运用正难则反的补集思想解题

运用正难则反的补集思想解题例1 已知A={x|x2+(k+2)x+1=0，x∈R}，若A∩R+= ，求k的取值范围。

解析：若从正面直接求k的范围，则有三种情况，分别求出较繁，而通过补集来求解则极为简捷。

因为方程x2+(k+2)x+1=0的根不可能为零，且两根必定同号，故A∩R+≠的条件是⊿=(k+2)2-4≥0，x1+x2=-(k+2)>0，解得k≤-4。

所以，当A∩R+= 时，k的取值范围是k>-4。

例2.若关于方程a x2-4x+a+1=0至多有一个非负实数根，求实数a的取值范围。

解析：(1)先求问题的反面，再求其补集。

(i)a=0时,方程-4x+1=0,x=1/4,符合题意.(ii)a不=0时,判别式=16 -4a(a+1)>=0,得-1/2-根号17 /2<=a<=-1/ 2+根号17 /2即全集U={a|-1/2-根号17 /2<=a<=-1/2+根号17 /2,a不=0} 如果二个根都是非负根,则有:x1+x2=4/a>=0,得a>0x1x2=(a+1)/a>=0,得a>0或a=<-1即:a>0,设为A={a|a>0}故:至多有一个非负实数根,a的取值范围是:A在U中的补集={a|-1/2-根号17/2<=a<0}综合(i)(ii)得:-1/2-根号17/2<=a<=0“否命题”与“命题的否定形式”区别格式：原命题是“若p则q”否命题是“若非p，则非q”，命题的否定形式是“若p则非q”。

区别：否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。

注意：对“全”、“都”的否定，只需在其前面加一个“不”即可，而对“一定”的否定却不一样，不是“不一定”，而是“一定不”例1. 原命题：（1）若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角；（2）菱形的对角线互相垂直；（3）面积相等的三角形是全等三角形。

写出原命题的否定形式和否命题。

解：（1）原命题的否定形式：若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。

原命题的否命题为：若一个三角形不为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。

（2）原命题的否定形式：菱形的对角线不互相垂直。

原命题的否命题：非菱形的四边形的对角线不互相垂直。

（3）原命题的否定形式：面积相等的三角形不是全等三角形。

原命题的否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形。

五道关于集合的高考题（一定要做）1.（2009上海卷文）已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，则实数a的取值范围是__________________.2.（2009北京文）设A是整数集的一个非空子集，对于k€A，如果k-1不属于A,且k-1不属于A，那么K是A的一个“孤立元”，给定S={1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.3.（2009年上海理）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x＞a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是_______________.4.（2003上海春）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且A是B的真子集，则实数a的取值范围是_____.5.（2002上海春，3）若全集U=R，f（x）、g（x）均为x的二次函数，P={x|f（x）＜0}，Q={x|g（x）≥0}，则不等式f(x)g(x) ＜0的解集可用P、Q表示为_____.10.12上传不等式的几个较难的性质1．取倒数性质1）若或，则。

2）若或，则。

2．取绝对值的性质1）。

2）若，且，①当时，有；②当时，有。

3．有关分数的性质若，且，则1）真分数的性质：①；②。

2）假分数的性质：①；②。

评注：1）是真分数的性质，可简述为：真分数越加越大，越减越小。

2）是假分数的性质，可简述为：假分数越加越小，越减越大。

以上性质都可由基本不等式或绝对值的定义，通过简单推导而得到，作为练习，其证明均留给读者。

对以上不等式，建议大家熟练掌握，这对加快解题速度有帮助。

10.12上传比较两个实数大小的典型方法比较两个实数大小通常用作差法，其步骤为：①作差；②变形；③判断差的符号；④结论.概括为“三步一结论”，其中变形是比较两个实数大小的关键，下面给出变形的基本手段。

一、因式分解例1， 若0q >，且1q ≠，比较31q +与2q q +大小. 解：32222(1)()(1)(1)(1)(1)(21)(1)(1)q q q q q q q q q q q q q +-+=+-+-+=+-+=+- 201(1)(1)0q q q q >≠∴+-> 且 故31q +>2q q +点评：通过因式分解可得到若干个因式连乘积，有助于我们利用性质判断出符号. 二、配方例2， 已知,a b R ∈，比较44a b +与33a b ab +的大小.解：443333()()()()a b a b ab a a b b b a +-+=-+-332222223()()()()()[()]024b a b a b a b a ab b a b a b =--=-++=-++≥当且仅当a b =时等号成立.4433a b a b ab ∴+≥+点评：二次三项式往往很难看出与0的大小，配方后转化成含有完全平方式的形式，有助于我们判断出符号. 三、判别式例3，设,m R x R ∈∈，比较21x x -+与222m mx --的大小.解： 2222(1)(22)(21)(21)x x m mx x m x m -+---=+-++ 二次三项式22(21)(21)x m x m +-++的判别式为222(21)4(21)443m m m m ∆=--+=---二次三项式2443m m ---的判别式为2(4)4(4)(3)320,'∆=----=-<22(21)(21)0x m x m ∴+-++>，恒成立.22(1)(22)0,x x m mx -+---> 即21x x -+ >222m mx --点评：判别式对于解决作差之后为二次三项式的符号的判别有独特的作用.如果变量有多个，可以以其中一个为主元然后判别。

四、分类讨论 例3， 设x R ∈，比较11x+与1x -的大小. 解：21(1)11x x x x--=++ （1） 当0x =时，即201x x=+ ∴11x +＝1x -（2） 当10x +<时，即1x <-时，201x x<+ ∴11x +<1x -（3） 当10x +>但0x ≠时，即10x -<<或0x >时，∴11x+>1x - 点评：对21x x +分类讨论是必需的，主要是对1x +分类，分为10x +>，10x +<，可看分类是根据解题需要产生的标准，今后在解题中要认真学习，它是一种重要的数学思想方法. 五、有理化例5，当120x x <<的大小.22==∵120x x <<12120,0x x x x ∴-<+<>0>0.点评：分子（母）有理化是常用的方法：化减为加，化无理为有理，从而找到了解决问题的突破口.六、赋值法例6，已知221110,1,1,,,211a A a B a C D a a-<<=+=-==+-试将,,,A B C D 按从大到小的顺序排列. 解：因为102a -<<，不妨取14a =-，则171544,,,161635A B C D ====，由此猜想：D B A C <<<.只需证明0,0,0C A A B B D ->->->即可.232215[()]1124(1),0,10,1112a a a a a B D a a a a a a -----=--==-<<∴->--- 又221111151,()1,()0224224a a a -<-<-∴<-<∴--< 215[()]240,.1a a B D B D a --->∴>- 又2221(1)20A B a a a A B -=+--=>∴>2213[()2]1(1)24(1)11113[()2]132410,0,()200241a a a a a C A a a a a a a a a a C A a -++-++-=-+==+++-+++>->++>∴>∴>+ 综上可得,,,A B C D 大小的顺序是：D B A C <<<.点评：赋值法是给问题中的字母以一个或一组特殊的数值，使问题简单化，使抽象字母表示的数具体化，先得出结论，但必须给出严格的证明；当比较的数或式较多时，一般先分组然后按组比较.10.13上传构造一次函数证明不等式一次函数是同学们非常熟悉的函数.由一次函数y kx b =+的图象可知,如果()0f m >,()0f n >,则对一切(,)x m n ∈均有()0f x >.我们将这一性质称为一次函数的保号性.利用一次函数的保号性可以证明一些不等式.例1 设a 、b 、c 都是绝对值小于1的实数,求证:1ab bc ca ++>-.分析 因为(),ab bc ca b c a bc ++=++故可考虑()()f x b c x =+1bc ++.显然有(1)1(1)(1)0f b c bc b c =+++=++>(1)()1(1)(1)0f b c bc b c -=-+++=-->根据保号性知,当11x -<<时,()0f x >而11,a -<<故()0f a >,即原不等式获证.例2 a 、b 、c 都是小于k 的正数,求证:2()()()a k b b k c c k a k -+-+-<.分析 构造一次函数.令2[()()()]A k a k b b k c c k a =--+-+-.因变量较多,可用主元法,把a 当作主元,重新整理得:2()()A b c k a bc b c k k =+-+-++,将A 看作关于a 的一次函数,注意到0a k <<,当0a =时,2()()()0A k b c k bc k b k c =-++=-->当a k =时,2()()0A b c k k bc b c k k bc =+-+-++=>这说明,当0a =与a k =时,函数图象上对应的两点P 、Q (横坐标分别为0、k )都在x 轴上方,由一次函数的保号性可知,当0a k <<时,()0A f a =>即 2()()()a k b b k c c k a k -+-+-<例3 已知1a <、1b <、1c <,求证:2abc a b c +>++.分析 首先将不等式化为20abc a b c +--->并整理成功之路(1)20bc a b c -+-->可将其看成是关于a 的一次式.证明:构造函数()(1)2f x bc x b c =-+--,这里1b <、1c <、1x <,则1bc <. 因为(1)12(1)(1)(1)0f bc b c bc b c -=-+--=-+-+->(1)12(1)(1)0f bc b c b c =-+--=-->所以,一次函数()(1)2f x bc x b c =-+--,当(1,1)x ∈-时,图象在x 轴的上方.这就是说,当1a <、1b <、1c <时,有(1)20bc a b c -+-->,即2abc a b c +>++. 从上例的证明可以看出,构造一次函数证明不等式时,可按下列步骤进行: ⑴将不等式先移项使右边为零;⑵将不等号左边的式子整理成关于某一未知数x 的一次式()0f x >; ⑶根据x 的取值范围(,)m n ,确定()f m 与()f n 的符号,确定当(,)x m n ∈时()f x 的符号进而证得不等式.构造一次函数证明不等式,其实质是将一个不等式的证明问题转化为确定解析式某个变量在两个特殊值处的符号问题,从而收到了以简驭繁的效果.。