金状元试卷网-天津工业大学考研真题高等代数2007

注意事项：1．本试卷共十一道大题（共计十三小题），满分150分；
2．本卷属试题卷，答案一律写在答题纸上，写在该试题卷上或草稿纸上均无效。

要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑色钢笔或圆珠笔答题，其它笔答题均无效。

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一、（10分）计算1+n 阶行列式：n
a b b b a a b b a a a b
32122211
1111
111
二、（15分）λ取何值时，线性方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λ
λx x x x x x x x x
有解？并求其通解.
三、（15分）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=*8030310100100001A , E BA ABA 311+=--，求B . 四、（10分）设多项式)(,0)(,0)(x p x g x f ≠≠是首项系数为1的不可约多项式，若)()()()()(x p x g x f x g x f =++，则())(),(x g x f ＝1.
五、（10分）设A 是n m ⨯的矩阵，B 是s n ⨯的矩阵，
证明：{})(),(min )(B r A r AB r ≤.（)(A r 表示矩阵A 的秩）
六、（10分）设A 为n 阶正定矩阵，n ααα,,,21 为实n 维非零列向量，当j i ≠时有0'=j i A αα，证明： n ααα,,,21 线性无关.
七、（15分）设4R 的两个子空间为： (){
}0,,,432143211=-+-=x x x x x x x x V
{}0),,,(432143212=+++=x x x x x x x x V
求21V V +与21V V 的基与维数.
八、（20分）设V 是n 维欧氏空间，0≠α是V 中一固定向量，证明： (1){}V x x x V ∈==,0),(1α是V 的一个子空间.
(2)1V 的维数等于1-n .
九、(15分)用正交线性替换将二次型
32212322213214432),,(x x x x x x x x x x f --++=
化为标准型.
十、（20分）设τσ,是向量空间V 的两个线性变换，且τσστ= 证明：(1)τ的值域V τ与核)0(1-τ都是σ的不变子空间.
(2)若0λ是σ的一个特征值，则σ的特征子空间0λV 是τ的不变子空间.
十一、（10分）设][)(x P x f ∈，),()()(x h x g x f =且(),1)(),(=x h x g V 是数域P 上的n 维向量空间， σ是V 上的线性变换，证明：
)0())(()0())(()0())((111---⊕=σσσh g f。