＋∞)； 当0＜a ＜12时，f (x )的单调增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)，减区间为(2，1a )；当a ＝12时，f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；当a ＞12时，f (x )的单调增区间是(0，1a )和(2，＋∞)，减区间为(1a，2)．……………… 10分20．解（1）设顶点A 的坐标为(x ，y )，则k AB ＝y x ＋2，k AC ＝yx －2， ………… 2分 因为k AB k AC ＝－14，所以y x ＋2⋅ y x －2＝－14， 即x 24＋y 2＝1．（或x 2＋4y 2＝4）.所以曲线E 的方程为 x 24＋y 2＝1（x ≠±2) ． ……………… 4分（2）曲线E 与y 轴负半轴的交点为D (0，－1)．因为l 1的斜率存在，所以设l 1的方程为y ＝kx －1， 代入x 24＋y 2＝1，得M (8k 1＋4k 2，4k 2－11＋4k 2)，从而DM ＝(8k 1＋4k 2)2＋(4k 2－11＋4k 2＋1)2＝8∣k ∣1＋k 21＋4k 2． ……………… 6分 用－1k 代k 得DN ＝81＋k 24＋k 2．所以△DMN 的面积S ＝12⋅8∣k ∣1＋k 21＋4k 2 81＋k24＋k 2＝32(1＋k 2)∣k ∣(1＋4k 2)(4＋k 2)． ……………… 8分 则S∣k ∣＝ 32(1＋k 2)(1＋4k 2)(4＋k 2)， 因为k ≠0且k ≠±12，k ≠±2，令1＋k 2＝t ，则t ＞1，且t ≠54，t ≠5，从而S ∣k ∣＝32t (4t －3)(t ＋3)＝32t 4t 2＋9t －9＝329＋4t －9t，因为4t －9t ＞－5，，且4t －9t ≠－115，4t －9t ≠915．所以9＋4t －9t ＞4且9＋4t －9t ≠345，9＋4t －9t ≠1365，从而 S ∣k ∣＜8且S ∣k ∣≠8017，S ∣k ∣≠2017， 即 S ∣k ∣∈(0，2017)∪(2017，8017)∪(8017，8)． ……………… 10分。