湖南省澧县一中2017-2018学年高二上学期特色班周考数学理试题(10月19日) Word版含答案

2017-2018学年高二理科特色班数学周考试题
总分：100分 时量：75分钟
一、选择题（每小题5分共40分，请将答案填写在答题区。

） 1．已知01,:;25sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使R ，.01,:;25sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使0
1,:5sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x x R x p 都有命题使，.0:;2
5sin ,:2
>∈∀=
∈∃R x q x R x p 命题使给出下列结论： ①“q p ∧”是真 ②“q p ⌝∧”是假 ③“q p ∨⌝”是真 ④“q p ⌝∨⌝”是假
其中正确的是（ ）
A ．②④
B ．②③
C ．③④
D ．①②③ 2.设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2 <a 4”是“数列{a n }是递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．正方体111
1ABCD A BC D -中，O 为侧面11BCC B 的中心，则AO 与平面
ABCD 所成的角的正弦值为（ ）
A
B ．12
C
D ．4.已知双曲线22
221(0,0)
x y a b a b
+=>>与抛物线28y
x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的
一个交点为P ，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．0x =
B 0y ±=
C ．20x y ±=
D ．20x y ±=
5．抛物线错误！未找到引用源。

上一点错误！未找到引用源。

到直线错误！未找到引用源。

的距离与到点错误！未找到引用源。

的距离之差的最大值为()
A ．3
B ．错误！未找到引用源。

C ．5
D ．错误！未找到引用源。

6.已知双曲线T
：22221x y a b -=（a ，b>0）的右焦点为F （2，0），且经过点R 0），
△ABC 的三个顶点都在双曲线T 上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分
别为M ，N ，P ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 1≠0，i=1,2,3．若直线OM,ON ,OP
的斜率之和为-1．则
123
111
k k k ++的值为（ ） 7.已知f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）
－1og 2x]=3，则方程f （x ）－f ′（x ）=2的解所在的区间是（ ）
A ．（0，
1
2
） B ．（
1
2
，1） C ．（1，2） D ．（2，3） 8.在平面直角坐标系中，定义||||),(2121y y x x Q P d -+-=为),(),,(2211y x Q y x P 两点
之间的“折线距离”。

在这个定义下，给出下列：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
③到点)0,1(),0,1(Q P -两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0=x ；
④到点)0,1(),0,1(Q P -两点的“折线距离”的差的绝对值为1的点的集合是两条平行线。

其中真有 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 二、填空题（每小题5分共35分，请将答案填写在答题区。

）
9．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时二面角B-AD-C 大小为_____________
10．曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 . 11．函数1
)(2
++=
x b
ax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x ，则函数()f x 的解析式为
12．设12,F F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，当 12
F PF ∠取最大值时的余弦值为1
49
-． 则椭圆的离心率为 ． 13．若以F 为焦点的抛物线2
4y x =上的两点A 、B 满足2AF FB = ，则弦AB 的中点到准
线的距离为____________．
14．已知双曲线
116
252
2=-y x 左支上一点M 到右焦点F 的距离为16,N 是线段MF 的中点,O 为坐标原点,则||ON 的值是
15．若函数()f x =2
2
(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值是_____________.
填空题答题区：
9 10、 11、 _______ 12、 13、 14、 15、
三、解答题（共25分，请将答案填写在答题区。

） 16．（本小题12分）如图四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，ADCD ，且AD ＝CD
＝BC ＝PA ＝2，点M 在线段PD 上。

（1）求证：AB ⊥PC
（2）若二面角M －AC －D 的大小为45°，求BM 与平面PAC 所成的角的正弦值。

17．（本小题13分）如图，椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）与一等轴双曲线相交，M 是其中
一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点12,F F ，双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点，
△12MF F 的周长为)
4
1。

设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线12,PF PF 的
斜率分别为12,k k ，且直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D 。

⑴求椭圆和双曲线的标准方程； ⑵（ⅰ）证明：121k k =；
（ⅱ）是否存在常数λ，使得AB CD AB CD λ+=⋅恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由。

2014.10.19高二理科特色班数学周考参考答案
填空题答题区：
9
10、 31y x =+ 11、 1
2
2)(2+-=
x x x f 12、
75 13、 4
9
14、 3 15、 16
三、解答题（共25分，请将答案填写在答题区。

） 16．（本小题12分）如图四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面
ABCD ，
AD ∥BC ，ADCD ，且AD ＝CD ＝
BC ＝PA ＝2，点M 在线段PD 上。

（1）求证：AB ⊥PC （2）若二面角M －AC －D 的大小为45°，求BM 与平面PAC
所成的角的正弦值。

17．（本小题13分）如图，椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）与一等轴双曲线相交，M 是其中
一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点
12,F F ，双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点，
△12MF F 的周长为)
4
1。

设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线12,PF PF 的
斜率分别为12,k k ，且直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D 。

⑴求椭圆和双曲线的标准方程； ⑵（ⅰ）证明：121k k =；
（ⅱ）是否存在常数λ，使得AB CD AB CD λ+=⋅
恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由。

【解析】（Ⅰ）
由题意知，
椭圆离心率为2
c a =
，即a =。

又)
2241a c +=，所以可得a =2c =。

所以222
4b a c =-=，于是椭圆方程为22
184
x y +=；所以椭圆焦点坐标为()2,0±，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，故所求双曲线的标准方程为
22
14
4
x y -=。

……………………4分
（Ⅱ）（ⅰ）设点()00,P x y ，则0102y k x =+，0202y k x =-，则2
000122000224y y y k k x x x =⋅=+--；而由点P 在双曲线上，可知2200144x y -=，即有22
004x y -=；从而2
02014
y x =-，故121k k =。

……………………8分
（ⅱ）假设存在常数λ，使得AB CD AB CD λ+=⋅恒成立。

则由（ⅰ）知121k k =，所以可设直线AB 的方程为()2y k x =+，直线CD 的方程为
()1
2y x k
=
-；把直线AB 的方程为()2y k x =+代入椭圆方程，整理得()()2222128810k x k x k +++-=； 若设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2
1228k x x k +=-，()2122
8112k x x k
-=+；
因此AB =)2
2
112k k ++；
同理可得)
22
12k CD k +=
+；因此由AB CD AB CD λ+=⋅知
11
AB CD λ=+=
222==
所以存在常数8
λ=
，使得AB CD AB CD λ+=⋅恒成立。

……………13分。