g3.1049 三角函数的化简、求值与证明
高三数学 三解函数式的化简,三角函数式的求值,三角恒等式的证明。三角形中的求值与证明知识精讲
高三数学三解函数式的化简，三角函数式的求值，三角恒等式的证明。
三角形中的求值与证明知识精讲一. 三角函数的化简1. 两角和与差的三角函数 cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin tan()tan tan tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=+-±=±±=±-；；12. 二倍角、半角的正弦、余弦、正切 sin sin cos cos cos sin cos sin tan tan tan cos cos sin cos tancos cos cos sin sin cos 22221122212122122111122222αααααααααααααααααααααα==-=-=-=-=±+=±-=±-+=-=+；；；；；（右边的“”由所在象限决定±α2）。
3. 万能公式sin cos tan tan .αααα=+=-+==-21112212222tt t t t tt ；（其中）；4. 积化和差与和差化积[]sin cos sin()sin()αβαβαβ=++-12[][][]cos sin sin()sin()cos cos cos()cos()sin sin cos()cos()αβαβαβαβαβαβαβαβαβ=+--=++-=-+--121212；；；sin sin sincos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin .x y x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y x y+=+--=+-+=+--=-+-222222222222；；；运用以上公式作三角恒等变换时，既要会“顺用”公式，也还要会“逆用”公式及一些基本的变形使用。
化简三角函数式的类型分为有条件的化简和无条件的化简，基本要求为： （1）所含的三角函数名称或角的种类尽可能少。
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数的化简与证明
三角函数的化简与证明三角函数是数学中的重要概念之一，它在解析几何、物理学、工程学等领域中有广泛应用。
在使用三角函数时，我们经常面临的一个问题就是如何将复杂的三角函数化简为简单形式，或者证明两个三角函数之间的等式。
本文将探讨三角函数的化简和证明方法。
一、三角函数的化简1. 三角恒等式三角恒等式是三角函数化简的基础。
它是一种等式关系，使得两个或多个三角函数能够互相转化。
下面是一些常见的三角恒等式：- 余弦函数的平方加正弦函数的平方等于1：$cos^2θ + sin^2θ = 1$- 2倍角公式：$cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ$- 倍角公式：$sin(2θ) = 2sinθcosθ$- 三角和差公式等通过运用这些恒等式，我们可以将复杂的三角函数化简为简单的形式，便于计算和理解。
2. 其他化简方法除了三角恒等式，还有一些其他的化简方法。
例如，使用欧拉公式，将三角函数转化为复指数函数进行化简。
这个方法可以将三角函数的复杂计算转化为简单的指数函数计算，能够提高计算效率。
在实际问题中，我们还可以利用对称性、周期性等性质进行化简。
这需要根据具体问题进行分析和推导，找到合适的化简方法。
二、三角函数的证明1. 等式的证明证明三角函数之间的等式是数学中的重要问题。
通过证明三角函数之间的等式，可以建立它们之间的联系，拓宽我们对三角函数的理解。
在证明三角函数等式时，我们可以运用三角恒等式、代数运算、数学归纳法等方法。
具体的证明过程需要根据问题的要求和条件进行推导。
2. 不等式的证明除了等式的证明，我们还经常需要证明三角函数之间的不等式。
三角函数的不等式证明在数学分析和优化等领域中有广泛应用。
在证明三角函数不等式时，我们可以使用极限、导数、积分和数学归纳法等方法。
通过分析三角函数的性质和变化趋势，找到合适的不等式证明方法。
需要注意的是，在证明过程中，要严谨而准确地推导，避免出现漏洞和错误，确保证明的有效性和可靠性。
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g3.1049 三角函数的化简、求值与证明一、知识回顾1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
二、基本训练1、已知θ是第三象限角，且4459sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ）AB、 C 、23 D 、23-2、函数22y sin x x =-+的最小正周期 （ ）A 、2πB 、πC 、3πD 、4π3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 （） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－24、已知46sin (4)4m m mαα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。
5、设10,sin cos 2απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。
三、例题分析例1、化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+例2、设3177cos(),45124x x πππ+=<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。
三角函数化简求值的技巧
三角函数化简与求值常用技巧
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由 于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技 巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到 正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、 次数、结构”等几方面着手解决.
一、三角变换,角为先锋 三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换 中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.
【例 1】已 知α、 β为 锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
【变式演练】已知 sin
x－π
4
＝3,则
sin
2x 的值为(
)
5
A．－ 7 25
B. 7 25
C. 9 25
D.16 25
【解析】法一、sin 2x＝cos(2x－ π )＝1－2sin2(x－ π )＝1－2×(3)2＝ 7 ,选 B.
2
4
5 25
法二、依题意得 2(sin x－cos x)＝3,1(sin x－cos x)2＝ 9 ,1－sin 2x＝18,sin 2x＝ 7 ,选
C、
9 13
D、
13 9
【例
1】已 知α、 β为 锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
C、
9 13
D、
13 9
【分析】依题意,可求得 tan α＝
三角函数式的化简与证明
高中数学：三角函数式的化简与证明(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝12cos2x . 解析：原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x . (2)证明：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.证明：因为α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2，所以sin α＋sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＋α－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－α－β2 ＝sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2＋sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2＝2sin α＋β2cos α－β2.1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．2．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立． 提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．3．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．(1)化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解：原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. (2)证明：cos θ－cos φ＝－2sin θ＋φ2sin θ－φ2.证明：因为θ＝θ＋φ2＋θ－φ2，φ＝θ＋φ2－θ－φ2，所以cos θ－cos φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋φ2＋θ－φ2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋φ2－θ－φ2 ＝cos θ＋φ2cos θ－φ2－sin θ＋φ2sin θ－φ2－cos θ＋φ2cos θ－φ2－sin θ＋φ2sin θ－φ2＝－2sin θ＋φ2sin θ－φ2.。
三角函数的求值化简与证明(教案)
三角函数的求值、化简与证明教学目标1、 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值；2、 培养学生分析问题解决问题的能力，培养热爱数学。
教学重点掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
教学难点能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值教学过程一、知识归纳1、两角和与差公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=± ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±= ， ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±= 2、二倍角公式：sin 22sin cos ααα=， 22tan tan 21tan ααα=- 22cos 2cos sin ααα=-22cos 1α=-212sin α=-公式变形：1sin cos sin 22ααα=21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+= 3、三角函数式化简的一般要求：①函数名称尽可能少， ②项数尽可能少，③次数尽可能低，尽可能求出值④尽量使分母不含三角函数，⑤尽量使被开方数不含三角函数4、求值问题的基本类型及方法：(1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的关系。
（2）“给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题关键在于变角，使其角相同。
（3）“给值求角”关键是变角，把所求的角用含已知角的式子表示。
5、证明三角恒等式的思路和方法：①思路:利用三角公式进行化名，化角，使等式两端化“异”为“同”。
②证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数单调性，利用正余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
二、典例分析：题型一：三角函数式的化简例1：化简 ： 22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ•+•-• 分析：化简时使角尽量少，幂次尽量低，不含切割函数，时时要注意角之间的内在联系。
三角函数化简公式推导
三角函数化简公式是对复杂的三角函数进行简化，使三角函数变为简单的。
下面小编整理了三角函数化简公式推导，供大家参考。
三角函数化简公式三角函数和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]三角函数积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα倍角公式sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]三角函数万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 三角函数化简技巧1、统一名：其中包含齐次化切，以及切化弦。
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g3.1049 三角函数的化简、求值与证明
一、知识回顾
1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数
2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
二、基本训练
1、已知θ是第三象限角，且445
9
sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ）
A 、223
B 、223-
C 、23
D 、23
-
2、函数23
232
y sin x cos x =--+的最小正周期 （ ）
A 、2π
B 、π
C 、3π
D 、4π
3、tan 70cos10(3tan 201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2
4、已知46
sin 3cos (4)4m m m
αα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。
5、设1
0,sin cos 2
απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。
三、例题分析
例1、化简：
4221
2cos 2cos 2.2tan()sin ()
44
x x x x ππ
-+
-+
例2、设3177cos(),45124
x x π
ππ
+=<<
，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。
例3、求证：sin(2)sin 2cos().sin sin αββ
αβαα
+-+=
例4、已知11
sin()cos [sin(2)cos ],022
αβααβββπ+-+-=<<，求β的值。
例5、（05北京卷） 已知tan 2
α
=2，求
（I ）tan()4πα+的值； （II ）6sin cos 3sin 2cos αα
αα
+-的值．
例6、（05全国卷Ⅲ）
已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合.
例7、(05浙江卷)已知函数f (x )＝－3sin 2
x ＋sin x cos x ． (Ⅰ) 求f (
256
π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41
－32，求sin α的值．
四、作业 同步练习 g3.1049 三角函数的化简、求值与证明
1、已知1sin()43πα-=，则cos()4π
α+的值等于 （ ）
A 、223
B 、223-
C 、13
D 、13-
2、已知tan α、tan β是方程23340x x ++=的两根，且(,)22
ππ
αβ∈-
、，则αβ+等于 （）
A 、3π
B 、23π-
C 、3π或23
π- D 、3π-或23π
3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42
x x
x x ππ+---为 （ ）
A 、sin x
B 、cos x
C 、tan x
D 、cot x
4、（全国卷Ⅲ）
22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αα
αα
(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)
12
5、（山东卷）函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0
,0
1),sin()(12
x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ ）
（A ）1 （B ）22,1-
（C ）22- （D ）2
2
,1 6、（全国卷Ⅱ）设a 为第四象限的角，若
5
13
sin 3sin =a a ，则tan 2a =______________. 7、（北京卷）已知tan 2α=2，则tanα的值为－34，tan ()4
π
α+的值为－
8、已知tan()34
π
θ+=，则2sin 22cos θθ-的值为＿＿＿＿＿＿＿。
9、已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝＿＿. 10、求证：
2
1tan 1sin 2.12sin 1tan 2
2
ααα
α
++=--
11、已知2sin 22sin ()1tan 42
k ααππ
αα+=<<+，试用k 表示sin cos αα-的值。
12、求值：
2(3tan123)csc12.4cos 122
--
13、已知3
tan tan 3
αβ=，求(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值。
答案：
基本训练、1、A 2、B 3、D 4、[－1，
7
3
] 5、74-
例题、例1、1cos 22x 例2、2875- 例3、略 例4、2
π
例5、解：（I ）∵ tan
2α=2, ∴ 22tan
2242tan 1431tan 2α
αα⨯=
==---; 所以tan tan
tan 14tan()41tan 1tan tan 4π
απααπαα+++==--=411347
13
-+=-+； （II ）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()1
7346
3()23-+=--.
例6、解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+………………………………………………2分
12sin(2)4
x π
=+-…………………………………………………4分
()012s i n (2
)04
f x x π
∴>⇔+
->2
s i n (2
)4
2
x π
⇔->-
…………6分 52224
4
4
k x k π
π
π
ππ⇔-
+<-
<
+…………………………8分 34
k x k π
ππ⇔<<
+…………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44
x ππ
π∈⋃………………………12分
例7、解：(Ⅰ) 251253sin ,cos 6
2
6
2
ππ== 225252525()3sin sin cos 06666
f ππππ∴=-+=
(Ⅱ) 331()cos 2sin 2222
f x x x =
-+ 31313
()cos sin 222242
f ααα∴=+-=-
011sin 4sin 162=-α-α 解得8
5
31sin ±=
α 0s i n ),0(>α∴π∈α 8
5
31s i n +=∴a
作业、1—5、DBBBB 6、4
3- 7、-71
8、45- 9、22- 10、略 11、1k - 12、43-
13、3。