2008年湖南省汝城一中高二数学第一次月考试卷 人教版

汝城一中2008年下学期高二第一次单元测试数 学 试 卷总分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（本大题为单选题，共10题，每小题5分，共50分）1. 不等式21≥-xx 的解集为 A ． )0,1[-B ． ),1[∞+-C ． ]1,(--∞D ． ),0(]1,(∞+--∞2. 命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是A.不存在32000,10x R x x ∈-+≤B.存在32000,10x R x x ∈-+>C.存在32000,10x R x x ∈-+≥ D. 对任意的01,23>+-∈x x R x3．在△ABC 中，若a 、b 、c 成等比数例，且c = 2a ，则cos B 等于A ．41B ．43C ．42D ．324．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 A ．(0,)+∞ B ．(0,2) C ．(1,)+∞ D ．(0,1)5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z+=5的最大值为A ． 2B ．3C ． 4D ．56．下列命题的说法错误的是A ．命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为：“若023,12≠+-≠x x x 则”B ．“x=1”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题0:p x R ∃∈使得2010o x x ++<，则01,:2≥++∈∀⌝x x R x p 均有7．若011<<ba ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 8．两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于A.49 B. 837 C. 1479 D. 241499．以椭圆上一点和椭圆的两焦点为顶点的三角形面积最大值为1，则椭圆长轴的最小值为A ．B ．2C ．D ．410．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则a 的取值范围是A ．[)2,-+∞B ． [5,)2-+∞ C ．(),2-∞- D ．(],0-∞二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知条件p:x ≤1，条件q ：1x<1，则⌝p 是q 的 条件；12．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准 方程是 ；13．在ABC ∆中，45,60,B C c ===，则最短边的长是 ； 14. 已知A 为三角形的一个内角，函数y = x 2cosA – 4xsinA + 6 , R x ∈∀都有y > 0，则角A 的取值范围是____________________； 15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）设命题p:[]21,2,0x x a ∀∈-≥，命题q:2000,220x R x ax a ∃∈++-=，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围。

17．（本小题满分12分）某小区要建一个面积为500平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地的长边外路宽5米，短边外路宽9米，怎样设计绿地的长与宽，使绿地和小路所占的总面积最小，并求出最小值。

18. （本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥ （1）求{a n }的通项公式;（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++ 成等比数列，求T n19. （本小题满分13分）3,,,,,,,,,cos .411(1) tan tan 3(2) ,.2ABC A B C a b c a b c B A C BA BC a c ∆=+⋅=+ 中内角的对边分别为已知成等比数列 求的值；设求的值20. （本小题满分13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n≥2），a 1=21． （1）求证：{nS 1}是等差数列； （2）求a n 表达式；21．（本小题满分13分）点A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴位于x 轴下方的顶点，过A 作斜率为1的直线交椭圆于P 点，B 点在y 轴上且BP ∥x 轴，且⋅=9.（1）若(0,1)B ，求椭圆的方程； （2）若(0,)B t ，求t 的取值范围．汝城一中高二数学第一次测试答案11． 充分不必要 12 2218020x y += 13 214 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭15 2002三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．{}21a a a ≤-=或17．设绿地长边为x 米，宽为500x 米。

总面积5009000(18)(10)68010S x x x x=++=++6801280≥+= 当且仅当900010x x =即30x =时，上式取等号。

所以，绿地的长为30米，宽为503米时，绿地和小路所占的总面积最小，最小值为1280平方米。

18．（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a =故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n na -=.（2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =，故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d ==-∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d=∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+19．（1）223cos :sin 44:sin sin sin .11cot cot tan tan B B b ac B A C A C A C=====+=+由得由及正弦定理得于是（2）2333:cos ,cos ,:2, 2.224BA BC ca B B ca b ⋅=⋅==== 由得由可得即222222222:2cos :2cos 5.()2549,3.b a c ac Ba cb ac B a c a c ac a c =+-+=+⋅=+=++=+=∴+=由余弦定理得20．（1）∵－a n =2S n S n －1，∴－S n +S n －1=2S n S n －1（n ≥2）S n ≠0，∴n S 1－11-n S =2，又11S =11a =2，∴{nS 1}是以2为首项，公差为2的等差数列．（2）由（1）n S 1=2+（n －1）2=2n ，∴S n =n21当n ≥2时，a n =S n －S n －1=－)1(21-n nn =1时，a 1=S 1=21，∴a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=)2( 1)-(21-)1( 21n n n n21．解（1）由题意(0,1)B ，(0,)A b -，45PAB ∠=︒，∴·=||·||·cos45°=||2=9,得2b =. ∴(3,1)P ，代入椭22cos cos sin cos cos sin sin sin sin sin sin()sin 1sin sin sin A C C A C AA C A CA CB B B B +=+=+====圆方程得29114a +=，∴212a =。

故所求椭圆的方程为221124x y +=。

另解 直线AP 的方程为y x b =-，由1y y x b=⎧⎨=-⎩，得(1,1)P b +，∴⋅=(0,1+b)·(1+b,1+b)=(1+b)2=9，以下同上。

（2）由⋅=9，得3(0,0)t b t b +=>> ①，将(3,)P t 代入椭圆方程得22291t a b +=，即22229b a b t =-，∵22a b >，∴22229b b b t >-，即2291b t >- ②，由① 得3b t =-，代入③得91096t ->-，∴6069t t <-，解得302t <<。