g3.1049 三角函数的化简、求值与证明

g3.1049 三角函数的化简、求值与证明

一、知识回顾

1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数

2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 二、基本训练

1、已知θ是第三象限角，且445

9

sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ）

A 、223

B 、223-

C 、23

D 、23

-

2、函数23

232

y sin x cos x =--+的最小正周期 （ ）

A 、2π

B 、π

C 、3π

D 、4π

3、tan 70cos10(3tan 201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2

4、已知46

sin 3cos (4)4m m m

αα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。

5、设1

0,sin cos 2

απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。

三、例题分析

例1、化简：

4221

2cos 2cos 2.2tan()sin ()

44

x x x x ππ

-+

-+

例2、设3177cos(),45124

x x π

ππ

+=<<

，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。

例3、求证：sin(2)sin 2cos().sin sin αββ

αβαα

+-+=

例4、已知11

sin()cos [sin(2)cos ],022

αβααβββπ+-+-=<<，求β的值。

例5、（05北京卷） 已知tan 2

α

=2，求

（I ）tan()4πα+的值； （II ）6sin cos 3sin 2cos αα

αα

+-的值．

例6、（05全国卷Ⅲ）

已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合.

例7、(05浙江卷)已知函数f (x )＝－3sin 2

x ＋sin x cos x ． (Ⅰ) 求f (

256

π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41

－32，求sin α的值．

四、作业 同步练习 g3.1049 三角函数的化简、求值与证明

1、已知1sin()43πα-=，则cos()4π

α+的值等于 （ ）

A 、223

B 、223-

C 、13

D 、13-

2、已知tan α、tan β是方程23340x x ++=的两根，且(,)22

ππ

αβ∈-

、，则αβ+等于 （）

A 、3π

B 、23π-

C 、3π或23

π- D 、3π-或23π

3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42

x x

x x ππ+---为 （ ）

A 、sin x

B 、cos x

C 、tan x

D 、cot x

4、（全国卷Ⅲ）

22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αα

αα

(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)

12

5、（山东卷）函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0

,0

1),sin()(12

x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ ）

（A ）1 （B ）22,1-

（C ）22- （D ）2

2

,1 6、（全国卷Ⅱ）设a 为第四象限的角，若

5

13

sin 3sin =a a ，则tan 2a =______________. 7、（北京卷）已知tan 2α=2，则tanα的值为－34，tan ()4

π

α+的值为－

8、已知tan()34

π

θ+=，则2sin 22cos θθ-的值为＿＿＿＿＿＿＿。

9、已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝＿＿. 10、求证：

2

1tan 1sin 2.12sin 1tan 2

2

ααα

α

++=--

11、已知2sin 22sin ()1tan 42

k ααππ

αα+=<<+，试用k 表示sin cos αα-的值。

12、求值：

2(3tan123)csc12.4cos 122

--

13、已知3

tan tan 3

αβ=，求(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值。

答案：

基本训练、1、A 2、B 3、D 4、[－1，

7

3

] 5、74-

例题、例1、1cos 22x 例2、2875- 例3、略 例4、2

π

例5、解：（I ）∵ tan

2α=2, ∴ 22tan

2242tan 1431tan 2α

αα⨯=

==---; 所以tan tan

tan 14tan()41tan 1tan tan 4π

απααπαα+++==--=411347

13

-+=-+； （II ）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()1

7346

3()23-+=--.

例6、解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+………………………………………………2分