第7章 第40讲-立体几何

课时达标第40讲-立体几何
一、选择题
1．若α，β表示两个不同的平面，直线m⊂α，则“α⊥β”是“m⊥β”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
B解析由面面垂直判定定理得m⊥β，m⊂α⇒α⊥β，而α⊥β时，α内任意直线不可能都垂直于β，因此“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B.
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥βD．AC⊥β
D解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D项不一定成立．故选D.
3．(2019·忻州二中月考)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．下列命题中正确的有()
①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；
③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β.
A．①③B．①②
C．③④D．②③
D解析由面面垂直的性质定理知若m⊂β，α⊥β，且m垂直于α，β的交线时，m⊥α，故①错误；若α∥β，则α，β无交点，又m⊂α，所以m∥β，故②正确；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故③正确；若α⊥γ，β⊥γ，不能得出α⊥β，故④错误．4．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
A解析因为AC⊥AB，AC⊥BC1，所以AC⊥平面ABC1.又因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以C1在底面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
D解析在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.
6．(2019·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB ⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.
其中为真命题的是()
A．①②B．②③
C．②④D．①④
D解析①如图，取BC的中点M，连接AM，DM.由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理，DM ⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD；④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.
二、填空题
7．如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
解析因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥BC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面P AC，所以几何体中的直角三角形有△P AB，△P AC，△ABC和△PBC，共4个．
答案 4
8．(2019·合肥三中月考)已知a，b表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列命题：
①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；
②若a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；
④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；
⑤若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
其中正确命题的序号是________．
解析①一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线垂直，这两个平面不一定垂直，故①错误；②满足两个平面垂直的定义，故②正确；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a与b平行或相交(相交时可能垂直)，故③错误；④若a不垂直于平面α，但a可能垂直于平面α内的无数条直线，故④错误；⑤垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故⑤正确．答案②⑤
9．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC＝90°，且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝________.
解析因为DA＝DC＝AA1＝DD1，且DA，DC，DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM 为正方形时，D1M⊥平面A1C1D，所以DM＝2 2.
答案2 2
三、解答题
10．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BC ∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A1D1的中点．
(1)求证：DD1⊥平面ABCD；
(2)求证：平面A1BE⊥平面ADD1A1.
证明(1)因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD.因为AD∩CD＝D，所以DD1⊥平面ABCD.
(2)因为△ABD是正三角形，且E为AD中点，所以BE⊥AD，因为DD1⊥平面ABCD，而BE⊂平面ABCD，所以BE⊥DD1.因为AD∩DD1＝D，所以BE⊥平面ADD1A1，又因为BE⊂平面A1BE，所以平面A1BE⊥平面ADD1A1.
11．(2019·渭南检测)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB ＝1，P A⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．
(1)证明：PF⊥FD；
(2)若P A＝1，求点E到平面PFD的距离．
解析(1)证明：连接AF，则AF＝2，又DF＝2，AD＝2，所以DF2＋AF2＝AD2，所以DF⊥AF.因为P A⊥平面ABCD，所以DF⊥P A，又P A∩AF＝A，所以DF⊥平面P AF，又
PF ⊂平面P AF ，所以DF ⊥PF .
(2)连接EP ，ED ，EF .因为S △EFD ＝S 矩形ABCD －S △BEF －S △ADE －S △CDF ＝2－54＝34
，所以V 三棱锥P －EFD ＝13S △EFD ·P A ＝13×34×1＝14
.设点E 到平面PFD 的距离为h ，则由V 三棱锥E －PFD ＝V 三棱锥P －EFD 得
13S △PFD ·h ＝13×62·h ＝14，解得h ＝64，即点E 到平面PFD 的距离为64. 12．(2016·浙江卷)如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面 BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.
(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；
(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．
解析 (1)证明：延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．
因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCK ，因此BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ，所以BF ⊥平面ACFD .
(2)因为BF ⊥平面ACK ，所以∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角．
在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝32
，得 cos ∠BDF ＝DF BD ＝DF BF 2＋DF 2＝217
， 所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为
217. 13．[选做题]如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，N ，M 分别是AD ，BE 的中点， 将三角形ADE 沿AE 折起，下列说法正确的是________(填上所有正确说法的序号)．
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.
解析①如图，分别取EC，DE的中点P，Q，由已知易知四边形MNQP为平行四边形，则MN∥PQ，又PQ⊂平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；②取AE的中点O，易证NO ⊥AE，MO⊥AE，故AE⊥平面MNO，又MN⊂平面MNO，则AE⊥MN，②正确；③因为D∉平面ABC，所以N∉平面ABC，又A，B，M∈平面ABC，所以MN与AB异面，③错误．
答案①②。