大学自动控制原理_3.3二阶系统时间响应
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自动控制原理 二阶系统的响应
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1
3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环 节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
− R(S )
ω
2 n
S 2 + 2ζ ω nS
C (S )
G(S) = C(S) =
ωn2
R(S ) S 2 + 2ζωnS + ωn2
2
ζ--阻尼系数
ωn--无阻尼自然振荡频率
19
即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。
3、超调量σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
− ζπ
σ% = ⎡⎣c(tp) −1⎤⎦×100% = e 1−ζ2 ×100% 20
系统超调量仅与ζ 有关，ζ 越小，超调
量越大。超调量的数值直接说明了系 统的相对稳定性。
21
4、调整时间 ts
=
1 ，故
S
9
C(S)
=
1 S
⋅
(S
ωn2 + ωn )2
= 1 − ωn − ωn S (S + ωn )2 S + ωn
∴
c(t)
=1
jω
−
e−ωnt
(1 +
c(t)
ωnt)
t
≥
0
S1,2 = −ω××n σ
1
0
t
10
系统响应是单调上升，无超调、无振荡的 过渡过程。
3、过阻尼情况 (ζ > 1)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
27
∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )
1
3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环 节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
− R(S )
ω
2 n
S 2 + 2ζ ω nS
C (S )
G(S) = C(S) =
ωn2
R(S ) S 2 + 2ζωnS + ωn2
2
ζ--阻尼系数
ωn--无阻尼自然振荡频率
19
即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。
3、超调量σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
− ζπ
σ% = ⎡⎣c(tp) −1⎤⎦×100% = e 1−ζ2 ×100% 20
系统超调量仅与ζ 有关，ζ 越小，超调
量越大。超调量的数值直接说明了系 统的相对稳定性。
21
4、调整时间 ts
=
1 ，故
S
9
C(S)
=
1 S
⋅
(S
ωn2 + ωn )2
= 1 − ωn − ωn S (S + ωn )2 S + ωn
∴
c(t)
=1
jω
−
e−ωnt
(1 +
c(t)
ωnt)
t
≥
0
S1,2 = −ω××n σ
1
0
t
10
系统响应是单调上升，无超调、无振荡的 过渡过程。
3、过阻尼情况 (ζ > 1)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
27
∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )
3.3 二阶系统的时间响应
由传递函数
1 s
2 X o s n Gs 2 2 X i S s 2n s n
得
2 2 n n 1 X o s Gs X i S 2 2 2 2 s 2n s n s ss 2n s n
下面根据阻尼比的不同取值情况来分析二阶系统的单位阶跃响应。
2 n n 1 1 X o s 2 s s n 2 s n ss n
对其进行拉氏反变换得二阶系统在临界阻尼系统状态下的单位阶跃响应为
t 0 xo t 1 e nt 1 nt ，
其响应曲线如图所示，既无超调，也无振荡。
2s 1 ，试求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。 s 2 2s 1
当输入信号是单位阶跃信号时，x1i t 1t ，X 1i s 1 ，则系统在单位阶跃信号作用
下的输出拉氏变换为
s
X 1o s G s X 1i s
故系统的单位阶跃响应为
2s 1 1 1 1 s s 2 2s 1 s s 12 s 1
2
式中
d n 1 2
称为阻尼自然频率。
当ζ=1时，二阶系统称为临界阻尼系统，其特征方程的根是两个相等的负实根，即
s1, 2 n
3.3.1 二阶系统的数学模型（3）
当ζ＞1时，二阶系统称为过阻尼系统，其特征方程的根是两个不相等的负实根，即
s1, 2 n n 2 1
当输入信号是单位阶跃信号时则系统在单位阶跃信号作用下的输出拉氏变换为故系统的单位阶跃响应为当输入信号为单位脉冲信号时根据线性定常系统的性质可得系统的单位脉冲响应tedt
3.3 二阶系统的时间响应
自动控制原理(时间响应分析)课件
高阶系统的数学模型
总结词
高阶系统的数学模型通常采用状态空间表示 法，包括状态方程和输出方程。
详细描述
高阶系统的数学模型是描述系统动态行为的 重要工具。通常采用状态空间表示法，包括 状态方程和输出方程。状态方程描述了系统 内部状态变量随时间的变化规律，而输出方 程则描述了系统输出与内部状态变量之间的 关系。通过建立高阶系统的数学模型，可以
03
数学模型
04
高阶系统的数学模型通常表示为 (G(s) = frac{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + ldots + a_1 s + a_0}{s^n + b_{n-1} s^{n-1} + ldots + b_1 s + b_0})。
实例
高阶系统的实例包括多级控制系 统、复杂机械系统等。
详细描述
性能指标用于评估二阶系统的动态行为和响应特性。常见的性能指标包括超调量、调节时间和稳态误差等。这些 指标可以通过系统的传递函数或状态空间方程进行计算和分析。
二阶系统的稳定性分析
总结词
二阶系统的稳定性可以通过析系统的 极点和零点来判断。
VS
详细描述
稳定性是评估系统能否正常工作的关键因 素。通过分析二阶系统的极点和零点，可 以判断系统的稳定性。如果所有的极点都 位于复平面的左半部分，则系统是稳定的 。否则，系统是不稳定的。
对系统进行各种分析和设计。
高阶系统的性能指标
总结词
高阶系统的性能指标主要包括稳定性、快速性和准确性 。
详细描述
高阶系统的性能指标是评估系统性能的重要依据。稳定 性是指系统在受到扰动后能够回到原始平衡状态的能力 。快速性是指系统对输入信号的响应速度，即系统达到 稳态值所需的时间。准确性则是指系统输出与理想输出 之间的误差，即系统的跟踪精度。这些性能指标在高阶 系统的分析和设计中具有重要意义。
自动控制原理课后答案第3章
第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。
微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。
对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。
本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。
根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。
这里先引入时域分析法的基本概念。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。
由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。
当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。
下面先介绍常用的典型输入信号。
3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。
为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
自动控制原理-二阶系统的响应
荡。
0
Re
t × − jωn
c.∵e(t) = r(t) −c(t) =
1
1−ζ
2
e−ζωnt
sin(ωdt
+
β)
8
∴ess = e(∞) = 0
即系统带有一个积分环节，对单位阶跃输 入，稳态误差为零。
2、临界阻尼情况 (ζ = 1)
此时
G(S)
=
C(S) R(S)
=
(S
ωn2 + ωn )2
而
R(S)
即它们是 c(t)的包络线： 1 − ζ 2
23
包络线的时间常数为：
T= 1
ζωn
可用包络线代替响应曲线，求出近似调
整时间，即
ts
(5%
)
=
3
ζω
n
(0 < ζ < 0.9)
ts
(2%)=
4
ζωn
(0 < ζ < 0.9)
24
调整时间与闭环极点与虚轴的距离成反比， 极点离虚轴越远，调整时间越短。
b.若 ζ >> 1, S1 << S2 , 此时系统可用
一阶系统来近似，即
C(S) = S1 R(S) S + S1
ts
=
3 S1
(5%)
12
4、负阻尼情况 (ζ < 0)
此时，系统响应表达式的各指数项均为 正指数，其阶跃响应是发散的：
h(t)
h(t)
0
t
0
t
5、二阶系统在各种阻尼比下的h(t)
13
讨论：
a.阻尼比 ζ 是二阶系统最重要的特征参数， 只要知道 ζ 的大小，而不必求解方程，就
自动控制原理3.3~3.4 二阶系统时域分析
闭环特征方程： D( s ) s 2 2 s 2 0 n n 闭环特征根： s1, 2 n n
2
1
二、二阶系统单位阶跃响应
单位阶跃输入r(t)=1(t)时，其二阶系统的输出的拉氏变换为
2 2 n n 1 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 s 2 n s n s s( s s1 )(s s2 )
e
(ζ ζ 2 1 ) n t
ζ 2 1 ) n t
c(t ) 1
1
2 ζ 2 1 (ζ ζ 2 1) 1 (ζ e 2 ζ 2 1 (ζ ζ 2 1)
e
(ζ ζ 2 1 ) n t
ζ 2 1 ) n t
c(t)
1
0 t
单调上升过程
2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 c(t) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
=0
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
1
2
3
4
5
• 在0<<1, 越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长； • =0.7，调节时间短，而超调量%<5%，平稳性也好，故称 ζ=0.7为最佳阻尼比。工程希望=0.4～0.8为宜； •在≥1 , 越大，系统响应速度慢，调节时间ts也长。
例题：设角度随动系统如图所示，T=0.1为伺服电机时间常数， 若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间ts≤1s，问K应 取多大？此时上升时间等于多少？
Θi(s)
_
K s(Ts 1)
Θo(s)
解：闭环传递函数为
K K K /T s (Ts 1) (s) 2 2 K Ts s K s s / T K / T 1 s (Ts 1)
自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析
0.6
0.4
0.2
=0
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nt
21
二阶系统单位阶跃响应定性分析
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2 n s
n2
s1,2 n n 2 1
1 过阻尼
c(t)
1
T2 T1
1
1
e
1 T1
t
T1 T2
1
1
e
1 T2
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1
2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为:
s2 2ns n2 0
特征方程的两个根（闭环极点）:
s1,2 n n 2 1 4
特征方程的两个根（闭环极点） s1,2 n n 2 1
若 0 则二阶系统具有两个正实部的特征根，其单位阶跃响应为
t
1 临界阻尼
c(t) 1 ent (1 nt)
0 1 欠阻尼
c(t) 1
ent
1 2
sin
nt
1 2 cos1
0 零阻尼
c(t) 1 cosnt
22
3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 td ,tr，tp，ts，s %
在控制工程上，除了一些不允许产生振荡响应的系统 外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、较快的响应速 度和较短的调节时间。
6
不难看出： 0 时，二阶系统的单位脉冲响应是 发散的，即系统是不稳定的； 0 时，二阶系统
的单位脉冲响应是收敛的，且趋于零平衡状态，即 系统是稳定的。 0 时，二阶系统的单位脉冲响
自动控制原理--二阶系统的时域响应
y(t ) L-1[Y (s)]
-n
1 - e-nt (cos d t
1 - 2 sin d t )
s2
1-
e - nt (
1- 2
1 - 2 cos d t sin d t )
j jd
0
1-
e - nt 1 - 2 sin(n
1 - 2 t tg-1
1- 2 )
y(t)
单位阶跃响应（ 0<<1 ）
esst
2
a K
K
0.25
a 0.187
比例微分控制与输出微分反馈的比较
1、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系 统阻尼，但来源不同；
2、对于噪声和元件的敏感程度不同； 3、对开环增益和自然振荡角频率的影响不
同； 4、对动态响应的影响不同。
（1）增加阻尼的来源
• 比例微分的阻尼来自误差信号的速度；
1)
阶跃响应：y(t) 1
1
-1t
e T1
1
-1t
e T2
T2 T1 -1
T1 T2 -1
yt
j
1
0
0
t
单位阶跃响应（>1）
无振荡、无超调
2、临界阻尼 =1
j 0
两个相同的负实根
闭环系统的极点为 s1,2 -n
闭环传递函数为
GB
Y (s) R(s)
(s
n2 n )2
阶跃响应： y(t) 1- e-nt (1 nt)
阻尼振荡频率
衰减振荡
d 1- 2n
4、零阻尼 0
阶跃响应y(t)=1-cos nt
n --无阻尼振荡角频率
j 0
一对纯虚根
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1s 5% ts 1.33 2%
例2 如图所示的机械系统,在质量块上 施加9.8牛顿阶跃力后，m的时间响应 如图曲线，试求系统的 m、k 、c 。
Fi (t )
xo (t )
m c
k
解：根据牛顿第二定律，得
Fi (t ) Fk Fc Mo (t ) x Fk kxo (t ) Fc cxo (t )
即：
e
nt 2
1
1 1 1
2
解得： t s
n
ln
4 ln
若 0.02
1 1
2
则t s
n
3 ln
1 1
2
若 0.05
则t s
n
4
0.02) ( 若0 0.7时 ts n ts 32、源自阻尼状态( 0)2
1 X o (s) 2 2 s s n
1 s s s 2 n2
n
xo (t ) 1 cos nt
曲 线 特 点 ： 等 幅 振 荡
3、临界阻尼状态
1 X o (s) 2 s (s n )
( 1)
n
5、振荡次数N
在调整时间内响应曲线振荡的次数
ts ts N T 2
d
0 0.7时，
0.02时，t s 0.05时，t s 4
n
3
N N
2 1
2
1. 5 1
2
n
振荡次数N随着 而 。
( 2 1) nt ( 2 1) n t e e 2 2 1
n
曲线
随着 衰减愈慢，
d 幅值
衰减的快 慢取决于
n。
§3.4
瞬态响应的性能指标
性能指标是针对欠阻尼二阶系统的单 位阶跃响应而提出来的
性能指标计算
§3.3 二阶系统的时间响应
凡是能够用二阶微分方程描述的系统 称为二阶系统
典型二阶振荡环节传递函数为 2 n G (s) 2 2 s 2 n s n 框图：
Xi
n s ( s 2 n )
2
Xo
二阶系统特征方程：
s 2n s n 0
2 2
s1、 n n 1 2
2
n 1 1 s (s n )2 s n
xo (t ) 1 nt e
nt
e
nt
曲 线
1
X0(t)
1
1
t
0
特点：
1）不振荡
2）终值为1
4、过阻尼状态
X0(t)
( 1)
特点：
1
曲 线
1
1
1）不振荡 2）终值为1
d
1
2
n sin(d t p ) d cos( d t p ) 0
d tg (d t p ) n
1 2
tg
d , t p均大于0 d t p 0, ,2 ,
取d t p
t p d
(峰值时间是有阻尼振荡 周期
2
d
的一半)
讨论： 1) 一定时，n , t p ;
2） n一定时,
, t p .
3、调整时间ts
响应曲线达到并永远保持在允许范围的时间
即：o (t ) xo ( ) X o ( ) x
xo ( ) 1
xo (t ) 1
1)求k：由拉氏变换的终值定理可知
xo () lim xo (t ) lim s X o ( s )
t s 0
lim s G ( s ) X i ( s )
8.9 lim s 0.03 s 0 ms 2 cs k s 8.9 0.03 k 297 N m k
t 0
但相对于ξ =1时过渡时间较长
§3.3.2
二阶系统的单位脉冲响应
X i ( s ) L (t ) 1
X o ( s) G (s) X i ( s)
X o ( s) G ( s)
2 n 1 1 xo (t ) L X o ( s) L 2 2 s 2 n s n 2 n 1 L ( s n ) 2 ( n 1 2 ) 2
二阶系统计算举例
例1：设系统的方框图如图示，其中 ξ =0.6,ω n=5s-1 ,当有一单位阶跃 信号作用系统时，求其性能指标tp, Mp和ts 。
X i (s )
E (s )
s ( s 2 n )
n
2
X o (s )
解：
1) t p
d
2
d n 1
t p
5 1 0.6
2
4
0.785s
2) M p exp
M p exp( 0.6
1 100%
2
2
1 0.6 ) 100% 9.5%
3)
3 5% n ts 4 2% n
2
令 d n 1 有阻尼固有频率
1、欠阻尼状态
( 0 1)
2 n 1 1 n xo (t ) L 1 2 ( s n ) 2 ( n 1 2 ) 2
xo (t )
n
1
d 为二阶系统的有阻尼固有频率 d n 1
1
2
e xo (t ) L X o ( s) 1 sin( d t ) 2 1 其中 arctg 1
2
nt
曲 线
特点：
1)振荡过程：这是一个不断需要超调 过程，只要输出大于输入，需要超调。 2)以Wd为振荡频率的衰减过程，幅值衰 减的快慢取决于ξ ω n。 3)随着ξ 的减小，其振荡幅值加大，衰 减慢。 4)终值为1。
2
n 1 2 2 s 2n s n s
1、欠阻尼状态
(0 1)
( 0)
2、无阻尼状态
3、临界阻尼状态
( 1)
4、过阻尼状态
( 1)
1、欠阻尼状态
n
2
(0 1)
1 X o (s) 2 2 s s 2 n s n
exp( ntr ) 0
sin(d tr ) 0
d tr k
k 0,1,2
tr 是xo (t )第一次达到 xo ()的时间
tr 或t r 2 d n 1
讨论：
1) 一定时，
2) n一定时，
xo (t ) n t exp( nt )
2
4、过阻尼状态
xo (t )
1
n 1 1 1 1 L L 2 s ( 2 1) n s ( 2 1) n 2 1
n
0.05) (
1、 n一定时,
ts ，
0.02时， 0.76附近t s 最小，
0.05时， 0.68附近t s 最小， 但 0.8以后，
ts 。
使平稳性 而快速性 。
2、一定时，
n , ts 。
4、最大超调量Mp
响应曲线的最大峰值与稳态值x0(∞)的差值 再与x0(∞)之比值。
即： M p
xo (t p ) xo () xo ()
100 %
当xo () 1时，M p xo (t p ) xo ()
t t p 时，xo () 1 d
M p 1 e
n , tr
，tr
2、峰值时间tp
响应曲线达到第一个峰值所需的时间 为峰值时间
当t t p时有极值
dxo (t ) 0 dt t t
p
n
1
2
exp( nt p ) sin(d t p ) exp( nt p ) cos(d t p ) 0
2
exp( nt ) sin d t
2、无阻尼状态
( 0)
n 1 xo (t ) L n 2 2 s n
xo (t ) n sin nt
3、临界阻尼状态
( 1)
2 1 n xo (t ) L 2 (s n )
2
随着阻尼比取值不同，二阶系统特征 根不同，即极点不同。
讨论：
1) 0 1 2) 3) 4)
欠阻尼系统 无阻尼系统 临界阻尼系统 过阻尼系统
0
1
1
1) 0 1
欠阻尼系统
Im
j n 1 2
极 点 分 布
s1
n
Re
s2
2
jn 1
nt p
1
n
2
sin( d t p ) 1
n 1
2
2
e
1
1 2
sin( d ) d
e
2
1
sin
sin 1
M p e
2
1
2
M p只与有关而与 d 无关；
，M p 。
1、上升时间tr