【秋季课程人教版初一数学】第15讲—角的概念及计算-教案

【2017年秋季课程人教版初一数学】第15讲—角的概念及计算-教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN教学过程一、课堂导入问题：观察时钟的两个指针及其它图形涂红色的部分所形成的图形，思考有什么共同的特点。

二、复习预习直线射线线段的表示（1）直线、射线、线段的表示方法（2）①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB．（3）②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．（4）③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．（5）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外.三、知识讲解考点1角（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．考点2钟面角（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走112格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°．（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．（3）钟面上的路程问题分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6°时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．考点3方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．考点4角的计算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．考点5余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．四、例题精析例1【题干】上午9时30分，时钟的时针和分针所成的角为( )A.90°B.100°C.105°D.120°【答案】C【解析】解：时针每分钟旋转°，分针每分钟旋转6°．在9时，时针和分针相差270°，时针在分针前，从9时到9时30分，时针共旋转30×=15°，分针共旋转30×6°=180°，则在9时30分，时针在分针前270°+15°-180°=105°．故选C．例2【题干】∠AOB=45°，∠BOC=75°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，则∠DOE=( )A.60°B.75°C.60°或15°D.70°或15°【答案】C解析】此题要分两种情况①∠AOB在∠BOC内部，②①∠AOB在∠BOC外部．解：如图1，∵∠AOB=45°，∴∠BOD=22.5°，∵∠BOC=75°，∴∠BOE=37.5°，∴∠DOE=22.5°+37.5°=60°；如图2，∵∠AOB=45°，∴∠BOD=22.5°，∵∠BOC=75°，∴∠BOE=37.5°，∴∠DOE=37.5°-22.5°=15°．故选：C例3【题干】如图所示，设相邻两个角∠AOB，∠BOC的平分线分别为OE，OF，且∠EOF是直角，你能说明OA，OC为什么成一条直线吗？试试看吧!【答案】解：∵OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，且∠EOF是直角，∴∠AOE=∠BOE，∠COF=∠BOF，∠EOF=90°，∴（∠AOE+∠EOB）+（∠COF+∠BOF）=2×90°=180°，即∠AOB+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°，∴AO、OC成一直线（即A，O，C三点共线）．【解析】判断OA，OC是否成一条直线，只要求∠AOC，看是否是180°．例4【题干】如图，A岛在B岛的北偏东30°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，从A岛看B、C两岛的视角∠BAC=70°，那么A岛在C岛的什么方向上？【答案】解：由题意可知∠DBC=80°，∠DBA=30°，∴∠ABC=50°，∵∠BAC=70°，∴∠ACB=180°-50°-70°=60°，又∵DB∥EC，∴∠ECB=180°-∠DBC=100°，∴∠ACE=∠ECB-∠ACB=100°-60°=40°．即A岛在C岛的北偏西40°方向．【解析】根据方位角的概念，结合三角形的内角和定理和平行线的性质求解．例5【题干】如图，直线AB、CD、EF交于点O，∠DOB是它的余角的2倍，∠AOE=2∠DOF，且有OG⊥OA，求∠EOG的度数．【答案】解：设∠DOB=x，则其余角为：x，∴x+x=90°，解得：x=60°，根据∠AOE=2∠DOF，∵∠AOE=∠BOF（对顶角相等），∴3∠DOF=∠DOB=60°，故∠DOF=20°，∠BOF=40°，∵有OG⊥OA，∴∠EOG=90°-∠BOF=50°．故∠EOG的度数是50°．【解析】设∠DOB=x，则其余角为：x，先解出x，然后根据∠AOE=2∠DOF，且有OG⊥OA，表示出∠EOG即可求解．例6【题干】一个角比它的余角大18°22′46″，则这个角的补角的度数为( )A.35°48′37″B.144°11′23″C.125°48′37″D.36°11′23″【答案】C【解析】解：设这个角为x，则x-（90°-x）=18°22′46″，解得x=54°11′23″，这个角的补角的度数为180°-54°11′23″=125°48′37″．故选：C五、课堂运用1、【题干】下列说法错误的是( )A.角的大小与角的边的长短无关B.角的大小和它们的度数大小是一致的C.角的平分线是一条直线D.如果C点在∠AOB的内部，那么射线OC上所有的点都在∠AOB 的内部【答案】C【解析】根据角的有关内容（角的大小和角的两边的长短无关，只和角的度数有关，角的平分线是从角的顶点出发的一条射线）判断即可．解：A、角的大小与角的边的长短无关，正确，故本选项错误；B、角的大小和它们的度数大小是一致的，正确，故本选项错误；C、角的平分线是从角的顶点出发的一条射线，错误，故本选项正确；D、如果C点在∠AOB的内部，那么射线OC上所有的点都在∠AOB的内部，正确，故本选项错误；故选C．2、如图，对图中各射线表示的方向下列判断错误的是（）．A．OA表示北偏东15° B．OB表示北偏西50°C．OC表示南偏东45° D．OD表示西南方向【答案】BA选项OA表示北偏东15°，故A正确；B选项OB表示北偏西40°，故B错误；C 选项OC 表示南偏东45°，故C 正确；D 选项OD 表示西南方向，故D 正确； 故答案为B.3、如图，AOC ∠和都是直角，如果150AOB ∠=，那么=∠COD （ ）．A ．30B ．40C ．50D ．60 【答案】A.【解析】解：∠DOC=90°+90°-∠AOB=180°-150°=30°. 故答案为A.4、57.32︒= _____︒______′______"。

【答案】57°19′12″.【分析】根据1°=60′，1′=60″，不到一度的化成分，不到一分的化成秒，可得答案.【解答】解：57.32°=57°19′12″， 故答案为：57°19′12″.5、已知∠α与∠β互余，且∠α=35º18´，则∠β=__________． 【答案】54°42′.【解析】∵∠α与∠β互余，且∠α=35°18′ ∴∠β=90°-∠α=90°-35°18′=54°42′BOD ∠ACB OD故答案为54°42′.6、如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（）A.50°B.60°C.65°D.70°【答案】D.【解析】∵BO是∠AOC的角平分线，∠AOB=40°∴∠BOC=∠AOB=40°∵OD平分∠COE，∠COE=60°∴∠COD=1∠COE=30°2∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+∠30°=70°故答案为D.7、（1）如图1所示，已知∠，OD、OE∠AOB，OC平分AOB120=分别平分AOC∠的度数；∠、COB∠，求DOE（2）如图2，在（1）中把“OC平分AOB∠内∠”改为“OC是AOB 任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求DOE∠的度数；（3）如图3，在（1）中把“OC平分AOB∠”改为“OC是AOB∠外的一条射线且点C与点B在直线AO的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出DOE∠的度数．【答案】解题过程如下：解：（1）∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB∴∠AOC=∠COB=12∠AOB=60°，∵OD、OE分别平分∠AOC、∠COB，∴∠OCD=12∠AOC=30°，∠COE=12∠BOC=30°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=30°+30°=60°（2）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠COB，∴∠COD=12∠AOC，∠COE=12BOC，∴∠DOE=∠COD+∠COE=12（∠AOC+∠BOC）=12∠AOB=12×120°=60°（3）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠COB，∴∠COD=12∠AOC，∠COE=12∠BOC，∴∠DOE=∠DOC-∠COE=12∠AOC-12∠BOC=12（∠AOC-∠BOC）=12∠AOB=12×120°=60°.课程小结1.角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。