Bezier曲面的凸性分析及保凸拼接
计算机图形学--第十一讲 Bezier曲线
任课教师：李陶深教授tshli@任课教师：李陶深教授tshli@12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面Bézier曲线是由法国雷诺汽车公司工程师的Pierre Bézier在1971年发明的一种构造样条曲线和曲面的方法, 用来进行雷诺汽车的车身设计, 现在Bézier曲线曲面广泛应用在计算机图形学中的外形设计, 以及字体表示中.◆Bé◆在折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始处和终止处，其他的点用于控制曲线的形状及阶次。
◆曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了。
多边形折线又称的控制多边形，其顶点称为控制点。
6.3 Bézier 曲线—曲线的定义Bézier 曲线是由一组控制顶点和Bernstein 基函数混合(blending)得到的曲线.()[],0(), 0,1n i i n i t B t t ==∈∑C P 其中, P i (i =0,1,…,n)称为控制顶点; 顺序连接控制顶点生成控制多边形.()()[],1,0,1n i i i i n n B t C t t t -=-∈为Bernstein 基函数.Bézier 曲线的次数, 就是Bernstein 基函数的次数; Bézier 曲线的阶数, 就是控制顶点的个数. 阶数为次数加1.6.3 Bézier曲线—定义（2）给定空间n+1个点的位置矢量P i（i=0，1，2，…，n），则n次Bézier曲线上各点坐标的插值公式定义为：B i,n(t)是n次Bernstein基函数P i构成该Bézier曲线的特征多边形6.3 Bézier曲线—曲线的定义（3）Bézier曲线曲线的形状趋于特征多边形的形状①正性②权性由二项式定理可知：③对称性: 若保持原全部顶点的位置不变, 只是把次序颠倒过来, 则新的Bézier曲线形状不变, 但方向相反。
Bezier曲线
x(t) a3xt 3 a2xt 2 a1xt a0x
y(t) a3yt3 a2yt2 a1yt a0y z(t) a3zt 3 a2zt 2 a1zt a0z
t [0,1]
• 矢量表示
P(t
)
a3t
3
a2t
2
a1t
a0
t [0,1]
• 已知P(0),P(1),P’(0),P’(1)
• n+1个控制点构成由n条边组成 的折线集，称为控制多边形
• 控制多边形起点、终点和曲线 起点、终点重合。
• 控制多边形第一条边和最后一 条边表示曲线起点、终点处切 向量方向。
• 曲线形状趋向于控制多边形形 状。
Bezier曲线插值公式
• 给次定Be空zie间r参n+数1个曲点线的上位各置点矢坐量标P的i（插i=值0，公1式，是…：，n），则n
• 由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线Pn0 可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次 Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法(IV)
一次Bezier曲线的生成
二次Bezier曲线的生成
例子：n=3时，用de Casteljeu算法 求3次Bezier曲线上的点
当n=3时，de casteljau 算法递推出的Pki呈直 角三角形，对应结果 如右图所示。从左向 右递推，最右边点P30 即为曲线上的点。
• 这一算法可用简单的几何 作图来实现。给定参数t， 就把定义域分成长度为的 两段。依次对原始控制多 边形每一边执行同样的定 比t：(1-t)分割，所得分点 就是第一级递推生成的中 间顶点。
第七章 B样条曲线
V2k、V3k和V4k四个点， 该四点构成u向的一个特
d1
征多边形，定义一条新 2
的曲线P(u,vk)；
d11
v
d14
d13
C1 d22
d23
C2 d32
d21
d31
u
d24 d33 C3 d4
2
d41
d34
d44 d43
C4
v
C1
C2 C3
V1k
V2k V3k
u
C4
V4k
✓当参数vk在[0,1] 之间取不同值时， P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由 给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4) 定义的双三次均匀B样条曲面片 P(u,v)。
t [0,1]
1
2
3
4
5
t
四段二次(三阶)均匀B样条基函数
曲线的起点和终点值：
pi
(0)
1 2
(Pi
Pi 1 ),
pi
(1)
1 2
(Pi1
Pi2 )
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：
pi(0) Pi1 Pi , pi(1) Pi2 Pi1
P1
P2
P0
P3
四个控制点的二次周期性B样条曲线
第七章 B样条曲线曲面
Bezier曲线有许多优越性，但有几点不足： 一、控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的
阶次； 二、不能作局部修改； 三 、Bezier曲线的拼接比较复杂。
• 1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了 1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出 了B样条方法，在保留Bezier方法的优点， 克服了Bezier方法的弱点。
贝氏三角刻面片若干性质
贝氏三角刻面片若干性质的研究摘要：计算机图形学是近四十年来发展迅速、应用广泛的一门新兴学科。
曲面造型技术是计算机图形学中研究的重要内容之一，它在实际工作中有着非常广泛的应用。
本文重点研究了二次及三次bezier三角曲面凸性的充分必要条件，最后总结出了n次bezier 三角曲面性质研究的一般思想和方法。
关键词：bezier三角曲面；b-网；方向导数【中图分类号】o241曲面造型技术是计算机图形学和计算机辅助几何设计（cagd）的一项重要内容[1-2]，主要研究在计算机图像系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。
它肇源于飞机、船舶的外形放样工艺，由coons、bezier等大师于六十年代奠定理论基础。
经四十多年发展，现在它已经形成了以bezier和b样条方法为代表的参数化特征设计和隐式代数曲面表示这两类方法为主体，以插值（interpolation）、拟合（fitting）、逼近（approximation）这三种手段为骨架的几何理论体系[3-6]。
随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着几何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢的趋势的日益明显，随着图形工业和制造工业迈向一体化、集成化和网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，曲面造型在近几年来得到了长足的发展。
这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新。
从研究领域来看，曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面位差[7-8]。
bezier曲线它在实际工作中有着非常广泛的应用，把bezier曲线推广为曲面的途径有二，其中之一就是在三角形上的推广，这样我们就得到了bezier三角曲面。
由于曲面构造技术的重要性与实用性，就迫使我们必须对三角域上的bezier曲面的性质进行研究。
一、预备知识我们通过坐标三角形和bernstein基函数的概念，给出定义1.1：任意给定一组数bi，j，k，i+j+k=n，称为坐标三角形t上的n次bezier曲面片，也可以称为bezier三角曲面。
Bezier曲面的G1保凸拼接
摘
要： 利用参 数 曲面的几何连 续性条件 ， 导出 了有公 共边 界线的两个 Ｂ ｚ ｒ曲面保 凸 Ｇ 拼接 的充分条件 。讨论 了二次 Ｂ ｚ ｒ ４ｉ ｅ ｅｉ ｅ
曲面的 Ｇ 和 Ｇ 保 凸拼接方法 。最后 ， 出了二次 Ｂ ｚ ｒ 给 ｅｉ 曲面的 Ｇ 和 Ｇ２ 凸拼接 实例。 ｅ 保 关键词 ：Ｂ ｚ ｒ ４ｉ 曲面、 ｅ 几何连续性、 凸性、 凸拼接 保） 一（ｆ ， ×（ ｐ ｑ ＝０
软件 ２ １ 年第 ３ 卷 第 １ ０１ ２ ２期
Ｓｆ ｒ ｏｔ ｅ ｗａ
国际 Ｉ Ｔ传媒 品牌
Ｂｚｒ ６ｉ 曲面的 Ｇ保 凸拼接 ｅ
杰 方 逵 金席卷 姚
（． 沙大 学 电子与 通信 工程 系 ，长 沙 ４０ ０ ；２ 湖 南农 业大 学信 息科 学技 术学 院 ，长 沙 ４ ０２ ） １长 １０ ３ １ １８
Ｐ Ｄ． ｋｉ 得到了一般 矩形域上参数 曲面 凸的充要条件 。 ． Ｋａ ｌ ｓ 在 工业 产品形 状 的数学 描述 中， 由于实 际形状 的复 杂性 ， 用单 一 曲面往 往是 难以实现 的 ， 多时候都 采用拼 接 曲面 ， 很 如 Ｂ ｚｅ ｅｉｒ曲面 的拼接已经广泛 应用于商用 ＣＡＤ系统的复杂 曲面
Ｊ ｉｕ ｎ， ａ ｅ Ｆ ｎ ｕ ｉ Ｘ ｑ ａ ｏ ｉ ， ａｇｋ ｉ ｎ Ｙ Ｊ
（． ｐ ｒ ｎ ｏＥｅｔ ｎｃ ｎ ｏ ｕ ｉ ｔ ｎ Ｃ ａｇ ｈ ｎｖｒｉ， ｈ ｎｓａ， １０ ３， ｈｎ ； ．ｏｌ ｅｏｉ ｏｍａｉ ｃ ｎｅ＆ Ｔｃｎｌｇ， ｕ ａ Ａ ｒ ｕ １ ａｔ ｔｆ ｌ ｒ ｉａ ｄＣ ｍｍ ｎｃ ｉ ， ｈｎｓａＵ ｉｅ ｔ Ｃ ａｇｈ ４ ００ Ｃ ｉａ ２Ｃ ｌｇ ｎ ｒ ｔ ｎＳｉ ｃ Ｄｅ ｍｅ ｃｏ ａｏ ｓｙ ｅ ｆ ｆ ｏ ｅ ｅｈ ｏ ｙ Ｈ ｎ ｎ ｇｉ ｌ ｏ ｃ－
第1章凸分析的基本概念
6
凸优化理论
考虑定义域为某子集 X ⊂ n 的函数 f : X → [−∞, ∞]，则其上图是 n+1 的子集，定义如下
epi(f ) = (x, w) | x ∈ X, w ∈ , f (x) w .
函数 f 的有效定义域 (effective domain)则定义为如下集合
dom(f ) = x ∈ X | f (x) < ∞
(见图 1.1.4). 我们易得出
dom(f ) = x | 存在 w ∈ 使得(x, w) ∈ epi(f ) , 即 dom(f ) 为 epi(f ) 在 n (自变量 x 的空间) 上的投影. 如果把 f 的定义 域限制为其有效定义域，函数的上图不变. 类似地，如果扩展 f 的定义域到
(λ1 + λ2)C = λ1C + λ2C.
(d) 凸集的闭包 (closure) 与内点集 (interior) 是凸集. (e) 凸集在仿射函数下的象和原象是凸集.
证明 证明的思路是直接利用凸集的定义. 在 (a) 中，我们在交集 ∩i∈I Ci 中任取两点 x，y. 由于每个 Ci 都是凸集，x 和 y 间的线段被每个 Ci 所包含, 因而也属于它们的交集.
我们试图为扩充实值函数定义凸性，传统对实凸函数的定义方法会遇到 这样的困难，若 f 既能取值 −∞ 也能取值 ∞，则插值项 αf (x) + (1 − α)f (y) 变成了不可求和的 −∞ + ∞ (该情况仅在 f 非真时发生，但是这种函数却在 证明和其他分析中常常出现，因此我们并不希望事先排除它们的存在)，引 入上图的概念恰可有效地回避这个难题，其引申出的凸函数定义如下.
Bezier曲线的拼接及其连续性
’+)
［’］ !"%*+,"$* 基函数的性质 （’）正性
（ )% ， # ’）
{
收稿日期： )((3 2 (1 2 ’4
当 ’ L (， (， ’， （ % L (， …， ’， # 2 ’） {L 当 ’# （(， M (， ’） 当 ’# （(， ’）
［$， ’］ 为两曲线不仅在连接点处达到 1" 和 1# 连续， 还要求密切平面重合， （$）1 ! 级连续的充要条件 ! 副法线向量同向且曲率连续， 更确切地说是曲率矢连续， 即1。
从 +,-.,/ 曲线的端点性质知道， （ %） 在终点的副法线向量和 （ %） 在起点的副法线向量分别是： (
万方数据 图 #
1" 连续示意
图!
1# 连续示意
青海大学学报 第 %% 卷 13 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
计算机图形学第7讲贝塞尔曲线
i 0,1, , n;
（7）最大值。Bi ,n (t ) 在 t
i n
处达到最大值。
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（8）升阶公式
(1
t ) Bi ,n
(t
)
(1
n
i
) 1
Bi,n1
(t
)
i 1 tBi,n (t) n 1 Bi1,n1(t)
Bi,n
(t)
(1
n
i
) 1
计算机图形学
Bezier曲线的性质
n2
c.）二阶导矢 P(t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
当t=0时，P"(0) n(n 1)(P2 2P1 P0 )
当t=1时，P" (1) n(n 1)(Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，
n 1 n
(Pn1
Pn2 ) (Pn Pn Pn1 3
Pn 1 )
计算机图形学
Bezier曲线的性质
d.）k阶导函数的差分表示
n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：
Pk
(t)
(n
n! k)!
nk i0
k
Pi Bi,nk
(t)
t [0,1]
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定
Bi
,n1
(t
)
i 1 n 1
Bi 1,n 1 (t )
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（9）积分
1
0
Bi,n (t)
1 n 1
计算机图形学
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２１ ０ ２年 １月
计 算机 应 用与软 件
Ｃ ｍｐ ｔｒ Ａ ｐｉ ａｉ ｎ ｎ ｏ ｔ ｒ ｏ ｕ ｅ ｐ ｌ ｔ ｓａ ｄ Ｓ ｆ ｃ ｏ ｗａ ｅ
Ｖ０． ９ Ｎｏ １ ２ ．１
Ｊｎ ０ ２ ａ ．２ １
Ｂ ｚ ｒ曲面 的 凸性 分 析 及 保 凸拼 接 ｅｉ ｅ
方 逵 邓四清 姚 杰 吴泉源
（ 湖南农 业大学信 息科学技术学 院 湖南 长沙 ４０ ２ ） １ １８ （ 韶关学院数 学与信息科学学院 湖南 韶关 ５２ ０ ） １０ ５ （ 国防科技 大学计算机学 院 湖南 长沙 ４０ ７ ） １０ ３
摘
要
通过分析 Ｂ ｚ ｒ曲面局部 凸的充 要条件 与控制 顶点 网格形状 的关系 ， ｅｉ ｅ 在几 何上将 网格 的形状 与 曲面 的凸性之 间建 立联
（ ｃｏｌ ｏ ｐ ｔ ｉ ｅ Ｎ ｔｎ ｌ ｎ ｒｔ ｏ ｅ ｎ ｅ ｎｌ ｙ Ｃ ａｇｈ １ ０３ Ｈ ｎ ｎ Ｃ ｉ ） Ｓｈｏ ｏ ｍ ｕ ｒ ｃ ｎ ， ａ ａ Ｕ ｉ ｓｙ ｆＤ ｅ ｅＴ ｈ ｏ ｇ ， ｈ ｎｓａ ０ ７ ， ｕ ， ｈ ｆＣ ｅＳ ｅ ｃ ｏ ｉ ｖ ｉ ｆ ｓ ｃ ｏ ｅ ４ ａ ａ ｎ
ｒ ｌｔ ｎ ｈ ｐ ｂ ｔ ｅ ｈ ｅ ｅ ｓ ｒ ｎ ｕ ｆ ｉｎ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆｌｃ ｌｃ ｎ ｅ ｎ Ｂ ｚｅ ｕ ａ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｆ ｒ ｆｃ ｎ ｒ ｌ ｅ ｔ ｅ ｄ，ａ ｃ ｕ ｌ ｅａｉ ｓ ｉ ｅｗｅ ｎ ｔ ｅ ｎ ｃ ｓ ａ ｙ ａ ｄ ｓ ｆ ｃ ｅ ｔｃ ｎ ｉ ｏ ｓｏ ａ ｏ ｖ ｘ ｏ ｅ ｉｒｓ ｒ ｃ ｎ ｈ ｇ ｅ ｏ ｏ ｔ ｒ ｃ ｓ ｏ ｉ ｉ ｏ ｆ ｉ ｕ ｏｖ ｉ ｏ ｐｅ ｏ ｅ ｅ ｓ ｒ ｎ ｕ ｆ ｉｎ ｏ ｄ ｔ ｎ ｒｌ ｃ ｌｃ ｎ ｅ ｎ Ｂ ｚｅ ｕ ａ ｅ ａｅ ｔｅ ｄ ｃ ｄ ｆｎ ｃ ｓａ ａ ｄ ｓ ｉ ｅ ｔ ｎ ｉ ｏ ｓ ｆ ｏ ａ ｏ ｖ ｘ ｏ ｅ ｉｒｓ ｒ ｃ ｒ ｈ ｎ ｅ ｕ ｅ ．Ｔ ｅ ｃ ｎ ｌｓｏ ｆｃ ｎ ｅ ｉ ｎ ｌｓｓ ｉ ａ ｐ ｉｄ ｔ ｙ ｆ ｃ ｃ ｉ ｏ ｆ ｈ ｏ ｃｕ ｉｎ ｏ ｏ ｖ ｘｔ ａ ａｙ ｉ ｓ ｐ ｌ ｏ ｙ ｅ Ｂ ｚｅ ｕ ａ ｅ ｐｉ ｉｇ，ｔ ｅ ｃ ｎ ｉ ｏ ｆｃ ｎ ｅ ｉ — ｒ ｓ ｒ ｉｇ ｓ ｌ ｉ ｇ ｆ ｒＢｅ ｉｒ ｓ ｒａ ｅ ｓ ｄ ｒ ｅ ． Ｍｏｅ ｖ ｒ ｔｉ ｒ ｖ ｄ ｔ ａ ｆ ｒｓ ｌ ｅ ｉ ｒｓ ｒ ｃ ｓｓ ｌ ｎ ｆ ｃ ｈ ｏ ｄ ｔ ｎ ｏ ｏ ｖ ｘ ｔ ｐ ｅ ｅ ｖｎ ｐ ｉ ｎ ｚｅ ｕ ｃ ｓ ｉ ｅ ｖ ｄ ｉ ｙ ｃ ｏ ｆ ｉ ｒ ｏ ｅ ，ｉ ｓ ｐ ｏ ｅ ｈ ｔａｔ ｐ ｉ ｅ —
Ｆ ｎ ｕ Ｄ ｎ ｉ ｎ Ｙ ｏＪ ＷｕＱ ａ ｙａ 。 ａ ｇＫ ｉ ｅ ｇＳｑ ｇ ｉ ａ ｉ ｅ ｕ ｎｕ ｎ
（ ｏｌ ｅｏ ｎｏｍ ｔ ｎＳｉ ｃ ｎ ｅｈ ｏ ｇ ，Ｈ ｎ ｎＡ ｒ ｕｔｒｌ ｎｖｒｔ，ｈ ｎ ｓａ４ ０ ２ Ｈ ｎ ｎ Ｃ ｉａ Ｃ ｌｇ ｆｒ ａｉ ｃ ｎｅａｄ Ｔｃｎｌ ｙ ｕ ａ ｇｉ ｌ ａ ｉ ｓｙ Ｃ ａ ｇｈ １１ ８， ｕ ａ ， ｈｎ ） ｅ ｆＩ ｏ ｅ ｏ ｃ ｕ Ｕ ｅｉ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ ｃ Ｔ ｅ ｒ ｌｔ ｎ ｈ ｓ ｂ ｅ ｅ ｐ ｆ ｒｔｅ ｆ ｕ ｅ ｏ ｅ ｇ ｄ ａ ｄ ｔ ｅｃ ｎ ｅ ｉ ｆ ｕ ａ ｅ ｉ ｅｍｓｏ ｅ ｍｅ ｒ ｏ ｃ ｐ ｙ ａ ａｙ ｉ ｇｔ ｅ ｈ ｅａ ｉ ａ ｅ ｎ ｓ ｔｕ ｏ ｇ ｒ ｆ ｈ ｒ ｎ ｏ ｖ ｘ ｔ ｏ ｒ ｃ ｔ ｒ ｆ ｏ ｔ ｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｌｓｎ ｈ ｏ ｈ ｉ ｔ ｉ ｈ ｙ ｓｆ ｎ ｇ ｙ ｂ
。 Ｃｌｇ （ ｏ ｅｅｏ ｔｅ ｔｓ ｎ ｆ ｒ ｔｎＳｉ ｅ Ｓ ａｇ ａ ｎｖｒｔ， ｈ ｏｕ ｎ５ ２ ０ ，Ｈ ｎｎ， ｈｎ ） ｌ ｆＭａｈｍａｉ ｄ Ｉ ｏｍａｉ ｃ ｎ ， ｈ ｏ ｕｎＵ ｉ ｓｙ Ｓ ａｇ ａ １ ０ ５ ｕ ｃａ ｎ ｏ ｅ ｃ ｅｉ ａ Ｃｉ ａ
ｃ ｇ ｆ ｏｌｃｌ ｏｖｘＢ ｚ ｒ ｕ ａｅ ｉ ｏ ｍｏ ｏ ｎａ ，ｔ ｉ Ｃ （ ≥１ ｒ ｓｌｃｎｅ ｉ ａ ｏｖｘｉｓ ｎｔ ｎ ｆ ｈ ｉ ， ｒ ｗ ａ ｃｎｅ ｅｉ ｒ ｃｓ ｔ ｃｍ ｎｂｕ ｄｒ ｈ ｒ ”ｎ ）ａｅ ｔｌ ｏｖｘｗｔ ｓｍｅｃｎｅｉｅ．Ｉ ｅｅｄｏ ｔｅ ｎ ｏ ｔ ｏ ｅ ｓｆ ｗｈ ｙ ｅ ｉ ｈ ｔ ｈ
拼 接实例。 关键词
中 图分 类ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ号
Ｂ ｚ ｒ曲面 控制 网格顶 点 凸性 ｅｉ ｅ
Ｔ３ Ｐ 文献标识码 Ａ
保 凸拼接
ＡＮＡＬＹＳ ＮＧ Ｉ ＣｏＮＶＥⅪ Ｔ ｏＦ Ｂｅ ｉｒＳ Ｙ ｚｅ ＵＲＦ ＡＣＥ ＡＮＤ ＨＥ Ｔ ＣｏＮＶＥ Ｐ Ｘ． ＲＥＳ ＥＲⅥ ＮＧ Ｐ ＣＩ Ｓ ＬＩ ＮＧ
系， 出 Ｂ ｚ ｒ 导 ｅｉ 曲面局部 凸的几个充要条件。将凸性分析的结论应用 到 Ｂ ｚ ｒ曲面 拼接 中， 到 Ｂ ｚ ｒ曲面保 凸拼接 的条 件 ， ｅ ｅｉ ｅ 得 ｅｉ ｅ 并且 证 明带有公共边界线 的两个局部 凸 Ｂ ｚ ｒ ｅｉ 曲面的 Ｃ （ ≥１ 拼接后 ， ｅ “ｎ ） 仍然是 凸的且 凸性相 同。最后 ， 出几个 三次 Ｂ ｚ ｒ曲面保 凸 给 ｅｉ ｅ