3.3二阶系统

解得 t 1/ n 。 整个暂态过程中，临界阻尼系统阶跃响应都是单调 增长的没有超调。如以达到稳态值的 95% 所经历的时 间做为调整时间，则
t s 4.7 1
n

临界阻尼二阶系统多在记录仪表中使用。
3. 欠阻尼(0<ζ<1)
此时，系统具有一对共轭复数极点，则
2 n C ( s) 2 s ( s 2 2n s n )
注意：
• 控制工程中，二阶系统的典型应用极为普
遍； • 为数众多的高阶系统在一定条件下可近似 为二阶系统。
二、二阶系统的特征根（极点）分布

求解二阶系统特征方程，
2 s2 2n s n 0
可得两个特征根（极点）
s1 , s2 n n 1
2
( 1) ( <1)
2 2
e
( 2 1)n t
1 2 1( 1)
2 2
e
( 2 1)n t
(t 0)
稳态分量：1 暂态分量：两个指数函数之和， 指数部分由系统传递函数极点确定。
讨论：

过阻尼系统是两个惯性环节的串联。 有关分析表明，当 1时，两极点s1和s2与虚轴的 距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性 环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该
1 c() lim sG( s) R( s) lim s 1; s 0 s 0 ( s s1 )( s s2 ) s
2
e( ) 0
过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）
ts (3 ~ 4)
1 ( 2 1)n
单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。
2 A2 C ( s )( s ) n s n n

单位阶跃响应为
c(t ) 1 ent (1 n t )
临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值
e(t ) r (t ) c(t ) ent (1 n t )
单位阶跃响应的变化率为：
s n n 1 2 2 2 2 2 2 s ( s n ) (1 )n ( s n ) (1 )n
s n n d 1 2 2 2 s ( s n ) d d ( s n ) 2 d
n jn 1 2
j
j
[s]
2
j
[s]
s1
j n 1
n 0

2
s1 s 2
n
0

s2
j n 1
(a) 0 1
j
(b) 1
[s]
j
[s]
s1
s1
s2
n
0

s2
0

(c) 1
(d) 0
t 0 t 0
所以，整个暂态过程中， 阶跃响应都是单调增长的 .
2. 临界阻尼(ζ＝1)
此时，系统具有二重负实极点，则
2 n A0 A1 A2 C ( s) 2 s ( s n ) s s n ( s n ) 2
A0 1
d 2 A1 C ( s )( s ) 1 n ds s n
tp d 1 2 n
(6)最大超调量的计算：
p
c(t p ) c() c ( )
n t p
100%

1 2
2
e
e
(cos d t p
sin d t p ) 100%
n t p
(cos

1
sin ) 100%
1 1 1 1
2 2
) )
n
ts
3
n
( 5%)
ts
4
n
( 2%)
设计二阶系统时，常取 0.707 为最佳阻尼比。
(8)．振荡次数

振荡次数是指在调节时间内， xc (t ) 振荡的次 数。根据这一定义，可得振荡次数为
ts tf
tf 式中， d n 1 2 的周期时间。 2 2
R( s)
+ -
K s( s 1)
1 K As
C (s)
得
4. 无阻尼（ζ＝0）
无阻尼情况下系统的阶跃响应是等幅正（余）弦
振荡曲线，振荡角频率是 n
c(t ) 1 cos nt
2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 c(t) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
=0
3.3 二阶系统的时域分析
一、 二阶系统数学模型及其标准形式
R( s) ＋
－
K1 s 1
K2 s
C (s)
RLC电路、电动机转速控制系统
R( s)
2 n 2 s 2 2n s n
C (s)
K1 K 2 C ( s) G( s) 2 R( s ) s s K1 K 2
tan d tr

1
2
sin d t r 0
tan( )
1 2

arctan( 1 2 ) tr 2 d n 1 n 1 2
(5)峰值时间tp的计算：
出现峰值时，阶跃响应随时间的变化率为0，即
(1). 欠阻尼
0 1
s1 , s2 n jn 1 2 是一对共轭复数根。 (2). 临界阻尼 1
s1 , s2 n
(3). 过阻尼 1
是两个相同的负实根。
s1 , s2 n n 2 1 是两个不同的负实根。
(4). 无阻尼 0
欠阻尼系统单位阶跃响应为
c(t ) 1 e nt cos d t
n t e sin d t d
n
1 e nt (cos d t

1
2
sin d t )
(t 0)
或Baidu Nhomakorabea为
c(t ) 1 e nt 1
2
( 1
e
nt p
100%
1 2
p e

100%
p
越小， p 越大（只与ζ有关）

(7)调整时间ts的计算：
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于一对曲线
y (t ) 1 e nt 1
2
以内，这对曲线称为响应曲线 的包络线。
可以采用包络线代替实际响应曲线估算调整时间，所 得结果一般略偏大。
2
d

2
n 1
2
2t p
1
n
(3 ln
)
ts ts N Td 2t p
设计二阶系统时，可先由超调量确定阻尼比，再 由其他指标（如调整时间）和已确定的阻尼比给 出自然振荡角频率。
• 例3-2：设一个带速度反馈的伺服系统，其结 构图如图所示。要求系统的性能指标为 σp=20%, tp=1s. 试确定系统的 K 和 KA 值，并计 算性能指标tr、ts和N.
d n 1 2
(2)振荡周期为
Td 2
d

2
n 1 2
(3)ζ 越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越 低）。
(4)上升时间tr的计算：
c(tr ) 1 e
n tr
(cos d tr

1
2
sin d tr ) 1
或
即 所以
cos d tr
dc(t ) / dt 0
则
故
n e
nt p
sin(d t p ) d e
tan(d t p )
nt p
cos(d t p ) 0
2
1

tan
到达第一个峰值时应有
d t p 0, , 2 ,3
d t p
若允许误差带是±Δ（如±2％），可以认为调整时间 就是包络线衰减到± Δ区域所需的时间，则有
e n ts 1
2

解得
ts
1
n
1
(ln
1 1 ln ) 2 1
当Δ＝5％时，
当Δ＝2％时， 当 0 0.8时，
ts ts
n
1
(3 ln (4 ln
dc(t ) 0 dt t 0 dc(t ) 0 dt t 0
e( ) 0
dc(t ) 2 n t n te dt
dc(t ) 0 dt t
表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。

单位阶跃响应变化率最大的时刻：
d 2 h(t ) dt 2
dh ( t ) max dt 2 n t n e (1 n t ) 0
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.1 0.2 0.3
1.0
2.0
0
1
2
3
4
5
6 nt
7
8
9
10 11 12
不同ζ下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图
几点结论:
1）二阶系统的阻尼比ζ决定了其振荡特性：



ζ< 0 时，阶跃响应发散， 系统不稳定（负阻尼） ζ= 0时，出现等幅振荡 0<ζ<1 时 ， 有 振 荡 ， ζ 愈 小，振荡愈严重，但响 应愈快 ζ≥1 时，无振荡、无超调， 过渡过程长
• 典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分 环节串联的单位负反馈系统。
• 令
K1 K 2 1


2 n

2n
则二阶系统传递函数的标准形式为
2 n C (s) G( s) 2 2 R( s ) s 2n s n
其中ζ称为阻尼比，τ为时间常数，ωn为系统的自然 振荡角频率（无阻尼自振角频率）。
惯性环节来近似原来的二阶系统。即有
n n 2 1 s1 C ( s) R( s ) s n n 2 1 s s1
• 近似原则：用其中一个惯性环节近似原二
阶系统，需要保证近似前后初值和终值相 等，并且要用到待定系数法！

过阻尼系统稳态值和最终误差

过阻尼系统单位阶跃响应的变化率
( 2 1)n dc(t ) e ( dt 2 2 1( 2 1)
2 1)n t
2 1)n e ( 2 2 1( 2 1)
(
2 1)n t
dc(t ) 0 dt 0
2
cos d t sin d t )
1
e nt 1
2
sin(d t )
(t 0)
arctan( 1 2 )
d n 1 2
讨论: (1)欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的 正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值 ζωn 的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即 有阻尼自振角频率ωd，
为阻尼振荡
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式
arctan( 1 2 ) tr 2 d n 1 n 1 2
tp d n 1 2
p e
ts


1 2
100%
1 1
2
Td
1.
过阻尼(ζ>1)
n n 2 1
这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则
2 2 n n C (s) 2 2 s ( s 2n s n ) s ( s s1 )( s s2 )
A0 A1 A2 s s s1 s s2
A0 C (s)s s 0 1
A1 C ( s )( s s1 ) s s
1
1 2
2
1(
2
1)
A2 C ( s )( s s2 ) s s
2
1 2 2 1( 2 1)

拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：
c(t ) 1 1 2 1( 1)
s1 , s2 jn 是一对共轭纯虚数根。
三、二阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
r (t ) 1(t )
1 R( s) s
于是
2 n 1 C ( s) 2 2 s 2n s n s
由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为
c(t ) L1[C ( s)] 下面按阻尼比分别讨论。