槽形梁动力反应分析的能量变分法
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结构动力学8
{u}——有限元节点系位移向量。当采用时域逐步积分法进 行分析，阻尼矩阵[C]可以采用Rayleigh阻尼阵。
8.4.2 基本分析过程
结构有限元模型的运动方程：
& & [M ]{u&}+ [C ]{u}+ [K ]{u} = {p(t )}
有限元模型的节点系运动方程与前面介绍的框架结构的 运动方程在形式上完全相同，不同之处仅在于单元刚 度矩阵和质量阵的形成上。本节介绍的形成单元刚度 阵和质量阵的方法更具通用性。 前面所介绍的结构动力方程的解法，例如振型叠加法、 Fourier变换方法、时域逐步积分法等均可以用于结构 有限元模型的动力反应问题分析。
i=1
4
ψi的定义是ui发生单位位移, 而其余自由度不动, 即完全约束时, 梁单元的位移(线位移)，因此，ψi(x)满足如下边界条件：
i = 1 : ψ 1 (0) = 1, ψ 1' (0) = ψ 1 ( L) = ψ 1' ( L) = 0
' ' i = 2 : ψ 2 (0) = 1, ψ 2 (0) = ψ 2 ( L) = ψ 2 ( L) = 0 ' ' i = 3 : ψ 3 ( L) = 1, ψ 3 (0) = ψ 3 (0) = ψ 3 ( L) = 0 ' ' i = 4 : ψ 4 ( L) = 1, ψ 4 (0) = ψ 4 (0) = ψ 4 ( L) = 0
8.4.1 有限元离散化
采用有限元法离散时，首先将一根梁分成有限段，称为 有限单元。每一个单元的尺寸可以是任意的，可以完 全相同，也可以完全不相同。这些单元仅仅在单元间 的节点上连续（连接）。 在这个简单的例子中，节点就是单元的端点，在每一个 节点上有两个自由度，横向位移和转角。 在有限元法中节点的位移（包括横向位移和转角）被选 为广义坐标。而运动方程就是用这些有直接物理意义 的量（位移和转角）来形成的。
8.4.2 基本分析过程
结构有限元模型的运动方程：
& & [M ]{u&}+ [C ]{u}+ [K ]{u} = {p(t )}
有限元模型的节点系运动方程与前面介绍的框架结构的 运动方程在形式上完全相同，不同之处仅在于单元刚 度矩阵和质量阵的形成上。本节介绍的形成单元刚度 阵和质量阵的方法更具通用性。 前面所介绍的结构动力方程的解法，例如振型叠加法、 Fourier变换方法、时域逐步积分法等均可以用于结构 有限元模型的动力反应问题分析。
i=1
4
ψi的定义是ui发生单位位移, 而其余自由度不动, 即完全约束时, 梁单元的位移(线位移)，因此，ψi(x)满足如下边界条件：
i = 1 : ψ 1 (0) = 1, ψ 1' (0) = ψ 1 ( L) = ψ 1' ( L) = 0
' ' i = 2 : ψ 2 (0) = 1, ψ 2 (0) = ψ 2 ( L) = ψ 2 ( L) = 0 ' ' i = 3 : ψ 3 ( L) = 1, ψ 3 (0) = ψ 3 (0) = ψ 3 ( L) = 0 ' ' i = 4 : ψ 4 ( L) = 1, ψ 4 (0) = ψ 4 (0) = ψ 4 ( L) = 0
8.4.1 有限元离散化
采用有限元法离散时，首先将一根梁分成有限段，称为 有限单元。每一个单元的尺寸可以是任意的，可以完 全相同，也可以完全不相同。这些单元仅仅在单元间 的节点上连续（连接）。 在这个简单的例子中，节点就是单元的端点，在每一个 节点上有两个自由度，横向位移和转角。 在有限元法中节点的位移（包括横向位移和转角）被选 为广义坐标。而运动方程就是用这些有直接物理意义 的量（位移和转角）来形成的。
工程力学(下册)13能量方法
● 13.2.4 广义力与广义位移
对于拉压、扭转、弯曲杆件的应变能可统一写成
1 V W F 2
(13-13)
式中，F在拉伸时代表拉力，扭转时代表扭转力偶矩， 弯曲时代表弯曲力偶矩，F称为广义力。而与之相应的位 移 ，称为广义位移。如拉伸时它是与F相应的线位移 ； l 扭转时，它是与扭转力偶矩相应的扭转角位移 ；弯曲时， 它是与弯曲力偶矩相应的截面角位移 。一般来说，广义 力矢量与相应广义位移矢量的内积等于功。
在线弹性范围内扭转角与扭转力偶矩间的关系是一条斜直线见图133b且图133与拉伸相似扭转力扭转应变能为139当扭矩t沿轴线为变量时可利用式139先求出微段dx内的应变能然后经积分得出1310另一方面由应变能密度公式13231323线弹性梁弯曲线弹性梁弯曲对于弹性纯弯曲梁其两端受弯曲力偶矩对于弹性纯弯曲梁其两端受弯曲力偶矩作用作用由零开始逐渐增加到最终值两端截面的相对转角为由零开始逐渐增加到最终值两端截面的相对转角为见见图图134134则弯曲力偶矩所做的功为则弯曲力偶矩所做的功为横力弯曲时见图135梁横截面上同时有弯矩和剪切力且弯矩和剪切力都随截面位置而变化都是x的函数
对于 FN沿杆长变化的情形为
另外由应变能公式导出拉伸的应变能密度公式。 单向应力状态应变能密度，即单位体积的应变能，可直 接由应力-应变曲线[见图13.2(b)]得到
1 v 2
F
FN ( x)dx V l 2 EA
(13-4)
(13-5)
F
A
a
v 称为比能或应变能密度，单位符号 是 J / m3 ，由胡克定律 E ，式(13-5) 又可写成 2
所以，物体的应变能为
V W 1 1 1 F11 F2 2 · Fn n · · 2 2 2
能量原理与变分法
1 M e 2
Ml M Me , EI z
土木工程与力学学院 · 罗文波
7
弹塑性力学
组合变形情况下杆件的变形能： 在所截取的微段内，可 以认为内力为常量。轴 力、剪力、弯矩、扭矩 对微段来说是处于外力 位置。所以
d U dW
整个杆的变形能
1 1 1 1 FN d( l ) M d T d kFQ d 2 2 2 2 2 2 FN d x M 2 d x T 2 d x kFQ d x 2 EA 2 EI z 2GI p 2GA
土木工程与力学学院 · 罗文波
3
弹塑性力学
变形能的计算：
F1、F2 Fn 如果弹性体上作用几个广义力（包括力偶）， 1、 2 n ，那么 产生相应的广义位移（包括角位移）
非线性弹性体的变形能：
U W 0 Fi d i
i 1 n i
线性弹性体的变形能：
1 1 1 U W F1 1 F2 2 Fn n 2 2 2
弹塑性力学
能量原理与变分法
土木工程与力学学院 · 罗文波
弹塑性力学
§12-1 外力功 变形能
外力功：弹性体在外力作用下发生变形，于是外力的作用 点将沿外力的作用方向产生位移（相应位移）。外力在相 应位移上所作的功称为外力功。 变形能：在外力作功的同时，弹性体因变形而具有了作功 的能力，即弹性体因变形而储存了能量。这种能量称为变 形能。 外力功和变形能的关系：若外力从零平缓地增加到最终值， 则变形中的弹性体每一瞬时都处于平衡状态，故其动能和 其它能量损失不计，于是认为全部外力共都转变成变形能。 即： W U 能量法：利用外力功和变形能的概念，建立分析变形、位 移、内力的原理和方法，称为能量法。
工程力学 第十一章-能量法剖析
（3）是有限单元法的重要基础
能量法
§11–1
一、能量原理：
变形能的普遍表达式
弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作 的功，即
U W
利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形 和内力的方法称为能量方法。 二、杆件变形能的计算： 1.轴向拉压杆的变形能计算：
U
L
n N i Li N 2 ( x) dx 或 U i 1 2 Ei A 2 EA i
f C 0 求多余反力，
B
①取静定基如图 ②求内力
M AB ( x) RC ( L x) P(0.5L x)
0.5 L
M BC ( x) RC ( L x)
A
③将内力对RC求偏导
O f
M AB ( x ) L x RC M BC ( x ) Lx RC
V d V d i i
因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其 余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微 小增量d i ，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：
能量法
V d i 注意到上式与下式在数值上相等 d V i V 从而有： F i （—卡氏第一定理 ） i
2
1 比能 : u 2
能量法
2.扭转杆的变形能计算：
U
L
2 Mn ( x) dx 2GI P
2 M ni Li 或 U i 1 2Gi I Pi n
1 比能 : u 2
3.弯曲杆的变形能计算：
U
M 2 ( x) 2 EI
L
dx
M i2 Li 或 U i 1 2 Ei I i
（称为“余能定理”）
特别： 对线弹性体，由于力与位移成正比， 应变能V 在数值上等于余能V c ， 此时上式变为：
(优选)能量原理与变分法
n
Z
wd
d(l )
1 M d
2
1T d
2
1 2
kFQ
d
FN2 d x M 2 d x T 2 d x kFQ2 d x
整个杆的变形能 2EA 2EIz 2GI p 2GA
U
l
FN2 d x 2EA
l
M2 d x 2 EI z
T2d
l 2GI
x
p
l
kFQ2 d 2GA
x
注意：对以抗弯为主的杆件及杆系，因轴力和剪力远小于
e
T
Me
,
Tl GI p
W
1 2
Me
M
Me
,
Ml EI z
变形能
U FN2 l 2EA
U FQ2l 2GA
U T 2l 2GI p
U M 2l 2 EI z
组合变形情况下杆件的变形能：
在所截取的微段内，可
以认为内力为常量。轴
力、剪力、弯矩、扭矩
对微段来说是处于外力
位置。所以
dU
dW
1 2 FN
弯矩对变形的影响，所以在计算这类杆件的变形时
通常不计轴力和剪力的影响。
思考：变形能的计算能不能用叠加原理
M M1 M2
U ? U1 U2
M1
U1
M
2 1
dx
2EI
M2
U2
M 22dx 2EI
能量原理与变分法
静力平衡
材料质点（微单元体） 变形几何 物理关系
偏微分方程
整个变形体的能量
求：各杆的变形能。
(c)
(a)
(b)
Ua Ub Uc ?
9-9应变能
UC dP i P i
外力余功在数值上等于弹性杆的余能
dUC dW C
则有
UC i Pi
上式为余能定理
UC i Pi
线弹性 杆件或杆系中，应变能与余能在数值上相等
U UC
则有
U i Pi
上式为卡氏第二定理
Me
l
1 W M e 2
l Me EI
l
1 W M e 2
纯弯曲时梁的应变能
M e2l M 2l 1 U W M e 2 2 EI 2 EI
二、横力弯曲时梁的应变能 横力弯曲时梁的应变能包含两部分：弯曲应变能 和 剪切应变能。 在工程中常用的梁（跨度比高度大得多），剪切应变能比弯曲 应变能小的多，因而剪切应变能不计。
n
设梁上有n个荷载 P1，P2， ，Pn （简单加载）
与之相应的位移为 1， 2， ， n
P1 P2 P3
A
Pn
B
1 2 3
n
外力作总功等于每个集中力在加载过程中所作功的总和 梁内应变能在数值上就等于外力功
U W
P d
n
i
i
i
i 1
0
上式表示梁内应变能 U 是其上所有荷载相应的 最后位移 i 的函数
§9 —9
一、梁在纯弯曲时的应变能
弯曲应变能
Me
Me
l
梁在纯弯曲时，各横截面的弯矩 M 都等于外力偶矩 Me 。
Me
Me
在线弹性范围内有
l
曲率： 圆心角：
M k EI M l Mel EI EI l
1
能量原理及其变分法
U Xu Yv Zw ds Xu Yv Zw dV ]
S V
于是
进一步证明可知， 2P 2U 2W 0
对于稳定平衡状态，总势能为极小值。
P 0
第四章 能量原理及其变分法
于是得出最小势能原理：
第四章 能量原理及其变分法
在整个变形体内，各微元体满足
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
y dy __ Y
xy
xy dy y 2
x
在变形体边界处，各微元体满足
xl xy m X 0 xy l y m Y 0
o
x dx y dy ds __ x 2 dx X y y 2 xy dx xy x 2 yx y dy dy yx y dy y y x x dx x Y x xy X
xy yx
xy
dx
§ 4-3 最小势能原理
按照能量守恒定律，应变能的增加，即总虚应变能或应变
能的变分δ U，应等于外力的总虚功δ W，即 U W 其中，外力总虚功为实际的体积力和表面力在相应的虚位移 上所做的功，即 W X u Y v Z w ds X u Y v Z w dV
X u Y v ds X u Y v dV
x
x
y y xy xy dV
S
V
V
第四章 能量原理及其变分法
所以
x xy xy y X u Y v dV x y y x V
S V
于是
进一步证明可知， 2P 2U 2W 0
对于稳定平衡状态，总势能为极小值。
P 0
第四章 能量原理及其变分法
于是得出最小势能原理：
第四章 能量原理及其变分法
在整个变形体内，各微元体满足
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
y dy __ Y
xy
xy dy y 2
x
在变形体边界处，各微元体满足
xl xy m X 0 xy l y m Y 0
o
x dx y dy ds __ x 2 dx X y y 2 xy dx xy x 2 yx y dy dy yx y dy y y x x dx x Y x xy X
xy yx
xy
dx
§ 4-3 最小势能原理
按照能量守恒定律，应变能的增加，即总虚应变能或应变
能的变分δ U，应等于外力的总虚功δ W，即 U W 其中，外力总虚功为实际的体积力和表面力在相应的虚位移 上所做的功，即 W X u Y v Z w ds X u Y v Z w dV
X u Y v ds X u Y v dV
x
x
y y xy xy dV
S
V
V
第四章 能量原理及其变分法
所以
x xy xy y X u Y v dV x y y x V
第五章梁弯曲时的位移含能量法教学优秀PPT
l
）
wm axwxl 2
358qE4l4 I（↓）
★转角为正时，表示其转向和由x轴转向y轴的时针相
同；挠度为正时，表示其方向和y轴正向相同。
例2.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁 在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和wmax。
y
P
A l
Bx
解：M (x)P (lx) y
解：因BC弯曲刚度无穷大，只要对AC段考虑
M(x) Fx 2
x [0, l ] 2
x
A
E1I1
l
F
E1I2 B Cl
ΔCy
l 2 0
M(x) E1I1
M(x) dx
F
2
2
l 2
F1
96E1I1
Ⅲ、单位力法（单位载荷法）
对于梁,弯矩应用完全叠加法表示
M ( x ) F 1 M 1 ( x ) F iM i( x ) F n M n ( x )
连续光滑曲线(A、B处转角、挠度唯一）
边界条件
固定端约束对位移的影响：B处转角、挠 度?
连续光滑曲线
例1.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简 支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠 曲线方程，并确定θmax和wmax。
y
q
x
l
解：M(x)qlxqx2 y
22
q
Ew I q lxqx2 22
A
B
x
Ew Iqlx2qx3C
x
l
46
EIw qlx3qx4C xD 12 24
由边界条件：x 0时 ，w0
x l时 ，w0
得：
Cql3 ,D0 24
w q (6lx 24x3l3)
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槽 形梁 具 有 独 特 的力 学 特 性 ， 与其 它 预 应 力 混 凝
那 么 由剪 滞 效 应 产 生 的 正 应 力 和 剪 应 力 分 别 为 ：
＝
土结构 形式 相 比 ， 如箱 形 结 构
， 形梁 具 有 抗 扭 能 槽
丁
Ｅ［ ∞一Ｚ ］ ， Ｗ ｕ（ ｔ ）
Ｇ ＝ 一 Ｇ ｙ Ｏ Ｗｓ
（ ９ ）
＝
１ＬＩ ＋ ， ＋ （） Ｌ （ ２ Ｅ￣ Ｅｕ １ ］
式 中：
效应 引起 翼 板 的翘 曲动 位 移 为 ７（ Ｙ ｚ ｔ ， 满 足 ７ ， ， ， ） 且 下式 ，］ １１ ： ０１
（ Ｙ ｔ ， ，，）＝ ［ Ｗ。一 且 Ｗ。 为常量 。 ］（ ｔ Ｍ ，） （） １
＝
１ 槽 形 梁 动 力 反 应 的 控 制 微 分 方 程
１ １ 体 系的动 能和势 能 ． 对 图 １ 示 的槽 形截 面 梁 ， 所 在对 称 弯 曲状 态下 ， 若 结构 的跨 度为 ， 截面 上 的竖 向动挠 度 为 Ｗ（ ｔ ， 滞 ，） 剪
÷＾ ＋） ＝ ＋ Ｊ＇鲁 出 ÷Ｇ ＾ｓ Ｊａ （ Ｏ 簪
式 中 “ ’ 示 对 坐 标 求 导 ， 由 』 ”表 Ｗ
确定 。
如我 国在 １８ ９ １年到 １８ ９ ２年分 别 建 成 怀柔 双 线 槽 形 桥 梁和通 县 西单 线槽 形 梁桥 的基 础 上 ， １ ９ 于 ９ ５年 建 成 了 跨 度 ２ Ｉ ４ ＋ ５ ｍ葛 水河 连续 槽形 梁桥 ， 营情 ５１ ＋ ０ｍ ２ Ｔ 运
性进行 了研究 ， 揭示 了槽形梁桥动力反应 的规律 。算例 中， 该解 析解 与有 限元数值解进行 了比较 ， 明了该动力分析方法 证
的有 效 性 。
关键词 ：槽 形梁 ； 剪力滞后 ； 动力反应 ； 能量变分原理
中 图分 类 号 ：Ｕ ４ ．２ ４ ８ ２ 文 献 标 识 码 ：Ａ
一
Ｅ ， ， ｌＭ（ ｔ ）
（） ５
，＝一
Ｗ ｍ—Ｚ ］Ａ Ｗ ｄ
（） ６
形 结构具 有独 特 的应 用 价 值 ， 以及 在 施 工 和 运 营过 程 中有可 能受到 各种 动荷 载的影 响 （ 风荷 载 、 地震 波 等 ） ，
因而其 动 力 反 应 的研 究 具 有 重 要 的 理 论 和 工 程 实 际
况 良好 。但是 受 剪 力 滞 后 效 应 影 响 ， 形 梁 受力 非 槽
式（ ） ４ 满足截 面 平 衡 条件 Ｔ ｄ ＝ 那 么 剪滞 效 ｓ Ａ ０， ｘ 应产 生 的竖 向动 弯矩 可 表示 为 ：
常复杂 ， 这给 槽 形 结 构 的静 、 力 分 析 带 来 很 大 困难 ， 动
意 义
那 么 总的竖 向动 弯矩及 对应 的正应 力分别 为 ：
Ｍｙ＝一Ｅ ， ，）一Ｅ ｓ ，） ｌ０（ ｔ ＩＭ（ ｔ （） ７
ｆ。＝一Ｅ Ｏ （ ， ｚ ）＋Ｅ［ ０一Ｚ ］ ，） （ ） ， Ｗ Ｍ（ ８
即垂直 弯矩 产生 的应变 能为 ：
』 一 ） ； ＝４Ａ ４ 』ｄ （ ｄ Ａ ｚ；
尼 ｆ ａ （
…
￣ ￣ ｗ，
，
］２ ２（ ｚＬ ４
铁 木辛柯 剪切 应变 能为 ：
１ （） 一舌 ；
０ Ｙ ｂ
基 金项 目： 国家 自然科 学 基金 （０ ７ ０４） 助 项 目 ５５ ８ ５ 资 收 稿 日期 ：２０ ０ ２ 修 改稿 收 到 日期 ：０ ９一 ８—２ ０ ９— ２— ５ ２０ Ｏ １ 第 一作 者 甘 亚 南 男 ， 士 ， 师 ，９ ８年 生 博 讲 １６
＝
Ｇ ） Ａ一 （
ｌ
，
（） 。
（ ２）
结 构总 动能 为 坨 ：
＝
１ （［ ＬＯ ｗ
＋１』Ｌ厶 （） ＋ 上
Ｊ ｏ＼
，（ Ｊ） ｏ
（） １ １
ｌ６ ９
振 动 与 冲 击
摘 要 ：以分析箱形梁剪滞效应提出的方法为基础， 考虑了剪滞翘曲应力的自平衡条件 ， 为了准确反应槽形梁翼
板 的动 位 移 变 化 ， 个 广 义 动 位 移 ７（ Ｙ ，） （ ｔ 和 ０ ，） 引 入 。利 用 能 量 变 分 原 理 建 立 了槽 形 梁 动 力 反 应 三 ７ ， ， ｔ 、 ，） （ ｔ被 （ ｔ 、 ， 和 ０ ，） ，） （ ｔ ） （ ｔ 的控 制 微 分 方 程 和 自然 边 界 条 件 ， 得 了 相 应 广 义 位 移 的 闭 合 解 ， 此 对 槽 形 梁 的 动 力 反 应 特 获 据
由于 国内 外 学 者 的不 懈 努 力 其 静 力 分 析 方 法 不 断 完 善 Ｊ然而 考 虑剪 滞 效 应 和 剪 滞 应 力 自平 衡 条 件 的 ， 槽 形梁桥 动力 学特 性 的研 究 尚未 见报 道 一 由于槽 。
Ｍ ＝ ｓ上 ＿ ．
＝
＝ ［ 一 ｓ ） ｙ ，ｄ ｍＷ （ｔａ
（） ３ （） ４ ｄ ：０ Ａ
力差 、 剪力滞 后 效 应 大 的 明显 缺 点 。但 是 槽 形 梁 作 为
种特 殊 的桥 梁结 构形 式 ， 因具 有高度 低 、 投资 少和 节 省土地 资 源 等 优 点 ，成 为桥 梁 结 构 的 选 择 之 一 ＿ 。 ４ ｊ
一
ｚ（ ） ｕ
振
第２ ９卷第 １ １期
动
与
冲
击
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩ ＢＲＡＴ ＯＮ ＡＮＤ Ｈ０Ｃ Ｉ Ｓ Ｋ
槽 形 梁 动 力 反 应 分 析 的 能学院 土木工程学院 ， 苏 盐城 １盐 江 ２４ ５ ；． 尔滨 工 业 大学 土 木 工 程 学 院 ， 尔 滨 ２ ０ １２ 哈 哈 ４４ １ ） ５０ ０ １０９ ； ５ ０ ０ ３河南理工大学 土木工程学院 ， 南 焦作 ． 河