《高等数学》2.3复合函数的导数公开课教案
教学：2.3 复合函数的导数
§1.2.3复合函数的导数【学情分析】：在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法.【教学目标】：(1)理解掌握复合函数的求导法则.(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．【教学重点】：简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用.【教学难点】：复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题,让学生对求导法则有一个直观的了解.以下为赠送文档：选修4_5 不等式选讲课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
高三数学 优秀教学《复合函数的导数》课件 精品
分析三个函数解析式以及导数 yu , ux , yx' 之间的关系:
y'
y
' x
yu
ux
以上就是我们今天所要学习新的导数的运算法则 ——复合函数的导数.
新课教学
1.复合函数的概念:
对于函数y=f[ (x)],令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f[ (x)]
y'
1 (1 x)2
前课复习
3.例如求函数y=(3x-2)2的导数？
y 'x y ' [3x 22]' 9x可以看出函数y=(3x-2)2是一个复合函数
由_y____u__2_ 与_u___3_x____2复合而成.
yu _2_u__ _6_x____4_ ux ___3___
2.导数的四则运算法则.
(9).u v' u' v ' (10).uv' u'v uv'
(11).
u v
'
u'v uv' v2
前课复习
练习.求下列函数的导数
1y x ln x;
y' ln x 1
3y x3 3x ;
2y x2 ex ;
y' 2xex x2 ex
4y ex sin x;
u=3x-2,则 yu 2u, ux 3, 从而 yx yu ux 18x 1.2
注意：复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有机的 结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导数,逐步掌握 复合函数的求导法则.
例题讲解
例:求下列函数的导数: (1) y (2x 1)5
《复合函数求导》课件
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的 变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解 物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率， 从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲 线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更 好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函 数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以 表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。
高三数学 优秀教学《复合函数的导数》课件
2.复合函数的导数:
设函数 u ( x ) 在点x处有导数 ux ( x),函数y=f(u)在 点x的对应点u处有导数 yu f (u) ,则复合函数 y f [ ( x )] f [ ( x )] f ( u) ( x ). 在点x处也有导数,且 yx y u u x ; 或记 x 在书写时不要把 f x[ ( x)]写成 f [ ( x)],两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变 量 ( x ) 的求导.
sin x ) 解: y 3(tan x) (tan x) 3 tan x ( cos x sin x 3 cos x cos x sin x( sin x) 3( ) cos x cos 2 x sin x 2 1 2 4 3( ) 3sin x sec x. 2 cos x cos x
ln x; ' x x 1 y e ln x e x
x
6 y x 2 2 cos x;
y 2 x 2 sin x
x 8 y ; 1 x
1 y 2 (1 x)
'
前课复习
3.例如求函数y=(3x-2)2的导数？
2
2
y 'x y ' [ 3x 2 ]' 9 x 12 x 4 ' 18 x 12
12 . 5 (1 3 x ) 解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
4 2 3 yx y u v ( u ) ( 1 v ) (sin x ) 4 u 2v cos x u v x u v x
4(1 sin2 x )3 2 sinx cos x 4(1 sin2 x )3 sin2 x .
复合函数的导数教学设计教案
复合函数的导数教学设计教案一、概述复合函数是指将两个或多个函数合成一个函数。
对于复合函数，求其导数时，要用到链式法则，这是一种将复杂问题进行分解，从其各部分组成求解的技术。
它可以帮助学生更好地理解复合函数的性质，更快地解决复合函数的导数问题。
二、教学目标1. 理解复合函数的概念；2. 熟练掌握链式法则，学会使用链式法则计算复合函数的导数；3. 整体运用链式法则，求解复合函数的导数的更复杂的问题。
四、教学方法1. 讲解+练习：利用教师上课讲解链式法则和复合函数概念，引导学生理解复合函数的概念和链式法则的原理，再通过师生共同讨论的方式和学生自主解决的练习形式，帮助学生熟练掌握链式法则的运用。
2. 提问+指导：教师在讲课过程中，对学生提出相关的问题，以帮助他们理清思路，并指导他们自己解决，帮助学生理解、运用这种方法解决更加复杂的复合函数导数问题。
三、教学材料1. 教材：复合函数及其导数的课本2. 实物：黑板、笔等一些学习工具五、教学过程1. 教师首先介绍复合函数的概念，指导学生理解；2. 接着介绍链式法则，讲解两者之间的联系，分析链式法则的运用；3. 教师准备几个简单的复合函数，传授学生如何使用链式法则计算复合函数的导数；4. 教师准备更复杂的复合函数，提出问题，指导学生理解、解决问题；5. 教师总结本节课所讲的内容，结合实例检验学生对于链式法则理解程度到底有多少。
六、教学评价检查学生对本节课学习内容的掌握程度，做出书面测试，并根据实际情况进行调整；另外，以学生在课堂学习任务、讨论和实际练习中表现的动态考核，及时发现和改正学生的掌握不足之处。
高中数学 第一章《1.2.3复合函数的求导法则》教案 新人教A版选修2-2
"福建省长乐第一中学2014高中数学 第一章《1.2.3复合函数的求导法则》教案 新人教A 版选修2-2 "教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授三．典例分析例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．例2求2sin(tan )y x =的导数．解：'2'222[sin(tan )]cos(tan )sec ()2y x x x x ==⋅⋅ 2222cos(tan )sec ()x x x =⋅'2222cos(tan )sec ()y x x x =⋅【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例3求y=的导数．解：'y=222(2)ax ax==--，'y=【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例4求y＝sin4x＋cos 4x的导数．【解法一】y＝sin 4x＋cos 4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－21sin22 x＝1－41（1－cos 4 x）＝43＋41cos 4 x．y′＝－sin 4 x．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x3+sin33x；（2）122sin-=xxy;(3))2(log2-xa2.求)132ln(2++xx的导数五．回顾总结六．教后反思：第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2.3 教学设计—— 复合函数的求导法则
教学活动
教学资源
覆盖目标
课程育人
10’
融入数学文化的知识，查阅历史上的第三次数学危机，了解在解决问题的时候不能犯“自我指谓”的错误。
师生共同分享各自查阅的有关资料，并介绍罗素的“理发师悖论”帮助学生理解“自我指谓”的问题。
多媒体课件
素质目标1
导入新课
10’
求复合函数 的导数
1.教师引导学生利用倍角公式转化问题；
单元教学设计
课题名称
学时数
课程类型
复合函数的求导法则
2
理论课
教学内容及学情分析
本节课主要学习复合函数的求导，以及在复合函数求导的基础上，学习隐函数的导数。复习复合函数的分解是掌握复合函数求导的基础。
教学目标
知识目标
1.掌握复合函数的求导法则；
2.通过显函数和隐函数的对比，掌握隐函数的概念和隐函数的求导法则；
3.掌握对数求导法。
能力目标
1.会求复合函数的导数；
2.会求隐函数的导数；
3.对于幂指函数，能利用对数求导法求导；
4.会求任意一个初等函数的导数。
素质目标
1.培养学生的数学文化素养；
2.让学生体会由简到难、逐层深入的数学思想；
3.提高学生的分析推理能力，培养学生严谨的学习态度。
教学过程
教学环节
时间分配
5’
1.学生课后认真看书进一步理解求导法则；
2.布置课后作业，巩固求导法则的应用。
教学反思
隐函数求导的基础是复合函数求导，复合函数求导的基础是会复合函数的分解，因此一定要让学生先复习复合函数的分解。
2.学生动手练习，得到结果；
3.教师引导学生分析得到的结果所具有的特征。
复合函数的导数(二)教案示例
复合函数的导数 ( 二) ·教课设计示例目的要求1．掌握复合函数的求导法例．2．会用复合函数的求导法例解决一些简单的问题．内容剖析1．本节要点是复合函数求导法例的应用．2．应用之一是求分式、根式、三角函数式等复合函数的导数．例 2 在教科书原题基础上，增添几道小题作为学生训练题，而后提出娴熟此后可简化过程，并予以示范．例 3 是根式形式的复合函数求导，第一应将根式表示为分数指数，x以方便使用幂函数求导公式，而后设中间变量u＝对x求导，介绍1 x两种求法．方法一是作为商对x求导，方法二是当作u＝－ 1＋1，即1 x当作 u＝－ 1＋ v 1， v＝ 1－ x，仍用复合函数求导法例求导．用到的求导法例或公式，解题的过程应向学生清楚地展现．自然，可指引学生思虑并达成．3．应用之二是解决实质应用问题．教师除了教课生会学数学，更重要的是指引学生会用数学．培育学生应用数学解决实质问题的意识和能力是数学教课的根本任务．应用问题在习题中配置了求切线方程，这里增添一道应用例题，证明一个组合等式，目的在于指引学生应用复合函数的求导法例及赋值法来解答，同时重温倒序相加法、通项变换法等证法，这就表现了复合函数求导法例的应用宽泛性，也表现了思想的多样性和变通性，培育了发散思想能力，更重要的是能够激发学生学好用好数学的意识和踊跃性．4．经过这节的学习，应使学生对复合函数的观点、求导法例和步骤及其应用，有一个整体的掌握．教课过程1．复习求导法例让学生回回复合函数定义、求导法例、求导步骤．本节将在应用中娴熟掌握复合函数的求导．2．应用求导法例(1)应用之一对复合函数式求导例 2求以下函数的导数：(1)y ＝ 1 4； (2)y ＝ sinx 2； (3)y ＝ cos(3x x) ； (4)y ＝ 1 x 2．(1 3x) 6 请学生登台达成．答案：(1) 12 5； (2)2xcosx 2； (3) 3sin(3x x)； (4) x ．(1 3x) 6 1+ x 2注：这里有分式型、根式型、三角函数型的复合函数求导．师生一同评论．可夸奖四位同学达成得较好．接着提请注意，娴熟后可省写步骤，并作示范．如，解 (1) 可表达为y′x＝[(1 －3x) -4 ] ′＝－ 4(1 －3x) -5·( －3) ＝ 12(1 － 3x) -5．这里最后结果可写负指数或分数指数．出示教科书例 3 并解说．x此中对 u＝求u′ x，可让学生在底稿上达成．此处，教师可1 x作以下指导：方法一按商的求导法例求导．方法二先化为 u＝－ 1＋1，即 u＝－ 1＋ v 1， v＝ 1－ x，按复合1 x函数求导．(2)应用之二解简单的应用问题增例当n∈N *时，求证： C1n＋2C 2n＋C3n＋＋ nC n n＝n· 2n 1．指引学生剖析，联想到二项睁开式(1＋x) n＝C0n＋ C1n x＋C2n x 2＋＋ C n n x n．(*)对照睁开式通项 C k n x k与待证和式通项 kC k n，可决定对 (* )式求导并赋值 x＝ 1 证得．视学生水平由教师解说或学生达成证明．证明：由 (1＋x) n＝C0n＋C1n x＋ C2n x 2＋＋ C n n x n，两边对 x 求导，得n(1＋ x) n 1·1＝ 0＋C1n＋ 2C2n x＋＋ nC n n x n 1．令 x＝1，得n· 2n 1＝C1n＋ 2C2n＋＋ nC n n．注：应向学生讲清 (1 ＋x) n是作为复合函数对x 求导的．对本题再思虑．在《摆列、组合和概率》一章中，我们用的证法是倒序相加法、通项变换法，不如重温一下．方法一倒序相加法令 S n＝C1n＋ 2C2n＋＋ (n－ 1)C n n1＋nC n n(1)(1)式右侧倒序，写为S n＝nC n n＋ (n－1)C n n1＋ (n－2)C n n2＋＋ C1n(2)注意到组合数性质 C r n＝ C n n r(r＝ 0，1，， n)(2)式可改写为S n＝nC0n＋ (n－1)C1n＋ (n－ 2)C2n＋＋ C n n 1(3) 将 (1) 、(3) 两式相加 ( 注意错位 ) 得2S n＝n(C0n＋C1n＋C2n＋＋ C n n1＋C n n )即 2S n＝n·2n∴S n＝n·2n-1即C1n＋ 2C2n＋＋ nC n n＝n·2 n 1方法二通项变换法k ＝·n! ＝·(n 1)! ＝k 1kC n kk ! · ( n k )! n1)![( n 1) (k 1)]!nC n 1 (k即kC n k＝nC n k 11在这一等式中按序取k＝1，2，， n，并相加得C 1n＋ 2C 2n＋＋ nC n n＝ nC0n 1＋ nC1n 1＋＋ nC n n11＝n(C 0n 1＋ C 1n 1＋＋ C n n11 )＝n· 2n 13．反应练习学生达成教科书练习第1、 2 题4．讲堂小结由y＝ f(u) ，u＝ (x) 可得复合函数 y＝f[ (x)] ．对于复合函数的导数，要理解法例，掌握步骤，擅长应用．(1)法例 y ′x＝ y′u·u′x(2)步骤分解——求导——回代(娴熟后可省写步骤)(3)应用能对复合函数求导；能解相关的应用问题部署作业教科书习题 3．4 第 2(3)(4) 、 3 题．研究题已知曲线 y＝ 400 x 2 3(100 x)(0 ≤ x≤100) 在点 M 处5有水平切线，求点M的坐标．略解：易得y′＝xx 2－3．400 5令y′＝0，解得x＝15．点M的坐标是(15 ，76) ．。
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广东省高级技工学校文化理论课教案（首页）（代号A—3）JSZ-024-2 共 5 页
科目高等数学授课
日期
2013年
12月25日
课
时
1
章节名称 2.3复合函数的导数（1）班级2013级高幼03班授
课方式讲练法、演示法、归纳法
作业
题数
3
拟用
时间
20分钟
教学目的1.理解复合函数的含义。
2.能够正确分析复合函数的结构并将复合函数拆解成
基本初等函数。
3.能够初步对简单的复合函数求导
选
用
教
具
挂
图
无
重点1.复合函数的结构分析
2.掌握复合函数求导的步骤
难
点
复合函数的结构分析
教学回顾基本初等函数类型
基本初等函数的导数公式
说明1、教材中对于复合函数求导法则的解释比较抽象，讲授时需要借助实例结合定义讲解，讲解重点放在复合函数的“拆解”上。
2、在理解复合函数定义的基础上，基本初等函数的复合较容易理解，此处不做重点讲解。
3、复合函数的结构分析为本节课的重点及难点，此处加强练习。
学生理解中的难点通常在于对“基本初等函数类型”分不清，讲解中着重强调每个函数的类型。
授课人：审阅签名：
【教学回顾】（3分钟） （利用多媒体演示）
五大类型基本初等函数及导数公式。
（其中a 代表任意常数）
1．幂函数： 1(-='a a ax x ）
2．指数函数：a a a x x ln ='）
（ 【特别的x x e e =')(】 3．对数函数: a x x a ln 1log ='）
（ 【特别的x
x 1
ln ='）
（】 4．三角函数：x x cos sin ='）
（ x x sin )(cos -=' x x 2sec )(tan =' x x 2csc )(cot -=' x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -='
5.反三角函数：2
11)(arcsin x
x -=' 2
11)(arccos x
x --
='
211)(arctan x x +=
' 2
11
)cot (x
x arc +-=' 【新课导入】 （2分钟）
在学习完导数公式及导数的四则运算法则之后，形如：)3(sin 2'+x x ，)arctan ln 2('x x 之类函数我们都可以计算出其导数，但是函数类型也只局限于有两个或几个基本初等函数经过加、减、乘、除之后形成的函数。
可计算的函数范围还是很小。
引例：2sin x y =。
（板书） 提问：这个函数中包含了哪几种基本初等函数？ 答：正弦函数（三角函数）与幂函数。
说明：两种函数并不是以加减或者乘除的形式组合在一起的，这种“组合形式”我们称之为复合函数，本节课我们就来学习复合函数的求导方法。
（板书课题）
【新课讲授】
1.复合函数 （8分钟）
在讨论复合函数求导法则之前，我们先来看一下两个函数是如何复合到一起的。
例1：已知 u y ln =，x u cos =，求以y 为因变量x 为自变量的函数表达式？
解：将x u cos =代入u y ln =容易得到x y cos ln =。
说明：注意上题涉及到的3个函数中自变量与因变量都不相同，例如u y ln =与
x y cos ln =因变量都是y ，但是由于自变量的不同所以表示不同的函数，为了不至于混淆在表示函数时通常加上下脚标来标注自变量，即u y u ln =,x u x cos =,x
y x cos ln =.
例2：已知2
,tan ,x v v u e y x v u
u ===，求以y 为因变量x 为自变量的函数表达式？
解：将2x v x =代入v u v tan =得2tan x u x =，
再将2tan x u x =代入u u e y =得到2
tan x
x e y =即可。
（多媒体演示师生共同解题）
2.求导法则 （3分钟）
由此可见由16种基本初等函数像是组成机器的零件，经过复合的形式“组合”到一起，可以演变出很多种函数。
想要对这些函数求导我们先来看一下复合函数的求导法则：
x u x u y y '⋅'=' （板书）
分析：由于式子中涉及到x u u y '',两个符号，所以当我们遇到形如2
sin x y =的复合函数时，首先
应考虑将复合函数“拆解”为基本初等函数，然后分别求导，最后将求导的结果相乘即可。
即：
拆解 求导 组合（相乘） （板书）
接下来我们回顾一下我们课堂一开始提出的问题，首先我们来进行第一步：拆解。
I 拆解： （15分钟）
例3 分析下列函数结构，并求x y '。
（板书）
1）2
sin x y = 2）x e y ln =
说明：请同学们观察16条导数公式中（即基本初等函数中）每条公式包含一种运算，引导学生得到结论，复合函数都是包含有两种或两种以上的运算，若想将复合函数拆解成基本初等函数，要保证拆分后的每个函数只保留一种运算。
解：1）2x u x =，u y u sin = 2）x u x ln =，u u e y = 练习题：【课堂练习】（1）（2） 随机点提问两名学生回答问题，并进行点评
II 求导：（继续完善例3中两题的步骤）（4分钟）
1）x u x 2='，u y u cos =' 2）x
u x 1
=
'，u u e y =' 请学生对照导数公式独立完成练习（1)、（2）中的求导计算。
III “组合”（相乘） （6分钟）
1）2
cos 22cos x x x u u y y x u x =⋅='⋅'='
2）x
e x e u y y x u
x u x ln 1=⋅
='⋅'=' 说明：注意在完成第三步“组合”时，最后给出的函数形式为x y ，即必须以x 为自变
量，表达式中不可再出现中间量“u ”，需将u 代换回来。
随机点提问两名学生补充完课堂练习的求导部分。
【课堂练习】（1）)arctan(x e y = （2）4)(tan x y = 【小结】（3分钟）
1. 复合函数求导的步骤：拆解、求导、组合。
x u x u y y '⋅'='
2. 拆解函数过程中需注意拆分出的函数只能保留一种运算。
3. 组合时注意式子中不能再出现中间量u 。
课后思考：形如3)sin (ln x y =由3种基本初等函数复合而成的函数该如何进行求导？
【作业布置】（1分钟）
课本P55.1.（6）（7）（8）
【板书设计】
例 分析下列函数结构，并求x y '。
1）2sin x y
= 2）x e y ln =
解：
课堂练习：
)arctan(x e y = 4)(tan x y =
2.3复合函数的导数
x u x u y y '⋅'='
1）拆解
2）求导 3）组合。