补集及综合应用

补集及综合应用
【目标】 1．了解全集的含义及其符号表示．(易错点) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、 难点) 3．熟练掌握集合的交、并、补运算．(重点)
1．全集 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 ___________，那么就称这个 集合为全集，通常记作____. U
综上，当 A∩B＝∅时， m 的取值范围是{m|m≥－3}.10 分 又因为 U＝R， 所以当 A∩B≠∅时， m 的取值范围是∁R{m|m≥－3}＝{m|m<－3}.11 分 所以，A∩B≠∅时，m 的取值范围是{m|m<－3}.12 分
【归纳升华】 利用补集求参数应注意两点 (1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间 关系时不要忘掉空集的情形． (2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的 子集.
解析： (1)法一：因为∁UA＝{1,2,6,7,8}，∁UB＝{1,2,3,5,6}， 所以(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}，A∩(∁UB)＝{3,5}， (∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}． 法二：画出 Venn 图，如图所示，可得 (∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}， A∩(∁UB)＝{3,5}， (∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．
[课堂小结] 1．补集的性质 (1)∁UU＝∅；(2)∁U(∁UA)＝A； (3)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； (4)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 2．当题设条件中含有“至少”“至多”等词语且包含的情况较多时，在解答 过程中往往进行分类讨论，为了避免讨论，可以借助补集思想来求解，即从问题 的对立面出发，进行求解，最后取相应集合的补集.
(2)把集合 A，B 在数轴上表示如下：
由图知∁RB＝{x|x≤2，或 x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}， 所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或 x≥10}． 因为∁RA＝{x|x<3，或 x≥7}， 所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或 7≤x<10}．
【归纳升华】 求集合交、并、补运算的方法
题型三 补集思想的综合应用 分层深化型 (12 分)已知集合 A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若 A∩B≠∅， 求实数 m 的取值范围．
[规范解答] 先求 A∩B＝∅时 m 的取值范围． (1)当 A＝∅时，方程 x2－4x＋2m＋6＝0 无实根， 所以 Δ＝(－4)2－4(2m＋6)<0， 解得 m>－1.3 分
[同类练]☆ 1．已知全集 U＝{2,3－a2,0}，P＝{2，a2－a－2}，且∁UP＝{－1}，则 a＝ ________.
解析： 由全集、补集的定义和∁UP＝{－1}可知，U 中一a ＝－1， ∴ 2 a －a－2＝0，
解得 a＝2，
∴当 a≤－ 2或 a≥－1 时，三个方程至少有一个方程有实根． 即 a 的取值范围为{a|a≤－ 2或 a≥－1}．
【反思与感悟】 对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明 确、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探 求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决．这就是“正 难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现．
经检验，知 a＝2 符合题意，故 a 的值为 2.
答案： 2
[变式练]☆ 2．设集合 A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集 U＝R，且(∁UA)∩B＝∅， 求实数 m 的取值范围．
解析： 由已知 A＝{x|x≥－m}， 得∁UA＝{x|x<－m}， 因为 B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅.
(2)当 A≠∅，A∩B＝∅时， 方程 x2－4x＋2m＋6＝0 的根为非负实根． 设方程 x2－4x＋2m＋6＝0 的两根为 x1，x2， Δ＝－42－42m＋6≥0， 则x1＋x2＝4≥0， 6分 x x ＝2m＋6≥0， 12
m≤－1， 即 m≥－3，
解得－3≤m≤－1.9 分
解析： ∵∁UB＝{1,5,6}，∴A∩(∁UB)＝{1,2}∩{1,5,6}＝
{1}． 答案： B
3．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁UA)∩B 解析： 先计算∁UA，再计算(∁UA)∩B. ∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁UA＝{6,8}． ∴(∁UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．
[基础自测] 1．设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x<3}，则∁UP等于( A．{x|x<－2或x≥3} C．{x|x≤－2或x>3} B．{x|x<－2或x>3} D．{x|x≤－2且x≥3} )
解析： 由P＝{x|－2≤x<3}得∁UP＝{x|x<－2或x≥3}．
答案： A
2．(2015·安徽卷)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝ {2,3,4}，则A∩(∁UB)＝( A．{1,2,5,6} C．{2} ) B．{1} D．{1,2,3,4}
题型二 集合交、并、补的综合运算 多维探究型 (1)已知 U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}， A＝{3,4,5}， B＝{4,7,8}， 求： (∁UA)∩(∁UB)， A∩(∁UB)，(∁UA)∪B； (2)设全集为 R， A＝{x|3≤x<7}， B＝{x|2<x<10}， 求∁RB， ∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.
答案： {6,8}
题型一 补集的简单运算 自主练透型 (1)(2016· 山东卷)设集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则 ∁U(A∪B)＝( A．{2,6} C．{1,3,4,5} ) B．{3,6} D．{1,2,4,6}
【归纳升华】 求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，直接套用定义或借助 Venn 图求解． ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解.
所有元素
[化解疑难] 理解补集应关注三点 (1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集 合 A 的补集的前提是 A 是全集 U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集 也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念． (2)∁UA 包含三层意思：①A⊆U；②∁UA 是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA 是由 U 中所有不属于 A 的元素构成的集合． (3)若 x∈U，则 x∈A 或 x∈∁UA，二者必居其一.
所以－m≤－2，即 m≥2， 所以 m 的取值范围是 m≥2.
解题思想方法 补集思想的应用 已知集合 A＝{x|x2＋ax＋1＝0}，B＝{x|x2＋2x－a＝0}，C＝{x|x2＋2ax ＋2＝0}．若三个集合至少有一个集合不是空集，求实数 a 的取值范围．
解析： 假设三个方程均无实根，则有
2 Δ1＝a －4<0， －2<a<2， Δ2＝4＋4a<0， 即a<－1， 解得－ 2<a<－1， Δ ＝4a2－8<0， － 2<a< 2. 3