高二数学选修2-2复合函数的导数教案
苏教版高中数学选修2-2《简单复合函数的导数》教学教案1
1.2.3 简单复合函数的导数学习目标1．掌握简单复合函数的导数的推导2．简单复合函数的导数的应用学习重点:掌握简单复合函数的导数的推导学习难点:简单复合函数的导数的应用学习过程【基础知识梳理】1、根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示2、运算法则法则1:两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：[()()]()().f x g x f x g x '''±=±法则2：[()]().()Cf x Cf x C ''=为常数法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数：[()()]()()()().f x g x f x g x f x g x '''=+法则4：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即： 2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-'= ()0g x ≠其中. 3、复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数.由函数()y f u = 与 ()u x ϕ= 复合而成的函数一般形式是[()]y f x φ=，其中u 称为中间变量.【问题探究】问题1：求函数2(32)y x =-的导数 .问题2：考察函数sin 2y x =的导数.【建构数学】一般地，我们有u =ax +b 时，有若 y =f (u ),u =ax +b ，则'''x u x y y u =⋅，''x u y y a =⋅即： •对于一般的复合函数，结论也成立 . •复合函数的求导法则 • 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即'''x u x y y u =⋅【数学运用】例1 试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：31(1)(23);(2)ln(51);(3);(4)cos(12).31y x y x y y x x =-=+==-- 练习：试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：22(1)(2);(2)sin ;(3)cos();(4)ln sin(31).4y x y x y x y x =-==-=π － 例2 写出由下列函数复合而成的函数，并求它们的导数.（1）cos y u =,21u x =+ ; （2）ln y u =,ln u x =.例3 求y =(2x +1)5在x =1处的切线方程.【课堂练习】1.求下列函数的导数： 2321(1)(23);(2)(13);(3);(4)lnx y x y x y e y x=+=-==. 2.求曲线y =sin2x 在点P (π，0）处的切线方程.【回顾小结】（1）复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；（2）复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.。
高中数学 简单复合函数的导数导学案 苏教版选修2-2
简单复合函数的导数 NO.5学习目标:1. 了解复合函数的概念；2. 理解复合函数的求导法则；3. 会求简单的复合函数的导数。
二、知识扫描：1、复合函数的概念：由 复合而成的函数称为复合函数，例如：cos(12)y x =-由cos y μμ=及= 复合而成。
2.复合函数的求导法则： 若(),y f u u ax b ==+，则'y x = ，即'y x = ．三、例题选讲：例１.求下列函数的导数：（书）⑴()323y x =-； ⑵ln(51)y x =+⑶131y x =-； ⑷cos(12)y x =-例2：⑴一质点按规律(,kts ae a k =为常数）作直线活动，求它的速度和加速度，以及初始速度和初始加速度。
（高中数学《教学与测试》）⑵已知函数()sin cos ,(0,2).f x x x x π=-∈①求0x ，使'0()0f x =；②解释①中0x 及'0()f x 的意义。
（高中数学《教学与测试》）例3. ⑴求曲线y =在点(处的切线方程．⑵在曲线211y x =+上求一点，使经过该点的切线平行于x 轴。
（高中数学《教学与测试》）⑶曲线ln 2y x =在与x 轴交点处的切线方程是什么？并求出该切线与坐标轴所围成的三角形的面积。
（高中数学《教学与测试》）例4．求下列函数的导数（《世纪金榜》） ⑴2sin (2)3y x π=+ ⑵13sin(21)x y x -=-⑶y =⑷y =例5.已知函数2()2ln(2)()f x ax x a R =+-∈，设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为l ，若l 与圆221:4C x y +=，求a 的值。
（《世纪金榜》）三、课后作业：１.函数1ln 1x y x-=+的导数为 。
（《世纪金榜》）2.函数32()f x ax x=+'(1)5f -=，则a =_______________．（《世纪金榜》）3.函数()sin(3)6f x x π=-在点6π⎛ ⎝⎭处的切线方程为___________________． 4.设曲线41ln()33y x =-上的点到直线43110x y -+=的距离为d ，则min d = __．（《世纪金榜》）5.已知函数()sin()1(0)6f x x πωω=+->导数'()f x 的最大值为3，则ω=________________．6.已知函数()ln()f x ax b x =+-的图像过点(1,0)，在1x =处切线斜率为1，则a = ，b = 。
2019-2020学年高中数学 1.2.3复合函数的导数教案 新人教版选修2-2.doc
2019-2020学年高中数学 1.2.3复合函数的导数教案 新人教版选修2-2
【学情分析】：
在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法. 【教学目标】：
(1)理解掌握复合函数的求导法则.
(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导
(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律． 【教学重点】：
简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用. 【教学难点】：
复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题, 让学生对求导法则有一个直观的了解.
【教学过程设计】：
个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？)()]g x f ='')()])f x g =
x
u . 求下列函数的导数：32(32)31812x x =-=-，x u u y ''⋅
对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求。
高中数学教案选修2-2《1.2.3 简单复合函数的导数》
教学目标：
1．掌握求复合函数()f ax b ＋的导数的法则；
2．熟练求简单复合函数的导数．
教学重点：
复合函数的求导法则．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境：什么是简单复合函数？
引例 函数2(31)y x ＝－是由哪两个函数复合而成的？函数sin 2y x ＝呢？
2．探究活动：怎么样求简单复合函数的导数？
以函数2(31)y x ＝－和sin 2y x ＝为例．
二、建构数学
1．与一次函数复合的函数的导函数公式．
2．推广：
注 1．复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数；
2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
三、数学运用
例3 求
y －
点评 本题练习商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理． 例4 求44sin cos y x x ＝＋的导数．
点评 可先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确；也可利用复合函数求导数，应注意不漏步．
练习：课本第24页第2，3，4题．
四、回顾小结
(1)复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；
(2)复合函数求导的基本步骤是：分解—求导—相乘—回代．
五、课外作业
1．见课本P26习题1.2第8～10题．
2．补充：已知函数22()3cos sin 222x x f x ＝＋－，求5π()6f ．。
苏教版高二数学选修2-2 1.2.3 简单复合函数的导数 学案
1．2.3简单复合函数的导数学习目标 1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1这三个函数都是复合函数吗？思考2试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？思考3试求函数y＝ln(2x＋5)的导数．类型一 复合函数的概念例1 下列函数是否为复合函数，若是，说明是怎样复合而成的？(1)y ＝(2－x 2)3；(2)y ＝sin x 2；(3)y ＝cos(π4－x )； (4)y ＝ln sin(3x －1)．反思与感悟 根据复合函数的定义，若是一个复合函数，分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，引入中间变量，将复合函数分解成较为简单的函数．跟踪训练1 写出由下列函数复合而成的函数．(1)y ＝cos u ，u ＝1＋x 2；(2)y ＝ln u ，u ＝ln x .类型二 求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝32x －1；(2)y ＝1(2x ＋1)4； (3)y ＝5log 3(1－x )；(4)y ＝x 2cos(2x －π3)．跟踪训练2 (1)若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝ .(2)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝ . (3)已知y ＝sin 3x ＋cos 3x ，则y ′＝ . 类型三 复合函数导数的综合应用例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线方程．反思与感悟 (1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．跟踪训练3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切．求a ，b 的值．1．函数y ＝sin 3x 是由函数 复合而成的．2．设f (x )＝e －x 则f ′(x )＝ .3．函数y ＝(1－2x )4在x ＝12处的导数为 ． 4．过曲线y ＝11＋x 2上一点，使曲线在该点的切线平行于x 轴，求切线方程．1．复合函数求导的步骤2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．提醒：完成作业 1.2.3答案精析问题导学知识点思考1 函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)是复合函数，函数y ＝2x ＋5＋ln x 不是复合函数． 思考2 设u ＝2x ＋5，则y ＝ln u ，从而y ＝ln(2x ＋5)可以看作是由y ＝ln u 和u ＝2x ＋5，经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．思考3 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. x 的函数 f (g (x )) y ′u ·u ′x y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积题型探究例1 解 (1)y ＝(2－x 2)3是由y ＝u 3及u ＝2－x 2复合而成．(2)y ＝sin x 2是由y ＝sin t 及t ＝x 2复合而成．(3)y ＝cos(π4－x )是由y ＝cos u 及u ＝π4－x 复合而成． (4)y ＝ln sin(3x －1)是由y ＝ln u ，u ＝sin t 及t ＝3x －1复合而成．跟踪训练1 解 (1)y ＝cos(1＋x 2)．(2)y ＝ln(ln x )．例2 解 (1)函数y ＝32x －1看作函数y ＝3u 与函数u ＝2x －1的复合，∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝(3u )′·(2x －1)′＝(2ln 3)·3u ＝2·32x －1·ln 3.(2)y ＝1(2x ＋1)4＝(2x ＋1)－4，函数y ＝1(2x ＋1)4看作函数y ＝u －4与u ＝2x ＋1的复合． y ′＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(2x ＋1)′＝－4u －5×2＝－8(2x ＋1)－5＝－8(2x ＋1)5. (3)函数y ＝5log 3(1－x )看作函数y ＝5log 3u 与函数u ＝1－x 的复合．y ′＝y ′u ·u x ′＝(5log 3u )′(1－x )′＝5u ln 3×(－1)＝5(ln 3)(x －1). (4)函数t ＝cos(2x －π3)看作函数t ＝cos u 与u ＝2x －π3的复合． ∴[cos(2x －π3)]′＝(cos u )′(2x －π3)′ ＝－2sin u ＝－2sin(2x －π3)，∴y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2[cos(2x －π3)]′ ＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π3)． 跟踪训练2 (1)1 (2)1－ln 3e(3)3sin 2x cos x －3sin 3x例3 解 y ′＝[(x 2－3x )－12]′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)， ∴y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线斜率为k ＝y ′| x ＝4＝－12×(42－3×4)－32×(2×4－3)＝－516， ∴切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 跟踪训练3 解 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32，∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32，∴a ＝0. 达标检测1．y ＝u 3及u ＝sin x 2.－e －x 3.04．解 设切点的坐标为(x 0，y 0)，因为过点(x 0，y 0)的切线平行于x 轴，于是k ＝0，由导数几何意义知k ＝f ′(x 0)＝－2x 0(1＋x 20)2＝0，所以x 0＝0.又因为点(x 0，y 0)在曲线y ＝11＋x 2上，将x 0＝0代入得y 0＝1.故切点坐标为(0,1)，切线方程为y －1＝0.。
123简单复合函数的导数江苏省扬州市苏教版高中数学选修2-2导学案
1．2.3 简单复合函数的导数1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)．一、知识回顾函数的和、差、积、商的求导法则设两个函数分别为f (x )和g (x ) 两个函数的和的导数[f (x )＋g (x )]′＝ 两个函数的差的导数[f (x )－g (x )]′＝ 常数与一个函数的乘积的导数[C ·f (x )]′＝ (C 为常数) 两个函数的积的导数[f (x )·g (x )]′＝ 两个函数的商的导数 [f (x )g (x )]′＝ (g (x )≠0) 二、知识探究1．复合函数的概念由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．cos()cos 44y x y u u x 如由及复合而成.3221(1)(2)(31)(3)sin (4)sin 2y x y x xy x x y x思考：下列哪些函数可以由两个基本初等函数复合得到？2．复合函数的求导法则2(2)(31)(4)sin 2y x y x 思考：下列这些复合函数可以借助于已有的知识求出导函数吗？2(2)(31),6(31)(4)sin 2,2cos 2y x y x y x y x思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律.ln(2)x u x y y u y x 对于猜想，尝试对函数求导进行验证 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y x ′＝ ，即y x ′＝ ． 其中y x ′，y u ′分别表示y 关于 的导数及y 关于 的导数．三、知识应用(1)ln(51)(2)cos(12)y x y x 例1：求下列函数的导数31(1)(23)(2)31y x y x 例2：求下列函数的导数四、当堂训练1.指出下列函数的复合关系：(1)y ＝(a ＋bx n )m ；(2)y ＝(x 2＋4x )3；(3)y ＝e2＋x 2；(4)y ＝2sin(2－x 2)．2.求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －2x ；(3)y ＝sin (πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．。
高二数学选修22复合函数的导数教案
高二数学选修2-2复合函数的导数教案一、学习目标 理解并掌握复合函数的求导法则．二、重点难点 本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．三、典型例题1．求复合函数的导数例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．2．和、差、积、商的导数中的复合函数的导数．例2求y ＝sin 43 x cos 3 4 x 的导数【点评】复合函数为三层复合．正确认识复合过程关键是熟悉初等函数和导数公式．例3求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．3．开阔思路，恰当选用求导数方法．例4求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ． y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例5求y ＝A A sin 1sin 1++- （0＜A ＜2π) 【解法一】y ＝A A sin 1sin 1++-（0＜A ＜2π) ∴ y ＝)2πcos(1)2πcos(1A A -++--＝2sin （24πA -）＋2cos （24πA -） ＝2 [22sin （24πA -）＋22cos （24πA -）]＝2 sin （22πA -）＝2 cos 2A y ′＝(2 cos2A )′＝－sin 2A ． 【解法二】y ′＝(A sin 1-)′＋(A sin 1+)′ ＝21(1－sin A )21-(－cos A )＋21(1＋sin A )21-cos A ＝AA A A cos 2)sin 1sin 1(cos +-- ∵ A ∈（0，2π） ＝21[（cos 2A －sin 2A ）－（cos 2A ＋sin 2A ）] ＝－sin 2A ．【解法三】∵ 0＜A ＜2π y ＝A sin 1-＋A sin 1+＝（cos2A －sin 2A ）＋（cos 2A ＋sin 2A ）＝2 cos 2A ． y ′＝－sin 2A ． 【点评】解法一和解法三都是先化简，但难易有别，繁简差异较大，恰当选择公式是关键．解法二是从和的导数求导数入手．后面的化简较繁．例6曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 xy ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 【点评】例6复习导数的运算和导数的几何意义．。
【数学】1.2.3《复合函数的求导法则》教案(新人教A版选修2-2)
1.2.2复合函数的求导法则教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．布置作业。
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讲信用,够朋友.这么多年来,差不多到今天为止,任何一个国家的人,任何一个省份的中国人,跟我做伙伴的,合作之后都成为好朋友,从来没有一件事闹过不开心,这一点是我引以为荣的事.
高二数学选修2-2复合函数的导数教案
一、学习目标理解并掌握复合函数的求导法则．
二、重点难点本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数
等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程
做到不漏
不重
熟练
正确．
三、典型例题
1．求复合函数的导数
例1求y ＝sin（tan x2）的导数．
【点评】
求复合函数的导数
关键在于搞清楚复合函数的结构
明确复合次数
由外层向内层逐层求导
直到关于自变量求导
同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
2．和、差、积、商的导数中的复合函数的导数．
例2求y ＝sin 43 x cos3 4 x的导数
【点评】
复合函数为三层复合．正确认识复合过程关键是熟悉初等函数和导数公式．
例3求y ＝的导数．
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
3．开阔思路
恰当选用求导数方法．
例4求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．
【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x
＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．
y′＝－sin 4 x．
【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x
【点评】
解法一是先化简变形
简化求导数运算
要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数
应注意不漏步．
例5求y ＝（0＜A ＜
【解法一】y ＝（0＜A ＜
∴ y ＝＝sin（）＋cos（）
＝2 [sin（）＋cos（）]＝2 sin（）＝2 cos
y′＝(2 cos )′＝－sin ．
【解法二】y′＝()′＋()′
＝(1－sin A)(－cos A)＋(1＋sin A)cos A
＝∵ A ∈（0
）
＝[（cos －sin ）－（cos ＋sin ）]
＝－sin ．
【解法三】∵ 0＜A ＜
y ＝＋＝（cos －sin ）＋（cos ＋sin ）＝2 cos ．
y′＝－sin ．
【点评】
解法一和解法三都是先化简
但难易有别
繁简差异较大
恰当选择公式是关键．解法二是从和的导数求导数入手．后面的化简较繁．例6曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线
求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x
y′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0
解得 x ＝－或x ＝1．于是切点为P（1
2）
Q（－
－）
过点P的切线方程为
y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离
故所求距离为
＝．
【点评】
例6复习导数的运算和导数的几何意义．。