传递函数

这些微分环节的传递函数没有极 点，只有零点。由于n<m,一般
一阶: G(s)Tds1
不会单独存在,实际微分环节是 加入惯性环节的实现.
二阶: G (s)Td2s22Tds1
实际:
G(s)
Td s Td s 1
G(s)
T2s2
1
2Ts1
两种形式的能量转换过程中使输 出产生振荡。
G(s) es
输出和输入相同仅延迟时间τ； 不失真
原因：延时效应。信号输入环节后，由于环节传递信号的速 度有限。输出响应要延迟一段时间τ才能产生。
典型环节
比例环节 惯性环节 积分环节 微分环节
振荡环节 延迟环节
传递函数
特点
G(s) K
同步变化,不失真,不延时
G(s) 1 Ts 1
跟随输入,存在时间上的延迟
G(s)
1 s
输出随时间无限的增加
理想: G(s) Tds
i
1 zi
1 Tj pj
m
K ──时间常数形式传递函数的增益；
zi
通常称为传递系数。
K Kg
i1 n
pj
j1
2.2.2 典型环节及其传递函数
一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机械的，液压 的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的 动态性能的传递函数可能是相同的。如果我们从数学的表达式出发，一 般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典 型环节的传递函数来，以便于分析及研究复杂的系统。
数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。
➢传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学
科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函 数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。
➢传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了
输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。
2、零极点形式
m
G(s)Kg(sz1)L(szm) (sp1)L(spn)
K g (s zi)
i1 n
(s p j)
M N
(s) (s)
j1
上式中
Kg ──零极点形式传递函数的根轨迹增益 ；
-zi ──分子多项式M(s)=0的根，称为零点；
K
g
bm an
-pj ──分母多项式N(s)的根，称为极点。
令
G(s)b am nssm n a bm n 11ssn m 11 ...... ab11ss a b0 0
可得出输出量的拉氏变换
Y(s)G(s)R(s)
当传递函数和输入已知时，通过拉氏反变换可求出时域表达式 y(t)。
三、传递函数的性质
➢传递函数只适用于零初始条件下的线性定常系统。它与线性常系
控制系统中常用的典型环节有，比例环节、惯性环节、 微分环节、 积分环节和振荡环节等。以下介绍这些环节的传递函数及其推导。
一、比例环节
微分方程： y(t)Kr(t)
传递函数： G (s ) K (增 益 、 放 大 系 数 ）
方框图：
R (s)
Y (s)
K
特点：输出量与输入量成正比，并且同步变化，不失真也不延时。 举例：这种类型的环节很多，机械系统中略去弹性的杠杆、作为测 量元件的测速发电机(输入为角速度，输出为电压时)以及电子放大器等， 在一定条件下都可以认为是比例环节。
【例2.2.3】如图a所示的电压分压器即为一典型比例环节，当输入 量r(t)为阶跃变化信号时，输出量y(t)的变化如图b所示。
二、 惯性环节
一阶微分方程： Tdy(t) y(t)r(t) dt
传递函数：G (s)Y(s) 1 (T是 时 间 常 数 ） R(s) Ts1
方框图：
R ( s ) 1/(Ts+1) Y ( s )
ansnY (s)
an1sn1Y(s)
a1sY (s) a0Y (s)
bm s m R (s) andndytn(t)an1dndt1ny(1t)...a1dyd(tt)a0y(t)
bmddmtrm (t)bm1ddm t1mr(1t)...b1drd(tt)b0r(t)
b0R (s)
y ( 0 ) 0 ,y '( 0 ) 0 L y n 1 ( 0 ) 0
y(t)1etT t0
r(t)
y(t)
0.95 0.98 0.99
0.87
0.63
T 2T 3T 4T 5T
1 s
s
1
1
T
在单位阶跃输入
信号的作用下，
惯性环节的输出
信号是指数函数。
当 时 间 t=(3~4)T
时，输出量才接
t
近其稳态值。
三、 积分环节
微分方程： 传递函数：
方框图：
y(t) r(t)dt
2.2 传递函数
2.2.1 传递函数的定义和性质
一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参 数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价 可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进 行分析。
传递函数 是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或 元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种 数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数变化对系统响 应的影响。
零初始条件下,输入量r(t)的拉普拉斯变换为R(s)=L[r(t)]、输出量y(t)的拉 普拉斯变换为Y(s)=L[y(t)]。对上式两边同时进行拉普拉斯变换,可得
[ansnan1sn1...a1sa0]Y(s)
[bmsmbm1sm1...b1sb0]R(s)
则有
Y(s)b am nssm n a bm n 1 1 ssn m 11 ...... a b 1 1 ss a b0 0R(s)
/
m
s2 2ns n2
特点：
1、含有两种形式的储能元件，并能将储存的能量相互转换。
如动能与位能、电能与磁能间转换。
2、能量转换过程中使输出产生振荡。
五、 微分环节
(1) 理想微分环节
纯微分环节
微分方程： 传递函数：
dr(t) y(t)Td dt
t0
G(s) Tds 式中，T d 为微分时间常数
纯微分电路
方框图：
R (s)
n2
Y (s)
s2 2ns n2
【例2.2.6】弹簧—质量—阻尼系统 由【例2.1.1】可得出其微分方程为
振荡环节阶跃响应
mddt22xf
dxkxF(t) dt
它的传递函数为
G(s)F(s) 1 1 X(s) ms2fsk
T 2s2 2Ts 1
n2
s2
1/ m fs/ mk
（3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模 型描述的系统。
1 Cs
R2 R1
(R1Cs 1) K(Tds1)
其中， KR2 R1
Td R1c
二阶微分环节
微分方程： 传递函数：
y(t)T2dd 2rt(2t)2Tdrd(tt)r(t)
G (s)T2s22Ts1
这些微分环节的传递函数没有极点，只有零点。纯微
分环节的零点为零，一阶微分环节和二阶微分环节的零点 分别为实数和一对共轭复数。
六、 延迟环节
r (t)
微分方程：
y(t)r(t)
0
t 传递函数： G(s) es
y (t)
0
方框图： t
e R ( s )
Y (s)
s
将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数：
G(s)ese1s 1s112s2L
2!
当延迟时间很小时，可近似为惯性环节：
G(s)es 1
1s
特点：
1、输出和输入相同仅延迟时间τ；不失真 2、与其他环节同时存在。人体、计算机系统、液压机械 传动、气动传动。
说明: （1）对应同一元件（或系统），可以取不同的量作为输
出量和输入量，所得到的传递函数是不同的。 （2）对于复杂的控制系统，在建立系统或被控对象的数
学模型时，将其与典型环节的数学模型对比，即可知其由 什么样的典型环节组成。由于典型环节的动态性能和响应 是已知的，因而给分析、研究系统性能提供很大的方便。
特点：惯性环节的特点是其输出量不能立即跟随输入量变化， 存在时间上的延迟。其中时间常数越大，环节的惯性越大，则延迟 的时间也越长。
【例2.2.4】一阶惯性环节的输入信号为单位阶跃信号，其拉普拉斯变
换 R(s) 1 s ，求输出量 y ( t ) 。
解：
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
Y(s)G （ s)R （ s) 1 1 Ts 1 s
G(s) Uo(s) U i (s)
R
R
1
Cs
RCs s RCs1 s1
RC 时 间 常 数
实际微分电路
当τ<<1时，才近似为纯微分环节。
(3)其它微分环节
一阶微分环节
微分方程：
y(t)Td
dr(t)r(t) dt
传递函数： G(s)Tds1
G(s) Uo(s)
U
i
(
s
) R
2
R1
//
y(t) t
输出量随时间成正比地无限增加
四、 振荡环节
微分方程： 传递函数：
T2d2 dy t2 (t)2Tdy d(tt)y(t)r(t)
G(s)
T2s2
1
2Ts1
2 n
s2
2
ns
2 n
(T 1 为 时 间 常 数 )
n
( n 为 自 然 角 频 率 ， 为 阻 尼 比 ， 0 1 表 示 振 荡 环 节 )