控制系统的传递函数
第二章 控制系统的传递函数
第二章
控制系统的传递函数
2．1 微分方程模型（时间域模型）
一、控制系统微分方程的分类
线性系统：可由线性微分方程描述的系统。线性微分方程是指微分方程 是定常和线性的。线性系统可应用叠加原理，将多输入及多输出的 系统转化为单输入和单输出的系统进行处理分析，最后进行叠加。 另外线性系统还有一个重要的性质，就是齐次性，即当输入量的数 值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出量的变化 规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有关，与输入量数 值的大小是无关的。 非线性系统：研究非线性系统的运动规律和分析方法的一个分支学科。 非线性系统最重要的问题之一就是确定模型的结构，如果对系统的 运动有足够的知识，则可以按照系统运动规律给出它的数据模型。 一般来说，这样的模型是由非线性微分方程和非线性差分方程给出 的，对这类模型的辨别可以采用线性化，展开成特殊函数等方法。 非线性系统理论的研究对象是非线性现象，它反映出非线性系统运 动本质的一类现象，不能采用线性系统的理论来解释，主要原因是 非线性现象有频率对振幅的依赖性、多值响应和跳跃谐振、分谐波 振荡、自激振荡、频率插足、异步抑制、分岔和混沌等。
控制系统的传递函数
例 2：RLC 电路（L-R-C 无源四端网络）如图，建立输入输出间的微分方程关
由基尔霍夫定律，回路的压降为 0，即输入电压由电感、电阻、电容上的电压 平衡。 Ur=UL+UR+UC 电流 与 有 即 的关系
第二章
控制系统的传递函数
与 在数值上具有一 ～
注意：该系统也是一个二阶系统 与例 1 相比，它们具有相同的模型形式。当
线性系统满足叠加原理，而非线性系统不满足叠加原理。
第二章
控制系统的传递函数
二、微分方程模型的建立 根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本步骤： （1）确定系统中各元件的输入、输出物理量； （2）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条 件允许的情况下忽略次要因素，适当简化； （3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系； （4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。
《自动控制原理》MATLAB中的传递函数模型实验
《自动控制原理》MATLAB中的传递函数模型实验一、实验目的1、熟练运用matlab软件，求解控制系统数学模型2、掌握传递函数在matlab中的表达方法3、掌握matlab求解拉氏变换和反变换4、掌握matlab求系统极值点和零点判断系统稳定性二、实验仪器Matlab2014b版三、实验原理（一）MATLAB中的传递函数模型传递函数在matlab中的表达方法控制系统的传递函数模型为：在MATLAB中，分子/分母多项式通过其系数行向量表示，即：num = [b0 b1 … bm]den = [a0 a1 … an]此时，系统的传递函数模型用tf函数生成，句法为：sys=tf(num, den) 其中，sys为系统传递函数。
如：num = [1 5 0 2]; den = [2 3 15 8];则：sys=tf(num, den)输出为：Transfer function:若控制系统的模型形式为零极点增益形式：此时，系统的传递函数模型用zpk函数生成，句法为：sys=zpk(z, p, k)。
zpk函数也可用于将传递函数模型转换为零极点增益形式，句法为：zpksys=zpk(sys)如：z=[-0.5 -1 -3]; p=[1 -2 -1.5 -5]; k=10;sys=zpk(z, p, k)传递函数的转换[num,den]=zp2tf(z,p,k)[z,p,k]=tf2zp(num,den)实际系统往往由多个环节通过串联、并联及反馈方式互连构成。
MATLAB提供的三个用于计算串联、并联及反馈连接形成的新系统模型的函数。
series函数计算两子系统串联后的新系统模型。
句法：sys = series(sys1, sys2)sys1, sys2分别为两子系统模型parallel函数计算两子系统并联后的新系统模型。
句法： sys = parallel(sys1, sys2)feedback函数计算两子系统反馈互联后的新系统模型。
控制系统的传递函数定义
控制系统的传递函数定义
控制系统传递函数是描述控制系统输入与输出关系的数学模型，通常用于分析和设计控制系统。
它表示了输入信号经过控制系统后的输出信号，可以用数学公式表示为输出信号Y(s)与输入信号U(s)的关系：Y(s)=G(s)U(s)。
其中，G(s)为系统的传递函数，它是一个复数函数，描述了控制系统的动态特性和稳态特性。
传递函数的分母描述了系统的阻尼和自然频率，分子描述了系统的增益和相位，通过对传递函数进行分析可以得到系统的稳态误差、稳定性、响应速度等性能指标。
因此，传递函数是控制系统分析和设计的重要工具，对于掌握控制系统的动态特性和优化系统性能具有重要意义。
- 1 -。
控制系统的传递函数及信号流图和梅逊公式
1 Ln LrLsLt
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
例2-7 试用梅逊公式求系统的闭环传递函数 C(S)
R(S)
图2-45 例2-7图
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
解： P1 G1G2G3.
路 开通路—通路与任一节点相交不多于一次
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
闭通路—通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节 点相交不多于一次
6）前向通路—从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节 点不多于一次，此通路自然保护区为前向通路
7）回路—就是闭环通路 8）不接触回路—如果一些回路间没有任何公共节点 9）前向通路增益—在前向通路中多支路增益的乘积。 10）回路增益—回路中多支路增益的乘积。
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
信号流图的性质 (1)信号流图只适用于线性系统。 (2)支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信 号只能沿着支路上的箭头指向传递 (3)在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把 相加后的信号传送到所有的输出支路。
(4)具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具 有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理。 (5)对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的， 这是由于描述的方程可以表示为不同的形式。
参考输入误差的传递函数为
CR(s) ER(s)G1(s)G2(s)
CR(s)
G1( s )G 2( s )
R(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
ER(s)G1(s)G2(s)
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
第四章控制系统的传递函数
其中，
n
1 T
——环节的 固有频率
To 2
1 T
——环节的 阻尼比
如果0≤ξ<1，二阶环节称为振荡环节
例7 图示是由质量m、阻尼c、弹簧k组成的动力系统. 求G(s)
依动力平衡原理有 Xi(t) k m c
Xo(t)
d 2 xo dxo m 2 c kxo kxi dt dt
因此，系统的传递函数就是系统单位脉冲响应 的拉氏变换。
一般地,传递函数的表达式为
X o ( s) ao s n a1s n1 a2 s n2 an G( s ) X i ( s) bo s m b1s m1 b2 s m2 bm
2. 传递函数的性质
k
k为比例环节的增益或称为放大系数
例1
解
ni(t)
z1
求一对齿轮传动的传递函数 no z1 k ∴G(s)=k ni z2
最基本的运算放大器
no(t)
z2
例2
i 1= i 2
ei ea ea eo R1 R2
ei eo R1 R2
ei
R2 R1 e i2 a Ko a i3 i1 +
ZL=Ls
3.电容元件
dUC iC C dt
ZC(s) = 1/sC
例5
下图是一个由运算放大器组成的积分器， 求G(s)。 C R i + uc 取拉氏变换 uo Ui(s) R
Zc
i
+ Uo(s)
ui
解：
1 uc idt c
I ( s) U c ( s) cs
K s
1 Zc cs
ms2 X o ( s) csX o (s) kXo ( s) kXi (sG( s) 2 ms cs k
控制系统的传递函数
表示成零点、极点形式：
m
G(s)
Y (s) X (s)
bm an
Q(s) P(s)
Kg
(s zi )
i 1 n
(s pj )
z 式中： 称为传递函数的零点， i
j 1
称为传递函p数j 的极点。
Kg
bm an
Tuesday, June 16, 2020
—传递系数（零极点形式传递函数增益）
9
传递函数的表现形式
零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换之比。也可写成：Y(s)=G(s) X(s)。
通过拉氏反变换可求出时域表达式y(t)。
Tuesday, June 16, 2020
2
传递函数的基本概念
[总结]: 传递函数是由线性微分方程（线性系统）当初始值为零时进行拉氏变化得到
的。
已知传递函数G(s)和输入函数X(s)，可得出输出Y(s)。通过反变换可求出 时域表达式y(t)。
Gm (s)M k f (t), G f
c (s) Gu (s) (s) U f (s)
(s)
Gm kf
(s)
U g (s) Mc (s)
5
传递函数的基本概念||例2-8a8'
求下图系统的传递函数。
R
L
方法1：见例2-1
求L上C式uo的'' (拉t)氏变R换C，uo得' (：t) uo (t) ui (t)
Tuesday, June 16, 2020
4
传递函数的基本概念||例2-8
上式有两个输入量，而传递函数只能处理单输入-单输出系统。对于线性系统， 可以将多个输入分别独立处理，然后叠加起来。下面分别讨论两个输入单独作用时 的传递函数。
自动控制原理传递函数
自动控制原理传递函数自动控制原理中，传递函数是一个非常重要的概念。
传递函数可以描述控制系统的输入和输出之间的关系，通过传递函数，我们可以分析系统的动态特性，设计控制器，进行系统仿真和性能评估。
因此，了解和掌握传递函数的概念和应用是非常重要的。
首先，让我们来了解一下传递函数的定义。
传递函数是指控制系统的输出响应与输入信号之间的函数关系，通常用G(s)表示。
其中，s是复变量，表示系统的复频域变量。
传递函数可以是一个分式函数，也可以是一个多项式函数。
通过传递函数，我们可以方便地分析系统的频域特性和时域特性。
接下来，我们来看一下传递函数的应用。
在控制系统设计中，我们经常需要根据系统的要求设计控制器，使得系统的性能指标满足要求。
而传递函数可以帮助我们分析系统的稳定性、超调量、静态误差等性能指标，从而指导我们设计出合适的控制器。
此外，传递函数也可以用于系统的仿真和性能评估，通过对传递函数进行频域分析和时域分析，我们可以了解系统的动态特性，评估系统的性能，找出系统存在的问题并进行改进。
在实际工程中，我们经常会遇到各种各样的控制系统，比如电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等。
而这些控制系统的动态特性往往是非常复杂的，需要通过传递函数进行分析和设计。
因此，掌握传递函数的应用是非常重要的。
最后，让我们来总结一下传递函数的重要性。
传递函数是描述控制系统输入和输出之间关系的重要工具，通过传递函数，我们可以分析系统的动态特性，设计控制器，进行系统仿真和性能评估。
在实际工程中，掌握传递函数的应用是非常重要的，可以帮助我们设计出性能优良的控制系统。
综上所述，传递函数在自动控制原理中具有非常重要的地位和作用。
通过对传递函数的理解和应用，我们可以更好地理解和设计控制系统，提高系统的性能和稳定性。
希望本文能够帮助读者更好地理解传递函数的概念和应用，提高对自动控制原理的理解和应用能力。
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例1：单自由度机械位移系统（如插床、刨床）如图， 建立 ~ 间的微分方程关系式。
分析： 输入： 力 输出： m的位移
第二章 控制系统的传递函数
质量-弹簧-阻尼器系统
（1）对于 m，由牛顿定律
m的受力分析
，质点所受的合力与惯性力相等。有
（2）弹簧力
－弹簧系数
与位移成正比
第二章 控制系统的传递函数
阻尼器力
第二章 控制系统的传递函数
3、同一控制系统可以有不同的数学模型 同一控制系统具有各种物质运动形式（机械传动、电磁量运动、热
变形等），而不同的物质运动形式又分别受不同的物理规律约束，因而 建立的数学模型可能不同。 因此，建立数学模型时，一定要搞清输入 量、输出量。
四、数学模型的分类
1、微分方程 时间域 t
一方面，数学自身的理论是严密精确和较完善的，在工程问题 的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。事实上凡是与数 学关系密切的学科发展也是快的，因为它有严谨和完整的理论支持 ；另一方面，数学本身也只有给它提供实际应用的场合，它才具有 生命力。“1”本身是没有意义的，只有给它赋予了单位（物理单位 ） 才有意义。
－阻尼系数
与位移的变化量成正比
由上面两式有
整理得
注意： 习惯上将系统（元件）的输出及输出的各阶导数放在等式的
左边，输入及输入的各阶导数放在等式的右边； 由于系统总是存在着储能元件，一般地，等式左边的阶次高
于右边的阶次； 上式中左边输出的最高阶次为二，称该系统为二阶系统。
第二章 控制系统的传递函数
例 2：RLC 电路（L-R-C 无源四端网络）如图，建立输入输出间的微分方程关 系式。
析研究，称为模拟，这种方法称为功能模拟法。
说明：一般由于机械系统比较复杂，参数调整不方便，在很多情况下，采用电模拟的 方法，对系统分析，特别是在现在，电气、电子技术的发展，为电模拟提供了良好的 条件。在专用模拟机或通用模拟机上，采用数学模型相似的电网络代替要研究的系统 来进行计算和研究，方便，易行。
由基尔霍夫定律，回路的压降为 0，即输入电压由电感、电阻、电容上的电压 平衡。
Ur=UL+UR+UC 即 电流 与 的关系 有
第二章 控制系统的传递函数
注意：该系统也是一个二阶系统 与例 1 相比，它们具有相同的模型形式。当 与 在数值上具有一 定关系时，上述二个微分方程具有完全相同的形式。也就是说，在数学上 ～ ， ～ 具有相同的关系（静、动态关系），由此可见利用数学模型 研究控制系统的重要性、方便性。另外，用电气系统模拟机械系统进行实验 研究也是工程中的常用方法，就系统理论而言，可以撇开系统的具体属性进 行普遍意义的分析和研究。
第二章 控制系统的传递函数
本章重点：1 掌握控制系统建立数学模型的方法 2 应用拉普拉斯变换求解微分方程
2.0 概述 主要解决的问题：
1 什么是数学模型 2 为什么要建立系统的数学模型 3 对系统数学模型的基本要求
第二章 控制系统的传递函数
2.0 概述 一、数学模型的定义 1、 控制系统的数学模型是描述系统或环节内部、外部各物理量（或
建立系统数学模型的方法很多，主要有两类： 机理建模 （白箱-系统的各元件及参数已知，结构已知）； 实验建模（数据建模，系统辨识） （黑箱-结构全不知道或灰箱-知 道一部分）。
第二章 控制系统的传递函数
二、建立数学模型的依据
通过系统本身的物理特性来建立。
如力学三大定律、流体力学定律、电学定律、欧姆定律、克希霍夫定律等
单输入 单输出
2、传递函数 复数域 s=σ+iω - - -
3、频率特性 频率域 ω
---
4、状态方程 时间域 t
多输入 多输出 用一组微分方程描
述系统的状态特性
第二章 控制系统的传递函数
2．1 微分方程模型（时间域模型）
一、控制系统微分方程的分类
线性系统：可由线性微分方程描述的系统。线性微分方程是指微分方程 是定常和线性的。线性系统可应用叠加原理，将多输入及多输出的 系统转化为单输入和单输出的系统进行处理分析，最后进行叠加。 另外线性系统还有一个重要的性质，就是齐次性，即当输入量的数 值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出量的变化 规律只与系统三、数学模型的特点
1、实物→（抽象）数学表达式 2、不同的控制系统可以具有相同的数学模型
即可用同一个数学模型去描述不同的系统，如，单摆在平衡位置附近 的自由运动 电阻、电容、电感电路中电容的放电过程 都是衰减振荡 。
相似系统：控制系统中具有相同的数学模型的系统。
应用： 模拟：两相似系统，通过分析一个系统而达到对另外系统分
关系：静态模型是t时系统的动态模型。
控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法 可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。
第二章 控制系统的传递函数
2、为什么要建立控制系统的数学模型 控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的
认识上升到定量的精确认识的关键！（这一点非常重要，数学的意 义就在于此）
变量）之间动、静态关系的数学表达式或图形表达式或数字表达 式。亦：描述系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）。 控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态模型 动态模型 静态模型：在稳态时（系统达到平衡状态）描述系统各变量间关系 的数学模型。 动态模型：在动态过程中描述系统各变量间关系的数学模型。
第二章 控制系统的传递函数
二、微分方程模型的建立 根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本步骤： （1）确定系统中各元件的输入、输出物理量； （2）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条 件允许的情况下忽略次要因素，适当简化； （3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系； （4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。