自动控制原理_ 控制系统的数学模型_第1学时 微分方程和传递函数_
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自动控制原理01微分方程、传递函数
例2-2：（3）消去中间变量，整理得
d 2 u o (t ) duo (t ) LC RC u o (t ) ui (t ) 2 dt dt
RLC串联电路的数学模型是一个线性定常的二阶微分方程。 总结：1、系统的阶次取决于微分方程的阶次，微分方程 的阶次取决于系统所含储能元件的个数
2、若系统设立了n个变量，需找到n-1个方程才能
性质）只适用于线性定常系统。 （2）表达输入量和输出量之间的关系，只取决于系统的结构和 参数。
（3）在系统中，当选取的输入量或输出量改变时，其传递函数
也随之改变，但分母保持不变。
d （4）传递函数的前提是零初始条件，与微分方程的关系：s dt （5）任何系统的传递函数是唯一的，但不同的系统可以有相同
2.1.2 微分方程的线性化
实际物理系统的数学模型往往存在非线性性质。当输入
量与输出量之间存在非线性时，求解非线性方程非常困难，
因此，希望在一定条件下，用线性方程代替非线性方程来解
决问题，这就是系统的线性化处理。 非线性方程的线性化处理有两种方法，一种是图像近 似法，另一种是泰勒级数展开法。 线性化的前提是 在 处的各阶导数存在。
dn d n1 d an n c(t ) an 1 n 1 c(t ) ... a1 c(t ) a0c(t ) dt dt dt
dm d m1 d bm m r (t ) bm1 m1 r (t ) ... b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt
(x) 2 ...
x0
0
x0
x
很小时，忽略高阶无穷小项，则有：
y y0 y f ( x0 ) df ( x) dx x
x0
d 2 u o (t ) duo (t ) LC RC u o (t ) ui (t ) 2 dt dt
RLC串联电路的数学模型是一个线性定常的二阶微分方程。 总结：1、系统的阶次取决于微分方程的阶次，微分方程 的阶次取决于系统所含储能元件的个数
2、若系统设立了n个变量，需找到n-1个方程才能
性质）只适用于线性定常系统。 （2）表达输入量和输出量之间的关系，只取决于系统的结构和 参数。
（3）在系统中，当选取的输入量或输出量改变时，其传递函数
也随之改变，但分母保持不变。
d （4）传递函数的前提是零初始条件，与微分方程的关系：s dt （5）任何系统的传递函数是唯一的，但不同的系统可以有相同
2.1.2 微分方程的线性化
实际物理系统的数学模型往往存在非线性性质。当输入
量与输出量之间存在非线性时，求解非线性方程非常困难，
因此，希望在一定条件下，用线性方程代替非线性方程来解
决问题，这就是系统的线性化处理。 非线性方程的线性化处理有两种方法，一种是图像近 似法，另一种是泰勒级数展开法。 线性化的前提是 在 处的各阶导数存在。
dn d n1 d an n c(t ) an 1 n 1 c(t ) ... a1 c(t ) a0c(t ) dt dt dt
dm d m1 d bm m r (t ) bm1 m1 r (t ) ... b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt
(x) 2 ...
x0
0
x0
x
很小时，忽略高阶无穷小项，则有：
y y0 y f ( x0 ) df ( x) dx x
x0
自动控制原理第2章
自动控制理论
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
(整理)自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型教学目的：（1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。
（2）掌握传递函数的概念及求法。
（3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。
（4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。
（5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。
（6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力教学要求：（1）正确理解数学模型的特点；（2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；（3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；（4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握；（5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；（6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。
教学重点：有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。
教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式。
的余子式k教学方法：讲授本章学时：10学时主要内容：2.0 引言2.1 动态微分方程的建立2.2 线性系统的传递函数2.3 典型环节及其传递函数2.4系统的结构图2.5 信号流图及梅逊公式2.0引言：什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？1. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。
１） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函数。
自动控制原理与系统第三章 自动控制系统的数学模型
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的 各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在 方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的 系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的 关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的 给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节， 直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量 间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标 明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见 式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列 于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动 机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动 机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后 再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也 是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同 的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数 也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为 若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统 的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是 理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统 工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和 输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后 从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。
自动控制原理(第三版)第2章控制系统的数学模型(2)
大连民族学院机电信息工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
求取该电路在单位阶跃输入时的响应。 U c ( s) 1 G( s ) T RC U r ( s ) Ts 1
ur 1( t )
方法1
U c ( s ) G( s )U r ( s )
1
U r (s)
1 s
方法2
1 (Ts 1) s
1 t 1 g (t ) 1[G ( s)] e T T t uc (t ) g (t )ur ( )d
0 1 1 ( t ) t t 1 T 1 T e d e e T d 0T 0 T t
1 uc (t ) L [ ] (Ts 1) s T 1 1 1 L ( )L ( ) s Ts 1 1 e
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自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
传递函数的求法
例2-1 方法一 R-L-C串联电路
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 uc ( t ) ur ( t ) 2 dt L dt LC LC传递Fra bibliotek数： G( s)
U c ( s) 1 U r ( s) LCs 2 RCs 1
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自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
零、极点分布图
传递函数的零、极点分 布图： 将传递函数的零、 极点表示在复平面上的 图形。
零点用“o”表示 极点用“×”表示
j
1 -3 -2
-1
s2 G( s) = ( s 3)( s 2 2s 2)
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自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
求取该电路在单位阶跃输入时的响应。 U c ( s) 1 G( s ) T RC U r ( s ) Ts 1
ur 1( t )
方法1
U c ( s ) G( s )U r ( s )
1
U r (s)
1 s
方法2
1 (Ts 1) s
1 t 1 g (t ) 1[G ( s)] e T T t uc (t ) g (t )ur ( )d
0 1 1 ( t ) t t 1 T 1 T e d e e T d 0T 0 T t
1 uc (t ) L [ ] (Ts 1) s T 1 1 1 L ( )L ( ) s Ts 1 1 e
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自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
传递函数的求法
例2-1 方法一 R-L-C串联电路
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 uc ( t ) ur ( t ) 2 dt L dt LC LC传递Fra bibliotek数： G( s)
U c ( s) 1 U r ( s) LCs 2 RCs 1
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自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
零、极点分布图
传递函数的零、极点分 布图： 将传递函数的零、 极点表示在复平面上的 图形。
零点用“o”表示 极点用“×”表示
j
1 -3 -2
-1
s2 G( s) = ( s 3)( s 2 2s 2)
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自动控制原理_第二章
Gk ( s) G ( s) H ( s)
B( s) G1 ( s)G2 ( s) H ( s) E ( s)
注意：这里的开环传递函数是针对闭环系统而言的，而不是指开环系 统的传递函数。
解：首先对小车进行受力分析，在水平方向应 用牛顿第二定律可写出：
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) f Ky (t ) m dt dt 2
令
2
T
m f , 可得 K 2 mK
图2 弹簧-质量-阻尼器系统图
d 2 y( t ) dy(t ) F (t ) T 2 T y ( t ) dt 2 dt K
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：
（1）根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输
入、输出变量；
（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程， 一般为微分方程组； （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； （4）将微分方程标准化。即将与输入有关的各项放在等 号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。
以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程， 经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
二、复频域模型 – 传递函数
（1）利用时域卷积获得：
如果已知系统单位脉冲响应为g(t),则任意输入r(t)的响应输出c(t):
c( t )
r ( ) g(t )d
c(t ) r ( ) g(t )d
0 t
考虑到物理可实现性，上式改为： 对上式做拉氏变换得：
C ( s) R( s)G( s) G( s)
C ( s) R( s )
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
第二章 自动控制系统原理的数学模型分析
c(t ) a n1
d n1
c(t ) ... a1
d c (t ) a 0 c (t ) dt d r (t ) ... b1 r (t ) b0 r (t ) dt
在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换并整理得
C ( s) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 M ( s) G ( s) （2-25） n n 1 R( s ) N ( s) a n s a n 1 s a1 s a 0
一阶常系数线性微分方程
RC
duc uc ur dt
(2-4)
微分方程建立举例(2)
【例2-2】机械位移系统 （1）确定输入、输出量
设外作用力F (t ) 为输入量，质量 物体的位移 y (t )为输出量。
（2）建立微分方程组
根据牛顿第二定律可得:
F (t ) FB (t ) FK (t ) ma
初始条件为零，一般是指输入量在t=0时刻以后才 作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数在 t≤时的值也均为零。
传递函数的一般表达式
如果系统的输入量为 r (t ) ，输出量为 c(t ) ，并 由下列微分方程描述
an
bm
dn dt n dm
dt m
dt n1 d m 1 r (t ) bm 1d m 1 dt
c (t ) 1
式中
<1时
(2-44)
1 2
e n t 1 2
4.应用实例 例2-2机械位 移系统等。
sin( d t )
，
arctan
d n 1 2
R 将 R1 1 K 、 2 1 K 代入上式得： 2 1
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传递函数的一般式：
G(S)
C(S) R(S)
b0 S m a0S n
b1S m1 a1S n1
bm1S an1S
bm an
2019-12-8
12
传递函数G(s)=?
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
uc (0) 0, uc 0 输出响应 U C (S ) ?
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
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9
y(x)
x0
x
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10
1. 传递函数
在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换 和输入量的拉氏变换之比。
R(s)
C(s)
G (s)
C(S) G(S) R(S)
a0
d nc(t) dt n
a1
G(S) C(S) TS 1 R(S)
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22
(6) 振荡环节 RLC串联电路即为一种振荡环节。
T
2
d 2c(t) dt 2
2T
dc(t) dt
c(t)
r(t)
G(S)
s2
wn 2
2wn s
wn 2
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23
(7) 延迟环节
c(t) r(t ) I (t )
G(S ) es
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24
课堂作业：
1.请画图各环节的零极点位置表示，求 出对应的根轨迹增益、开环比例系数
2.请求出各环节的单位阶跃响应
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25
（2）传递函数是零初始条件下定义的，利用传递函数求系统 的响应是零状态响应；
（3）不同的物理系统可以有同样的传递函数，正如一些不同 的物理现象可以用形式相同的微分方程描述一样。故传递函 数不能反映系统的物理结构。
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16
（4）传递函数只描述系统的输入-输出特性，而不能表示系 统内部所有状态的特性。
d n1c(t) dt n1
an
1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bmt)
(n m)
(a0 S n a1S n1 an1S an )C(S ) (b0 S m b1S m1 bm1S bm )R(S )
19
(3) 积分环节
c(t) r(t)d (t)
G(S) C(S) 1 R(S) TS
T—积分时间常数。
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20
(4) 微分环节
c(t) T dr(t) dt
G(S) C(S) TS R(S)
T—微分时间常数。
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21
(5) 一阶微分环节
c(t) T dr(t) r(t) dt
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3
2.1 控制系统的数学模型
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4
• 分析法就是根据描述系统运动规律的物理或 化学等定律来列写相应的运动方程。
• 实验法是基于系统输入输出的实验数据，并 用适当的数学模型去逼近。这种方法称为系 统辩识
• 系统的数学模型有多种，如时域中的微分方 程、差分方程和状态方程；复域中的传递函 数、结构图；频域中的频率特性等。
第1学时 微分方程与传递函数
主讲人： 袁丽丽 电力工程学院
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1
思考题： 1.什么是自动控制系统？有哪三种基本 控制方式？ 2.控制系统的组成？
3.自动控制系统的基本要求
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2
内容提要： 1.控制系统的数学模型 2.微分方程的建立 3.线性系统的传递函数 4.典型环节及其传递函数
解: 根据牛顿第二定律可得
m
d 2 y(t) dt 2
Fi (t)
Ff
(t)
Fk
(t)
k
Fi (t )
Ff
(t)
f
dy(t) dt
—阻尼器粘性阻力；
Fk (t) ky(t) —弹簧的弹性力
m
y (t ) f
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8
由电阻,电容和电感组成的无源网络，写出以ui 为输入， uo为输出的微分方程.
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13
G(S)
S2
2S 7S
4 12
G(S) 2(S 2) (S 3)(S 4)
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G(S)
1 3
(1
(1 S 1) 2 S 1)(1 S
1)
3
4
14
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2 ×3 ×4
（1）传递函数是将线性定常系统的微分方程作拉氏变换后得 到的，因此，传递函数的概念只能用于线性定常系统，且其量 纲由输入量和输出量决定；
17
2.4 典型环节及其传递函数
(1) 比例环节 (电位器, 测速发电机)
c(t) K r(t) G(S) C(S) K
R(S)
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18
(2) 惯性环节
T dc(t) c(t) Kr(t) dt
G(S)
C(S) R(S)
K TS 1
T—惯性环节的时间常数。
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2019-12-8
5
a0
d nc(t) dt n
a1
d n1c(t) dt n1
an
1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm
1
dr(t) dt
bm r (t )
(n m)
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6
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7
设有一个由弹簧、质量块和阻尼器组成的机械系统如图所示，写 出以外力Fi(t)为输入，以质量块位移 y为(t) 输出的微分方程
（5）传递函数是复变量s的有理分式，m≤n。其分子M(s)和 分母N(s)的各项系数均为实数，由系统的参数确定。这里，分 母式中的阶次n就是传递函数的阶次，它必不小于其分子式中 的阶次m，这是因为实际的物理系统总是存在惯性，其输出决 不会超前于输入。当系统传递函数为n阶时，称为n阶系统。
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G(S)
C(S) R(S)
b0 S m a0S n
b1S m1 a1S n1
bm1S an1S
bm an
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12
传递函数G(s)=?
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
uc (0) 0, uc 0 输出响应 U C (S ) ?
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
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9
y(x)
x0
x
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10
1. 传递函数
在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换 和输入量的拉氏变换之比。
R(s)
C(s)
G (s)
C(S) G(S) R(S)
a0
d nc(t) dt n
a1
G(S) C(S) TS 1 R(S)
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(6) 振荡环节 RLC串联电路即为一种振荡环节。
T
2
d 2c(t) dt 2
2T
dc(t) dt
c(t)
r(t)
G(S)
s2
wn 2
2wn s
wn 2
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(7) 延迟环节
c(t) r(t ) I (t )
G(S ) es
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课堂作业：
1.请画图各环节的零极点位置表示，求 出对应的根轨迹增益、开环比例系数
2.请求出各环节的单位阶跃响应
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（2）传递函数是零初始条件下定义的，利用传递函数求系统 的响应是零状态响应；
（3）不同的物理系统可以有同样的传递函数，正如一些不同 的物理现象可以用形式相同的微分方程描述一样。故传递函 数不能反映系统的物理结构。
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（4）传递函数只描述系统的输入-输出特性，而不能表示系 统内部所有状态的特性。
d n1c(t) dt n1
an
1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bmt)
(n m)
(a0 S n a1S n1 an1S an )C(S ) (b0 S m b1S m1 bm1S bm )R(S )
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(3) 积分环节
c(t) r(t)d (t)
G(S) C(S) 1 R(S) TS
T—积分时间常数。
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(4) 微分环节
c(t) T dr(t) dt
G(S) C(S) TS R(S)
T—微分时间常数。
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(5) 一阶微分环节
c(t) T dr(t) r(t) dt
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2.1 控制系统的数学模型
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• 分析法就是根据描述系统运动规律的物理或 化学等定律来列写相应的运动方程。
• 实验法是基于系统输入输出的实验数据，并 用适当的数学模型去逼近。这种方法称为系 统辩识
• 系统的数学模型有多种，如时域中的微分方 程、差分方程和状态方程；复域中的传递函 数、结构图；频域中的频率特性等。
第1学时 微分方程与传递函数
主讲人： 袁丽丽 电力工程学院
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思考题： 1.什么是自动控制系统？有哪三种基本 控制方式？ 2.控制系统的组成？
3.自动控制系统的基本要求
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内容提要： 1.控制系统的数学模型 2.微分方程的建立 3.线性系统的传递函数 4.典型环节及其传递函数
解: 根据牛顿第二定律可得
m
d 2 y(t) dt 2
Fi (t)
Ff
(t)
Fk
(t)
k
Fi (t )
Ff
(t)
f
dy(t) dt
—阻尼器粘性阻力；
Fk (t) ky(t) —弹簧的弹性力
m
y (t ) f
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由电阻,电容和电感组成的无源网络，写出以ui 为输入， uo为输出的微分方程.
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G(S)
S2
2S 7S
4 12
G(S) 2(S 2) (S 3)(S 4)
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G(S)
1 3
(1
(1 S 1) 2 S 1)(1 S
1)
3
4
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2 ×3 ×4
（1）传递函数是将线性定常系统的微分方程作拉氏变换后得 到的，因此，传递函数的概念只能用于线性定常系统，且其量 纲由输入量和输出量决定；
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2.4 典型环节及其传递函数
(1) 比例环节 (电位器, 测速发电机)
c(t) K r(t) G(S) C(S) K
R(S)
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(2) 惯性环节
T dc(t) c(t) Kr(t) dt
G(S)
C(S) R(S)
K TS 1
T—惯性环节的时间常数。
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5
a0
d nc(t) dt n
a1
d n1c(t) dt n1
an
1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm
1
dr(t) dt
bm r (t )
(n m)
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设有一个由弹簧、质量块和阻尼器组成的机械系统如图所示，写 出以外力Fi(t)为输入，以质量块位移 y为(t) 输出的微分方程
（5）传递函数是复变量s的有理分式，m≤n。其分子M(s)和 分母N(s)的各项系数均为实数，由系统的参数确定。这里，分 母式中的阶次n就是传递函数的阶次，它必不小于其分子式中 的阶次m，这是因为实际的物理系统总是存在惯性，其输出决 不会超前于输入。当系统传递函数为n阶时，称为n阶系统。
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