自动控制原理_ 控制系统的数学模型_第1学时 微分方程和传递函数_
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自动控制原理01微分方程、传递函数
例2-2：（3）消去中间变量，整理得
d 2 u o (t ) duo (t ) LC RC u o (t ) ui (t ) 2 dt dt
RLC串联电路的数学模型是一个线性定常的二阶微分方程。 总结：1、系统的阶次取决于微分方程的阶次，微分方程 的阶次取决于系统所含储能元件的个数
2、若系统设立了n个变量，需找到n-1个方程才能
性质）只适用于线性定常系统。 （2）表达输入量和输出量之间的关系，只取决于系统的结构和 参数。
（3）在系统中，当选取的输入量或输出量改变时，其传递函数
也随之改变，但分母保持不变。
d （4）传递函数的前提是零初始条件，与微分方程的关系：s dt （5）任何系统的传递函数是唯一的，但不同的系统可以有相同
2.1.2 微分方程的线性化
实际物理系统的数学模型往往存在非线性性质。当输入
量与输出量之间存在非线性时，求解非线性方程非常困难，
因此，希望在一定条件下，用线性方程代替非线性方程来解
决问题，这就是系统的线性化处理。 非线性方程的线性化处理有两种方法，一种是图像近 似法，另一种是泰勒级数展开法。 线性化的前提是 在 处的各阶导数存在。
dn d n1 d an n c(t ) an 1 n 1 c(t ) ... a1 c(t ) a0c(t ) dt dt dt
dm d m1 d bm m r (t ) bm1 m1 r (t ) ... b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt
(x) 2 ...
x0
0
x0
x
很小时，忽略高阶无穷小项，则有：
y y0 y f ( x0 ) df ( x) dx x
x0
d 2 u o (t ) duo (t ) LC RC u o (t ) ui (t ) 2 dt dt
RLC串联电路的数学模型是一个线性定常的二阶微分方程。 总结：1、系统的阶次取决于微分方程的阶次，微分方程 的阶次取决于系统所含储能元件的个数
2、若系统设立了n个变量，需找到n-1个方程才能
性质）只适用于线性定常系统。 （2）表达输入量和输出量之间的关系，只取决于系统的结构和 参数。
（3）在系统中，当选取的输入量或输出量改变时，其传递函数
也随之改变，但分母保持不变。
d （4）传递函数的前提是零初始条件，与微分方程的关系：s dt （5）任何系统的传递函数是唯一的，但不同的系统可以有相同
2.1.2 微分方程的线性化
实际物理系统的数学模型往往存在非线性性质。当输入
量与输出量之间存在非线性时，求解非线性方程非常困难，
因此，希望在一定条件下，用线性方程代替非线性方程来解
决问题，这就是系统的线性化处理。 非线性方程的线性化处理有两种方法，一种是图像近 似法，另一种是泰勒级数展开法。 线性化的前提是 在 处的各阶导数存在。
dn d n1 d an n c(t ) an 1 n 1 c(t ) ... a1 c(t ) a0c(t ) dt dt dt
dm d m1 d bm m r (t ) bm1 m1 r (t ) ... b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt
(x) 2 ...
x0
0
x0
x
很小时，忽略高阶无穷小项，则有：
y y0 y f ( x0 ) df ( x) dx x
x0
自动控制原理第2章
自动控制理论
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
(整理)自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型教学目的：（1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。
（2）掌握传递函数的概念及求法。
（3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。
（4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。
（5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。
（6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力教学要求：（1）正确理解数学模型的特点；（2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；（3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；（4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握；（5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；（6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。
教学重点：有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。
教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式。
的余子式k教学方法：讲授本章学时：10学时主要内容：2.0 引言2.1 动态微分方程的建立2.2 线性系统的传递函数2.3 典型环节及其传递函数2.4系统的结构图2.5 信号流图及梅逊公式2.0引言：什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？1. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。
１） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函数。
自动控制原理与系统第三章 自动控制系统的数学模型
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的 各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在 方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的 系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的 关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的 给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节， 直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量 间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标 明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见 式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列 于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动 机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动 机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后 再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也 是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同 的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数 也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为 若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统 的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是 理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统 工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和 输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后 从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。
自动控制原理(第三版)第2章控制系统的数学模型(2)
大连民族学院机电信息工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
求取该电路在单位阶跃输入时的响应。 U c ( s) 1 G( s ) T RC U r ( s ) Ts 1
ur 1( t )
方法1
U c ( s ) G( s )U r ( s )
1
U r (s)
1 s
方法2
1 (Ts 1) s
1 t 1 g (t ) 1[G ( s)] e T T t uc (t ) g (t )ur ( )d
0 1 1 ( t ) t t 1 T 1 T e d e e T d 0T 0 T t
1 uc (t ) L [ ] (Ts 1) s T 1 1 1 L ( )L ( ) s Ts 1 1 e
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自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
传递函数的求法
例2-1 方法一 R-L-C串联电路
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 uc ( t ) ur ( t ) 2 dt L dt LC LC传递Fra bibliotek数： G( s)
U c ( s) 1 U r ( s) LCs 2 RCs 1
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自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
零、极点分布图
传递函数的零、极点分 布图： 将传递函数的零、 极点表示在复平面上的 图形。
零点用“o”表示 极点用“×”表示
j
1 -3 -2
-1
s2 G( s) = ( s 3)( s 2 2s 2)
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自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
求取该电路在单位阶跃输入时的响应。 U c ( s) 1 G( s ) T RC U r ( s ) Ts 1
ur 1( t )
方法1
U c ( s ) G( s )U r ( s )
1
U r (s)
1 s
方法2
1 (Ts 1) s
1 t 1 g (t ) 1[G ( s)] e T T t uc (t ) g (t )ur ( )d
0 1 1 ( t ) t t 1 T 1 T e d e e T d 0T 0 T t
1 uc (t ) L [ ] (Ts 1) s T 1 1 1 L ( )L ( ) s Ts 1 1 e
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第二章 控制系统的数学模型
传递函数的求法
例2-1 方法一 R-L-C串联电路
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 uc ( t ) ur ( t ) 2 dt L dt LC LC传递Fra bibliotek数： G( s)
U c ( s) 1 U r ( s) LCs 2 RCs 1
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自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
零、极点分布图
传递函数的零、极点分 布图： 将传递函数的零、 极点表示在复平面上的 图形。
零点用“o”表示 极点用“×”表示
j
1 -3 -2
-1
s2 G( s) = ( s 3)( s 2 2s 2)
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自动控制原理_第二章
Gk ( s) G ( s) H ( s)
B( s) G1 ( s)G2 ( s) H ( s) E ( s)
注意：这里的开环传递函数是针对闭环系统而言的，而不是指开环系 统的传递函数。
解：首先对小车进行受力分析，在水平方向应 用牛顿第二定律可写出：
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) f Ky (t ) m dt dt 2
令
2
T
m f , 可得 K 2 mK
图2 弹簧-质量-阻尼器系统图
d 2 y( t ) dy(t ) F (t ) T 2 T y ( t ) dt 2 dt K
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：
（1）根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输
入、输出变量；
（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程， 一般为微分方程组； （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； （4）将微分方程标准化。即将与输入有关的各项放在等 号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。
以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程， 经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
二、复频域模型 – 传递函数
（1）利用时域卷积获得：
如果已知系统单位脉冲响应为g(t),则任意输入r(t)的响应输出c(t):
c( t )
r ( ) g(t )d
c(t ) r ( ) g(t )d
0 t
考虑到物理可实现性，上式改为： 对上式做拉氏变换得：
C ( s) R( s)G( s) G( s)
C ( s) R( s )
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
第二章 自动控制系统原理的数学模型分析
c(t ) a n1
d n1
c(t ) ... a1
d c (t ) a 0 c (t ) dt d r (t ) ... b1 r (t ) b0 r (t ) dt
在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换并整理得
C ( s) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 M ( s) G ( s) （2-25） n n 1 R( s ) N ( s) a n s a n 1 s a1 s a 0
一阶常系数线性微分方程
RC
duc uc ur dt
(2-4)
微分方程建立举例(2)
【例2-2】机械位移系统 （1）确定输入、输出量
设外作用力F (t ) 为输入量，质量 物体的位移 y (t )为输出量。
（2）建立微分方程组
根据牛顿第二定律可得:
F (t ) FB (t ) FK (t ) ma
初始条件为零，一般是指输入量在t=0时刻以后才 作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数在 t≤时的值也均为零。
传递函数的一般表达式
如果系统的输入量为 r (t ) ，输出量为 c(t ) ，并 由下列微分方程描述
an
bm
dn dt n dm
dt m
dt n1 d m 1 r (t ) bm 1d m 1 dt
c (t ) 1
式中
<1时
(2-44)
1 2
e n t 1 2
4.应用实例 例2-2机械位 移系统等。
sin( d t )
，
arctan
d n 1 2
R 将 R1 1 K 、 2 1 K 代入上式得： 2 1
自动控制原理传递函数
自动控制原理传递函数
自动控制原理中，传递函数是一个非常重要的概念。
传递函数描述了控制系统
输入和输出之间的关系，是分析和设计控制系统的重要工具。
本文将介绍传递函数的基本概念、性质和应用。
传递函数是描述线性时不变系统输入和输出之间关系的数学函数。
对于一个线
性时不变系统，其传递函数可以用拉普拉斯变换表示。
传递函数通常用G(s)表示，其中s是复变量。
传递函数的形式可以是分子多项式除以分母多项式的比值，也可
以是一些特定形式的函数。
传递函数的性质包括，稳定性、因果性、实数性等。
稳定性是指系统在输入有
界的情况下，输出也是有界的。
因果性是指系统的输出只依赖于当前和过去的输入，而不依赖于未来的输入。
实数性是指系统的传递函数在实轴上的取值都是实数。
传递函数在控制系统分析和设计中有着广泛的应用。
通过传递函数，可以方便
地分析系统的频率响应特性，如幅频特性、相频特性等。
同时，传递函数也可以用于控制系统的设计，例如根据要求设计控制器的参数，使系统的性能满足特定的要求。
在实际工程中，传递函数也经常用于建立系统的数学模型。
通过测量系统的输
入和输出，可以辨识出系统的传递函数，从而对系统进行建模和仿真。
这对于系统的分析和预测具有重要意义。
总之，传递函数是自动控制原理中一个非常重要的概念。
通过传递函数，可以
方便地描述和分析控制系统的性能，并且可以用于控制系统的设计和建模。
因此，对传递函数的理解和掌握是控制工程师必备的基本能力之一。
希望本文对传递函数的基本概念、性质和应用有所帮助。
自动控制原理复习课(2)
Gk ( s ) 2 4 s(0.5s 1) s( s 2)
和 ts ；
（1）二阶系统的标准形式为：
2 n Gk ( s) s( s 2n )
调节时间
ts 3 4
n
3 4 3s或4s ( 2%或4%） 0.5 2
4 ；则 n 2rad / s 比较上述两式， 2 n 2 则 0.5 （2）超调量 % e 100% 16%
U 0 ( s ) / Ui ( s )
。
则
U 0 ( s) R2 Ui ( s) R1 ( R2C2 s 1)
或无源网络：RC,RL及RLC等。（如作业）质量-弹簧-阻尼 、液位平衡等系统。
例2-2：简化图示系统的结构图，并求出传递函数 C(s) / R(s) 。 解：结构图经等效变换为下图：
自动控制原理复习课
二、控制系统的数学模型
1.微分方程、传递函数、差分方程频率特性 2.结构图、信号流图 电学、力学等。 熟悉典型环节的传递函数。
例2-1：求下图所示系统的传递函数 解：对于理想放大器
Ui ( s) 0 0 U 0 ( s) R1 z 其中z R2 1 R2C2 s
C ( s)
R( s )
-
2 n s( s 2 n )
C ( s)
kt s
1 kt s
n 2 ( s) s( s 2n )
与典型二阶系统的标准形式
n 2 (1 kt s) n 2 1 s( s 2 ) s 2 2( k / 2) s 2 n t n n n
10 K
所以在K=1时，系统的稳态误差为 ess ess1 ess 2 0.05
和 ts ；
（1）二阶系统的标准形式为：
2 n Gk ( s) s( s 2n )
调节时间
ts 3 4
n
3 4 3s或4s ( 2%或4%） 0.5 2
4 ；则 n 2rad / s 比较上述两式， 2 n 2 则 0.5 （2）超调量 % e 100% 16%
U 0 ( s ) / Ui ( s )
。
则
U 0 ( s) R2 Ui ( s) R1 ( R2C2 s 1)
或无源网络：RC,RL及RLC等。（如作业）质量-弹簧-阻尼 、液位平衡等系统。
例2-2：简化图示系统的结构图，并求出传递函数 C(s) / R(s) 。 解：结构图经等效变换为下图：
自动控制原理复习课
二、控制系统的数学模型
1.微分方程、传递函数、差分方程频率特性 2.结构图、信号流图 电学、力学等。 熟悉典型环节的传递函数。
例2-1：求下图所示系统的传递函数 解：对于理想放大器
Ui ( s) 0 0 U 0 ( s) R1 z 其中z R2 1 R2C2 s
C ( s)
R( s )
-
2 n s( s 2 n )
C ( s)
kt s
1 kt s
n 2 ( s) s( s 2n )
与典型二阶系统的标准形式
n 2 (1 kt s) n 2 1 s( s 2 ) s 2 2( k / 2) s 2 n t n n n
10 K
所以在K=1时，系统的稳态误差为 ess ess1 ess 2 0.05
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传递函数的一般式：
G(S)
C(S) R(S)
b0 S m a0S n
b1S m1 a1S n1
bm1S an1S
bm an
2019-12-8
12
传递函数G(s)=?
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
uc (0) 0, uc 0 输出响应 U C (S ) ?
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
2019-12-8
9
y(x)
x0
x
2019-12-8
10
1. 传递函数
在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换 和输入量的拉氏变换之比。
R(s)
C(s)
G (s)
C(S) G(S) R(S)
a0
d nc(t) dt n
a1
G(S) C(S) TS 1 R(S)
2019-12-8
22
(6) 振荡环节 RLC串联电路即为一种振荡环节。
T
2
d 2c(t) dt 2
2T
dc(t) dt
c(t)
r(t)
G(S)
s2
wn 2
2wn s
wn 2
2019-12-8
23
(7) 延迟环节
c(t) r(t ) I (t )
G(S ) es
2019-12-8
24
课堂作业：
1.请画图各环节的零极点位置表示，求 出对应的根轨迹增益、开环比例系数
2.请求出各环节的单位阶跃响应
2019-12-8
25
（2）传递函数是零初始条件下定义的，利用传递函数求系统 的响应是零状态响应；
（3）不同的物理系统可以有同样的传递函数，正如一些不同 的物理现象可以用形式相同的微分方程描述一样。故传递函 数不能反映系统的物理结构。
2019-12-8
16
（4）传递函数只描述系统的输入-输出特性，而不能表示系 统内部所有状态的特性。
d n1c(t) dt n1
an
1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bmt)
(n m)
(a0 S n a1S n1 an1S an )C(S ) (b0 S m b1S m1 bm1S bm )R(S )
19
(3) 积分环节
c(t) r(t)d (t)
G(S) C(S) 1 R(S) TS
T—积分时间常数。
2019-12-8
20
(4) 微分环节
c(t) T dr(t) dt
G(S) C(S) TS R(S)
T—微分时间常数。
2019-12-8
21
(5) 一阶微分环节
c(t) T dr(t) r(t) dt
2019-12-8
3
2.1 控制系统的数学模型
2019-12-8
4
• 分析法就是根据描述系统运动规律的物理或 化学等定律来列写相应的运动方程。
• 实验法是基于系统输入输出的实验数据，并 用适当的数学模型去逼近。这种方法称为系 统辩识
• 系统的数学模型有多种，如时域中的微分方 程、差分方程和状态方程；复域中的传递函 数、结构图；频域中的频率特性等。
第1学时 微分方程与传递函数
主讲人： 袁丽丽 电力工程学院
2019-12-8
1
思考题： 1.什么是自动控制系统？有哪三种基本 控制方式？ 2.控制系统的组成？
3.自动控制系统的基本要求
2019-12-8
2
内容提要： 1.控制系统的数学模型 2.微分方程的建立 3.线性系统的传递函数 4.典型环节及其传递函数
解: 根据牛顿第二定律可得
m
d 2 y(t) dt 2
Fi (t)
Ff
(t)
Fk
(t)
k
Fi (t )
Ff
(t)
f
dy(t) dt
—阻尼器粘性阻力；
Fk (t) ky(t) —弹簧的弹性力
m
y (t ) f
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8
由电阻,电容和电感组成的无源网络，写出以ui 为输入， uo为输出的微分方程.
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13
G(S)
S2
2S 7S
4 12
G(S) 2(S 2) (S 3)(S 4)
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G(S)
1 3
(1
(1 S 1) 2 S 1)(1 S
1)
3
4
14
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2 ×3 ×4
（1）传递函数是将线性定常系统的微分方程作拉氏变换后得 到的，因此，传递函数的概念只能用于线性定常系统，且其量 纲由输入量和输出量决定；
17
2.4 典型环节及其传递函数
(1) 比例环节 (电位器, 测速发电机)
c(t) K r(t) G(S) C(S) K
R(S)
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18
(2) 惯性环节
T dc(t) c(t) Kr(t) dt
G(S)
C(S) R(S)
K TS 1
T—惯性环节的时间常数。
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5
a0
d nc(t) dt n
a1
d n1c(t) dt n1
an
1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm
1
dr(t) dt
bm r (t )
(n m)
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6
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7
设有一个由弹簧、质量块和阻尼器组成的机械系统如图所示，写 出以外力Fi(t)为输入，以质量块位移 y为(t) 输出的微分方程
（5）传递函数是复变量s的有理分式，m≤n。其分子M(s)和 分母N(s)的各项系数均为实数，由系统的参数确定。这里，分 母式中的阶次n就是传递函数的阶次，它必不小于其分子式中 的阶次m，这是因为实际的物理系统总是存在惯性，其输出决 不会超前于输入。当系统传递函数为n阶时，称为n阶系统。
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G(S)
C(S) R(S)
b0 S m a0S n
b1S m1 a1S n1
bm1S an1S
bm an
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12
传递函数G(s)=?
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
uc (0) 0, uc 0 输出响应 U C (S ) ?
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
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9
y(x)
x0
x
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10
1. 传递函数
在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换 和输入量的拉氏变换之比。
R(s)
C(s)
G (s)
C(S) G(S) R(S)
a0
d nc(t) dt n
a1
G(S) C(S) TS 1 R(S)
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22
(6) 振荡环节 RLC串联电路即为一种振荡环节。
T
2
d 2c(t) dt 2
2T
dc(t) dt
c(t)
r(t)
G(S)
s2
wn 2
2wn s
wn 2
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23
(7) 延迟环节
c(t) r(t ) I (t )
G(S ) es
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课堂作业：
1.请画图各环节的零极点位置表示，求 出对应的根轨迹增益、开环比例系数
2.请求出各环节的单位阶跃响应
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25
（2）传递函数是零初始条件下定义的，利用传递函数求系统 的响应是零状态响应；
（3）不同的物理系统可以有同样的传递函数，正如一些不同 的物理现象可以用形式相同的微分方程描述一样。故传递函 数不能反映系统的物理结构。
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16
（4）传递函数只描述系统的输入-输出特性，而不能表示系 统内部所有状态的特性。
d n1c(t) dt n1
an
1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bmt)
(n m)
(a0 S n a1S n1 an1S an )C(S ) (b0 S m b1S m1 bm1S bm )R(S )
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(3) 积分环节
c(t) r(t)d (t)
G(S) C(S) 1 R(S) TS
T—积分时间常数。
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(4) 微分环节
c(t) T dr(t) dt
G(S) C(S) TS R(S)
T—微分时间常数。
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(5) 一阶微分环节
c(t) T dr(t) r(t) dt
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3
2.1 控制系统的数学模型
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4
• 分析法就是根据描述系统运动规律的物理或 化学等定律来列写相应的运动方程。
• 实验法是基于系统输入输出的实验数据，并 用适当的数学模型去逼近。这种方法称为系 统辩识
• 系统的数学模型有多种，如时域中的微分方 程、差分方程和状态方程；复域中的传递函 数、结构图；频域中的频率特性等。
第1学时 微分方程与传递函数
主讲人： 袁丽丽 电力工程学院
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思考题： 1.什么是自动控制系统？有哪三种基本 控制方式？ 2.控制系统的组成？
3.自动控制系统的基本要求
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内容提要： 1.控制系统的数学模型 2.微分方程的建立 3.线性系统的传递函数 4.典型环节及其传递函数
解: 根据牛顿第二定律可得
m
d 2 y(t) dt 2
Fi (t)
Ff
(t)
Fk
(t)
k
Fi (t )
Ff
(t)
f
dy(t) dt
—阻尼器粘性阻力；
Fk (t) ky(t) —弹簧的弹性力
m
y (t ) f
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由电阻,电容和电感组成的无源网络，写出以ui 为输入， uo为输出的微分方程.
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G(S)
S2
2S 7S
4 12
G(S) 2(S 2) (S 3)(S 4)
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G(S)
1 3
(1
(1 S 1) 2 S 1)(1 S
1)
3
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2 ×3 ×4
（1）传递函数是将线性定常系统的微分方程作拉氏变换后得 到的，因此，传递函数的概念只能用于线性定常系统，且其量 纲由输入量和输出量决定；
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2.4 典型环节及其传递函数
(1) 比例环节 (电位器, 测速发电机)
c(t) K r(t) G(S) C(S) K
R(S)
2019-12-8
18
(2) 惯性环节
T dc(t) c(t) Kr(t) dt
G(S)
C(S) R(S)
K TS 1
T—惯性环节的时间常数。
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a0
d nc(t) dt n
a1
d n1c(t) dt n1
an
1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm
1
dr(t) dt
bm r (t )
(n m)
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设有一个由弹簧、质量块和阻尼器组成的机械系统如图所示，写 出以外力Fi(t)为输入，以质量块位移 y为(t) 输出的微分方程
（5）传递函数是复变量s的有理分式，m≤n。其分子M(s)和 分母N(s)的各项系数均为实数，由系统的参数确定。这里，分 母式中的阶次n就是传递函数的阶次，它必不小于其分子式中 的阶次m，这是因为实际的物理系统总是存在惯性，其输出决 不会超前于输入。当系统传递函数为n阶时，称为n阶系统。
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