2014高数(上)期末复习资料(修改)

故旋转体的体积为 V π [(1 1 y 2 ) 2 (2 y ) 2 ]dy
0
1 π 2 π [(2 1 y 2 4 y 2 y 2 2]dy π( ) ． 0 2 3 【解二】该平面图形可表为
1
y
0
2x
D {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1， x ≤ y ≤ 2 x x 2 } 1] 相应的小竖条绕直线 x = 2 旋转而成的体积微元 作垂直分割， [ x，x dx] [0， 2 dV 2π(2 x) 2 x x dx 2π(2 x) xdx 于是，整个旋转体的体积
例 12 设已知函数 f ( x)对一切x具有xf ( x) 2 x[ f ( x)]2 1 e x 若 f ( x0 ) 0( x0 0) 则（ (A) f ( x0 )为极大值 (B) f ( x0 )为极小值 (C) ( x0 , f ( x0 ))为拐点 (D) 都不是 ） 。
dx dy
y 0
设函数 f ( x)

x
1
1 et dt ，则 y f ( x) 的反函数 x f 1 ( y ) 在 y 0 处的导数
． 其中 f ( x) 的原函数为
sin x 。 x
例 14 例 15
求 xf (2 x)dx 设 un
1 n 2 12
V 2 π (2 x) 2 x x 2 dx 2 π (2 x) xdx
0 0
1 4 2π (2 x) 1 ( x 1) 2 dx π 0 3
1
1
y
π2 2 4 2 π (1 t ) 1 t dt π π 0 3 2 3
例 3. 设 lim (
x
x2 1 x ) 0 ，则（ x 1
） B） 1, 1 D） 1, 1
A） 1, 0 C） 1, 1 例 4、 x 1 是函数 f ( x)
cos x 的（ x x2
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高等数学（第一学期）期末考前复习
在高等数学期末考试之际，为帮助 2013 级同学很好进入第一学期的高数考前复习，共创（原合工大）考研辅导中 心向广大同学推出这份最佳期末复习总结与考前 21 复习题与一份高数模拟试卷给你们，希望同学在系统复习的基础 上，用好这份复习材料，在最短时间内掌握最有效的内容、方法及题型，期末取得好成绩。共创考研会关注每位同学 的学习与身心健康。
1 2
x
例 18 设 f（x） ，g（x）在[a，b]连续且满足

x
a
f (t )dt ≥ g (t )dt，x [a， b] ， f (t )dt g (t )dt
a a a b b a a
x
b
b
求证： xf ( x)dx ≤ xg ( x)dx ． 【分析与证明】已知

1 n 2 22


1 n2 n2
，求 lim un ． （利用：定积分定义）
n
例 16
设 g（x） =

x
0
1 2 ( x 1)， 若0 ≤ x＜1 2 则 g(x）在区间（0，2）内 f (u )du， 其中f ( x) 1 ( x 1)， 若1 ≤ x ≤ 2 3
ab (b a) 2 f ( ) ) f (a) 2 4 ab 【解】由 Tayor 公式：对 c 2 f (1 ) f ( 2 ) f (a) f (c) f (c)(a c) (a c) 2 , f (b) f (c) f (c)(b c) (b c) 2 2 2 f (1 ) f ( 2 ) (b a) 2 f (1 ) f ( 2 ) (b a) 2 f ( ) 所以 f (a) f (b) 2 f (c) ( a c) 2 2 4 2 4 其中： (1 , 2 ) (a, b) 。 f (b) 2 f (

1 )n n(n 1)
（提示：利用夹逼原理）
例 6 已知 lim
x 2 bx c 5 ，求 b, c 的值。 x1 1 x
2、一元函数导数与微分 ① 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程 和法线方程，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 ② 掌握 18 个基本求导公式与对应的微分公式与法则 ③ 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，了解一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 ④ 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 ⑤ 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。 例7


解： 4 x 2 0 且 x 2 1 0
2 x 2 且 x 1 或 x 1
定义域为 2， 1 1， 2
例 2．求极限： 1）若 lim
x 3
x 2 2x k 4 。则 k ______。 x3 。
ln 1 x ln x 2） lim x 2 1 2 x sin x
（C）不连续． （D）连续．
（A）无界．
（B）递减．
【分析】这是讨论变限积分的性质．已知结论可以用：若 f（x）在［a，b］可积，则 g(x）＝ 连续，这里 f（x）在［0，2］可积（有界，只有一个间断点） ，则 g ( x )

x
a
f (u )du 在［a，b］

x
0
f (u )du 在［0，2］连续．选（D） ．
(C) f 0 0且f 0 存在
1 设函数 y f ( x) 由方程 y x e x (1 y ) 确定，则 lim n[ f ( ) 1] ＝ 。 n n 【解】 y x e x (1 y ) ，由于 x 0, y 1, y 1 (1 y xy)e x (1 y ) , 所以有 y |x 0 1 1 f ( ) 1 f ( x) 1 1 则极限 lim n[ f ( ) 1] lim n lim f (0) 1 n n x 0 1 n x n 3、导数应用 ① 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理（尤其是罗尔定理与拉格朗日定理的应用） 。 ② 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 ③ 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小 值的求法及其应用。 ④ 会用导数判断函数图形凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图 形。 ⑤ 了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
2
）
A．第一类间断点且为可去间断点 B．第一类间断点且为可跳跃断点
1
学习在于指导 成绩来自勤奋 未来源于今天
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C．第二类震荡间断点 例5
D．第二类无穷间断点
n
lim(
1 1 1 2 2 3
[ f (t ) g (t )]dt ≥ 0， x [a， b] （*）
a
x
[ f (t ) g (t )]dt 0
3
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2 2
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例 17 求由x +y ≤2x与y≥x确定的平面图形绕直线x = 2 旋转而成的旋转体的体积． 【解一】该平面图形可表示为
D {( x， y ) | 0 ≤ y ≤ 1， 1 1 y 2 ≤ x ≤ y} ，
0 1
1
2
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例 11.设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内有二阶连续导数，证明: (a, b) ，使得
例9
例 10 设 f ( x) 在 [0,1] 上连续且单调减，求证对任何 a (0,1) ，有 f ( x)dx a f ( x)dx 。
0 0
a
1
【解】 令 F ( x) f ( x)dx x f ( x)dx ，
0 0
xLeabharlann 1x , F ( x) f ( x) f ( ) 0, F ( x) 单调减，所以在 (0,1) 处，达到最大值 F ( ) ，又
一、重点基本内容与方法及典型例题：
1、函数、极限与连续 ① 理解函数定义、会建立应用问题的函数关系。反函数与复合函数及定义域判别。 ② 了解函数的四个常用性态（特别是掌握奇偶性、周期性的应用） 。 ③ 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 ④ 理解函数左右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 ⑤ 理解无穷小量、无穷大量的概念，特别是掌握无穷小阶的比较。 ⑥ 掌握极限存在的两个准则（单调有界数列必有极限、夹逼原理的应用） 。 ⑦ 掌握极限的性质及常用求极限方法： 四则运算法则、无穷小与有界函数关系、两个重要极限的应用、等价无穷小的代换、夹逼原理及罗 比达法则的应用等。 ⑧ 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型（特别是可去间断点判别） 。 ⑨ 了解初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质：有界性、最大值和最小值定理、介值定理 （尤其是零点定理应用)。 例1 求 y 4 x 2 ln x 2 1 的定义域