应力状态分析
应力状态分析
0 67.5o
HOHAI UNIVERSITY
思考题： 一个单元体中最大正应力所在面上的切应力是否 一定为零？最大切应力所在面上的正应力是否也一 定为零？ τ
D2 A2 C D1 2α0
O
A1
σ
HOHAI UNIVERSITY
§5-3
基本变形杆件的应力状态分析
一、拉压杆件应力状态分析
分析单向受拉杆件中任一点的应力状态
应力状态分类： 单向应力状态： 一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态： 两个主应力不为零的应力状态
平面应力 状态 空间应 力状态
三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态 复杂应力状态： 二向和三向应力状态的统称
纯切应力状态：只有切应力，没有正应力
HOHAI UNIVERSITY
弯曲时工字形截面各点应力状态：
0 67.5o
主应力单元体为
HOHAI UNIVERSITY 3MPa
2.应力圆求解
1 0 67.5o
6MPa
x 6MPa
y 0
3
τ
x 3MPa
1 1.24MPa
D2
A2 C D1 O A1
2 0
σ
2α0
3 7.24MPa
2 0 135o
HOHAI UNIVERSITY
二、应力圆 σα= τα= σx +σy
2 σx -σy
2 σα-
+
σx -σy
2
cos2α -τxsin2α
sin2α +τxcos2α
σx +σy
2 τα=
=
σx -σy 2 σx -σy
cos2α -τxsin2α
材料力学第8章应力状态分析
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
第十三章+应力状态分析(上下)
Purpose 研究目的 研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件 的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础
Three-Dimensional State of Stresses 三向（空间）应力状态:微体各侧面均作用有应力
max min 1 3 , 2 0
主平面微体－相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体 主应力符号与规定－ 1 2 3 （按代数值排列）
不论一点处的应力状态如何复杂，都存在一个主平面微体， 即任何一点都有三个主平面和主应力
应力状态分类 One Dimensional State of Stresses 单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 Two Dimensional State of Stresses 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 Three Dimensional State of Stresses 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态
x' y'x'
x'y y'
'
cos sin
sin cos
x yx
xy y
cos sin
sin cos
例题
例 2-1 计算截面 m-m 上的应力
a
x
2
y
x
y 2
cos2a
xsin2a
a
x
2
y
sin2a
xcos2a
解： x 100 MPa x 60 MPa y 50 MPa a 30
m
(-100
材料力学：第八章-应力应变状态分析
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
第八章2应力应变状态分析
第八章2应力应变状态分析应力应变状态分析是研究材料或结构在外力作用下所产生的应力和应变的过程。
应力是单位面积上的内力，用于描述材料或结构对外力的抵抗能力。
而应变是形变相对于初始状态的变化量，用于描述材料或结构的变形程度。
针对材料或结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们了解其力学性能和稳定性，为工程实践提供重要依据。
应力应变状态分析是弹性力学的基本内容之一、根据材料的力学性质和外力的作用，可以得到不同的应力应变状态。
在弹性力学中，线弹性和平面应变假定是常用的简化假设。
线弹性假定材料仅在拉伸和压缩的方向上有应力，而在横截面上的应力是均匀分布的。
一维拉伸和挤压是线弹性应力应变状态的基本类型。
平面应变假定材料在一个平面内有应力，而在垂直于该平面的方向上无应力。
二维平面应变是平面应变应力应变状态的基本类型。
在应力应变状态分析中，我们通常关注应力和应变之间的关系。
最常见的是材料的应力-应变曲线。
应力-应变曲线描述了材料在外力作用下的力学行为，可以帮助我们了解材料的强度、塑性和韧性等性能。
在弹性阶段，应力-应变曲线呈线性关系，符合胡克定律。
而在屈服点之后，材料会发生塑性变形，应力不再是线性关系。
当应力达到最大值时，材料会发生破坏。
除了应力-应变曲线外，还有一些其他重要的参数和指标可用于描述应力应变状态。
例如，弹性模量是描述材料刚度的重要参数，表示单位应力引起的单位应变量。
剪切弹性模量描述了材料抵抗剪切变形的能力。
同时，杨氏模量和泊松比也是用于描述材料力学性质的常用参数。
应力应变状态分析在材料工程、结构工程以及土木工程等领域具有重要应用。
通过对材料和结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们评估其性能和强度，并且对设计和优化具有指导意义。
例如，在结构工程中，通过应力应变状态分析可以确定材料的承载能力和极限状态，从而确保结构在设计荷载下的安全运行。
然而，应力应变状态分析也面临一些挑战。
首先，材料的力学性质和变形行为往往是非线性的，需要使用复杂的数学模型进行描述。
材料力学应力状态分析
材料力学应力状态分析材料力学是研究物质内部力学性质和行为的学科，其中应力状态分析是材料力学中的重要内容之一。
应力状态分析是指对材料内部受力情况进行分析和研究，以揭示材料在外力作用下的应力分布规律和应力状态特征，为工程设计和材料选用提供依据。
本文将从应力状态的基本概念、分类和分析方法等方面展开讨论。
首先，我们来介绍一下应力状态的基本概念。
应力是指单位面积上的力，是描述物体内部受力情况的物理量。
在材料力学中，通常将应力分为正应力和剪应力两种基本类型。
正应力是指垂直于截面的应力，而剪应力是指平行于截面的应力。
在实际工程中，材料往往同时受到多种应力的作用，因此需要对应力状态进行综合分析。
其次，我们将对应力状态进行分类。
根据应力的作用方向和大小，可以将应力状态分为拉应力状态、压应力状态和剪应力状态三种基本类型。
拉应力状态是指材料内部受到拉力作用的状态，压应力状态是指材料内部受到压力作用的状态，而剪应力状态是指材料内部受到剪切力作用的状态。
这三种应力状态在工程实践中都具有重要的意义，需要我们进行深入的分析和研究。
接下来，我们将介绍应力状态分析的方法。
应力状态分析的方法有很多种，常用的有应力分析法、应变分析法和能量方法等。
应力分析法是通过应力分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，应变分析法则是通过应变分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，而能量方法则是通过能量原理和平衡条件来揭示应力状态的特征。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法进行分析。
最后，我们需要注意的是，在进行应力状态分析时，需要考虑材料的本构关系、边界条件和载荷情况等因素，以确保分析结果的准确性和可靠性。
同时，还需要注意应力状态分析的结果对工程实践的指导意义，以便更好地指导工程设计和材料选用。
总之，材料力学应力状态分析是一个复杂而重要的课题，需要我们进行深入的研究和分析。
只有深入理解应力状态的特征和规律，才能更好地指导工程实践，为实际工程问题的解决提供科学依据。
材料力学 第八章：应力状态分析
2 )2
材料力学
整理可得：
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
x2
(3)
(3)式为以 、为变量的圆方程。
圆心坐标
(
x
y
,0)
横坐标为平均应力
2
半径
(
x
2
y
)2
2 x
为最大剪应力
材料力学
x x
y
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
材料力学
方法一：
27.5
x
2
y
x
y
2
cos(2 27.5) x
sin(2 27.5)
70 70 cos55 50sin 55 22
96MPa
96MPa
27.5
70MPa
62.5 50MPa 26MPa
117.5
x
上的应力对应-坐标系中的Dy点。Dy
点的横坐标
OF
、纵坐标
y
FDy
y
;连接
Dx、Dy与轴的交点C为圆心 , CDx 或
CDy 为半径画一圆，这个圆是该单元
体所对应的应力圆。
材料力学
n
y
x
y
x
x
y
F o
Dy
(y,y)
Dx(x,x) CK
材料力学
证明：
DxCK DyCF (对顶角) Dy FC DxKC (直角)
材料力学-7-应力状态分析
7.1 应力状态的基本概念
y
y
1 1 4
z
4
Mz
x
x
l
S FP
2
3
Mx
z
3
a
第7章 应力状态分析
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
一、方向角与应力分量的正负号约定
x
正应力
x
x
拉为正
压为负
x
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
？
第7章 应力状态分析 7.1 应力状态的基本概念
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法 7.4 应力圆及其应用——图解法
7.5 三向应力状态的特例分析
7.6 广义胡克定律
7.7 应变能密度
第7章 应力状态分析
tan 2q p＝－ 2 τ
xy
x y
主平面（principal plane）：切应力q＝0的方向面，用 qp表示。 主应力（principal stress）：主平面上的正应力。 主方向（principal directions）：主平面法线方向，用方 向角qp表示。
7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法
第7章 应力状态分析
第7章 应力状态分析
1
3
2
max
max
拉压、弯曲正应力 扭转、弯曲切应力
这些强度问题的共同特点是：
1、危险截面上的危险点只承受正应力 或切应力； 2、都是通过实验直接确定失效时的极限应力，并以此为依据建立强度 设计准则。 复杂受力：危险截面上危险点同时承受正 应力和切应力，或者危险点的其他面上同 时承受正应力或切应力。 → 强度条件
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
50
（1）垂直方向等于零的应力是代数值较大的应力， 解： 故取轴的方向垂直向上
x 0 、 y -70MPa 、 t xy 50MPa 、 t yx 50MPa
(2)求主应力
max x + y x - y 2 + t xy min 2 2
t 120
x - y
2
sin2 + t xy cos2
63.7MPa - 0 ＝ sin 2 120 + - 76.4MPa cos 2 120 2 ＝ 10.7MPa
3．确定主应力
τ
＝
TSINGHUA UNIVERSITY
x + y
2
1 + 2
0 + (-70) 0 - (-70) 2 + ( 50) 2 2
2
27.5
2
x
1
3
TSINGHUA UNIVERSITY
70
26MPa -96MPa
50
1 26MPa 2 0MPa 3 -96MPa
(３)求主平面
2(-50) tan 20 1.429 0 27.5 或117.5 x - y 0 - (-70) 2t xy
F
TSINGHUA UNIVERSITY
0 n
dA - x (dA cos ) cos +t xy (dA cos ) sin
- y (dA sin ) sin +t yx (dA sin ) cos 0
F 0
t
t dA - (dA cos ) sin -t xy (dA cos ) cos x
63.7MPa - 02 + 4- 76.4MPa 2
＝0
确定主应力
1 ＝ 114.6MPa
2 ＝0
TSINGHUA UNIVERSITY
3 ＝- 50.9MPa
TSINGHUA UNIVERSITY
M x 2Me 2 600N m t＝ ＝ 2 ＝ ＝76.4MPa 2 -3 -3 WP πd π 50mm 10 2mm 10
3． 求斜截面上的应力
τ
三维投影成二维
x + y
2 +
σ
x - y
2
TSINGHUA UNIVERSITY
cos2 - t xysin2
TSINGHUA UNIVERSITY
tan 2α0＝－
2τ xy σx - σ y
用解析法确定结构中主应力方向的一种简便方法 吴国政
二向应力状态主平面、主剪应力平面位置浅析 董天立 平面应力状态最大主应力方向的剪应力判别法 张黎明
TSINGHUA UNIVERSITY
例题２
P
x
70
y
TSINGHUA UNIVERSITY
用 + 斜截面截取，此截面上的应力为
2
t
t
TSINGHUA UNIVERSITY
x
x + y x - y cos 2 + t xy sin 2 2 2
x - y t sin 2 - t xy cos 2 2
t yx
t xy
y
+ x + y
τ σ
t
x - y
2
sin2 + t xy cos2
σx＝63.7 MPa，σy＝0，
τxy＝一76.4 MPa，α ＝120º 。
求斜截面上的应力
120
TSINGHUA UNIVERSITY
x + y
2
+
x - y
2
cos2 - t xy sin2
63.7MPa＋0 63.7MPa - 0 ＋ cos 2 120 －- 76.4MPa sin 2 120 2 2 ＝－ 50.3MPa ＝
- y (dA sin ) sin +t yx (dA sin ) cos 0
平衡方程
Ft 0
x
t
t xy
t
n
TSINGHUA UNIVERSITY
t yx
dA
y
t dA - (dA cos ) sin -t xy (dA cos ) cos x +t yx (dA sin ) sin + y (dA sin ) cos 0
TSINGHUA UNIVERSITY
L
TSINGHUA UNIVERSITY
ｐ
''
'
'
pD 4
'
''
''
pD 2
pD 4
t
t
t
M
TSINGHUA UNIVERSITY
主应力、主平面
P
t
TSINGHUA UNIVERSITY
二、单元体的局部平衡
x
2 - y + 4t xy 2
σ
63.7MPa + 0 1 ＝ + 2 2 ＝ 114.6MPa
63.7MPa - 02 + 4- 76.4MPa 2
2 - y + 4t xy 2
＝
x + y
2
＝
-
1 2
x
63.7MPa + 0 1 2 2 ＝ - 50.9MPa
30MPa
-17.32MPa
t
t 30
x - y
2 10 + 30 sin 60 + 20 cos 60 27.32MPa 2
sin 2 + t xy cos 2
max min
x + y x - y 2 2 ( ) + t xy 2 2
y t yx
y
x
t xy x x
y
x
t xy
TSINGHUA UNIVERSITY
t
t yx
y
二、单元体的局部平衡
Fn 0
+ 0
x
t
t xy
t
n
TSINGHUA UNIVERSITY
t yx
dA
y
dA
- x (dA cos ) cos + t xy (dA cos ) sin
+t yx (dA sin ) sin + y (dA sin ) cos 0
三、平面应力状态任意方向面上的正应力与切应力
TSINGHUA UNIVERSITY
x + y
2
+
x - y
2
cos2 - t xysin2
t
x - y
2
sin2 + t xy cos2
例题３：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭 时的破坏现象 y M
t
TSINGHUA UNIVERSITY
x
解: (1)圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其值为
M t wt
x y 0
t xy t
(2)求主应力
max x + y x - y 2 + t xy min 2 2
a
t xy 20MPa, t yx -20MPa, 30
30
10MPa
30
0
x + y
2
+
x - y
2
cos 2 - t xy sin 2
b
t 30
0
20MPa
x
30
10 - 30 10 + 30 + cos 60 - 20sin 60 2 2
TSINGHUA UNIVERSITY
x
t
t
即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数。
t -t
t yx
t xy
y
即又一次证明了切应力的互等定理。
例题1.求斜面ab上的正应力和切应力 y
20MPa
TSINGHUA UNIVERSITY
x 10MPa, y -30MPa 解：
2
y
1
3
t
1 t
t
45
TSINGHUA UNIVERSITY
x
2 0
2t xy
3 -t
t
(３) - y 0-0
0 -45 或 -135
例1
薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用（如图所示）。已知圆 管的平均直径D＝50 mm，壁厚δ＝2 mm。外加力偶的力 偶矩Me＝600 N· m，轴向载荷FP＝20 kN。薄壁管截面的 2 扭转截面系数可近似取为
TSINGHUA UNIVERSITY
π d WP＝ 2
求：1．圆管表面上过D点与圆管母线夹角为30º 的斜截 面上的应力； 2. D点主应力
τ
TSINGHUA UNIVERSITY
σ
1．取微元： 围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。