自动控制理论_08一、二阶系统的与计算.详解
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自动控制理论二阶系统
m
R(s) = 1 s
K ∏(s + z j )
实极点,共轭复极点
Y(s) =
j =1
q
r
n = q + 2r
∏ ∏ s
(s + pi )
(s2
+
2ζ
kωnk s
+
ω
2 nk
)
i =1
k =1
A0
=
Kz1z2 " zm p1 p2 " pn
∑ ∑ Y (s) = A0 + q
Ai
r
+
Bk (s + ζ kωnk ) + Ckωnk
0.50y(∞)
td
0.10 y(∞)
0 tr
tp
e −ζωnts
1−ζ 2
sin(ωd ts
+
β)
=
∆
t
1
e −ζωnts = ∆
1−ζ 2
ts
ts
=
− ln(∆ 1 − ζ ζω n
2)
ts
≈
3
ζω n
ts
≈
4
ζω n
∆ = 0.05 ∆ = 0.02
18
3.3 二阶系统的时域分析(14/14)
2
−
s
2] +1
=
1+
e−2t
−
2e−t
3.3 二阶系统的时域分析(3/14)
二阶系统的单位阶跃响应
R(s)
E(s)
ω
2 n
Y (s)
R(s)
ω
2 n
Y (s)
s(s + 2ζωn )
自动控制原理_卢京潮_二阶系统的时间响应及动态性能
自动控制原理_卢京潮_二阶系统的时间响应及动态性能3.3 二阶系统的时间响应及动态性能3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图3-,所示其中，为环节参数。
系统闭环传递函数为 KT K ,s, ()2Ts，s，K1化成标准形式2,n (首1型) (3-5) ,(s),22s，2,,s，,nn1,(s), (尾1型) (3-6) 22Ts，2T,s，111T1K1式中，，，。
,,,,,,Tn2KTTTK11、分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。
二阶系统的首,,n1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。
二阶系统闭环特征方程为22 D(s),s，2,,s，,,0nn其特征特征根为2,,,,,,,,,1 nn1,2若系统阻尼比取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见,表3-3。
表3-3 二阶系统(按阻尼比)分类表 ,分类特征根特征根分布模态,t1e ,,12,,,,,,,,,1 nn 1,2,t2e过阻尼,,tn ,,1e,,,, 1,2n,,tnte临界阻尼,,t,2n,,esin1,t0,,,1 n2,,,,,,j,1,, nn1,2t,,,2necos1,,,t欠阻尼 n57,sint ,,0n ,,,j, 1,2ncos,tn零阻尼数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。
通解由微分方程的特征根决定，,t,t,tn12代表自由响应运动。
如果微分方程的特征根是，，且无重根，则把函数，，eee,,,？,？,12n称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。
,t2,t,如果特征根中有多重根，则模态是具有，形式的函数。
tete,？(,，j,)t(,,j,)t如果特征根中有共轭复根，则其共轭复模态与可写成实函数模态ee,,,,j,,t,t与。
esin,tecos,t每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。
自动控制理论时域分析2-二阶系统
案例二：二阶系统稳定性分析与改善
稳定性分析方法
介绍时域分析法中的劳斯判据、赫尔维茨判据等方法，用于判断二 阶系统的稳定性。
改善稳定性措施
探讨通过改变系统参数、引入附加环节等措施来改善二阶系统的稳 定性。
仿真验证
利用MATLAB/Simulink等仿真工具对改善前后的二阶系统进行建模 和仿真，验证改善措施的有效性。
CHAPTER
二阶线性常微分方程
二阶线性常微分方程的一般形式： $Tfrac{d^2y}{dt^2} + frac{dy}{dt} + Ky = F(t)$
方程的解由输入信号 $F(t)$ 和系统初 始条件共同决定
其中，$T$ 为时间常数，$K$ 为放大 系数，$F(t)$ 为输入信号
二阶系统的传递函数
二阶系统稳定性的判定方法
二阶系统的稳定性可以通 过判断其阻尼比和自然频 率来确定。
当阻尼比大于1时，系统是 过阻尼的，输出会缓慢地趋 近于零，系统是稳定的。
当阻尼比等于1时，系统是临 界阻尼的，输出会以最快的速 度趋近于零，系统也是稳定的 。
当阻尼比等于0时，系统是无 阻尼的，输出会呈现等幅振荡 的形式，系统是不稳定的。
谢谢
THANKS
二阶系统的基本概念
01
二阶系统是指具有两个独立状态变量的线性定常系统，其数学 模型可用二阶常微分方程描述。
02
二阶系统具有广泛的代表性，许多实际系统可简化为二阶系统
进行分析。
二阶系统的性能指标包括阻尼比、自然频率、峰值时间、超调
03
量等，这些指标对于评价系统性能具有重要意义。
02 二阶系统的数学模型
当阻尼比小于1时，系统是欠 阻尼的，输出会呈现振荡衰减 的趋势，系统仍然是稳定的。
自控原理 二阶系统
自控原理二阶系统自控原理是控制工程的基础知识之一，其中的二阶系统更是控制工程中的重要组成部分。
二阶系统通常由两个一阶系统级联或串联而成，具有比一阶系统更高的动态性能和控制精度。
在现实生活中，我们常常可以遇到二阶系统的例子。
比如，我们乘坐的汽车通常都是由发动机和传动系统来控制车辆的速度和行驶方向，这就是一个典型的二阶系统。
在这个系统中，发动机和传动系统分别起到加速和减速的作用，通过调节二者之间的协调关系来实现对汽车行驶状态的控制。
二阶系统的特点之一是具有振荡性。
在控制工程中，我们常常会遇到振荡现象，就好比一个摆动的钟摆。
这种振荡现象往往会对系统的稳定性产生负面影响，因此在设计二阶系统时需要注意对振荡进行控制。
控制二阶系统的一种常用方法是PID控制器，即比例-积分-微分控制器。
PID控制器通过对系统进行反馈调节，根据系统输出与期望输出之间的差异进行比例、积分和微分运算，从而实现对系统的精确调节和控制。
除了PID控制器，还有许多其他的控制方法可以应用于二阶系统。
例如，模糊控制和神经网络控制等，这些方法能够通过建立适当的数学模型来实现对二阶系统的控制。
在实际应用中，二阶系统广泛应用于各个领域，如航空航天、工业自动化、医疗仪器等等。
在飞行器中，二阶系统可以用来控制飞机的姿态和高度；在工业领域中，二阶系统可以用于控制机器人的运动和精确定位；在医疗仪器中，二阶系统可以用来控制心脏起搏器的工作频率和波形等。
总之，二阶系统作为自控原理中的重要组成部分，具备振荡性和动态性能较高的特点。
通过合理设计和选择控制方法，我们可以对二阶系统进行精确的调节和控制，从而实现对系统的稳定性和性能的优化。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择适当的控制方法，以满足系统的要求，提高生产效率和工作质量。
自动控制原理第三章二阶系统
1. ζ >1 过阻尼
1 T
e-t/T
c(t)=1-e-t/T
r(t)=t
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应，等 于该输入信号输出响应的导数；根据一种 典型信号的响应，就可推知于其它。
自动控制原理第三章二阶系统
第二节 一阶系统性能分析
设例ФKk(若=s一 调 t)=s1要=阶 节000CR求系 时.1((ss:sK统 间))，=H的t=求1s+0结（反t1.11s0构0±=馈000•如/5K.系S1%HR图/s(数Ss）)，。；=试(_E如0(求.则s0果)11系://K要KKS统HkH求)的S+C1(s) 解Ф：(系s)统=t s=闭CR3((T环ss=))传=3×1递+K01H1函.000=010数0•/./0K3S.1H/=SK0k .=K1HT0.s=11S00K+.0H11/KH
有性任何着 能=二对 指S2阶应 标+GR系(的 与sS1)/=统/L关 其L+CUU的1系 参rc(/(ssL动))C数。=态L间求C=性S的出2能S+2关标R+1指C2系准Sζω标+ω形，1n。2n 式S便+ω的可n动求2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
态 得
2ζ ω n=R/L
得：
ω
2 n
=
1/LC
ω n=1/ LC
ζ=
RC 2L
一阶系统ts =单3位T 阶跃响应:
(±R5%(s))=
1 S
C(s)= tФs =(s4)•TS1
=
1 TS+1
•
1S(=±1S2%- S)+11/T
自动控制原理-第三章 二阶线性系统的时域分析
电动机的力矩平衡方程为：
: 电动机的轴的角位移。
Jd2f
d2t
ddtMCmia
（3-12）
(J2 SfS )(s)M (s)
J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
c
1 i
c
(s)
1(s)
i
（3-13）
θr(s)
第7讲
二阶系统的时域分析 二阶系统性能指标
上讲回顾
稳准快
动态性能指标
延时时间、上升时间、 峰值时间、调节时间和 最大超调量
一阶系统时域分析
阶跃响应、冲击响应、 斜坡响应、加速度响应
控制系统的分析方法
分析控制系统
第一步 建立模型 第二步 分析控制性能，
分析方法包括
时域分析法 频域分析法 根轨迹法
在控制工程中，除了那些不 容许产生振荡响应的系统外， 通常都希望控制系统具有适 度的阻尼、快速的响应速度 和较短的调节时间。
二阶系统一般取 0.4~0.8, 0.7
其它的动态性能指标，有的可用
和n 精确表示，如 tr,tp,%
,有的很难用 和n 准确表示，如
t d , t s ,可采用近似算法。
td
t 0 tr
tp
ts
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,M p和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
延迟时间 t d ：
（Delay Time） 响应曲线第一次 达到稳态值的一 半所需的时间。
上升时间 t r :
（Rise Time）响 应曲线从稳态值 的10%上升到 90%，所需的时 间。上升时间越 短，响应速度越
一阶系统与二阶系统
积分
积分
单位脉冲
单位阶跃
函数响应
函数响应
微分
微分
单位斜坡 函数响应
积分
单位抛物线 函数响应
微分
3.1.2 瞬态响应和稳态响应
在典型输入信号的作用下，任何一个控制系统的时间响应 都由瞬态响应和稳态响应两部分组成 。
1．瞬态响应：又称为瞬态过程或过渡过程。是指系统在典 型输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到最终状态 的响应过程。 由于实际的控制系统存在惯性、阻尼及其它一些因素， 系统的输出量不可能完全复现输入量的变化，瞬态过程曲线 形态可表现为衰减振荡、等幅振荡和发散等形式。 瞬态过程包含了输出响应的各种运动特性，这些特性称 为系统的瞬态性能。 一个可以实际运行的控制系统，瞬态过程必须是衰减的。 即系统必须是稳定的。
误差的大小与系统的时间常数T也有关，T越大，位置误差
越大，跟踪精度越低。反之，位置误差越小，跟踪精度越
高。
系统的输入量和输出量之间的位置误差为：
t
e(t)r(t)y(t)T(1eT)
系统的稳态位置误差为 ：t
lim e(t)lim T(1eT)T
t
t
单位斜坡响应曲线的斜率为：
t
y(t) 1e T
0
td tr tp
y(t) y()
y % 2或5
t ts
0
ts
y() % ( 2或5)
t
3.1.3 瞬态过程的性能指标（衰减振荡）
（一）衰减振荡： 具有衰减振荡的瞬态过程 如图所示：
⒈ 延迟时间 td：
y
y()
输出响应第一次达到稳
t
态值的50%所需的时间。
t 0 r
自动控制原理线性系统的时域分析法二阶系统详解演示文稿
(3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
②峰值时间 ——响应曲线到达第一个峰值所需的时间。
③调带整时时所间需要tt的—sp 最—短响时应间达。到并保持在终值的±5%（或± 2%）误差
④延滞时间 ——响应曲线到达稳态值50%所需的时间。
2 n
(s
1 )(s
T1
1 T2
)
第26页，共77页。
式中
T1
n (
1
2
1)
T2
n (
1
2
1)
这里 T1 T2
，
2 n
1 T1T2
1
于是闭环传函为：
C(s)
T1T2
1
R(s) (s 1 )(s 1 ) (T1s 1)(T2s 1)
T1 T2
因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串 联，其单位阶跃响应为
阶跃响应函数为：C(s)
1 s
s2
n2 2ns
n2
1 s
s
1 n
(s
n n )2
c(t) 1 ent (1 nt)
h(t) 1
0
t
第25页，共77页。
➢当 1 时，极点为：s1,2 n n 2 1
即特征方程为
s2
2
n
s
2 n
[s n (
2 1)][s n (
2 1)]
C(s)
规律适用于一般的线性定常系统。
第15页，共77页。
r(t) R(s) C(s)= (s§) R(3s) .2.3 一c(t)阶系统的一阶典系统型典型响响应应
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
②峰值时间 ——响应曲线到达第一个峰值所需的时间。
③调带整时时所间需要tt的—sp 最—短响时应间达。到并保持在终值的±5%（或± 2%）误差
④延滞时间 ——响应曲线到达稳态值50%所需的时间。
2 n
(s
1 )(s
T1
1 T2
)
第26页，共77页。
式中
T1
n (
1
2
1)
T2
n (
1
2
1)
这里 T1 T2
，
2 n
1 T1T2
1
于是闭环传函为：
C(s)
T1T2
1
R(s) (s 1 )(s 1 ) (T1s 1)(T2s 1)
T1 T2
因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串 联，其单位阶跃响应为
阶跃响应函数为：C(s)
1 s
s2
n2 2ns
n2
1 s
s
1 n
(s
n n )2
c(t) 1 ent (1 nt)
h(t) 1
0
t
第25页，共77页。
➢当 1 时，极点为：s1,2 n n 2 1
即特征方程为
s2
2
n
s
2 n
[s n (
2 1)][s n (
2 1)]
C(s)
规律适用于一般的线性定常系统。
第15页，共77页。
r(t) R(s) C(s)= (s§) R(3s) .2.3 一c(t)阶系统的一阶典系统型典型响响应应
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n t
(cosd t +
1 2
sin d t ) +
[d e
n t
( sin d t +
1 2
cosd t )]
h(t ) = ne n t cosd t +
2 n
1 2
e n t sin d t
+ n 1 2 e n t sin d t
d tr + = n (n = 0,1,2,)
由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需 时间，所以应取n=1。
所以：
tr = d
②峰值时间 t p ：
h(t ) = 1
h(t ) = 1 e
e nt 1
2
sin( d t + )
(1)
nt
1
振荡角频率为： d = n 1 2
结论：ξ越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向 nt 1 越弱，超调越小，平稳性越好。反之， ξ 越小， ωd 越大， h(t ) = 1 e sin(d t + ) 2 1 振荡越严重，平稳性越差。
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 当 ξ ＝ 0 时，为零阻尼响应，具有频率为 ω 的不衰减 n 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的 （等幅）振荡。 单位阶跃响应稳态误差为零。
演示
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
①上升时间 t r ：令 h(tr ) = 1 ，则
1
1 1
e
2
e
nt
sin(d t + ) = 1
n t r 2
1
sin(d t r + ) = 0
1 1 2
0, e
n t r
0,
s1,2 = n s jn 1
此时s1,s2 为一对共 轭复根， 且位于复 平面的左 半部。
2
⑤特征根分析— = 1（临界阻尼）
s1,2 = n n 1 = n
2
此时s1,s2为 一对相等的 负实根。
s1=s2=-n
⑥特征根分析— 1（过阻尼）
3.准确性 ess：
ess = 1 c() = 0
例1 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时 间减小到原来的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确 定参数 Ko 和 KH 的取值。
10K 0 K 0G ( S ) 10K 0 0 . 2 s + 1 ( s ) = = = 10K H 1 + K H G( s) 0.2s + 1 + 10K H 1+ 0.2s + 1 0.2 = T * = 0.02 K H = 0 .9 1 + 10K H 10K 0 K 0 = 10 = K * = 10 1 + 10K H
10K 0 1 + 10K H = 0 .2 s +1 1 + 10K H
（2）一阶系统的单位脉冲响应 理想单位脉冲函数 r (t ) = (t ) ，则有 R(s) = 1 对于一阶系统
C ( s) 1 ( s ) = = R( s) Ts + 1
输出信号的拉氏变换式可以写成:
t 1 1 1 1 C ( s) = ( s) R( s) = c(t ) = L [ ]= e T Ts + 1 Ts + 1 T
T1 =
1
1 t T1
1 + e , (t 0) T1 / T2 一阶系统响应 1
T2 = 1
1 t T2
1
2
n ( 1)
n ( + 2 1)
二阶过阻尼系统 • 衰减项幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值 大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴 近，衰减速度慢； t 0 • 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振 荡和超调，但又不同于一阶系统； • 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响 大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的 影响小，有时甚至可以忽略不计。
或 = arccos
h(t ) = 1
1 1 2
e
nt
sin(d t + )
h(t )响应特征: h() = 1，h(0) = 0
C(t)
1+ 1 1 2
1+ e n t 1 2
包络线收敛速度 e nt arccos 振荡滞后角 2 1
Δ =5
c(t ) = A0 + Ae + A2e 1
s1t s2t
式中 A0 , A 1, A 2为由r(t)和初始条件确定的待定系数
①特征根分析— 1 （负阻尼） 0
s1,2 = n jn 1
此时s1,s2为 一对实部为 正的共轭复 根，位于复 平面的右半 部。
2
②特征根分析— 1（负阻尼）
t c() = 1
t T
dc(t ) dt
t =0
1 = e T
t =0
1 = T
可知一阶系统的时间常数
性能指标
1. 平稳性： 非周期、无振荡， ＝0 2. 快速性ts：
t = 3T时，c(t ) = 0.95 [对应5%误差带 ] t = 4T时，c(t ) = 0.98 [对应2%误差带 ]
2
, T1 =
1
n ( + 2 1)
C(s) 1 = R(s) (T1s + 1)(T2 s + 1)
1 e 拉氏反变换： h(t ) = 1 + T2 / T1 1
1 t T1
1 + e T1 / T2 1
1 t T2
, (t 0)
1 h(t ) = 1 + e T2 / T1 c(t) 1
t
常数，跟踪误差等于常数T。
二、二阶系统的数学模型
R( s )
二阶系统的微分方程一般式为：
2
n2 s( s + 2 n )
C ( s)
d c(t ) dc(t ) 2 2 + 2 + c ( t ) = n n n r (t ) (n 0) 2 dt dt
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
= n为根的实部的模值；
d = n 1 为阻尼振荡角频率
2
2 n 1 c( s ) = 2 2 s + 2n s + n s
L[e
at
s+a cost ] = ( s + a) 2 + 2
s + n n 1 = 2 2 2 s ( s + n ) + d ( s + n )2 + d
c(t ) = css + ctt = (t T ) + Te
T
T越小，反应越快，则跟踪误差越小，输出信号滞后输入信号的时 t t 间也越短。 e(t ) = r (t ) c(t ) = t (t T ) Te T = T (1 e T ) 当t
时，
e() = lim e(t ) = T =
拉氏反变换得： c(t ) = 1 e
= 1
nt
[cos d t +
e
nt
1 2
(sin d t )]
1 1 2
2
nt
( 1 2 cosd t + sin d t )
= 1
1 1
e
sin(d t + )
= arctg
1 2
s1,2 = n n 1
2
此时s1,s2 为两个负 实根，且 位于复平 面的负实 轴上。
三、二阶系统的单位阶跃响应
1、过阻尼
2
( 1) 二阶系统的单位阶跃响应
2
1 1 s + 2n + n = ( s + )(s + ) = 0 T1 T2
T1 = 1
板书
n ( 1)
a L[ ate ] = 2 (s + a)
-at
h(t)= 1 e
nt
(1 + nt )
3.欠阻尼 (0 1) 二阶系统的单位阶跃响应
2 n C ( s) = 2 2 R(s) s + 2n s + n
s1,2 = n jn 1 2
= jd
s1,2 = n n 1
2
此时s1,s2 为两个正 实根，且 位于复平 面的正实 轴上。
③特征根分析— = 0（零阻尼）
s1,2 = n n 1 = jn
2
此时s1,s2为 一对纯虚根， 位于虚轴上。 S1,2= jn
④特征根分析— 0 1 （欠阻尼）
1 t T
t =0
c(0) = 1 e 0 = 0
c(T ) = 1 e 1 = 0.632
t =T
t = 2T
c(2T ) = 1 e 2 = 0.865
3 c ( 3 T ) = 1 e = 0.95 t = 3T
t = 4T c(4T ) = 1 e 4 = 0.982
二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析
1.误差ess = lim[r ( t ) c( t )] = 0
t
2.响应没有振荡 ％ = 0
3.调节时间ts
2.临界阻尼
( = 1) 二阶系统的单位阶跃响应