数学：2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》课件(新人教A版必修2)
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人教新课标A版必修2 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系(共20张PPT)
巩固训练
练一练 异面直线的定义的理解
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定：它们可能异面，可能相交， 也可能平行。
b
a
a与b是异面直线
M
a
b
a与b是相交直线
a
b
a与b是平行直线
新课讲授
空间中直线与直线的位置关系
如图，已知两条异面直线a，b，
经过空间任一点O作直线a'∥a， b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角 （或直角）叫做异面直线a，b
H
G
E
22
3
D
2
3
A
(2) ∵BF∥AE
F C
B
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60°.
达标训练
练一练 空间中点、线、面的位置关系
1．空间两直线平行是指它们（B ）
A．无交点
B．共面且无交点
C．和同一条直线垂直 D．以上都不对
2．在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角
的传递性
思考：初中学过的结论“在同一平面内垂直于 同一直线的两条直线平行”在空间中还成立吗？
不成立
新课讲授
等角定理
思考:在平面几何中有“如果一个角的两边和另 D' 一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或 A'
C' B'
互补”。在空间中,该结论是否仍然成立呢?
D
C
EA
B
在空间中，如果一个角的两边和
面直线BA' 与CC'的夹角,所以在正方体中异面直线BA' 与CC'的夹角为45° 。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2
注意证明中常常要说明两个平面是重合的， 其基本模式如： ①点A、B、C、D共面于α，点A、B、C、 E共面于β，经过不共线三点A、B、C的平 面有且仅有一个，∴α与β重合，从而A、B、 C、D、E共面． ②直线a、b、c共面于α，直线a、b、d共 面于β，但直线a与b确定一个平面(a∥b或a 与b相交)，∴α与β重合，∴a、b、c、d共 面．
(3)共面问题 证明多个几何元素(点和直线)共面，一般 先据公理2或其推论结合题设条件确定一 个平面α，再由公理1或公理3说明其它元 素也在平面α内． 证明直线共面的一般方法有两种：一是先 由两条平行或相交直线确定一个平面，再 依据平面的基本性质证明其它直线在此平 面内；二是先分别确定两个平面，再依据 平面的基本性质证明两个平面是同一个平 面(即两平面重合)．
2．怎样检查一张桌子的四条腿的下端是 否在同一个平面内． [解析] 用两条细绳沿桌子对角两腿的下 端拉直，看两绳是否相交，若相交则在同 一个平面内，否则不在同一个平面内．
3．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B， l∩c＝C，求证：a、b、c、l共面． [证明] ∵a∥b，∴a、b确定一个平面α， ∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈α，B∈α，故l⊂α，∴a、b、l共面于 α. 又∵a∥c，∴a、c确定一个平面β， 同理可证：l⊂β，∴a、c、l共面于β， ∵a∩l＝A， 过两条相交直线有且只有一个平面． ∴α与β重合，即直线a、b、c、l共面．
制作人：豆猛刚
1．确定平面的条件． 我们已知不共线三点可以确定一个平面， 请探究： (1)一直线外一点和该直线能确定一个平面 吗？ (2)两条平行直线能确定一个平面吗？ (3)两相交直线能确定一个平面吗？
[解析] (1)可以．如图，在直线l上任取相 异两点，∵P∉l，∴P、A、B三点不共线， 由公理2，P、A、B三点可确定一个平面α， ∴经过直线l和l外一点P，有且仅有一个平 面．
高中数学人教A版必修2课件：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
之间的位置关系
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
反思证明两条直线平行的方法:
(1)平行线的定义;
(2)三角形中位线、平行四边形的性质等;
(3)公理4.
-24-
2.1.2 空间中直线与直线
之间的位置关系
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
【变式训练2】
如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中
1
2
3
4
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
5
【做一做4】 已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则
∠B'A'C'=(
)
A.30°
B.150°
C.30°或150°
D.60°
答案:C
-11-
2.1.2 空间中直线与直线
之间的位置关系
1
2
3
4
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
5
5.两条异面直线所成的角(夹角)
之间的位置关系
1
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2
例如,在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB和B1C1是
异面直线.由于AB∥A1B1,则∠A1B1C1就是它们所成的角,当然∠ABC
也是它们所成的角;对于异面直线AD1和B1C来说,在图中就没有它
们所成的角,这就需要作辅助线,连接BC1交B1C于点E,则BC1∥AD1,
题型一
题型二
题型三
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
反思证明两条直线平行的方法:
(1)平行线的定义;
(2)三角形中位线、平行四边形的性质等;
(3)公理4.
-24-
2.1.2 空间中直线与直线
之间的位置关系
题型一
题型二
题型三
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
【变式训练2】
如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中
1
2
3
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
5
【做一做4】 已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则
∠B'A'C'=(
)
A.30°
B.150°
C.30°或150°
D.60°
答案:C
-11-
2.1.2 空间中直线与直线
之间的位置关系
1
2
3
4
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
5
5.两条异面直线所成的角(夹角)
之间的位置关系
1
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2
例如,在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB和B1C1是
异面直线.由于AB∥A1B1,则∠A1B1C1就是它们所成的角,当然∠ABC
也是它们所成的角;对于异面直线AD1和B1C来说,在图中就没有它
们所成的角,这就需要作辅助线,连接BC1交B1C于点E,则BC1∥AD1,
高中数学人教A版必修2课件：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2异面直线所成角(共20张PPT)
【例】如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中：
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？
(3)直线A′B和CC′所成角是多少？
解：(1) 直线AB,BC,CD,DA, A′B′ ,B′C′,
D′
C′ C′D′, D′A′与直线AA′ 都垂直.
(2) 直线AD,BC, B′C′ ,A′D′与直线A′B
抛 砖 • 在平面内，如果两个角的两边分别对应 引 平行，那么这两个角有什么关系？ 玉
抛 砖 • 在空间中，如果两个角的两边分别对应 引 平行，结论是否仍然成立呢? 玉
1、等角定理：
• 空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
• 【定理的推论】 如果两条相交直线和另两条相交直线
• 推论2：经过＿两＿条＿相＿交直线，有且只有一个平面。 • 推论3：经过＿两＿条＿平＿行直线，有且只有一个平面。
• 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们＿有＿且＿只＿有＿一＿条＿过＿该＿点＿的＿公＿共＿直＿线。
• 公理4：＿平＿行＿于＿同＿一＿直＿线＿的两条直线互相平行。
• 空间中直线与直线的位置关系：
看图说话
1(1)长方体ABCD-A′B′C′D′中，有没有两条棱所
在的直线是互相垂直的异面直线?
(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂 直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？
(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
C' B'
C
B
D' A'
D
A
精讲点拨
求异面直线夹角的一般步骤是： “作—证—算—答”
2、异面直线所成角：
数学：2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》课件(新人教A版必修2)
2
∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
B
F
C
变式一：
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那 么四边形EFGH是什么图形? A
菱形
分析： 在例题2的基础上 我们只需要证明平行四 边形的两条邻边相等。
B
E
H
D G F C
5. 异面直线的判定定理
异面直线定理：连结平面内一 点与平面外一点的直线，和这 个平面内不经过此点的直线是 异面直线
2.1.2《空间中直线与 直线之间的位置关系》
复习引入： 1、同一平面内不重合两条直线有几种位置 关系？
(1)、相交：有且仅有一个公共点。 (2)、平行：在同一平面内没有公共点。
2、在同一平面内，同平行于一条直线的两 条直线有什么位置关系？ 互相平行
1.空间中两条直线的位置关系 观察： 观察教室内的日光灯管所在直线与黑 板的左右两侧所在的直线,想一想:它 们相交吗?平行吗?共面吗? 观察上方体的棱所在 直线,回答类似的问题.
4．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条 直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线； （3）异面直线．
6．选择题 （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系 是 （ D） （A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能 （2）异面直线a,b满足a ,b ,∩=l, 则l与a,b的位置关系一定是（ B ） (A)l至多与a，b中的一条相交; (B)l至少与a，b中的一条相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a，b中的一条平行.
思考：我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢？
异面直线的定义: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线（skew lines）。 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图 时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:
高中数学新课标人教A版必修2：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件
巩固练习
下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正 方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线 是异面直线的有几对？
CA
G DB
HE F
解：三对 AB与CD AB与GH EF与GH
空间两条直线的位置关系
①从有无公共点的角度
有且仅有一个公共点——相交直线
没有公共点—— ②从是否共面的角度
平行直线 异面直线
不同在任何一个平面内——异面直线
在同一平面内——
相交直线 平行直线
巩固练习
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系：
平行 异面 相交 异面
问题探究
在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那
么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？
如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中, BB′∥AA′,
H
G
E
2 2 3D
A
23
F C
B
解答：
(1)因为GF∥BC， 所以∠EGF（或其补角）为所求. H
在Rt△EFG中，求得∠EGF = E
45°，
2
2 3D
所以BC与EG所成的角为45°.
A
23
(2)因为BF∥AE，
所以∠FBG（或其补角）为所求.
在Rt△BFG中，求得∠FBG = 60°，
所以AE与BG所成的角为60°.
a∥b
若
a∥c
c∥b
空间四边形：
如图，顺次连接不共面的四点A，B，C，D所组成
的四边形叫做空间四边形ABCD.
A
相对顶点A与C，B与D的连线AC，
BD叫做这个空间四边形的对角线.
人教版高中数学必修二2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》公开课教学课件共21张PPT (共21张PPT)
对?答:共有三对 AB与CD
AB与GH EF与GH
CA
G DB
HE F
A
H G(C)
D F (B)
E
3.空间中两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种
共面直线
平行直线 相交直线
异面直线
位置关系
相交
平行
异面
公共点个数
只有一个
没有 没有
是否共面
共面 共面 不共面
二、空间直线的平行关系
2.1.2《空间中直线与直线 之间的位置关系》
单 位 ： 蓬 莱 二 中
学习目标
知识与技能：会判断空间两直线的位置关系， 理解公理四，掌握异面直线的概念及所成的角。
过程与方法：用实例引出异面直线的概念，介绍 空间直线位置关系，进而由公理4引出异面直线 所成的角。
情
感
态
度
价新疆 王新敞 奎屯
值
观
：
培
解：（2）由 BB // CC 可
D'
C'
知与，BCBCA 等的于夹角异,面所直以线异B面A A'
B'
直线 BA与 CC 的夹角为
450 。
D
C
(3) 直线AB, BC,CD, DA, AB, A
B
BC,CD, DA 与直线 AA都垂直.
题后反思：
1、解题时常将异面直线所成的角转化为 相交直线所成的角实现了空间问题平面化
思考：a ,b ,则a 与b 是异面直线吗？
b a
M
ab
a
b
a与b是异面直线 a与b是相交直线 a与b是平行直线
高中数学 必修二 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2
在△EFG中，由于EG＝FG＝12AD，又EF＝ 22AD， ∴EG2＋FG2＝EF2，即EG⊥FG. ∴∠EGF＝90°.故AD与BC所成角为90°.
规律技巧 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到
同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所
成角的范围是0，
π 2].
随堂训练
1.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与
又∵A1A綊B1B，∴E1E綊B1B.
∴四边形E1EBB1是平行四边形． ∴E1B1∥EB，同理E1C1∥EC. 又∠C1E1B1与∠CEB方向相同， ∴∠C1E1B1＝∠CEB.
规律技巧 证明角相等问题，等角定理及其推论是较常用 的方法.另外，通过证明三角形的相似或全等也可以完成角相 等的证明，如本例还可通过证明△B1C1E1与△BCE全等来证明 角相等.
1.且只有一个 无 无
自 2.互相平行 若 a∥b，b∥c，则 a∥c 我 3.平行 相等或互补 校 4.任何 对 5.a′∥a b′∥b 锐角或直角
(0，2π] 直角 a⊥b
名师讲解 1.不要将平面几何定理随意搬用于空间 课本在本节中介绍公理 4 之前引用了平面几何中的相应命 题：“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行．”这种“平行的传递性”在空间也 是成立的．又如，在平面几何中，顺次连接四边形各边的中点， 可以得到一个平行四边形；同样，顺次连接空间四边形各边的 中点，也可以得到一个平行四边形．从上面的这些例子可以看
求证：△A1B1C1∽△ABC.
证明 ∵OOAA1＝OOBB1＝OOCC1， ∴A1B1∥AB，B1C1∥BC，A1C1∥AC. ∴∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC. ∴△A1B1C1∽△ABC.
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E
H
D
分析：需要证明四边形ABCD有 一组对边平行，但不相等。
B F
G
C
3. 等角定理
提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角 的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个 角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立 呢? 观察思考：如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与 ∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小 关系如何？
王新敞
奎屯 新疆
课堂小结： 这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、 相交、异面），平行公理和等角定理及其推 论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概 念； 证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判 定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是： “作—证—算—答”
王新敞
奎屯 新疆
作业布置: P51 A组3、4（1）（2）（3）、5、6.
连结BD,只需证： 1 EH ∥BD且EH ＝ BD
2 1 FG ∥BD且FG ＝ BD 2
B
F
C
E，F，G，H分别是各边中点
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明： 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2 1 同理，FG ∥BD且FG = BD E D G A H
王新敞
奎屯 新疆
练习反馈： 2．选择题 （1）“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ ,且a 不平行于b；② a 平面，b平面且a∩b=Φ ③ a 平面，b 平面 ④ 不存在平面，能使 a 且b 成立 上述结论中，正确的是 （ C） （A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④ （2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成 的异面直线有 （ C） （A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对
（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交， 则直线a，b的位置关系是（ D） （A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 （4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则 它和另一条的位置关系是( D ) （A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面 3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
BC, AD, CC, DD, DC, DC
例题示范
例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ （2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？ 解：（2）由 BB // CC 可知， BBA 等于异面直线 与 CC 的夹角,所以异面直 线BA 与 的夹角为450 。
BA (3) 直线 AB, BC , CD, DA, AB, BC , C D, DA 与直线 AA都垂直.
CC
练一练,巩固新知：P48页练习1,2题。
例3: 如图，A 是平面 BCD 外的一点 G , H 分别是 ABC , ACD 的重心， A 求证：GH // BD 。 证明：连结 AG, AH 分别交 BC, CD G H M , N ,连结 MN , 于 D B ∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重 N M C 心,∴M,N分别是BC,CD的中点, ∴MN//BD, 又∵ AG AH 2
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修2
2.1.2《空间中直线与 直线之间的位置关系》
教学目的
1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语 言、符号语言表示三种位置关系. 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行. 3掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线 的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证 明两直线异面； 4. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直 的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的 角
AM AN 3
∴ GH//MN,由公理4知GH//BD.
练习反馈：
1. 判断: （1）平行于同一直线的两条直线平行.（√ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ×） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知 直线平行 . （ √ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只 有两条. （ ×） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平 行，那么这两个角相等（×） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平 行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相 等. √ ） （
思考：我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢？
异面直线的定义: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线（skew lines）。 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图 时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:
m
m
l
l
想一想,做一做： 1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的 点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？
D1
M
C1
A1
D
A
B1
N
C
B
想一想,做一做： 2. 下图是一个正方体的展开图，如果将它 还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这 四条线段所在直线是异面直线的有几对？
C G H E
A
D B
三对 AB与CD
AB与GH
EF与GH
F 3. l1 , l2 , 则l1 , l2一定是异面直线吗？
ABCD A' B'C ' D' 中, BB'∥ AA' 观察：如图2.1.2-5,长方体
DD'∥ AA'
那么 BB ' 与 DD' 平行吗?
D' C'
A' D A
B' C
B
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行。
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间 这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若
a∥b
a∥c
c∥b
想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直 线垂直,是否也有类似的规律?
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析： 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH∥FG且EH＝FG E A H D G
空间中两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种
平行直线 共面直线 相交直线 异面直线
位置关系 相交
只有一个 没有 没有
公共点个 数
是否共面
共面 共面 不共面
平行
异面
2. 空间两平行直线 提出问题：在同一平面内，如果两条直线 都与第三条直线平行，那么这两条直线互 相平行。在空间中，是否有类似的规律？
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
A B D E F
C
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
A B
C
D F E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相 交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐 角(或直角)相等.
4. 异面直线所成的角
如果两条异面直线所成的角为直角， 就说两条直线互相垂直，记作a⊥b。
b
a'
a
O
记作：a b
5. 异面直线的判定定理
异面直线定理：连结平面内一 点与平面外一点的直线，和这 个平面内不经过此点的直线是 异面直线
A , B , l , B l
王新敞
（3）两异面直线所成的角的范围是 （ C ） （A）（0°,90°） （B）[0°,90°) （C）（0°,90°] （D）[0°,90°] 7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打 “×” （1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条 直线平行 （ ） × （2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们 所成的角不变 （ ）√ （3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方 形 （ ） ×
答：不一定，还可能异面．
4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？ 答：三种：相交，平行，异面． 5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条 直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线； （3）异面直线．
6．选择题 （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系 是 （ D） （A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能 （2）异面直线a,b满足a ,b ,∩=l, 则l与a,b的位置关系一定是（ B ） (A)l至多与a，b中的一条相交; (B)l至少与a，b中的一条相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a，b中的一条平行.
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复习引入： 1、同一平面内不重合两条直线有几种位置 关系？
(1)、相交：有且仅有一个公共点。 (2)、平行：在同一平面内没有公共点。
2、在同一平面内，同平行于一条直线的两 条直线有什么位置关系？ 互相平行 提出问题：空间中的两条直线呢？
1.空间中两条直线的位置关系 观察： 观察教室内的日光灯管所在直线与黑 板的左右两侧所在的直线,想一想:它 们相交吗?平行吗?共面吗? 观察上方体的棱所在 直线,回答类似的问题.
2
∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
B
F
C
变式一：
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那 么四边形EFGH是什么图形? A
H
D
分析：需要证明四边形ABCD有 一组对边平行，但不相等。
B F
G
C
3. 等角定理
提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角 的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个 角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立 呢? 观察思考：如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与 ∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小 关系如何？
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课堂小结： 这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、 相交、异面），平行公理和等角定理及其推 论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概 念； 证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判 定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是： “作—证—算—答”
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作业布置: P51 A组3、4（1）（2）（3）、5、6.
连结BD,只需证： 1 EH ∥BD且EH ＝ BD
2 1 FG ∥BD且FG ＝ BD 2
B
F
C
E，F，G，H分别是各边中点
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明： 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2 1 同理，FG ∥BD且FG = BD E D G A H
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练习反馈： 2．选择题 （1）“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ ,且a 不平行于b；② a 平面，b平面且a∩b=Φ ③ a 平面，b 平面 ④ 不存在平面，能使 a 且b 成立 上述结论中，正确的是 （ C） （A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④ （2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成 的异面直线有 （ C） （A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对
（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交， 则直线a，b的位置关系是（ D） （A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 （4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则 它和另一条的位置关系是( D ) （A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面 3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
BC, AD, CC, DD, DC, DC
例题示范
例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ （2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？ 解：（2）由 BB // CC 可知， BBA 等于异面直线 与 CC 的夹角,所以异面直 线BA 与 的夹角为450 。
BA (3) 直线 AB, BC , CD, DA, AB, BC , C D, DA 与直线 AA都垂直.
CC
练一练,巩固新知：P48页练习1,2题。
例3: 如图，A 是平面 BCD 外的一点 G , H 分别是 ABC , ACD 的重心， A 求证：GH // BD 。 证明：连结 AG, AH 分别交 BC, CD G H M , N ,连结 MN , 于 D B ∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重 N M C 心,∴M,N分别是BC,CD的中点, ∴MN//BD, 又∵ AG AH 2
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修2
2.1.2《空间中直线与 直线之间的位置关系》
教学目的
1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语 言、符号语言表示三种位置关系. 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行. 3掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线 的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证 明两直线异面； 4. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直 的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的 角
AM AN 3
∴ GH//MN,由公理4知GH//BD.
练习反馈：
1. 判断: （1）平行于同一直线的两条直线平行.（√ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ×） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知 直线平行 . （ √ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只 有两条. （ ×） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平 行，那么这两个角相等（×） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平 行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相 等. √ ） （
思考：我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢？
异面直线的定义: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线（skew lines）。 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图 时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:
m
m
l
l
想一想,做一做： 1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的 点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？
D1
M
C1
A1
D
A
B1
N
C
B
想一想,做一做： 2. 下图是一个正方体的展开图，如果将它 还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这 四条线段所在直线是异面直线的有几对？
C G H E
A
D B
三对 AB与CD
AB与GH
EF与GH
F 3. l1 , l2 , 则l1 , l2一定是异面直线吗？
ABCD A' B'C ' D' 中, BB'∥ AA' 观察：如图2.1.2-5,长方体
DD'∥ AA'
那么 BB ' 与 DD' 平行吗?
D' C'
A' D A
B' C
B
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行。
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间 这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若
a∥b
a∥c
c∥b
想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直 线垂直,是否也有类似的规律?
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析： 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH∥FG且EH＝FG E A H D G
空间中两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种
平行直线 共面直线 相交直线 异面直线
位置关系 相交
只有一个 没有 没有
公共点个 数
是否共面
共面 共面 不共面
平行
异面
2. 空间两平行直线 提出问题：在同一平面内，如果两条直线 都与第三条直线平行，那么这两条直线互 相平行。在空间中，是否有类似的规律？
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
A B D E F
C
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
A B
C
D F E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相 交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐 角(或直角)相等.
4. 异面直线所成的角
如果两条异面直线所成的角为直角， 就说两条直线互相垂直，记作a⊥b。
b
a'
a
O
记作：a b
5. 异面直线的判定定理
异面直线定理：连结平面内一 点与平面外一点的直线，和这 个平面内不经过此点的直线是 异面直线
A , B , l , B l
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（3）两异面直线所成的角的范围是 （ C ） （A）（0°,90°） （B）[0°,90°) （C）（0°,90°] （D）[0°,90°] 7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打 “×” （1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条 直线平行 （ ） × （2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们 所成的角不变 （ ）√ （3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方 形 （ ） ×
答：不一定，还可能异面．
4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？ 答：三种：相交，平行，异面． 5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条 直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线； （3）异面直线．
6．选择题 （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系 是 （ D） （A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能 （2）异面直线a,b满足a ,b ,∩=l, 则l与a,b的位置关系一定是（ B ） (A)l至多与a，b中的一条相交; (B)l至少与a，b中的一条相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a，b中的一条平行.
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复习引入： 1、同一平面内不重合两条直线有几种位置 关系？
(1)、相交：有且仅有一个公共点。 (2)、平行：在同一平面内没有公共点。
2、在同一平面内，同平行于一条直线的两 条直线有什么位置关系？ 互相平行 提出问题：空间中的两条直线呢？
1.空间中两条直线的位置关系 观察： 观察教室内的日光灯管所在直线与黑 板的左右两侧所在的直线,想一想:它 们相交吗?平行吗?共面吗? 观察上方体的棱所在 直线,回答类似的问题.
2
∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
B
F
C
变式一：
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那 么四边形EFGH是什么图形? A