优化改变生活(烙饼问题)
优化之烙饼问
在烙饼问题中的应用
在烙饼问题中，启发式搜索可以用于指导翻转操作， 以最小化翻转次数和最大化烙饼的排序效果。
具体而言，可以设计一个评估函数，用于估计当前烙 饼状态到目标状态的代价，例如基于逆序对的数量、
根据问题的性质，设定一个合理的界限， 当子问题的目标函数值超出这个界限时， 将其剪枝。
采用深度优先搜索策略，遍历所有子问题 ，记录并更新最优解。
优化效果分析
时间复杂度降低
通过分支定界法，可以大大减少 需要遍历的子问题数量，从而降 低时间复杂度。
求解质量提高
由于定界操作的存在，可以排除 一些不可能得到最优解的子问题 ，从而提高求解质量。
贪心算法
每一步都选择当前状态下的最优解，从而希望达到全局最优。时 间复杂度较低，但可能陷入局部最优解。
动态规划
将问题分解为若干个子问题，并保存子问题的解，避免重复计算 。时间复杂度适中，能够得到全局最优解。
优缺点分析
暴力枚举法
优点是实现简单，能够得到全局最优解；缺点是时间复杂度高，只 适用于问题规模较小的情况。
实际应用场景
烹饪过程优化
生产调度
计算机科学
在烹饪过程中，经常需要处理 类似的优化问题，如如何最有 效地利用烤箱或平底锅的空间 和时间来烹饪食物。
在生产线上，可能需要同时处 理多个任务，而每个任务都有 不同的完成时间和资源需求。 烙饼问题提供了一种思路来优 化生产调度，以最小化总完成 时间或最大化资源利用率。
最大连续子序列的长度等指标。
然后，根据评估函数的值选择下一个要翻转的烙饼， 直到达到目标状态或达到最大翻转次数限制。
优化——烙饼问题(教学设计)-2023-2024学年四年级上册数学人教版
优化——烙饼问题（教学设计）-2023-2024学年四年级上册数学人教版一、教学内容分析本节课的主要教学内容是四年级上册数学人教版中的“优化——烙饼问题”。
具体内容包括：1. 烙饼的数学模型：让学生理解烙饼问题中的数学模型，包括饼的数量、大小、烙饼的方式等。
2. 烙饼的策略：引导学生思考如何快速烙饼，让学生学会使用不同的策略来解决问题。
3. 优化烙饼的过程：通过实际操作和讨论，让学生理解如何优化烙饼的过程，包括合理安排烙饼的顺序、使用有效的烙饼工具等。
本节课的教学内容与学生已有的知识有关联。
首先，学生已经学习了基本的数学概念和计算方法，这为理解烙饼问题中的数学模型奠定了基础。
其次，学生在日常生活中已经接触到了类似的问题，如煮饭、洗衣服等，这些经验可以帮助学生更好地理解和解决烙饼问题。
此外，学生已经学习了基本的逻辑思维和解决问题的方法，这为分析和解决烙饼问题提供了支持。
二、核心素养目标本节课旨在培养学生的数学核心素养，主要包括：1. 数据意识：通过分析烙饼问题的数据，培养学生对数据的认识和处理能力，让学生学会使用数据来解决问题。
2. 模型观念：让学生理解烙饼问题中的数学模型，培养学生的模型观念，让学生学会运用数学模型来分析和解决实际问题。
3. 应用能力：通过解决烙饼问题，培养学生的应用能力，让学生学会将数学知识应用于实际问题的解决中。
4. 创新思维：引导学生思考不同的烙饼策略，培养学生的创新思维，让学生学会从不同的角度思考问题，寻找最优解。
5. 合作交流：通过小组讨论和合作，培养学生的合作交流能力，让学生学会与他人合作，共同解决问题。
本节课的核心素养目标与课本内容紧密相关，旨在通过解决烙饼问题，培养学生的数学核心素养，为学生的未来发展奠定基础。
三、学情分析本节课的对象是四年级的学生，他们在知识、能力、素质方面都有一定的基础，但同时也存在一些差异。
在知识方面，学生已经学习了基本的数学概念和计算方法，对数据有了一定的认识。
烙饼问题(教案)
优化——烙饼问题一、教材分析本课是人教版实验教材四年级上册第七单元数学广角的第二课时“烙饼问题”，是要使学生通过简单的事例，初步体会优化思想在解决实际问题中的应用。
使学生理解到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。
让学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的水平、渗透“转化”的数学思想，并使学生逐渐养成节约时间的良好习惯。
四年级学生有着强烈的探究欲望，并具备一定的探究水平，所以本课是在老师指导学法的同时，让学生在自己的实际操作中寻找规律，得出结论。
二、设计意图本课的新授过程由烙饼的视频导入，激发学生的学习兴趣，由烙两张饼的方法让学生明白应充分利用资源才能节省时间，通过烙三张饼的操作、交流、比照后发现“最优方法”，通过烙四张、五张饼的教学让学生学会从实际操作中考虑问题，寻找最准确方案，并学会从已有的发现中寻找联系，渗透“转化”的数学思想。
然后让学生不再实际操作，而是把数学问题抽象出来，让学生小组讨论解决烙六张、七张饼的解决方案。
当填完二至七张饼解决方案的表格后，引导学生观察表格、发现规律、总结方法、领会“转化”的数学思想。
最后让学生使用规律找到烙八张、九张、十张饼的方法。
练习的设计则是让学生将“烙饼问题”使用到实际生活中，解决“做一做”的上菜问题。
最后向学生介绍了著名数学家华罗庚的“优选法”，拓展学生视野，建立学生向数学家学习的信念。
三、教学目标1.使学生通过“烙饼”这个简单的事例，初步体会优化思想和转化方法在解决实际问题中的应用。
2.使学生理解到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。
3.让学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的水平。
四、教学重难点1.教学重点：使学生通过“烙饼”这个简单的事例，初步体会优化思想和转化方法在解决实际问题中的应用。
四年级上册数学教案-数学广角—优化《烙饼问题》-人教版 (1)
四年级上册数学教案-数学广角—优化《烙饼问题》-人教版一、教学目标1. 知识与技能：通过解决烙饼问题，理解优化思想，掌握简单的优化方法，并能灵活运用。
2. 过程与方法：培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和合作意识。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生良好的学习习惯和积极向上的情感态度。
二、教学内容1. 烙饼问题的背景及意义2. 烙饼问题的数学模型3. 烙饼问题的优化方法4. 烙饼问题的实际应用三、教学重点与难点1. 教学重点：理解优化思想，掌握优化方法，解决烙饼问题。
2. 教学难点：建立烙饼问题的数学模型，运用优化方法解决问题。
四、教学过程1. 导入新课：通过生活中的烙饼实例，引出烙饼问题，激发学生的学习兴趣。
2. 建立数学模型：引导学生观察、分析烙饼问题，建立数学模型，理解问题的实质。
3. 探索优化方法：分组讨论，引导学生自主探索优化方法，培养学生的合作意识和创新精神。
4. 解决实际问题：运用所学知识，解决生活中的烙饼问题，提高学生的实践能力。
5. 总结与反思：总结优化思想和方法，反思学习过程，提高学生的自我评价能力。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思维活跃度，评价学生的学习兴趣和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生的作业完成情况，评价学生对知识的掌握程度。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、创新精神等。
4. 实际应用：观察学生解决实际问题的能力，评价学生的实践能力和创新意识。
六、教学资源1. 教材：人教版四年级上册数学教材2. 辅助材料：生活中的烙饼实例、数学模型图等3. 教学工具：多媒体设备、白板等七、教学建议1. 注重启发式教学，引导学生主动参与课堂，培养学生的自主学习能力。
2. 注重理论与实践相结合，让学生在实际操作中体验数学的魅力，提高学生的实践能力。
3. 注重培养学生的合作意识和团队精神，鼓励学生积极发表自己的观点，培养学生的表达能力。
四年级数学上册 第8单元《数学广角——优化》烙饼问题
每次只能烙两张 饼，两面都要烙， 每面3分钟。
要烙3张饼， 需要多长时间呢？
烙一张饼要6分钟， 烙3张饼要18分钟。
一张一张地烙 太费时间了。
3+3=6（分钟）
3+3=6（分钟）
可以先烙两张， 再烙一张，只要 12分钟就行啦！
还有更好的 办法吗？动脑 筋想想吧！
（1）请同学们静静的想一想,你打算怎 么烙,用了几分钟,它是最少时间吗?
3
ok
1
3分钟 + 3分钟
ok
3
ok
ok
1
3分钟 + 3分钟
3
1
1
ok
1
3分钟 + 3分钟
3
1
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟
o3k ok
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟 ＝9分钟
最合理，最省时
最
佳
o3k ok
ok
方
案 3分钟 + 3分钟 + 3分钟＝9分钟
①用最佳方案烙3张饼需要—9—分钟
用刚才的 方法来做：
B
C
烙4张饼——用12分钟 烙5张饼——用15分钟
烙10张饼——用30分钟 你发现
了什么？
• 总结：
• 1，双数张饼，两张两张地烙。
• 2，单数张饼，先两张两张地烙，最后三 张按三张饼的最优方法烙。
• 3，从烙两张饼开始，烙饼时间=烙每面 饼所需时间×烙的张数
（2）有了想法后,先独自用老师发给你 的材料动手烙一烙,然后用自己的语言 把烙的过程轻轻的说过同桌听.
②
一次能放两个烧饼 ③
“数学好玩”《优化---烙饼问题》教学设计四年级下册数学北师大版
数学好玩——优化——烙饼问题简介烙饼问题是一道经典的优化问题，也是运用反转、剪枝等策略进行搜索的好例子。
在本次的数学教学中，我们会用这个启发式例子教授学生们运用优化思想解决问题的方法。
教学目标•理解启发式搜索的思路•运用反转、剪枝等策略解决问题•提高逻辑思考能力教材内容烙饼问题简述：有三堆烙饼，每堆烙饼大小不同，他们的下面有一块铁板，铁板可以升起，如果升起一堆烙饼，它的所有篇幅将会翻转过来。
问：在最少翻转次数的情况下，讲这三堆烙饼从小到大排列。
课程设计1. 启发式思路（15分钟）首先，我们需要了解并介绍启发式思路，也就是运用经验和常识方法进行搜索。
以烙饼问题为例，可以先把最大的烙饼翻到最上面，然后再把整个堆翻过来。
这样，最大的烙饼就去到了最下面一层，只需再次翻转它们就可以排好序了。
其次，我们可以从最大的烙饼开始，每次把大小不符合要求的烙饼段进行翻转，使得整个序列逐渐排好。
2. 策略解决问题（30分钟）接下来，我们教授学生一些策略来解决问题。
例如，烙饼使用旋转的策略进行比较和排序。
通过反转和剪枝，我们可以剔除那些不必要的中间状态，从而大大节省搜索时间。
然后，我们可以让学生们自己模拟并进行检验，让他们通过练习，加深对策略的理解。
3. 实战练习（45分钟）在这一部分，我们可以让学生们在小组内一起完成一些练习题，从中加深对策略的理解。
例如，如何把一堆烙饼从小到大排序，如何让烙饼保持原本的次序，等等。
同时，我们会指导学生应该如何记录每个排列的状态，这样有助于学生们深入理解策略的运用。
4. 总结回顾（10分钟）最后一个环节，我们会对这节课进行总结回顾，让学生们可以重新回想之前的知识点。
我们会重点回顾策略的运用方法以及启发式思路的重要性。
思考题烙饼问题具有挑战性，但是通过正确的策略和优化方式，它变得简单，让我们可以充分体验到数学的奇妙之处。
基于本次烙饼问题的课程，我们可以提出一些思考题：•怎样保证每次反转后，都得到上一个状态（回退），从而避免漏掉有解的可能性？•能否用类似于c语言的指针来记录每个烙饼的位置信息，优化这个算法？总结本次烙饼问题的课程教学以启发式思路为主，从中学生可以学到一些常用的优化方法。
四年级上册数学广角-优化(烙饼问题)
1张饼有两个面，烙熟一个面需要3分钟，烙熟一张饼需要多长时间？
引导学生认识
烙饼，定义饼的两个面分别是正面和反面用手势表示正
面，模拟烙饼过程
1、提出具有思考 性的问题，引导 学生制定烙饼的方案。
2、设置研究前提，引发学生思考
3、引导学生进行方案对比，提炼优化方案
4、提炼基本方案：2张同时烙和3张交替烙
如果烙熟2张饼需要多长时间？
有没有可能烙2张饼也用6分钟？
如果一只锅一次能烙2张饼，要烙熟2
张饼，怎样烙才最节省时间？最短需要
几分钟？
2张饼可以1张1张地烙，需要12分钟。
也可以2张同时烙，只需要6分钟。
在
前提条件下，显然2张同时烙所用的时
间才是最短的。
如果一只锅一次能烙2张饼，要烙熟3
张饼，怎样烙才最节省时间？最短需要
几分钟？
3张饼可以先2张同时烙，再烙1张，
需要12分钟。
也可以3张交替烙，需
要9分钟。
小结：
在1只锅一次能烙2张饼的前提下，2
张饼同时烙，3张饼交替烙都充分利用
了锅的资源，用时最短。
1流，汇报所
想。
2操作，合作
交流。
3方案，理解
3优方案。
《数学好玩优化——烙饼问题》(教案)
《数学好玩优化——烙饼问题》（教案）【教案】一、教学背景分析烙饼问题是一道经典的数学优化问题，它可以帮助学生理解和应用基本的数学概念，如交换律、组合数学和最优化方法等。
而且，这道问题也可以激发学生的数学兴趣，并提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学目标1.能够理解和表达烙饼问题的基本概念和关键思想。
2.能够利用交换律最优化地解决烙饼问题，并计算其最小翻转次数。
3.能够从烙饼问题中获取启示，并将其应用于解决其他实际问题。
三、教学重点和难点1.教学重点：交换律、最优化问题、最小翻转次数的计算。
2.教学难点：数学概念和方法的适时引导和应用、学生对问题的创造性思维和解决能力的培养。
四、教学步骤1.问题引入（10分钟）为了引起学生的兴趣，可以让学生自己探讨如何最快地将热饼翻转过来。
随后，老师可以引入烙饼问题的背景和基本概念，让学生理解这道问题的意义和重要性。
2.问题分析（15分钟）老师可以让学生进一步分析烙饼问题的特点和限制条件，例如：每次翻转只能翻转相邻的两张饼，翻转的次数要最少等。
同时，老师也可以引导学生思考该问题的解决思路和方法，以此培养学生的创造性思维。
3.问题求解（30分钟）根据问题的特点和限制条件，老师可以适时引导学生使用交换律，并利用组合数学的方法来解决烙饼问题。
同时，老师也可以给学生提供一些有用的提示和技巧，例如：从小到大排序、从大到小排序、迭代求解等。
4.问题总结（10分钟）老师可以让学生总结和反思这道问题的解决过程和方法，以此巩固他们的数学知识和思维能力。
同时，老师也可以让学生将这个问题与其他实际问题相联系，例如：煎饼的翻转、棋子的移动等，以此培养学生的应用能力。
五、教学策略1.启发式教学策略，即引导学生自主思考和发现。
老师可以适时给予学生提示和启示，但不要过于教条和束缚学生的思维。
2.差异化教学策略，即结合学生的不同特点和需求，采用不同的教学方法和手段。
例如：以图像形式呈现问题，构建模型等，以此激发学生的兴趣和培养他们的解决问题的能力。
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优化改变生活（烙饼问题）
作者：文强
来源：《学校教育研究》2017年第25期
一、设计理念
数学思想是孩子們思维的源泉，《数学课程标准（2011年版）》将“使学生获得数学的基本思想”作为课程的重要目标，说明数学课程不仅承载着知识、技能，还应让学生在经历学习的过程中获得数学思想，获得以数学的思维方式解决现实问题的能力。
基于以上理念，笔者在执教四年级上册《烙饼问题》一课时，通过情景引入，独立思考，合作探究等进行教学，不仅让学生掌握了最佳烙饼方法，还让学生感悟了优化的数学思想，了解到华罗庚教授对于优化思想的重大贡献，并通过回顾过去，展望未来，认识到优化思想在学习中的巨大作用，激起了孩子们学习数学的热情。
二.二、教学内容
人教版义务教育课标实验教材（四上）105的例2。
三、教学过程
（一）情境引入
煮熟一个鸡蛋要5分钟，煮熟3个鸡蛋最快要用多长时间？
生：15分钟，或者还是5分钟。
师：你同意哪种说法？
生：3个鸡蛋同时煮，节约时间！
师：像今天这样，一个问题有多种解决的方法，我们选择一种最佳方法，也可以叫做最优化方法，这样的思想叫做优化思想（板书），这是我国著名的数学家华罗庚教授提出来的，今天我们的数学课就和优化思想有关。
（二）新授探究
1.通过动画和配音出示例题
蝎子精：葫芦娃，我们饿了，快烙饼给我们吃，锅里每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面3分钟。
蛇精：我，大王和小妖每人一张，如果你做得太慢，我们就把你爷爷吃掉。
葫芦娃：怎样才能尽快烙好饼呢？
（设计意图：选用葫芦娃救爷爷的情景，这个情景无形之中强调了一个重要的题目要求：必须用最少的时间，否则爷爷会被妖精吃掉。
孩子们自然而然的思索最省时方案，达到了“润物细无声”的效果。
）
2.师：我们解决这样的问题一般经过哪些步骤？
卡片出示：弄清条件和问题——分析猜测——讨论探究——总结规律
（设计意图：回顾解决问题的一般步骤，培养学生良好的解题习惯。
）
3.师：第一步弄清条件和问题，说一说题目里有哪些重要信息？
生：锅里每次最多烙2张饼，两面都要烙，每面3分钟，要烙3张
饼，尽快烙好。
师依次在课件里用下划线出示重要信息。
（设计意图：分析题意，培养学生细心读题，找出题里面的重要信息的习惯。
）
4.师：你能猜一猜会用多少分钟吗？
生：12，18，或9分钟。
师：大家看法不一样，到底是多少分钟呢？我们得好好研究研究。
5.师：3张饼有点多，复杂的问题我们可以从简单的开始解决，这也是一种数学思想，我们先烙研究一张饼用多长时间？谁知道？
生：6分钟。
每面3分钟，两面一共6分钟。
（一边展示）
师出示课件。
随后老师在表格中板书出烙1张饼的方法，次数，总分钟数。
（设计意图：渗透化繁为简的数学思想，先从一张饼开始探究。
学生动手体验饼翻到反面的过程，获得直观的感受，为后面的抽象思考打下基础。
）
6.师：2张饼多少分钟？
生可能回答：12分钟，或6分钟。
师：答案不同，你们同意谁的观点？
生：6分钟，因为锅里可以同时烙2张饼。
师：“同时”这个词用得好，我们自己操作一下看看。
师填表，2张饼的数据。
7.师：现在我们可以研究3张饼最快要用多少时间了，请大家用自己的办法解决吧。
可以摆一摆，画图，列算式等。
生完成，老师并联的收集资源，合作讨论，预设可能出现的资源有：
（1）3张饼正反面交替烙，3+3+3=9（分）
（2）2张先烙完，剩下1张一面一面的烙，3+3+3+3=12（分）
师：你同意哪种做法？小组内讨论，再汇报。
互动的过程中抓住要点：“浪费”了时间，时间浪费在了哪里？锅里有“空位置”，就多烙了一次，所以浪费了3分钟，换一张饼“交替”烙可以使锅里“始终有2张饼”，所以最省时间。
最后问：哪种体现了优化思想？通过学生讨论汇报。
结论：每次总烙2张饼，别让锅有空余，这样最省时间。
并在表格里板出3张饼的相关数据。
（三）深化提高
1.回顾，建构模型
师：现在我们回顾一下1，2，3张饼烙的过程。
（设计理念：此环节参考黄爱华《大问题教学》，大问题的导需要回头看看，回顾知识产生过程，建构烙2，3张饼方法的模型，为抽象思维的提升做好准备）
2.继续填表
师：小组讨论4，5张饼的方法，填在表里
生：我发现双数可以两张两张的烙。
单数就先两张两张的烙，最后3张用优化方法烙。
师课件出示（用不同颜色提示单，双数）
师：总分钟数如何计算？
讨论后小结：饼数×每面时间=总时间。
师：1张饼可以用这个公式吗？生：不能。
（设计理念：建构好了优化烙饼法的模型，总结出单数与双数的方法，随后放手让学生生成稍大数字的烙饼方法和总时间计算公式，提升学生思维。
）
3.提高
直接说烙50张饼，100，101张饼的最快时间。
n张饼呢？
4.巩固习题
一种电脑游戏，玩1局要5分钟，可以单人玩，也可以双人玩。
小东和父母一起玩，每人玩两局，至少需要多少分钟？
完成后问：这道题和烙饼有什么联系？什么相当于饼数，什么相当于锅？
（四）总结，感悟
1.知识层面：大家学到了什么？（解决烙饼问题的方法。
）
2.思想层面：优化思想的感悟
回望过去：以前在哪里用到过优化思想？举例：简便计算也是一种优化。
3.在生活中哪里还用到过这样的思想？观看小电影《优化改变生活》，其中包含文化链接（华罗庚教授思想的简介），感受到数学思想对生活的巨大贡献。
所以，运用优化思想解决问题，不仅在数学学科用处很大，在生活中的其它方面同样有用，希望同学们在以后的学习中运用数学思想，解决更多的问题，成为一个小小数学家。